sezione 5 unità 3

Problemi di verifica delle ipotesi
CONTENUTI
Verifica delle ipotesi
'")Ipotesi nulla e ipotesi alternativa
'")Zona di accettazione e zona di rifiuto
Errori
OBIETTIVI
Conoscere il significato di verifica di un'ipotesi parametrica
, Saper formulare l'ipotesi nulla e quella alternativa
., Saper apprezzare l'attendibilità di un'ipotesi sulla media o sulla frequenza
3. 1
PROBLEMI DI VERIFJCA DELLE IPOTE§I
Come abbiamo detto (paragrafo 2.1), si parla di problemi di verifica delle ipotesi quando si formula un'ipotesi sulle caratteristiche dell'lloiverso e si vuole verificare se tale
ipotesi può essere accettata o deve essere respipta .
.--
Qualsiasi problema
di verifica delle ipotesi passa attraverso le seguenti fasi:
., viene_ ~~mulata un'ipotesi sull'universo;
., si estrae un campione dall'universo;
., analizzando il campione estratto si verifica l'ipotesi.
Si f0istiozione
<"lseconda che l'ipotesi formlllata rigmrda lln p<"lpmetro (media oppure frequenza relativa dell'universo) oppure il modo in cui l'universo si distribuisce. Nel
primo caso si parla di ipotesi parametricl;!e, nel secondo di ipotesi funzionali.
l
Formuliamo la se uente i otesi: il 70% de li stud
he conseauiranno la maturità alla
fine di questo anno scolastico si iscriverà all'università. Come si vede, SI tra a I un ipotesI parametrica in quanto viene assegnato, per ipotesi, un valore al parametro frequenza
relativa dell'universo costituito da tutti gli studenti maturandi. L'ipotesi verrà verificata mediante estrazione di un campione da sottoporre a test.
'
ii! Formuliamo
la seguente ipotesi: il contenuto, espresso in litri, di acqua minerale imbottigliata in un determinato tipo di bottiglia si distribuisce secondo una gaussiana. In questo
caso si tratta di un'ipotesi funzionale, in quanto ci si riferisce al tipo di distribuzione. Anche ora l'ipotesi verrà verificata mediante l'estrazione di un campione da sottoporre a
test.
In seguito ci occuperemo
esclusivamente
di ipotesi parametriche.
Sezione
,
Unita :3
www
5
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
•
3.1. 1
Verifica di una ipot:e!ii
C01l...ti[eriI!le!:s.?a un dato uEliverso formuliamo un'ieQtesi- c9nsistente nell'ass~nare
u.,..n
valor.s:. o o Lll.P suo .l2arimetr.o (media oppure frequenza relativa). Per ver~are
l'ì~.si
formulata eseguiamo un test strutturato come segl,!,e:
e
e
'" si estrae dall'universo
lore
d!1;
ee
ee
considerato
un campione per ilquale si calcola il va-
eo
si confronta
con
e sulla base di questo confronto.si decide se l'ipotesi
fO~lUtata pu.ò...es~er.e..aGGettata-e-deve-@ss~t:e.-cifiutata.
Ril2~endendo iL precedente esempio 1, relati\TQalnymero di maturandi che si iscrivono
all'università, si ha:
.-
e
eo
ee
fr~quenza relativa;
valore ipotizzato per la frequenza relativa dell'universo, cioè 70%;
valore della frequenza relativa riscontJ:2t:a-iU-uILcampi.oneestratto dall'universo
éonsiderato.
Allora:-
GY
a. se
si può ritenere che l'i otesi fatta'
.-fa, ciò acca e raramente);
e che, quindi, può essere accettata Cinreal- .
b. se, invece, come di solito accade, è . .
.
G#e
p
>
o
sUishiede
e
e
" la differenza fra ç e o è così grande da poterla ritenere significativa oppure è così
piccola da poterla ritenere insignificante?
-
Ebbene:
e
e
se la differenza fra e e o è..ç9sìgrande
potesi viene rifiutata;
e
da poterla ritenere significativa l'i-
e
" se, invece, la differenza fra e e o è così piccola da poterla ritenere non signil1cativa l'ipotesi può essere accettata.
Riprendiamo ancora l'es
. o ai maturangi tenendo presente che l'ipotesi introdotta su a ,eqllenza relatjva dell'universo è B - 0,70. SUp'poniamo.-CIllindi. di estrarre un campione e di trovare per esso la frequenza relativa Re. Aliora:" se Be
=
0,70 l'ipotesi fatta viene ritenuta accettabjle;
., se Be = 0,30 abbiamo motjyo di ritenere che l'ioQtesifatta non sia accettabile, e, quindi, essa
viene rifiutata;
., se Be - 0,68 abbiamo sufficienti motivj per rjtenere che J.:i12otesifatta sia accetta,bile dipendendo la lievissima differenza da semplici fluttuazioni campionarie.
~.
In sostanza, possiamo dire che mentre nel caso in cui si trova Be = 0,30 vi sono prove più che
sufficienti per ritenere l'ipotesi non accettabile, nel caso in cui si trova Be = 0,68 esistono prove
sufficienti per non dovere rifiutare l'ipotesi.
Sezione
Unità
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
5
:3
Da notare che la verifica di cui sopra deve essere intesa nel senso giusto. A questo
proposito osserviamo quanto segue. Formuliamo l'ipotesi "e assume il valore Bo" ammettendo, per definizione, che essa sia vera. Naturalmente, a priori non sappiamo
che l'ipotesi è vera e, quindi, procediamo alla sua verifica estraendo un campione e
calcolando Be Ora:
e
se il campione estratto fornisce un valore c che si discosta poco da Bo accettiamo
ripotesi che, per definizione, è vera. La decisione è corretta;
l')
se il campione estratto fornisce un valore Be notevolmente diverso da Bo perché si
tratta dI un camplOne raro !'ipotesi viene rifiutata P-lJreessendo la stessa vera per definizione. Come si vede, la decisione è elJ:ata.
Sulla possibilità di commettere errori e sui diversi tipi di errori che si possono COlTunettere torneremo nel paragrafo 314
3. 1. ii!
Ipot:e!ii nulla e ipot:e!ii alt:ernat:iva
Formuliamo l'ipotesi "B assume il valore Bo'" Essa viene indicata nel modo seguente:
Ho : B = Bo
e viene detta ipotesi nulla. In sostanza, l'ipotesi nulla Ho è quella che si VJ Jole verificare.
ATflni della verifica all'i otesi nulla H viene contra. posta l'ipotesi alternativa H.l
de ·inita come quell'ipotesi che nega la validità dell'ipotesi nulla per cui
Hl è vera quando Ho è falsa e viceversa
L'ipotesi alternativa può assumere tre configurazioni diverse:
Hl : B
# Bo
e < Bo
: B > eo
ipotesi alternativa bilaterale
~
Hl :
ipotesi alternativa unilaterale sinistra
Hl
ipotesi alternativa unilaterale_~a
La configurazione alternativa bilaterale è quella di più inunediata comprensjone. Tuttavia, esistono molte situazioni concrete nelle quali interessa la configurazione alternativa unilaterale destra oppure quella sinistra. Per chiarire questo fatto consideriamo i
due esempi che seguono.
~
l
Un processo che riguarda la produzione di viti autofilettanti è tenuto sotto controllo:
lunghezza media delle viti è di 20 mm. In questo caso si ha
HO: M
ed è owio
contrapporre
all'ipotesi
nulla l'ipotesi
I-II : M
=
la
20
alternativa
bilaterale
1= 20
Ciò in quanto il processo viene considerato fuori controllo
lunghezza media è maggiore oppure minore di 20 mm.
quando vengono prodotte viti la cui
!iezione 5
Unità :3
ii! Un contratto
la percentuale
Statistica inferenziale
Problemi
di verifica delle ipotesi
relativo alla fornitura di componenti elettronici di un certo tipo prevede che
di pezzi difettosi non può superare il 3%. In questo caso si ha
HO: p
ed è ovvio contrapporre
all'ipotesi
= 0,03
nulla l'ipotesi
Hl : P>
alternativa
unilaterale
destra
0,03
Ciò in quanto, se la percentuale di pezzi difettosi supera il 3%, l'acquirente può reclamare ed
eventualmente rifiutare la fornitura. Non interessa, invece, il caso che la percentuale di pezzi
difettosi sia minore del 3%: in questo caso l'acquirente sarebbe soddisfatto.
3. 1. 3
Zona di accet:t:azione e zona di rifiut:o
e
ee e
Abbiamo detto che l'ipotesi nulla Ho viene accettata quando Be = o (in concreto, ciò
accade raramente) o quando, più realisticamente, la differenza fra
e o è talmente
contenuta da non legittimare un rifiuto. Allora, il punto è questo
'")quanto deve essere contenuta la differenza fra Bee Bo perché il non rifiuto
dell'ipotesi nulla Ho possa essere ritenuto giustificato?
Per risolvere il problema è necessario stabilire delle regole di comportamento in base
alle quali, in presenza di una certa differenza fra
e Bo, è possibile decidere se l'ipotesi nulla Ho va accettata oppure rifiutata. Naturalmente, si tratta di regole che hanno
carattere probabilistico. Per ottenerle ragioniamo come segue.
Partiamo dal presupposto che le differenze molto elevate fra Be e Bo siano piuttosto
rare mentre le differenze contenute siano piuttosto frequenti e che la distribuzione delle differenze abbia forma approssimativamente
gaussiana (ciò accade senz'altro nel
caso eli grandi campioni). Ebbene, assumendo inizialmente come valida l'ipotesi nulla
Ho, la distribuzione viene divisa in due zone.
ee
ZONA DI RIFIUTO.Corrisponde ai valori delle differenze che hanno probabilità bassa di verificarsi quando l'ipotesi nulla Ho è vera.
ZONADI ACCElTAZIONE.Corrisponde ai valori delle differenze che stanno al
di fuori della zona di rifiuto.
Come si vede, la definizione della zona di rifiuto e della zona di accettazione richiede
che venga preliminarmente fissata una probabilità ex, detta livello di significatività.
Ne segue che la verifica di validità dell'ipotesi nulla Ho va fatta in base al seguente
TEST.Fissato un livello di significatività exsi determina, in corrispondenza, un
intervallo di estremi - z (ex) e + z (ex) che defInisce la zona di accettazione. Se la
differenza fra Bee Bo cade dentro l'intervallo di accettazione l'ipotesi nulla Ho
viene accettata; in caso contrario viene rifiutata.
Sezione
Unità
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
In merito a quanto ora detto si osservi la figura 3.1: ci troviamo in presenza
bilaterale o a due code.
5
:3
di un test
f(z)
O
-z\a)
nn
Fig. 3.1
rifiuto
z
+z(a)
I
I_n_n_n_nn
accettazione
rifiuto
Se, invece, il test è unilaterale o a una coda, vale la figura 3.2 (coda a sinistra) o, rispettivamente, la figura 3.3 (coda a destra).
f(z)
f(z)
a
-z(a)
•
O
z
+-I
n
rifiuto
---.,1
accettazione
accettazione
Fig. 3.2
n
n
__
n
__
rifiuto
Fig. 3.3
Occorre tener presente
mente standardizzale.
3.1.4
z
_________
_
che, ovviamente,
le differenze fra Be e Bo vanno opportuna-
Errori e loro t:ipologia
Abbiamo accennato al fatto che, pure essendo vera l'ipotesi Ho, essa viene rifiutata se
la differenza fra Be e o è molto alta in dipendenza dal fatto che c è relativo a un campione raro. In questo caso si prende una decisione errata. In generale:
e
a. la decisione è corretta quando
" l'ipotesi nulla Ho, che è vera, viene accettata
oppure
..,l'ipotesi nulla Ho, che è falsa, viene rifiutata
b. la decisione è errata quando
l'ipotesi nulla Ho, che è vera, viene rifiutata
oppure
l'ipotesi nulla Ho, che è falsa, viene accettata.
e
Sezione
Unità :3
5
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
A questo proposito si veda la tabella seguente nella quale sono evidenziate
possibili situazioni.
accettazione
Ul11verso
di H o
le quattro
rifiuto di H o
~
Ho è vera
decisione corretta
errore di I specie
Ho è falsa
errore di II specie
decisione corretta
In particolare:
l'errore si dice di prima specie quando si rifiuta un'ipotesi nulla vera;
l'errore si dice di seconda specie quando si accetta un'ipotesi nulla falsa.
Infine, precisiamo che
....il valore exviene chiamato, come già detto, livello di significatività. Esso indica la
probabilità di commettere errore di prima specie. Infatti, ammesso che l'ipotesi Ho
sia vera, se la differenza fra c e o cade nella zona di rifiuto, evento di probabilità
ex, l'ipotesi Ho viene rifiutata pure essendo, per ammissione, vera;
e
e
il valore 1 - ex costituisce un livello di fiducia o livello di confidenza;
la probabilità
di commettere
errore di seconda specie viene indicato col simbolo {3;
un test statistico ideale dovrebbe permettere di minimizzare contemporaneamente
ex
e {3. Ciò, però, non è possibile perché, per una numerosità campionaria prefissata,
riducendo ex aumenta {3 e viceversa;
., in generale, si ritiene più grave l'errore di prima specie e, quindi, si assegna ad exun
valore molto basso: 0,05 oppure 0,01
3. i!
VERIFICA DIIPOTE§I §ULLA MEDIA I\IEL CA§O
DI GRAI\IDI CAMPIOI\II
Per un dato universo consideriamo
il parametro
e = media
=M
Essendo M non nota formuliamo l'ipotesi che essa sia uguale a Ma (cioè Bo
gliamo verificare l'ipotesi nulla
Ho :)11! = Ma
alla quale viene contrapposta
= Ma). Vo-
l'ipotesi alternativa bilaterale (a due code)
A tale scopo:
fissiamo il livello di significatività ex e, quindi, il livello di confidenza
determiniamo
rifiuto;
i valori - z( ex) e
+z( ex)
1 - ex;
definendo la zona di accettazione
e quella di
Sezione
Unità
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Problemi di verifica delle ipotesi
estraiamo un campione casuale di n elementi calcolandone la media
e lo scarto quadratico medio Je;
'")calcoliamo la differenza
x-
Ma (cioè
5
:3~
x (cioè Be = x)
ee - eo);
'")calcoliamo il valore standard corrispondente
dia campionaria
cioè lo scarto standardizzato della me-
z(x) = x - Ma _ x - Ma
J(X) - ~
vn
, essendo lo scarto quadratico medio J dell'universo non noto assumiamo al suo posto lo scarto quadratico medio corretto 3, del campione
_
x-Ma
z(x) =
--A
j.
.fii
'")confrontiamo z(x) con z( a) procedendo
come segue
a. se z(x) cade nella zona di rifiuto, cioè
z(x) < -z(a)
z(x) > +z(a)
oppllre
si rifiuta, a livello di significatività a, l'ipotesi nulla. Ciò perché il valore della media
osservato nel campione ha una probabilità molto piccola « a) di verificarsi quando Ho è vera per cui è ragionevole accogliere l'ipotesi alternativa;
b. se z(:X) cade nella zona di accettazione, cioè
-z(a) < z(x) < +z(a)
non si può rifiutare, a livello di significatività a, l'ipotesi nulla. Ciò perché il valore
della media osservato ha una probabilità non modesta (2: a) di presentarsi (per puro effetto delle fluttuazioni campionarie) quando Ho è vera. Tale fatto, sia ben chiaro, non assicura che Ho sia vera: significa solamente che non vi sono elementi sufficienti per ritenerla falsa.
l
Un'azienda produce pile elettriche dichiarando che la durata media delle medesime è
uguale a 800 ore. Un'azienda interessata ad acquisti su larga scala indaga su un campione
di 100 pile accertando una durata media pari a 785 ore e uno scarto quadratico medio
corretto pari a 60. Si procede alla verifica della dichiarazione fatta dal produttore adottando un livello di significatività uguale al 5% oppure all'l %.
L'ipotesi nulla è
HO: M
L'ipotesi alternativa
bilaterale
è
Hl:
Essendo n
=
100 la numerosità
= 800
del campione
x=
785
M 1800
e rispettivamente
J=
60
Sezione
Unità :3
5
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
la media e lo scarto quadratico medio corretto del campione,
dizzato della media campionaria
=
z(x)
785 - 800
60
=
determiniamo
lo scalio standar-
-2,5
vT50
Allora:
a. con un livello di significatività uguale a a. = 0,05 (livello di fiducia 1 - a. = 0,95) si trova
=Fz(a.) = =F1,96. Ne segue che la zona di accettazione va da -1,96 a + 1,96 e che
z(x)
=
-2,5
< z(a.) =
-1,96
Vuoi dire che z(x) cade nella zona di rifiuto e, pertanto a livello di significatività
tesi nulla viene rifiutata: figura 3.4.
del 5%, l'ipo-
f(z)
1- o. = 0,95
-1,96
---
_u
- ~~~
+ 1,96
--.-
- -- -- 1
z
I."=-u--u
_
rifiuto
I
u
accettazione
rifiuto
Fig. 3.4
o
.\-
a. = 0,01 (livello di fiducia 0,99) si ha =Fz(a.)
sto caso la zona di accettazione va da - 2,58 a + 2,58 e risulta
b. con un livello di significatività
-Z(a.)
QUindi,
I
=
-2,58
< z(x) =
z(x) cade nella zona di accettazione:
lene accettata.
-2,5
< +z(a.) =
=
=F2,58In que-
+2,58
a livello di significatività
dell'1% l'ipotesi nulla
I
\ ii! I consumo
~
'~iene
medio di latte in una data regione è stato uguale, durante un anno, a litri 7,5.
effettuata una campagna pubblicitaria
e per conoscerne l'effetto si fa un'indagine
su un campione di 500 abitanti ottenendo i risultati seguenti: consumo medio 8,2; scarto
quadratico medio corretto 4,4. Ci si chiede se, a livello dell'l %, la campagna pubblicitaria
ha fatto aumentare in modo significativo il consumo medio di latte.
L'ipotesi nulla è che il consumo
medio sia rimasto invariato:
HO: M
L'ipotesi alternativa
è
che il consumo
=
7,5
medio sia aumentato:
Hl: M>
7,5
Sezione
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
5
Uni~à :3
Come si vede, si tratta di un'ipotesi laterale destra (coda a destra). Essendo
x
n = 500
=
8,2
j.
= 4,4
si ottiene
z(x)
=
8,2 - 7,5
4,4
= 3,56
v'sOO
Con un livello di significatività del l' l %, trattandosi di un test unilaterale destro, occorre trovare
il valore z(a) tale che sia F[z(a)] = 0,99. Si trova z(a) = +2,33. Allora, la zona di accetfazione
è quella che sta a sinistra di + 2,33 ed essendo z(x) = 3,56 > z(a) = 2,33 l'ipotesi nulla viene
rifiutata. A livello di significatività dell' l % si conclude che il consumo di latte non è rimasto
invariato (si rifiuta l'ipotesi nulla) ma che esso è aumentato (si accetta l'ipotesi alternativa).
In proposito, si veda la figura 3.5.
f(z)
z
3,56
---------------+1
Fig. 3.5
3. 3
n_n_n_n_n_nn_
rifiuto
accettazione
VERIFICA DI IPOTE!i1 §ULLA MEDIA I\IEL CA!iO
DI PICCOLI CAMPIOI\II
Nel caso di piccoli campioni distinguiamo
due casi:
~ se (J è noto si procede, come nel caso di grandi campioni in base alla distribuzione
gaussiana standardizzata;
I)
se (J non è noto si procede in base alla distribuzione
libertà. In questo caso si ha
di Student con n-l
x-Ma
t=---
3-
Vn
In seguito faremo sempre uso della gaussiana standardizzata.
gradi di
Sezione
Unità :3
3.4
5
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
VERIFICA DI IPOTE511\1EL CA§O DELLA FREQUEI\IZA RELATIVA
Per un dato universo consideriamo
il parametro
B = frequenza relativa = p
Essendo p non nota formuliamo l'ipotesi che essa sia uguale a Po. Vogliamo verificare
l'ipotesi nulla
Ho:P=Po
alla quale viene contrapposta
l'ipotesi alternativa
Ragionando in modo analogo a quanto fatto per la verifica eli ipotesi sulla media si trova
l'
Pe - Po = Pe - Po
z(P) ~
a(p)
Da notare che a{p) è calcolato in base al valore
'io
n
Po e non in base alla media campionaria
Pe·
l
Alle passate elezioni politiche un partito ha ottenuto il 25% dei voti. Allo scopo di accertare se sono intervenute variazioni nelle preferenze politiche viene effettuata un'indagine
campionaria su un campione di 1.200 elettori e viene accertato che il 23% degli intervistati si dichiara ancora favorevole a quel partito. Ci si chiede, a livello di significatività,
del 5%, se veramente la percentuale di elettori di quel paliito risulta variata.
Consideriamo
HO: p
= 0,25
e
Hl • p
i= 0,25
Come si vede l'ipotesi alternativa è di tipo bilaterale Cadue code): quel partito potrebbe avere
oggi un numero maggiore o minore di voti. Tenendo presente che
Po
= 25%
a = 0,5
Pc
l - a
= 23%
= 0,95
n
= 1.200
z(a) =
=t= 1,96
si trova lo scarto standardizzato della frequenza campionaria
z(p)
=
0,23 - 0,25
'0,25.0,75
= -1,6
1.200
La zona di accettazione è compresa fra - 1,96 e + 1,96. Pertanto - 1,6 cade dentro la zona di
accettazione: vuoi dire che, a livello di significatività del 5%, non si può rifiutare l'ipotesi nulla
per cui bisogna concludere che la percentuale dei votanti per quel partito è rimasta invariata
(pari al 25%).
ii! Per tutti gli studenti
inscritti a una scuola si stima uguale al 40% la frequenza relativa di
quegli studenti che praticano attività sportive. Per verificare l'ipotesi avanzata viene intervistato un campione di 90 studenti: 45 dichiarano di praticare attività sportive. Per la verifica viene adottato il livello di significatività del 5%.
Sezione
Unità
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi
5
:3
Consideriamo
Ho: p
= 0,4
e
f-/j : p
le 0,4
Anche ora siamo in presenza di un test bilaterale. Per a = 0,05 si ha
zona di accettazione è compresa fra - 1,96 e + 1,96. Essendo
z(a)
= =t= 1,96 per cui la
= 45 : 90 = 0,5
Pc
si ha
0,5 - 0,4
z(p)
= )0,4.0,6
= 1,94
90
Poiché 1,94 cade nella zona di accettazione
ficatività del 5%.
3
l'ipotesi nulla viene accettata, con livello di signi-
Si lancia un dado per SOvolte e per 12 volte si presenta il numero 5. Ci si chiede se il dado
è regolare o meno adottando un livello di significatività del 5%.
In questo caso si ha
Ho: P
1
="6
e
Se il dado è regolare la probabilità di ottenere 5 a ogni lancio è uguale a 1/6. Si tratta di ipotesi
alternativa bilaterale per la quale:
1
12
PO="6=0,17
a=0,5
Quindi,
PC=SO=0,15
!-a=0,S5
n=SO
z(a)=±1,96
si ha
z(p)
=
0,15-0,17
'0,17.0,S3
= 4,76
SO
Essendo
z(P) > z(a)
l'ipotesi
nulla viene rifuitata e si conclude
che il dado è truccato.
..~AUTOVERIFICA
Se hai dubbi o trovi qualche difficoltà rivedi il paragrafo indicato nella terza colonna
test
n
"
par.
\
Spiega in che cosa consiste un'ipotesi parametrica.
\~
Fai un esempio che serva a chiarire il significato di ipotesi nulla Ho e di
ipotesi alternativa Hl.
3.1.2
\.
In quanti modi può presentarsi l'ipotesi alternativa?
3.12
4
3.1
e
Se Ho : = Bo è l'ipotesi nulla, allora perché l'ipotesi alternativa sia bilaterale deve essere
D
D
D
Hl:
Hl:
Hl
B
31.2.
< eo
e i= eo
: e > Bo
5
Che cosa intendi per zona di rifiuto?
3.13
6
Chiarisci il significato di livello di significatività.
3.1.3
7
Una decisione è corretta quando
3.1.4
oppure
8
3.14
Una decisione è errata quando
oppure
:,..
ESERCIZI
Risolvi i seguenti esercizi relativi alla verifica di ipotesi sulla media.
Sulla media
z(x) =
x-
Sulla frequenza
Mo
relativa
Pc - Po
~
z(P) =
Vn
JPO ~ qo
Ho:
e = eO
e e
Hl : # o
ipotesi bilaterale
a
Ho:
e = eo
e e
Hl : < o
ipotesi unilaterale
Ho: e
=
sinistra
eo
e e
Hl:
> o
ipotesi unilaterale
destra
Una ditta produce pile elettriche per le quali dichiara una durata media di 750 ore. Un possibile acquirenJe effettua un'indagine su un campione di 80 pile accertando una durata media
di 742 ore con uno scarto quadratico medio corretto pari a 37 ore. Procedi alla verifica della
dichiarazione fatta dal fabbricante, adottando un livello di significatività del 5%, contro l'ipotesi alternativa bilaterale.
[Ho viene accettata]
Sezione
Unità :3
Cl»
5
Statistica inferenziale
Problemi
di verifica delle ipotesi - Esercizi
Considerando l'esempio precedente procedi alla verifica adottando un livello di significatività
dell' l % o, rispettivamente, del 10%.
[Nel primo caso Ho viene accettata (è ovvio); nel secondo caso Ho viene rifiutata]
c.. Considerando l'esercizio l procedi alla verifica assumendo come ipotesi alternativa l'ipotesi
unilaterale sinistra; livello di significatività 5%.
·C»
rQ
'Q
[Ho viene rifiutata]
Una ditta produce detersivi che vende in confezioni per le quali dichiara un peso medio di 4
kg. Un supermercato, che è interessato all'acquisto di una grossa partita, indaga su un campione di 45 scatole accertando un peso medio di 3,8 kg con uno scarto quadratico medio
corretto di 0,6
kg. Verifica l'affermazione fatta dalla ditta produttrice, a livello di significatività del 5% oppure
dell'l %, contro l'ipotesi unilaterale sinistra.
[Con livello di significatività del 5% l'ipotesi nulla viene rifiutata; con livello dell' l % non viene
rifiutata]
Una ditta produce dischetti il cui diametro dovrebbe esseredi 22 mm. Viene estratto un campiane di 150 dischetti per il quale viene accertato un diametro medio di 21,8 mm con uno
scarto quadratico medio di 0,5 mm. Adottando un livello di significatività del 5% si vuole verificare se la produzione è sotto controllo.
[Ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata; la produzione non è .sotto controllo]
C!»
Un gruppo di 25 ragazzi di 18 anni, che frequentano una palestra, presenta un'altezza media
di 170,5cm con uno scarto quadratico medio corretto di 4,5 cm. Verifica l'ipotesi che l'altezza
media per i ragazzi di quell'età sia uguale a 170 cm, a livello di significatività dell' l %, contro
l'ipotesi alternativa che essa sia maggiore. Verifica la stessa ipotesi, a livello del 5%, contro
l'ipotesi bilaterale.
[Ho accettata in entrambi i casi]
..
In un campione di 32 scatole di pasta alimentare il peso medio è risultato uguale a grammi
495 con uno scarto quadratico medio corretto uguale a grammi 4,2. A livello di significatività
del 5% si può respingere l'ipotesi nulla secondo la quale il peso medio dell'universo è uguale
a grammi 5007
[Ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata]
4!»
Il reddito medio dichiarato dai medici di una città è di Euro 12.911,42con uno scarto quadratico medio corretto di Euro 3.227,85.Si estrae un campione di 100medici per i quali si accerta
un reddito medio di Euro 15.442,06.Si può pensare, a livello di significatività dell'l %, che il
reddito vero sia superiore a quello dichiarato'
[Ipotesi unilaterale destra; Ho è rifiutata; il reddito vero è superiore a quello dichiarato]
~
Vengono intervistati 130studenti di una grande città per conoscere il tempo medio impiegato
per recarsi da casa a scuola. Si è accertato così che il tempo medio è di 33 minuti con uno
scarto quadratico medio corretto di 14 minuti. Si formula l'ipotesi che il tempo medio per l'intera popolazione studentesca della città è di 30 minuti. Sottoponi a verifica l'ipotesi assumendo a = 1%.
[Ipotesi bilaterale; Ho non viene rifiutata]
CI!) Una ditta produce sfere metalliche che dovrebbero avere un diametro medio di 10mm con
uno scarto quadratico medio pari a 0,2 mm. Si estrae un campione di 80 sfere dal quale risulta
un diametro medio di 10,2millimetri. Accerta se la produzione è sotto controllo con un livello
di significatività del 5%.
[ipotesi bilaterale; Ho è rifiutata: la produzione non è sottocontrollo]
Sezione
Unità
Statistica inferenziale
Problemi di verifica delle ipotesi - Esercizi
3
5
:3
Con riferimento all'esercizio precedente determina fra quali valori deve cadere la media del
campione perché la produzione possa essre considerata sotto controllo.
[9,56; 10,04]
SI avanza l'Ipotesi che l'età media degE studenti lse<ln; alla facoltà di Economia sia di anni 23.
Da un campione di 120 studenti si ricava un'età media di 23 anni e 3 mesi con uno scarto
quadratico medio di 3 anni. Verifica l'ipotesi avanzata con un livello di significatività del 2%.
[ipotesi bilaterale; Ho viene accettata]
Una ditta produce biscotti che confeziona in scatole dal peso medio di 1.000 g, con una varianza di 900 g. Estraendo un campione di 100 scatole si riscontra un peso medio di 990 g.
Verifica l'ipotesi che il peso medio delle scatole sia di l.000 g adottando un livello di significatività del 5%.
[ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata]
Risolvi i seguenti esercizi relativi alla verifica di ipotesi sulla frequenza relativa.
Si formula l'ipotesi che la percentuale degli studenti della Facoltà di Economia e Commercio
che si laureano entro la fine del quarto anno sia del 40%. Considera un campione di 100 studenti laureati accertando che 35 di essi si sono laureati entro il quarto anno. Verifica l'ipotesi
fatta, con livello di significatività 5%, contro l'alternativa di una durata maggiore degli studi.
[Ho viene accettata]
Una casa farmaceutica dichiara che un suo
terapia. Da una sperimentazione
condotta su
Verifica, con livello di significatività del 5%,
dichiarata dalla ditta.
[Ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene rifiutata;
rifiutata]
prodotto è valido nel 93% dei casi sottoposti a
150 ammalati risulta che 132 di essi sono guariti.
se la validità del prodotto considerato è quella
la dichiarazione
della casa farmaceutica
viene
Una ditta produce ingranaggi meccanici. Estraendo un campione di 200 pezzi si riscontra che
17 sono difettosi. Adottando il livello di significatività del 5% possiamo formulare l'ipotesi che
il 6% della produzione sia difettosa? Effettua la verifica in contrapposizione
alle ipotesi alternative bilaterale, unilaterale destra e unilaterale sinistra.
[Ho è accettata in qualsiasi caso]
Un'impresa ha in progetto l'acquisto di un impianto allo scopo di migliorare la produzione.
Con l'impianto fino a ora utilizzato i pezzi difettosi sono stati pari al 7%. Prima di procedere
all'acquisto viene sottoposto a prova il nuovo tipo di impianto e viene accertato che su 200
pezzi prodotti quelli difettosi sono 12. È lecito ipotizzare, a livello di significatività dell' 1%,
che il nuovo impianto migliori la produzione?
[Ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene accettata e, quindi, non è vero che la produzione migliori]
Si lancia una moneta per 100 volte ottenendo testa per 60 volte, verifica l'ipotesi che la probabilità di ottenere testa in un lancio qualsiasi è 1/2 contro l'ipotesi alternativa che tale probabilità sia maggiore di 1/2, con un livello di significatività dell' 1%.
[ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene accettata]
Con riferimento all'esercizio precedente
tenere per rifiutare l'ipotesi nulla.
determina
il numero minimo di teste che occorre ot-
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