Il segno di Uguale - Matematica e Informatica

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA’ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA
“D ID A T T IC A D E L L A
M A T E M A T IC A ”
A.A. 2009/2010
DOCENTE
PROF. FILIPPPO SPAGNOLO
STUDENTESSA
CATTANO MARIA
APPROCCI AL NUMERO NATURALE
ANALISI COMPARATIVA
DEI TESTI DI SCUOLA PRIMARIA
SITUAZIONE – PROBLEMA
PERCORSO SPERIMENTALE
IL CONCETTO DI NUMERO NEL BAMBINO
IL NUMERO è un concetto complesso che comprende molti aspetti:
 Conta della numerosità
Misura
Ordinamento
Contrassegno
MA ANCHE RIFERIMENTI A SISTEMI SIMBOLICI
 Il nome del numero
Il simbolo che lo rappresenta
TUTTI QUESTI ASPETTI CHE SONO SEPARABILI NELLA PERCEZIONE E NELL’USO
CONCORRONO A DEFINIRNE IL CONCETTO STESSO.
Il PROCESSO COGNITIVO CHE PORTA ALL’ACQUISIZIONE DEL SIGNIFICATO DI NUMERO
È GRADUALE E COMPLESSO NON PUÒ ESSERE LINEARE MA COMPOSITO E
MULTIFATTORIALE.
L’IDEA DEL NUMERO NATURALE SI DEVE AVVALERE DI DIVERSI PUNTI DI VISTA
APPROCCIO CARDINALE
APPROCCIO ORDINALE
APPROCCIO GEOMETRICO
APPROCCIO RICORSIVO
Si basa sul concetto di insieme:
• Insiemi finiti, che contengono un numero finito di
elementi
• Insiemi equipotenti, che hanno lo stesso numero di
elementi
Permette di determinare il numero degli oggetti
contenuti in un insieme non attraverso un
conteggio, ma mediante un confronto con altri
insiemi.
Il confronto avviene mediante l’uso della corrispondenza biunivoca, per
cui è possibile associare ad ogni elemento di A uno e un solo elemento
di B e viceversa.
A
B
4
A è equipotente a B
Ciò che emerge in questo procedimento è la considerazione del
“tanti quanti” che permette all’allievo di contrassegnare con lo
stesso segno gli insiemi che hanno lo stesso numero di elementi
e quindi di apprendere correttamente la funzione di simbolo
delle cifre.
L’ADDIZIONE: tra due numeri naturali cardinali
m= card A e n= card B, con A e B insiemi disgiunti
(non aventi elementi in comune) viene definita come
numero cardinale m+n=card ( A U B).
Card A
Card B
U
L’ADDIZIONE: con A e B insiemi non disgiunti ( aventi
elementi in comune) viene definita come numero
cardinale dato dagli elementi non comuni e gli
elementi comuni presi una sola volta
Card A
Card B
Card A U
Card B
Il numero è dato dagli oggetti contenuti in un
insieme ottenuti non attraverso un confronto, ma
attivando un processo di conta, per cui esso sarà
l’ultimo numero pronunciato corrispondente al
numero cardinale dell’insieme.
Nell’Approccio ordinale si devono prendere in
considerazione :

La CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

La RELAZIONE D’ORDINE
Il numero ordinale ha una corrispondenza
biunivoca ordinata.
Il concetto ordinale di numero si sviluppa
attraverso l’uso della relazione d’ordine che
consente di confrontare due numeri e poter
inserire tra loro i simboli =, <,>
Mentre nell’aspetto cardinale il numero è visto sotto
forma di quantità, nell’aspetto ordinale è visto sotto
forma di sequenza ordinata (primo, secondo, terzo ..)
0
<
1
<
2
<
3< 4
L’ADDIZIONE è un contare da sinistra a destra sulla linea dei
numeri.
Es. 3+ 1 = 4
0
1
2 3
4 5 6 7
Si basa sul patrimonio esperienziale del concetto di pre-misura
che l’allievo ha accumulato in età prescolare e si accompagna
alla individuazione del numero con la sua dimensione.
Qui il numero indica sempre il risultato di una misurazione e
deve dunque essere compreso attraverso la scoperta dell’unità
di misura e del suo rapporto con la quantità da misurare .
L’unità di misura deve essere della stessa natura della
grandezza da misurare.
Per il raggiungimento della comprensione e dell’uso consapevole
del “numero dimensionato” si propongono le seguenti attività:
• RICONOSCERE E COSTRUIRE RELAZIONI D’ORDINE tra oggetti in base ad una
grandezza .
• OPERARE CONFRONTI FRA GRANDEZZE
• I REGOLI IN COLORE:
COLORE permettono di abbinare alla misura di lunghezza che varia
con il colore un ben determinato numero , ciò facilita la comprensione che l’unità
sta un certo numero di volte in un altro numero.
Le operazioni con numeri naturali dimensionati devono
riferirsi a grandezze omogenee e devono tenere conto
delle relazioni di equivalenza.
Sia m un numero naturale dimensionato m= misura della
grandezza g ed n un numero naturale dimensionato
n= misura della grandezza g’.
L’ADDIZIONE sarà m+n = mis (g+g’)
L'approccio ricorsivo ha alla base l'idea matematica di
successione, risponde al bisogno di “AGGIUNGI 1”.
Questo approccio è anche detto di Peano perchè nel
1889 egli espose l’Aritmetica in forma di sistema
ipotetico-deduttivo, assumendo i concetti primitivi di
zero, numero naturale, successivo di un numero
naturale e nove assiomi precisando, così, come
funziona il sistema di numeri naturali generato da una
funzione che associa ad un elemento il suo successivo.
GLI ASSIOMI DI PEANO
1.
2.
3.
4.
5.
Lo zero è un numero naturale.
Il successivo di zero è un numero naturale.
Due numeri naturali che hanno lo stesso successivo
sono uguali.
Lo zero non è successivo di alcun numero.
Sia S una classe: se zero è un elemento di S e se
ogni qualvolta un numero naturale x sta in S anche
il successivo di x sta in S, allora tutta la classe dei
numeri naturali è contenuta in S (principio
d’induzione matematica).
Nell’approccio ricorsivo , data la coppia di numeri naturali
a, b l’ ADDIZIONE è l’operazione in cui valgono le due
proprietà
2)a+ 0 = a
3)a + b*= ( a + b )* questa definizione permette di
mettere in evidenza il carattere ricorsivo .
Es. 0 + 1 = 0 + 0* = ( 0 + 0) *= 0* = 1
*successivo
ANALISI COMPARATIVA DI TESTI DELLA
SCUOLA PRIMARIA
Il CONFRONTO DI DUE TESTI DI SCUOLA PRIMARIA È
STATA EFFETTUATA SUGLI APPROCCI
ALL’OPERAZIONE DI ADDIZIONE.
IL TEMPO DELLE CILIEGIE 1
Sussidiario per la classe 1^ primaria
AUTORE Germana Girotti
Editore Minerva Italica 2006, Milano
APPROCCIO CARDINALE
APPROCCIO GEOMETRICO
APPROCCIO ORDINALE
APPROCCIO RICORSIVO
MINI MAPPE 2
Schede di matematica per la 2^ classe primaria
AUTORE Germana Girotti
Editore Signorelli Scuola 2008, Milano
APPROCCIO CARDINALE finalizzato alla
proprietà associativa dell’addizione
APPROCCIO RICORSIVO
TABELLA DI SINTESI DEL CONFRONTO TESTI
ADDIZIONE
IL TEMPO DELLE CILIEGIE 1
APPROCCIO
CARDINALE
APPROCCIO
ORDINALE
APPROCCIO
RICORSIVO
APPROCCIO
GEOMETRICO
X
X
X
X
X
X
X
MINI MAPPE 2
SITUAZIONE - PROBLEMA
La didattica tradizionale dell’aritmetica tende a favorire nell’alunno un abito
mentale teso alla ricerca immediata della risposta (il risultato).
Lo sviluppo del pensiero aritmetico, caratterizzato da operazioni su numeri
noti, può provocare nell’alunno il formarsi di stereotipi che lo ingabbia
nella ricerca ossessiva del risultato numerico
impedendo con ciò
l’esplorazione di percorsi mentali diversi per la formazione di un pensiero
pre-algebrico che permette di rappresentare e descrivere la realtà
attraverso il linguaggio matematico.
La situazione problema seguente vuole essere un esempio di formulazione che
mette l’alunno nella condizione di distinguere il prodotto dal processo, cioè
il risultato dalle scritture che costituiscono una manifestazione articolata del
pensiero.
Situazione – problema
proposta in classe 2^ D della scuola primaria “ Paolo Borsellino” di Palermo
La mamma ha comprato due cestini di fragole il primo cestino
contiene 32 fragole, il secondo cestino contiene tante fragole
quante il primo e 5 in più.
Come fai a trovare quante fragole ci sono in tutto?
Qual è il numero totale di fragole?
Processo
Risultato
OBIETTIVO
DISTINGUERE E RAPPRESENTARE
CORRETTAMENTE IL PROCESSO RISOLUTIVO DI
UNA SITUAZIONE- PROBLEMA (IL SÉ CHE PENSA)
RISPETTO IL RISULTATO DELLA STESSA.
ANALISI A-PRIORI
È garanzia di scientificità, cioè della riproducibilità dei risultati,
vienecondotta sia da un punto di vista epistemologico e storicoepistemologico (analisi semiotica), sia da un punto di vista dei
comportamenti attesi (strategie risolutive corrette o errate messe in
atto per la risoluzione di un problema ).
L’esame delle strategie attese insieme all’analisi dei protocolli,
consentono di verificare i processi cognitivi e metacognitivi messi in
atto dagli allievi, oltre a costituire un utile strumento euristico; infatti,
attraverso il successivo confronto con le effettive scelte fatte dagli
alunni, l’insegnante riceve un feedback per rielaborare e modificare il
tipo di intervento educativo –didattico .
ANALISI A-PRIORI
SITUAZIONE/ PROBLEMA
Legenda

comportamenti previsti
comportamenti non previsti
S1 Rappresenta correttamente la situazione problema con i diagramma di
flusso e poi la risolve in colonna.
S2 Rappresenta con il diagramma di flusso in modo errato sommando
direttamente 32+ 5, numero delle fragole del 1° cestino con la quantità in
più del secondo cestino e poi calcola in colonna.
S3 Rappresenta correttamente il problema con un disegno poi la risolve in
colonna.
S4 Rappresenta in modo sbagliato il problema con un disegno sommando
32 a 5, quantità in più del secondo cestino .
S5 Scrive correttamente in riga la somma delle fragole del 1° e del 2°
cestino e quindi risolve in colonna.
S6 Scrive in riga in modo errato sommando direttamente 32+ 5, numero
delle fragole del 1° cestino con la quantità in più del secondo cestino e poi
calcola in colonna.
S7 Non rappresenta e non risolve operativamente.
S8 Risolve direttamente in colonna in modo corretto senza rappresentare in
linguaggio matematico.
S9 Risolve direttamente in colonna in modo non corretto senza
rappresentare in linguaggio matematico
TABULAZIONE DATI
ALUNNI / STRATEGIE
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
ALBERTO
X
ALESSIO
X
ANDREA
X
ANGELO
X
ASIA
X
AURORA
X
CHIARA
X
FEDELE
X
FLAVIO
X
FRANCESCO
X
GABRIELE
X
ILENIA
X
ISABELLA
X
JASMINE
X
MARCO
X
MARTINA
X
MATTIA
X
MICHELA
X
SARAH
X
UMBERTO
X
VALERIA
X
•
•
STRATEGIE PREVISTE
STRATEGIE NON PREVISTE
STRATEGIE RISOLUTIVE
DELLA SITUAZIONE PROBLEMA
N
U
M
E
R
O
B
A
M
B
I
N
I
Nessun bambino risolve direttamente con l’algoritmo operativo
senza prima rappresentare, dimostrando, quindi, di avere
distinto processo e risultato. L’ obiettivo dell’attività è
pienamente raggiunto
Diagramma di flusso corretto
Diagramma di flusso errato
Disegno corretto
Disegno errato
Rappresentazione in riga corretta
Rappresentazione in riga errata
Nessuna rappresentazione e
risoluzione
Risoluzione diretta corretta
Risoluzione diretta errata
ANALISI QUALI/QUANTITATIVA
DELLE STRATEGIE RISOLUTIVE
Dal grafico emerge che nessun bambino ha risposto risolvendo direttamente senza
rappresentare, mostrando quindi di distinguere le modalità risolutive (processo), dal
risultato. La modalità di rappresentazione più utilizzata (42%) è il diagramma di flusso,
probabilmente perché è quella più conosciuta,;seguita dalla rappresentazione mediante
disegno 29%. È da sottolineare il fatto che di questi ultimi il 24% riescono a risolvere
correttamente il problema mentre solo il 9% di chi ha rappresentato con diagramma di
flusso risolve correttamente il problema. Infine chi utilizza la rappresentazione in riga
presenta la stessa % di risolvere correttamente o in modo errato.
Essenziale al fine di rappresentare e risolvere correttamente la situazione/problema è
la considerazione del concetto di TANTI/QUANTI dei due insiemi iniziali, secondo
l’approccio cardinale al numero.
Il grafico evidenzia che solo il 42% dei bambini cioè 9 alunni su 22 giungono alla
corretta soluzione, l’insegnante mi spiega che la difficoltà è annidata nel fatto di non
aver esplicitato nel testo la doppia domanda:
Quante fragole ci sono nel secondo cestino?
Quante fragole ci sono in tutto?
Oppure
Calcola le fragole del secondo cestino.
Quante fragole ci sono in tutto?
Problema aperto : L’esplicitazione di queste domande avrebbe aiutato i bambini nella
soluzione?
In conclusione dall’analisi dei dati si desume che quando si esplicita nella
formulazione del problema la richiesta di rappresentare la modalità di
risoluzione, il 100% dei bambini risponde positivamente e che, almeno , nella
scuola primaria del primo ciclo d’istruzione, la rappresentazione iconica
sembra essere la strategia risolutiva vincente.
PROTOCOLLI
SITUAZIONE PROBLEMA
RAPPRESENTAZIONE ICONICA
soluzioni corrette
RAPPRESENTAZIONE ICONICA
Soluzione corretta
Soluzione errata
RAPPRESENTAZIONE CON DIAGRAMMA DI FLUSSO
Soluzione corretta
Soluzione errata
RAPPRESENTAZIONE IN RIGA
Soluzione corretta
Soluzione errata
PERCORSO SPERIMENTALE
PREMESSA
CONTENUTO
ANALISI STORICO-EPISTEMOLOGICA
IPOTESI SPERIMENTALE
ANALISI A-PRIORI DEI COMPORTAMENTI ATTESI
SOMMINISTRAZIONE DI UN TEST
SPERIMENTAZIONE SITUAZIONE A-DIDATTICA
RIDISTRIBUZIONE DEL TEST
ANALISI QUALI-QUANTITATIVA DEI DATI
PREMESSA
IL PENSIERO ALGEBRICO E IL SUO LINGUAGGIO
Il presente lavoro vuole essere una piccola indagine sullo
sviluppo del pensiero pre-algebrico negli alunni di scuola
primaria.
Studi valutativi indicano che spesso gli studenti della scuola
secondaria sembrano avere una certa conoscenza dei concetti e
delle abilità basilari in algebra però, spesso essi non sono capaci
di comprendere e applicare tali conoscenze in situazioni di
problem solving.
Gli allievi colmano tale incapacità, memorizzando regole e procedure
e finiscono così col credere che queste rappresentino l'essenza
dell'algebra.
CHE COS’È
L’ALGEBRA?
Comunemente le persone rispondono che è un particolare
campo della matematica, in cui si usano “lettere anziché
numeri, in pratica una diretta emanazione dell’aritmetica,
in cui gli oggetti sono ri-denominati e sottoposti alle stesse
regole operative.
In questo senso, il discorso dell’algebra si riduce alla sua
funzione puramente strumentale, a pura sintassi.
Invece
l'algebra è strumento di ragionamento e di previsione , è un
linguaggio semantico-sintattico adatto a descrivere e
formalizzare la realtà .
Il pensiero algebrico è considerato
- astratto
- inscindibile dal linguaggio formalizzato con cui si esprime e dalle sue manipolazioni.
Formalismo algebrico
Uno degli elementi essenziali dell'algebra è il suo linguaggio, ossia il sistema di segni e
regole sintattiche che governano la costituzione e la trasformazione delle espressioni
algebriche.
Si organizza a partire dal modello aritmetico associando simboli letterali ai numeri,
utilizza i segni relativi alle 4 operazioni , il segno di = e la messa in formula ⇒
manipolazioni sintattiche.
Il linguaggio algebrico dà la possibilità di esprimere in sintesi informazioni
su situazioni di vario genere (matematiche o extramatematiche) , accrescere
la possibilità di pensiero, di ragionamento, la comunicazione intenzionale .
Una didattica sensata dell’algebra è quella che pone
l’algebra come strumento di pensiero.
Il problema è permettere che gli allievi imparino a
diventare padroni del senso dei simboli che usano, del
significato di una formula e delle trasformazioni su di
essa. sintattica
Il problema va studiato:
 da un punto di vista epistemologico: dialettica tra aspetti operativi
(processi computazionali ) e aspetti strutturali (oggetti astratti )
della stessa nozione
oggetto matematico .
 da un punto di vista cognitivo: lo sviluppo del pensiero algebrico e
più in generale matematico è caratterizzato dal passaggio dal
momento procedurale a quello strutturale.
 da un punto di vista didattico: approccio che dia spazio ad
operare praticamente e concretamente con i concetti matematici,
che utilizzi il gioco e la discussione collettiva tra pari al fine di
favorire la costruzione del sapere e l’acquisizione di competenze
profonde e generalizzabili .
ANALISI STORICO -EPISTEMOLOGICA
L’analisi retrospettiva dello sviluppo storico dell’Algebra evidenza un lungo e difficile
percorso di crescita di questa disciplina a causa del suo legame con la Geometria e
l’Aritmetica.
Tantissimi sono gli storici che si occupano di analizzare lo sviluppo dell’Algebra, tra
questi G.H. Nesselmann ha cercato di delinearne le tappe fondamentali individuando
tre fasi distinte:
1) Fase retorica (anteriore a Diofanto di Alessandria, 250 d.C.):un’Algebra verbale, tutta
a parole, senza simboli.
2) Fase sincopata (da Diofanto alla fine del secolo XVI):vengono introdotte delle
abbreviazioni per le incognite ma i calcoli sono eseguiti tutti in linguaggio naturale.
3) Fase simbolica (introdotta da Viète, 1540-1603): si usano le lettere per tutte le
quantità, incognite o meno, e si “sfrutta” l’Algebra non soltanto per scoprire il valore
dell’incognita, come nella seconda fase, ma per provare regole che legano le varie
quantità ed esprimere così le soluzioni generali, esplicitare un ragionamento.
In Occidente si costituì, quindi, l’Algebra in maniera indipendente dalla Geometria e
dall’Aritmetica attraverso la costruzione del linguaggio caratterizzato dalla notazione
simbolica.
Molti studiosi, trai quali Harper o Sfard, sostengono che nell'apprendimento
dell'algebra l'allievo si trovi a ripercorrere il processo storico dello sviluppo del
pensiero algebrico e che pertanto si imbatta in ostacoli epistemologici e difficoltà
testimoniate dal difficile “rapporto” con l’Aritmetica nel costante sforzo di transizione
da procedure computazionali ad oggetti matematici strutturali, per cui per esempio
5+6 si può intendere come processo di calcolo o come il numero 11.
CONTENUTO
Fin dalla scuola primaria in contesti aritmetici si possono
annidare ostacoli concettuali che possono costituire un muro
per la promozione del pensiero e del linguaggio algebrico.
Tra i diversi aspetti risulta fondamentale per il suo sviluppo :
la corretta concezione del segno di uguaglianza
RAPPRESENTAZIONE CANONICA E NON CANONICA DI UN NUMERO NATURALE
Tra le infinite rappresentazioni di un numero, quella canonica è la più riconosciuta.
Pensare un numero significa, per chiunque, pensare alla cardinalità che esso
rappresenta. Ma la rappresentazione canonica è opaca di significati, nel senso che
dice poco di sé.
Per esempio: la scrittura ‘12’ suggerisce un generico ‘numero di cose’.
Altre rappresentazioni possono ampliare il campo delle informazioni sul numero
stesso:
3×4 evidenzia che si tratta di un multiplo di 3 e di 4;
3x 2x2, che è anche un multiplo di 2;
2×2×3 conduce a ‘2×6’ e quindi al multiplo di 6, e così via.
Possiamo dire che ognuna delle connotazioni di un numero aggiunge informazioni
utili per approfondire la sua conoscenza, un po’ come avviene per le persone: c’è il
nome anagrafico, che è opaco rispetto ad altre connotazioni più espressive del
soggetto, date in funzione di altri individui a cui è legato per relazioni familiari e
sociali (il papà di…, fratello di … ). È importante portare gli allievi a concepire come
legittime rappresentazioni del numero sia quella canonica che ogni altra
espressione di cui esso sia il risultato (quella non canonica).
Ciò per facilitare l’individuazione di relazioni numeriche e la loro rappresentazione
in termini generali.
IL SEGNO DI UGUALE
Nell’insegnamento dell’aritmetica alla scuola primaria l’uguale è
essenzialmente un operatore direzionale : 4+6=10 significa 4 più 6 fa 10,
segnando i passi di un percorso operativo che va letto da sinistra verso destra.
Quando l’alunno incontra l’algebra, l’uguale improvvisamente assume un
significato del tutto diverso, di tipo relazionale.
In una scrittura come (a+1)2=a2+2a+1 esso veicola un’idea di simmetria fra le
espressioni ai suoi lati: indica che queste, per ogni valore attribuito ad a,
rappresentano lo stesso numero.
Ancora, in 8+x=2x–5 l’uguale indica l’ipotesi di una equivalenza tra le due
scritture per qualche valore di x.
Lo studente deve quindi improvvisamente muoversi
in un universo
concettuale del tutto differente, nel quale è necessario andare oltre la familiare
connotazione spazio-temporale segno di uguale.
Se per lo studente il numero dopo l’uguale è sempre e soltanto il risultato,
questo costituirà un conflitto cognitivo.
lo studente, infatti, può nel tempo aver assunto un’immagine di un concetto
che può essere stata rinforzata nel tempo da prove ed esperienze ripetute.
Ma può capitare che tale immagine si rilevi inadeguata, prima o poi, rispetto ad
un’altra dello stesso concetto, non attesa e in contrasto con la precedente.
Si crea così conflitto tra la precedente immagine, che lo studente credeva
definitiva e la nuova; ciò accade specialmente quando la nuova immagine amplia
i limiti di applicabilità del concetto.
Legata al “conflitto cognitivo” c’è la mis-concezione, cioè l’ interpretazione
errata di un concetto .
DOMANDA DI LAVORO
Nella scuola primaria l’aritmetica costituisce un pre-requisito
che dà senso e portata al pensiero algebrico?
Un'eccessiva attenzione sui processi di calcolo impedisce agli
allievi di realizzare il processo di generalizzazione e
concettualizzazione delle strutture aritmetiche per consentire lo
sviluppo del pensiero algebrico?
IPOTESI DI RICERCA
Se metto in atto una situazione esperienziale che
permette
di rimuovere le mis-concezioni
aritmetiche in relazione
agli usi e alle
interpretazioni del segno uguale come ordine di
operare e renda possibile il suo riconoscimento
come rappresentante di una relazione di
equivalenza, allora si favorirà la formazione di un
modello mentale per
pensare l’aritmetica
algebricamente.
RIFERIMENTI TEORICI
TEORIA DELLE SITUAZIONI DI GUY BROUSSEAU
Il paradigma della ricerca in
didattica, elaborato da Guy
Brousseau focalizza l’attenzione
sui soggetti e le relative relazioni
in una situazione didattica cioè
sul triangolo: SAPERE,
l’INSEGNANTE, l’ALLIEVO.
L’insegnante diventa mediatore nei confronti del sapere :
- Deve individuare una buona situazione-problema da proporre agli allievi che provochi cambiamento
delle strutture cognitive e quindi apprendimento.
- Deve controllare le dinamiche relazionali.
- Non deve comunicare una conoscenza, ma favorire una buona devoluzione del problema.
La devoluzione si verifica quando lo studente diventa responsabile del proprio apprendimento.
NELLA SITUAZIONE A-DIDATTICA L’INTENZIONE
DELL’INSEGNANTE NEI CONFRONTI DELL’ALLIEVO NON È
ESPLICITATA.
L’ALLIEVO DEVE OCCUPARSI PERSONALMENTE DELLA
COSTRUZIONE DELLA PROPRIA CONOSCENZA.
LA SITUAZIONE A-DIDATTICA LA SI PUÒ CONSIDERARE
SINONIMO DI GIOCO DOVE LA POSTA IN PALIO È IL
SAPERE SIGNIFICATIVO E CONSAPEVOLE.
SCRIVE BROUSSEAU: “ L’ALLIEVO APPRENDE
ADATTANDOSI AD UN AMBIENTE CHE È FATTORE DI
CONTRADDIZIONI, DI DIFFICOLTÀ E DISEQUILIBRI, UN PO’
COME ACCADE NELLA SOCIETÀ UMANA”.
IL CAMPIONE
L’INDAGINE È STATA CONDOTTA SEGUENDO IL DISEGNO SPERIMENTALE CHE PREVEDE
UN GRUPPO SPERIMENTALE E UN GRUPPO DI CONTROLLO CON SOMMINISTRAZIONE
DI TEST INIZIALE E POST-TEST FINALE.
LA SPERIMENTAZIONE È STATA SVOLTA NELLA CLASSE IID DELLA SCUOLA PRIMARIA
STATALE “ PAOLO BORSELINO” DI PALERMO .
LA CLASSE È COMPOSTA DA 22 BAMBINI, DEI QUALI 1 DURANTE LA
SPERIMENTAZIONE ERA ASSENTE.
LA CLASSE DI CONTROLLLO È LA IIC DELLO STESSO PLESSO SCOLASTICO , COMPOSTA
DA 23 BAMBINI, 2 DEI QUALI DURANTE LA PRESENTAZIONE DEL TEST ERANO
ASSENTI.
alunni assenti 1
alunni presenti 21
alunni assenti 2
alunni presenti 21
IL DISEGNO SPERIMENTALE
I Fase
Per
falsificare
l’ipotesi
generale
l’attività di
ricerca si è
articolata
in tre fasi
II Fase
III Fase
Somministrazione di un test alla classe
sperimentale e campione . Il test è relativo ad
una serie di espressioni aritmetiche di cui si
chiede di verificare l’uguaglianza e capire gli
approcci e le soluzioni a cui gli alunni
spontaneamente arrivano
Messa in atto di una situazione a-didattica
nella classe sperimentale
Nuova somministrazione del test nelle classi
sperimentale e di controllo.
TROVA Ciò CHE È VERO E Ciò CHE È FALSO .
12+2=11+13
14+5 = 13+4+2
9=9
8+7= 7+8
23= 10+1+9
11 + 18 + 2= 11 + 20
Il test è un questionario
costituito da espressioni
aritmetiche di cui si chiede
di verificare l’uguaglianza.
Sono stati previsti
uguaglianze: identità,
scambio di ordine degli
addendi, associazione di
addendi, dissociazione di
addendi e non
uguaglianze.
ANALISI A-PRIORI
TEST
Comportamenti attesi : effettivamente verificatisi e non verificatisi.
S1 IL BAMBINO RISPONDE ESEGUENDO I CALCOLI CORRETTAMENTE E
RICONOSCENDO L’UGUAGLIANZA DELLE ESPRESSIONI.
S2 IL BAMBINO ESEGUE I CALCOLI IN MODO SBAGLIATO E NON
RICONOSCE L’UGUAGLIANZA.
S3 IL BAMBINO PUR ESEGUENDO I CALCOLI CORRETTAMENTE ,NON
RICONOSCE L’UGUAGLIANZA.
S4 RICONOSCE SOLO L’IDENTITÀ E LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA, NON
ESEGUE CALCOLI
S5 RICONOSCE SOLO L’IDENTITÀ NON ESEGUE CALCOLI
S6 RICONOSCE SOLO LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA, NON ESEGUE
CALCOLI
S7 RICONOSCE L’IDENTITÀ, LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA E LA
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA / DISSOCIATIVA DELL’ADDIZIONE, NON
ESEGUE CALCOLI
S8 NON RICONOSCE NESSUNA UGUAGLIANZA
S9 SI RIFIUTA E NON ESEGUE LA CONSEGNA
Legenda
 strategie adottate
strategie non adottate
TABULAZIONE DATI DEL TEST
CLASSE SPERIMENTALE IID
ALUNNI / STRATEGIE
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
ALBERTO
x
ALESSIO
X
ANDREA
X
ANGELO
X
ASIA
X
AURORA
X
CHIARA
X
FEDELE
X
FLAVIO
X
FRANCESCO
X
GABRIELE
X
ILENIA
X
ISABELLA
X
JASMINE
X
MARCO
X
MARTINA
X
MATTIA
X
MICHELA
X
SARAH
X
UMBERTO
X
VALERIA
X
STRATEGIE RISOLUTIVE TEST
CLASSE SPERIMENTALE
STRATEGIE ADOTTATE
STRATEGIE NON ADOTTATE
Soltanto il bambino
che verifica
l’uguaglianza con i
calcoli esatti
completa
correttamente il test
N
U
M
E
R
O
B
A
M
B
I
N
I
Nessun bambino verifica con
calcolo errato o esatto e non
riconosce l’uguaglianza
Nessun bambino che si affida
alla percezione visiva
completa correttamente il
test.
% strategie test classe sperimentale
Esegue calcoli corretti , riconosce l’uguaglianza
Esegue calcoli errati non riconosce l’uguaglianza
Esegue calcoli corretti non riconosce l’uguaglianza
Non esegue calcoli riconosce l’identità e la proprietà
commutativa
Non esegue calcoli riconosce l’identità
Non esegue calcoli riconosce la proprietà commutativa
Non esegue calcoli riconosce l’identità, la proprietà
commutativa , la proprietà associativa dell’addizione
Non riconosce nessuna uguaglianza
Si rifiuta
Dal grafico si evince che solo il 5% degli alunni ricorre al calcolo per verificare l’uguaglianza, il 76% si
affida al riconoscimento visivo di numeri uguali ai due membri del = e non riconosce l’uguaglianza
dei numeri scomposti in forma non canonica, fino al rifiuto dell’esecuzione della consegna.
TABULAZIONE DATI DEL TEST
CLASSE DI CONTROLLO IIC
ALUNNI / STRATEGIE
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
DANILO
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
LORENZO
ZAIDA
DANIELE
JENNIFER
SARA
ANDREA S.
GIORGIO
GIORGIA
LAURA
ANITA
CAMILLA
CARLA
ROBERTO G.
EDOARDO
NOEMI
ALESSANDRO
SALVO
ROBERTO M.
ANDREA G.
ALBERTO
S9
X
X
STRATEGIE RISOLUTIVE TEST
CLASSE DI CONTROLLO
STRATEGIE VERIFICATESI
•
STRATEGIE NON VERIFICATESI
N
U
M
E
R
O
Tutti i bambini che
verificano
l’uguaglianza con i
calcoli esatti
completano
correttamente il test
B
A
M
B
I
N
I
Nessun bambino verifica con
calcolo errato o esatto e non
riconosce l’uguaglianza
Nessun bambino che si affida
alla percezione visiva
completa correttamente il
test.
STRAEGIE A CONFRONTO
Pre-test classe di controllo
Pre-test classe sperimentale
Anche nella classe di controllo, benchè la percentuale degli alunni che ricorre al calcolo
per verificare l’uguaglianza sale al 14%, il grafico risulta quasi sovrapponibile a quello
della classe sperimentale : il 71% % degli alunni si affida al riconoscimento visivo di
numeri uguali ai due membri del segno = e non riconosce l’uguaglianza dei numeri
scomposti in forma non canonica, fino al rifiuto dell’esecuzione della consegna.
PROTOCOLLI
TEST
S4 : Viene riconosciuta l’identità e
proprietà commutativa
S5 :Viene riconosciuta l’identità
S4 : Viene riconosciuta l’identità e
proprietà commutativa
S5 :Viene riconosciuta l’identità
Non capisco perché c’è l’uguale e poi c’è
un + nell’altra frase
Nei primi ci sono 3 numeri a 2
S7 Riconosce l’identità , la proprietà commutativa e
S4 :Viene riconosciuta la
proprietà commutativa
S5 :Viene riconosciuta l’identità
l’uguaglianza di numeri corrispondenti senza calcolo
S1 esegue i calcoli correttamente e riconosce l’uguaglianza
23=10+ 11+9 è strano non si fa
11+ 18+ 2= 11+ 20 si può fare
Ho fatto i conti a mente
23=10+ 11+9 è F perché il risultato ha detto 23
invece 10+ 11+9 no
11+ 18+ 2= 11+ 20 V perché 11+ 18+2 fa 31
invece 11+ 20 fa sempre 31
S1 esegue i calcoli correttamente
e riconosce l’uguaglianza
Riconosce l’identità solo
come operazione: al 9
prima del segno =
aggiunge lo zero
SITUAZIONE A-DIDATTICA
IL GIOCO:
Le piramidi additive
IL GIOCO CONSISTE NEL COMPLETARE DENOMINANDO
NUMERICAMENTE OGNI MATTONCINO DI UNA PIRAMIDE IN
MODO TALE CHE SIA PARI ALLA SOMMA DEI NUMERI DEI
DUE MATTONCINI SOTTOSTANTI.
QUESTO GIOCO DÀ LA POSSIBILITÀ DI SCRIVERE UNA
QUANTITÀ NELLA FORMA CANONICA DI NUMERO O NELLA
FORMA NON CANONICA DI ESPRESSIONE NUMERICA E
RICONOSCERNE L’EQUIVALENZA.
OBIETTIVO DEL GIOCO:
Riconoscere e costruire equivalenze fra
rappresentazioni differenti in forma
additiva di uno stesso numero.
I PRE-REQUISITI
Prima di svolgere la sperimentazione sono state programmate delle attività
preliminari, affinché i bambini potessero acquisire i prerequisiti necessari per
partecipare al gioco in maniera significativa.
L’ATTIVITÀ PREVEDE.
• LA CONOSCENZA DEI NUMERI ENTRO IL 100
• LA CONOSCENZA DEL CONCETTO DI ADDIZIONE
• CAPACITÀ DI ATTENZIONE E DI ASCOLTO
In un primo momento è stato chiesto alla classe di completare in modo
individuale delle piramidi additive rispettando la regola secondo la quale
ogni mattoncino in alto è uguale alla somma dei due mattoncini in basso.
1
15
13
5
10
20
12
8
32
PROTOCOLLO
PREPARAZIONE AL GIOCO
FASI DELLA SPERIMENTAZIONE
1° FASE : CONSEGNA DEL GIOCO
2° FASE: SITUAZIONE DI AZIONE
3° FASE: SITUAZIONE DI FORMULAZIONE
4° FASE: SITUAZIONE DI VALIDAZIONE
5° FASE: ISTITUZIONALIZZAZIONE
6° FASE: RACCOLTA , ORGANIZZAZIONE E
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI
7° FASE: CONCLUSIONE, ANALISI QUALI/QUANTITATIVA
1° FASE: CONSEGNA DEL GIOCO
L’INSEGNANTE DÀ A CIASCUN BAMBINO UNA
SCHEDA IN CUI SONO RIPORTATE LE DUE
PIRAMIDI ADDITIVE DA COMPLETARE CON
SCRITTURE EQUIVALENTI .
VIENE SOTTOLINEATO IL FATTO CHE LE PIRAMIDI
DEVONO AVERE MATTONCINI CORRISPONDENTI
DELLO STESSO VALORE, MA NUMERI DIVERSI.
Due faraoni gemelli hanno deciso di costruire due piramidi additive uguali
fatte di mattoncini d’oro, ogni mattoncino ha scritto il suo valore. I faraoni
fanno mettere alla base mattoncini identici, ma nell’alzare gli altri due piani
si accorgono che non ci sono più mattoncini identici da mettere nell’una e
nell’altra piramide.
Come possono completare le due piramidi in modo che i mattoncini che si
trovano nelle stesse posizioni abbiano lo stesso valore anche se non hanno lo
stesso numero?
11
2
30
11
2
30
2° FASE SITUAZIONE DI AZIONE
GIOCO: UNO CONTRO UNO
• OGNI BAMBINO SI IMPEGNA A COMPLETARE LE PIRAMIDI E SI
CONFRONTA CON IL COMPAGNO DI BANCO.
• L’INSEGNANTE CONTROLLA LE DINAMICHE RELAZIONALI E
NON SUGGERISCE STRATEGIE RISOLUTIVE.
3° FASE SITUAZIONE DI FORMULAZIONE
GIOCO: GRUPPO CONTRO UN GRUPPO
L’INSEGNANTE DIVIDE GLI ALUNNI IN DUE GRUPPI: A , B
CIASCUNO CON UN PROPRIO PORTAVOCE.
OGNI GRUPPO DISCUTE, COSTRUISCE IL LINGUAGGIO
MATEMATICO PER COMUNICARE LE STRATEGIE
UTILIZZATE. INFINE SI ACCORDA E DOCUMENTA LA
STRATEGIA VINCENTE CHE SUCCESSIVAMENTE DOVRÀ
ESPORRE ALL’ALTRO GRUPPO.
4° FASE : SITUAZIONE DI VALIDAZIONE
È IL MOMENTO DELLA DISPUTA IN CUI TUTTI I RAGIONAMENTI
SINGOLI VENGONO SOCIALIZZATI, NEGOZIATI E IN CUI VIENE
RAGGIUNTA LA CONCRETA CONSAPEVOLEZZA METACOGNITIVA DELLA
CONOSCENZA .
LA DISPUTA PERMETTE AI BAMBINI DI COSTRUIRE E ACCETTARE IL
TEOREMA IN ATTO CHE TRAGHETTA ALLA ISTITUZIONALIZZAZIONE DEL
SAPERE.
IN QUESTA FASE OGNI GRUPPO VIENE INVITATO AD ARGOMENTARE
ALL’ALTRO LE STRATEGIE UTILIZZATE E INDIVIDUARE QUELLE OTTIMALI
ATTRAVERSO PROVE E DIMOSTRAZIONI.
L’INSEGNANTE ANNOTA ALLA LAVAGNA LE MODALITÀ RISOLUTIVE
UTILIZZATE DAI DUE GRUPPI PER FAVORIRE IL CONFRONTO.
ENTRAMBI I GRUPPI HANNO COMPLETATO LE DUE PIRAMIDI
RIPORTANDO IN UNA LA DENOMINAZIONE CANONICA E
NELL’ALTRA LA DENOMINAZIONE NON CANONICA, CIOÈ LA
QUANTITÀ NUMERICA SOTTOFORMA DI ESPRESSIONE
ADDITIVA, MA NON HANNO TENUTO CONTO DEI NUMERI
RIPORTATI ALLA BASE DELLE PIRAMIDI .
SI TRATTA DI UNA STRATEGIA DI SOLUZIONE CORRETTA E NON
PREVISTA NELL’ANALISI A PRIORI, MOLTO PROBABILMENTE
PER IL MIO ERRORE DI NON AVER SPECIFICATO BENE LA
CONSEGNA .
PROTOCOLLI
FASE DI VALIDAZIONE
Si tiene conto in
parte dei numeri
alla base
Non si tiene conto
dei numeri alla
base
NEL MOMENTO IN CUI RIFORMULO LA DOMANDA SOTTOLINEANDO LA REGOLA RISOLUTIVA DELLE PIRAMIDI
SECONDO LA QUALE OGNI MATTONCINO IN ALTO È DATO DALLA SOMMA DEI NUMERI DEI MATTONCINI ALLA
BASE, I BAMBINI SI ACCORDANO SU DUE POSSIBILITÀ RISOLUTIVE.
Somma
parziale
Nessuna
somma
TEOREMA IN ATTO
QUANTITÀ UGUALI POSSONO ESSERE SCRITTE IN MODO
DIVERSO
5° FASE: ISTITUZIONALIZZAZIONE
È IL MOMENTO IN CUI L’INTENZIONE EDUCATIVO-DIDATTICA
DELL’INSEGNANTE DIVENTA ESPLICITA E VIENE FORMALIZZATO IL
SAPERE CHE ERA STATO COSTRUITO NELLA FASE PRECEDENTE.
L’INSEGNANTE SPIEGA CHE UNA QUANTÀ SI PUÒ TROVARE
SOTTOFORMA CANONICA “IL NUMERO UNICO” O SOTTOFORMA
NON CANONICA COME ESPRESSIONE ADDITIVA.
I BAMBINI INTERVENGONO RICONOSCENDO L’UGUAGLIANZA DELLE
QUANTITÀ IN FORMA NON CANONICA COME ESPRESSIONE
OPERATIVA.
12 = 6+6 = 10+2= 14-2= 6X2……..
STRATEGIE DEL GIOCO
Elenco delle strategie previste e quelle effettivamente adoperate dai
singoli alunni che hanno partecipato alla sperimentazione
 S1: completa una piramide riportando la forma canonica del numero
(somma) e l’altra riportando la forma non canonica (operazione di
addizione tiene conto dei numeri di base).
 S2: completa una piramide riportando la forma canonica del numero
(somma) e l’altra riportando la forma non canonica (operazione di
addizione e non tiene conto o solo in parte dei numeri di base).
 S3: completa le due piramidi riportando la forma canonica del
numero.
 S4: completa le due piramidi riportando la forma non canonica del
numero
 S5: completa le piramidi applicando una strategia mista sia
riportando la forma canonica e non canonica del numero
 S6: fa calcoli errati e non completa nessuna delle piramidi e rinuncia
STRATEGIE PREVISTE
STRATEGIE NON PREVISTE
STRATEGIE PREVISTE
N
U
M
E
R
O
B
A
M
B
I
N
I
STRATEGIE NON PREVISTE
Dal grafico della % delle strategie
adottate nel gioco si evince che la
maggior parte dei bambini completa
correttamente le piramidi anche se
non tiene conto dei numeri alla base
(strategia non prevista), probabilmente
per mancata chiarificazione.
Completa correttamente in forma canonica e non
canonica, tiene conto dei numeri di base
Completa correttamente in forma canonica e non
canonica, non tiene conto dei numeri di base
Completa correttamente entrambe le piramidi in
forma non canonica
Completa correttamente entrambe le piramidi in
forma canonica
Completa correttamente entrambe le piramidi con
strategia mista
Rinuncia
TABULAZIONE DATI DEL POST-TEST
CLASSE DI CONTROLLO IIC
ALUNNI / STRATEGIE
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
DANILO
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
LORENZO
ZAIDA
DANIELE
JENNIFER
SARA
ANDREA S.
GIORGIO
GIORGIA
LAURA
ANITA
CAMILLA
CARLA
ROBERTO G.
EDOARDO
NOEMI
ALESSANDRO
SALVO
ROBERTO M.
ANDREA G.
ALBERTO
S9
X
X
Gruppo di controllo
Esegue calcoli corretti , riconosce l’uguaglianza
Esegue calcoli errati non riconosce l’uguaglianza
Pre-test
Esegue calcoli corretti non riconosce l’uguaglianza
Non esegue calcoli riconosce l’identità e la proprietà
commutativa
Non esegue calcoli riconosce l’identità
Non esegue calcoli riconosce la proprietà
commutativa
Non esegue calcoli riconosce l’identità, la proprietà
commutativa, la proprietà associativa dell’addizione
Post-test
Non riconosce nessuna uguaglianza
Si rifiuta
Il confronto Pre-test/Post-test del gruppo di controllo
mette in evidenza l’invarianza percentuale del numero di
bambini che riconoscono l’equivalenza. Cè stato uno
spostamento %, diminuisce il numero di alunni che
riconoscono l’uguaglianza nella proprietà associativa
TABULAZIONE DATI DEL POST-TEST
CLASSE SPERIMENTALE IID
ALBERTO
ALESSIO
ANDREA
ANGELO
ASIA
AURORA
CHIARA
FEDELE
FLAVIO
FRANCESCO
GABRIELE
ISABELLA
JASMINE
MARCO
MARTINA
MATTIA
MICHELA
SARAH
UMBERTO
VALERIA
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
S9
x
x
Gruppo sperimentale
Esegue calcoli corretti , riconosce l’uguaglianza
Esegue calcoli errati non riconosce l’uguaglianza
Pre-test
Esegue calcoli corretti non riconosce l’uguaglianza
Non esegue calcoli riconosce l’identità e la proprietà
commutativa
Non esegue calcoli riconosce l’identità
Non esegue calcoli riconosce la proprietà
commutativa
Post-test
Non esegue calcoli riconosce l’identità, la proprietà
commutativa, l’uguaglianza di numeri
corrispondenti
Non riconosce nessuna uguaglianza
Si rifiuta
Il confronto Pre-test/Post-test del gruppo sperimentale
mette in evidenza il successo dell’intervento didattico e
l’aumento percentuale del numero di bambini che
riconoscono l’equivalenza, ricorrendo al calcolo da sx a
dx e viceversa.
COMMENTI DEI BAMBINI SUL POST-TEST
Gabriele : “ Ci sono riuscito facendo i calcoli a mente”
Alessio: “ 9 è uguale a 9, ma anche tutti gli altri numeri sono uguali anche se
sono diversi”
Angelo : “ 12+ 2 = 11+ 3 è vero perché si può fare , è la stessa cosa.
1 4+ 5 = 13+4+ 2 è vero il primo perché fa 19 invece l’altro fa sempre
19.
23 = 10 + 1+ 9 è falso è impossibile che 23 è fatto da 10+ 1+9
CONCLUSIONI
•
•
Dall’analisi quantitativa dei dati del gruppo sperimentale emerge
che:
Gli alunni che non riescono a portare a termine il compito,
procedono riconoscendo visivamente identità non fanno tentativi
di calcoli , oppure procedono a caso fino ad arrivare all’abbandono.
Essi non eseguono la consegna, probabilmente perché non hanno
capito bene il compito oppure perché non hanno consolidato il
concetto di addizione, non hanno ancora interiorizzato il concetto
di distribuzione della quantità.
I bambini, invece, che risolvono il compito in maniera corretta,
fanno i conti esatti con le dita e in colonna, hanno interiorizzato il
concetto di distribuzione della quantità e ritengono possibile il
calcolo prima e dopo il segno di uguale.