Problemi sulla speranza matematica

Problemi sulla speranza matematica
• Esercizio 1. In una certa regione il 50% dei tornado causano danni per 2 milioni di
dollari, il 40% danni per 25 milioni di dollari e il 10% danni per 90 milioni di dollari.
Se la regione ha il 10% di probabilità di essere investita da un tornado, qual è il danno
atteso dovuto a tale evento? [E = 2 milioni]
• Esercizio 2. Un contrabbandiere vuole vendere il suo motoscafo. Potrebbe venderlo
subito per 40000 franchi con pagamento fra un mese, oppure venderlo fra un mese per
36000 franchi, ma nel frattempo potrebbe fare ancora un carico che gli frutterebbe 9000
franchi, ma la cosa `e certa al 20%. Quale sarà la decisione del contrabbandiere se il
criterio utilizzato `e quello di massimizzare il guadagno sperato?
[Vendere subito]
• Esercizio 3. A seconda delle circostanze una macchina produce 1%, 7% o 9% di
pezzi difettati. La probabilità di questi eventi sono, rispettivamente, del 70%, 20% e
10%. Se si controllasse ogni mattina la macchina allora certamente produrrebbe l’ 1%
di pezzi difettati ma il costo del controllo sarebbe di 5000 franchi. Se questo controllo
non venisse fatto, non vi sarebbe tale costo, ma ci sarebbe una perdita supplementare
di 10000 franchi in caso del 7% di pezzi difettati e di 20000 franchi in caso del 9% di
pezzi difettati. Qual è la decisione da prendere se si vuole minimizzare il costo atteso?
[Nessun controllo E = 4000]
• Esercizio 4. Il commesso di una pasticceria deve spedire un pandoro un panettone
e uno zuccotto a tre persone differenti (un dolce per persona). Dopo avere scritto gli
indirizzi non è più in grado di ricordare come fare gli invii. Allora li spedisce a caso.
Calcolare il numero atteso di persone che riceverà il proprio dolce. [E = 1]
• Esercizio 5. Un cacciatore parte a caccia di fagiani e lepri e la probabilità di prendere
un fagiano o una lepre `e identica. Decide inoltre che smetterà di cacciare o quando
avrà 5 prede o appena ne avrà di ambedue cioè sia una lepre sia un fagiano. Calcola il
numero di prede atteso.
[E = 2.875]
Questi problemi si ispirano ai problemi del libro di Aurelio Mattei - Inferenza e decisioni statistiche
Aiuti alla risoluzione
• Esercizio 1. Prima si calcola la speranza come se l’accadimento del tornado sia certo,
poi si tiene conto del 10%. Questo esercizio è facile.
• Esercizio 2. Questo esercizio ambientato nel contesto della speranza matematica è
di immediata soluzione.
• Esercizio 3. Questo esercizio contiene informazioni numeriche che poi non si fruttano
nei calcoli, esse servono solamente a descrivere il problema. Occorre individuare le
informazioni utili.
• Esercizio 4. La variabile X indica il numero di persone che ricevono il proprio dolce.
Bisogna dunque determinare questi valori (ad esempio uno di questi valori `e X = 0
ed indica che nessuno riceve il proprio dolce), ma ovviamente vi sono altri valori che
lo studente deve determinare. Successivamente occorre calcolare la probabilità che la
variabile assuma questi valori e questo si può fare mediante un esame di tutti i casi
possibili ed equiprobabili che sono 6.
• Esercizio 5. Questo problema risulta molto impegnativo per lo studente. La variabile
X `e il numero di prede con le quali torna a casa. Si consiglia di esaminare
progressivamente tutti i casi.
• Cominciamo: X = 0 cioè torna senza prede. Questo caso non è possibile quindi
P(X = 0) = 0
• Continuiamo: X = 1 cioè torna a casa con una preda. Anche questo caso non è
possibile quindi P(X = 1) = 0
• Cominciamo: X = 2 cioè torna a casa con due prede. Questo caso è possibile quando
prende un fagiano e una lepre. Occorre ora calcolare detta probabilità che risulta (e
qui non dico perché) P(X = 2) = 1/2
Si continua l’esame X = 3, X = 4 ecc... e le loro probabilità fin tanto che si dispongono
tutti gli elementi per calcolare il numero di prede atteso.