Università Federico II di Napoli
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e
Naturali
Corso di laurea in Informatica
Fisica Sperimentale I
Gruppo 1
Docente Prof. Leopoldo Milano
Anno accademico 2003-2004
Diagramma di flusso della Meccanica
Urti
Due corpi che vengono a contatto ed interagiscono fortemente
per un breve intervallo di tempo si dice che si urtano o
subiscono una collisione. Durante una collisione, sui sistemi
interessati agiscono sia forze di contatto che non; le seconde
sono in genere trascurabili rispetto alle prime. Una buona
approssimazione delle forze agenti durante un urto è quindi
quella che contempla solo le forze di contatto
(approssimazione di impulso): la loro azione è in genere
concentrata in un piccolo lasso di tempo ∆t , motivo per cui
prendono il nome di forze impulsive.
I dettagli di un urto sono determinati dalla particolare forma delle
forze impulsive in gioco, ma alcune quantità cinematiche sono
comunque fissate dalle leggi di conservazione; la cinematica degli
urti si occupa di determinare le relazioni fra le quantità di moto dei
corpi prima e dopo l'urto. La forza impulsiva agisce in un lasso di
tempo ∆t=tf-ti (nel seguito i pedici f ed i indicheranno sempre le
quantità iniziali e finali). L'integrale della forza in questo lasso di
→
tempo t(l'area
sotto
→la curvapnella figura precedente) è l’ impulso :
t
tf
f →
f →
f
→
→
→
→
dp
1 →
I = F ⋅ dt =
⋅ dt = dp = p f − p i
Fm =
F ⋅ dt
dt
∆t t i
→
ti
ti
pi
Quindi l'area sotto il rettangolo e l'area
sotto la curva sono uguali. Siccome le forze
esterne agenti su di un corpo sono piccole
rispetto alla forza media di un urto, e la forza
d'urto è una forza interna, la quantità di moto
del sistema dei due corpi con buona
approssimazione si conserva durante l'urto
∫
∫
∫
∫
Esercizio – Una pallina di massa 1 Kg urta alla velocità di 1 m/s una
seconda pallina ferma, di massa 2 Kg. Dopo l’urto, le palline si
appiccicano.Trovare la loro velocità e la variazione di energia cinetica
nell’urto.
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Soluzione –
m1vini = (m1 + m2) vfin ⇒
vfin = vini × m1 / (m1 + m2) = 1 × 1 / (1 + 2) = 0.33 m/s;
∆T = Tfin - Tini = ½(m1 + m2) vfin2 - ½ m1 vini2 =
= 0.5 ×(1 + 2) × 0.332 - 0.5 × 1 × 12 = -0.337 J
Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune
lunga 4 m. Una pallottola di massa 50 g lo urta, restandovi
conficcata. Il corpo percorre un angolo di 30°. Trovare la velocità
iniziale della pallottola.
————————————
Soluzione –
Nel primo urto anelastico si ha : mv = (M+m)w ⇒
w = v m / (M+m)
L’energia cinetica dei due corpi si converte poi in energia
potenziale :
½(M+m)w2 = ½(M+m) v2 m2 / (M+m)2 = ½ m2 v2 / (M+m) =
= (M+m) g h = (M+m) g R (1 – cos θ ) ⇒
v2 = 2 (M+m)2 g R (1 - cos ) / m2 ⇒
Esercizio – Un corpo di massa 20 Kg è attaccato con una fune
lunga 4 m.Una pallottola di massa 50 g, che procede alla velocità
di 1000 m/s, lo urta, perforandolo, e proseguendo alla velocità di
300 m/s. Trovare l’angolo di cui si alza il corpo.
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Soluzione –
Nel primo urto anelastico vale : mv = MW +mw ⇒
W = m (v - w) / M = 1.75 m/s;
L’energia cinetica del corpo si converte poi in energia
potenziale :
½MW2 = M g h = M g R (1 - cos θ) ⇒ 1 - cos θ = ½ W2 / (gR) ⇒
Moto armonico
Nel moto armonico la particella si muove di moto periodico
lungo una linea retta.
Sia l’asse delle ascisse la linea retta lungo la quale si muove
la particella. Il vettore posizione della particella è dato da
r
r (t ) = ( x (t ), 0,0 )
e la legge oraria della elongazione è del tipo
x(t ) = xM cos(ωt +θ )
dove xM è l’ampiezza, ω è la pulsazione (o velocità angolare o frequenza
angolare) e θ è la fase iniziale. L’elongazione è compresa tra –xM ed xM.
Il moto armonico è un moto rettilineo avente per traiettoria un segmento
lungo 2 xM .
La velocità e la accelerazione lungo l’asse delle ascisse sono
dx
= −ω A sin( ω t + θ )
v x (t ) =
dt
d 2x
2
2
=
−
ω
A
cos(
ω
t
+
θ
)
=
−
ω
x (t )
a x (t ) =
2
dt
Dalla formula della accelerazione di vede che l’elongazione
del moto armonico soddisfa la seguente equazione differenziale
ordinaria del secondo ordine d 2 x
2
dt
2
+ω x = 0
che è detta equazione differenziale armonica.
NB. Il moto elastico di una molla è un moto armonico
Il moto di un pendolo è approssimabile con un moto
armonico
