calcolo combinatorio

CALCOLO COMBINATORIO
5) Determinare quanti anagrammi si possono formare con le parole CORRIERE e CORSA
Per la parola CORRIERE dobbiamo considerare le permutazioni di 8 elementi con un elemento
ripetuto 3 volte (la lettera R) ed uno ripetuto e volte (la lettera E). Gli anagrammi sono quindi dati
dalla formula:
P83, 2 =
8!
= 3360
3! 2!
Nel caso della parola CORSA dobbiamo considerare invece le permutazioni semplici di classe 5,
ossia:
P5 = 5!= 120
3) Determinare in quanti modi diversi si possono mettere quattro maglioni uguali in un
armadio di 6 cassetti.
Nella figura seguente è rappresentata una delle possibili configurazioni:
Abbiamo 4 maglie (uguali tra di loro) e 2 cassetti vuoti. Osserviamo che possiamo schematizzare il
problema come una permutazione con ripetizione di classe 6 (il numero totale dei cassetti) in cui
abbiamo un elemento ripetuto 4 volte (le maglie) e un altro ripetuto 2 volte (cassetto vuoto).
Il numero di combinazioni è dato allora dall’espressione:
P6(4 )(2 ) =
6!
= 15
4!⋅2!
4) Calcola quanti numeri pari di 3 cifre si possono formare utilizzando le cifre dell’insieme
A={1,2,3,5,7,9}
Osserviamo che il testo omette di indicare se sono ammesse o no le ripetizioni di cifre, per cui
considereremo entrambi i casi.
Cominciamo dal caso senza ripetizione. Dobbiamo considerare tutti i numeri di 3 cifre che si
possono formare a partire dall’insieme delle 6 cifre date. Tuttavia, se i numeri devono essere pari,
devono terminare tutti con la cifra 2, che è l’unica cifra pari presente nell’insieme. Avremo quindi
la possibilità di combinare solo altre 2 cifre scelte tra le 5 rimanenti (avendo escluso il 2). Si tratta
quindi delle disposizioni semplici di classe 2 prese da un insieme di 5 elementi, ossia:
Dn , k =
n!
(n − k )!
con n = 5 e k = 2
D5, 2 =
5!
= 20
(5 − 2)!
Passiamo ora al caso in cui sia consentita la ripetizione delle cifre. Anche questa volta tutti i numeri
devono terminare con 2, quindi possiamo combinare solo 2 cifre, scegliendole tra le 6 dell’insieme.
Notiamo che questa volta non dobbiamo escludere il 2 perché è consentita la ripetizione. Si ha
quindi:
Dn' ,k = n k
con n = 6 e k = 2
D6' , 2 = 6 2 = 36
PROBABILITA’
3) Tre eventi sono tra di loro indipendenti, a due a due. Sapendo che
p ( E1 ) = 0,80
p ( E 2 ) = 0,35
p ( E3 ) = 0,65
calcolare la probabilità dell’evento: E1 ∩ E 2 ∩ E3
Sappiamo che se tre eventi sono indipendenti, la probabilità dell’evento composto è data da:
p(E1 ∩ E 2 ∩ E3 ) = p(E1 ) ⋅ p(E 2 ) ⋅ p(E3 )
Per gli eventi E1 ed E3 conosciamo la probabilità dell’evento complementare, quindi si ha:
( )
p (E ) = 1 − p (E ) = 0,35
p (E1 ) = 1 − p E1 = 0,20
3
3
In conclusione risulta:
p(E1 ∩ E 2 ∩ E3 ) = 0,20 × 0,35 × 0,35 = 0,0245
4) In una fabbrica si trovano 3 macchinari che producono bulloni. La prima macchina
produce il 50% dei bulloni e ha un tasso di difetti pari al 5%; la seconda macchina
produce il 30% dei bulloni e ha un tasso di difetti dell’8%; la terza macchina produce il
20% dei bulloni e ha un tasso di difetti del 12%. Durante un controllo a caso, viene trovato
un bullone difettoso; calcolare la probabilità che sia stato prodotto dalla terza macchina.
Per risolvere questo problema dobbiamo utilizzare la formula di Bayes:
p(H 3 E ) =
( )
p(H ) ⋅ p (E H ) + p(H ) ⋅ p(E H ) + p (H ) ⋅ p(E H )
p H 3 ⋅ p (E H 3 )
1
1
2
2
3
3
dove si considerano gli eventi:
E : il bullone è difettoso
H1: il bullone è stato prodotto dalla macchina 1
H2: il bullone è stato prodotto dalla macchina 2
H3: il bullone è stato prodotto dalla macchina 3
e le corrispondenti probabilità. Applicando la formula si ottiene:
p(H 3 E ) =
0,20 × 0,12
= 0,329
0,50 × 0,05 + 0,30 × 0,08 + 0,20 × 0,12
6). Si estraggono tre palline, senza reinserirle, da un’urna che contiene 8 palline rosse e 6
bianche. Calcolare la probabilità che vengano estratte:
a) tre palline rosse
b) tre palline dello stesso colore
c) una pallina rossa
Costruiamo per prima cosa l’albero stocastico rappresentativo della situazione:
Di seguito sono evidenziati i percorsi corrispondenti all’evento a)
La probabilità dell’estrazione di tre palline rosse è quindi:
8 7 6
⋅ ⋅
14 13 12
Di seguito sono rappresentati i percorsi corrispondenti all’evento b) ossia l’estrazione di tre palline
rosse o tre palline bianche:
p(a) =
La probabilità dell’evento è:
p (b) =
8 7 6
6 5 4
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
14 13 12 14 13 12
Di seguito sono evidenziati i percorsi corrispondenti all’evento c) ossia l’uscita di una pallina rossa:
Si ha:
p (c ) =
8 6 5
6 8 5
6 5 8
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
14 13 12 14 13 12 14 13 12
5) Prendi a caso due cioccolatini da una scatola di cioccolatini che ne contiene 4 al latte, 10
fondenti e 2 al liquore. Calcola la probabilità che essi siano:
a) entrambi fondenti
b) non siano al liquore
c) siano di gusto diverso
Per prima cosa costruiamo l’albero stocastico generale:
caso a) entrambi fondenti
Gli eventi corrispondenti alla richiesta sono evidenzia in verde:
La probabilità corrispondente è:
10 9 3
P= × =
16 15 8
caso b) non siano al liquore
La probabilità corrispondente è:
P=
4 ⎛ 3 10 ⎞ 10 ⎛ 4 9 ⎞ 91
≅ 0,76
×⎜ + ⎟ + ×⎜ + ⎟ =
16 ⎝ 15 15 ⎠ 16 ⎝ 15 15 ⎠ 120
caso c) siano di gusto diverso
Gli eventi corrispondenti alla richiesta sono evidenzia in verde:
La probabilità corrispondente è:
P=
4 ⎛ 10 2 ⎞ 10 ⎛ 4 2 ⎞ 2 ⎛ 4 10 ⎞ 34
≅ 0,57
×⎜ + ⎟ + ×⎜ + ⎟ + ×⎜ + ⎟ =
16 ⎝ 15 15 ⎠ 16 ⎝ 15 15 ⎠ 16 ⎝ 15 15 ⎠ 60
6) Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo
che è uscita una figura
Dobbiamo ricordare la definizione di probabilità condizionata:
P(A B ) =
P( A ∩ B )
P (B )
Nel nostro caso consideriamo gli eventi:
A: si estrae un re
B: si estrae una figura
Risulta:
P ( A) =
4
1
=
40 10
12 3
P( B) =
=
40 10
La probabilità dell’intersezione, cioè che si estragga un re e che sia una figura, coincide
evidentemente con la probabilità che si estragga un re, in quanto i re sono un sottoinsieme proprio
delle figure.
Si ha quindi:
P( A ∩ B ) =
1
10
La probabilità richiesta è quindi:
1
1
P (A B ) = 10 =
3 3
10