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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
• L’opzione europea (o vanilla) è una “scommessa” sul
valore del sottostante ad una scadenza determinata T
⇒ La call è una scommessa sul rialzo al di sopra di K
⇒ La put è una scommessa sul ribasso al di sotto di K
Se in T, S è maggiore di K, il
possessore dell’opzione incassa il
valore intrinseco (S-K)
S
K
• Il valore dell’opzione dipende dai seguenti fattori:
S (valore del sottostante), K (strike), T (durata opzione), r (tasso risk
free), D (dividendo), σ (volatilità del sottostante)
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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
• Prima della scadenza, il valore di un’opzione è
scindibile in due componenti:
– il valore intrinseco
– Il valore temporale
VI = (S – K)+
VT = (C0 – VI)
Valore intrinseco
(S – X) = (110 – 100) = 10
Valore temporale
(C – VI) = (18,34 – 10) = 8,34
• A scadenza, il valore temporale è nullo e l’opzione
vale il solo valore intrinseco
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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
opzioni call su sottostante che non stacca dividendo
• A scadenza il valore dell’opzione è certo e pari al
valore intrinseco (ST – K)
– L’opzione vale la differenza fra il valore che si riceve
(ST) e il valore che si paga (– K)
• Prima della scadenza il suo valore è incerto
(probabilistico)
– L’opzione vale il present value della differenza fra il
valore che si riceve (ST) e il valore che si paga (– K)
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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
• Se trascinassimo indietro (alla data di valutazione t=0) il
valore intrinseco a scadenza (ST – K), cosa otterremmo?
Valore call
a scadenza
Valore call
oggi?
C=ST-K
T=0
T
• Possiamo pensare al valore dell’opzione (nel caso in esame
call) come al present value del valore intrinseco a scadenza
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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
• Il valore della call è il present value del valore
intrinseco a scadenza
– Il valore di oggi di ST è S0 (valore corrente dell’azione)
– Il valore attualizzato di K è K * e-rT (valore corrente del
sottostante)
• Riscrivendo il valore intrinseco come differenza
fra ciò che si riceve in caso di esercizio e ciò che
si paga in caso di esercizio, si ottiene
• C0 = S0 *
– K * e-rT *
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ASPETTI INTRODUTTIVI DI PRICING
• È necessario completare la formula del valore intrinseco
attualizzato “ponderando” i due componenti S0 e K * e-rT
per due diverse probabilità
– il valore ST viene pesato per la probabilità che la call sia in the
money in T, cioè per la prob (ST > K). Tale probabilità è N(d1)
– il valore K viene pesato per la probabilità che K sia pagato a
scadenza. Tale probabilità è N(d2)
• Il risultato è la formula di Black Scholes per la
valutazione della call europea
C0 = S0 * N(d1) – K * e-rT * N(d2)
•
Le due probabilità N(d1) e N(d2) sono simili sia concettualmente che in
valore, ma non identiche. Vediamo quali fattori incidono su di esse
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LA FORMULA DI BLACK SCHOLES
C0 = S0 * N(d1) – K * e-rT * N(d2)
• St N(d1) rappresenta il valore che si ottiene in caso di esercizio . Tale valore
dipende dal prezzo del sottostante S0 e dalla probabilità N(d1)che S>K a
scadenza.
• Ke-rtN(d2) esprime il costo che si sostiene per il ritiro del sottostante.Tale costo
dipende dal valore attuale del prezzo di esercizio (Ke-rt) e dalla probabilità N(d2)
che lo strike sia versato.
• Il valore dell’opzione call è quindi semplicemente la differenza fra “quanto si
riceve con probabilità N(d1)” e “quanto si paga con probabilità N(d2)”.
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LA FORMULA DI BLACK SCHOLES
• N(d1) è la probabilità (fra 0 e 100%) che la call sia in the money a
scadenza
– Se S0 è molto più basso di K, d1 è negativo e N(d1) è prossimo a 0 (la
probabilità che la call sia ITM a scadenza tende a 0)
– Se S0 è in linea con K, d1 è nullo e N(d1) è prossimo a 0,50
probabilità che la call sia ITM a scadenza è intorno al 50%)
(la
– Se S0 è già in partenza molto alto rispetto a K, d1 è positivo e N(d1) è
prossimo a 1 (la probabilità che la call sia ITM a scadenza tende al 100%)
• Sul valore di d1 e N(d1) incidono positivamente:
–
–
–
–
La moneyness dell’opzione (S/K)
La volatilità del sottostante σ
Il tasso di interesse r
La durata dell’opzione T
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La misura del tasso di
attualizzazione per la valutazione
delle opzioni
Il tasso di attualizzazione utilizzato per la formula di
Black e Scholes è pari a quello per investimenti
privi di rischio.
La possibilità di utilizzare detto tasso dipende dalla
circostanza che la combinazione dell’opzione e del
sottostante può avvenire in maniera tale da rendere la
posizione complessiva coperta dal rischio connesso
alle fluttuazioni di prezzo.
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Si ipotizzi di costruire una posizione coperta composta da un’azione
che, alla data di valutazione dell’opzione, ha un prezzo pari a € 70 e
dalla vendita di tre opzioni call europee sull’azione che, alla
scadenza, abbaino un prezzo di esercizio pari a € 80.
Si assuma inoltre che, al termine del suddetto esercizio, il prezzo
dell’azione possa essere pari a € 100, nell’ipotesi di evoluzione
favorevole, e pari a € 40 nell’ipotesi di opzione sfavorevole.
Valore azione
Valore opzioni
vendute
Valore posizione
coperta
Il prezzo sale a € 100
Il prezzo scende a € 40
100
(60)
40
0
40
40
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Assumendo un tasso di attualizzazione pari al 5%, ne deriva un
valore dell’opzione pari a 10,65, come risulta dalla seguente
relazione metodologica:
Valore alla scadenza di 1 Azione – 3 opzioni = 40
Valore all’epoca della stima di 1Azione – 3opzioni = 40/e0,05
= 70 – 3 opzioni = 38,05
Da cui,
1 opzione = 10,65
12
LA FORMULA DI BLACK SCHOLES
call europea con dividendo
•
Se il sottostante stacca il dividendo durante la vita
dell’opzione, il prezzo del sottostante viene decurtato del
valore attuale del frutto staccato
•
La formula di Black e Scholes diventa:
1) (S0 – D*e-rt) * N(d1) – K * e-rT * N(d2) (ipotesi di dividendi
puntuali;
2) (S0 e-yt) * N(d1) – K * e-rT * N(d2) (ipotesi di tasso di dividendo
costante).
•
Lo stacco del dividendo infatti incide negativamente sul
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valore dell’azione e sul valore atteso di ST a scadenza
LA FORMULA DI BLACK SCHOLES
per opzioni diverse da quelle europee
• L’esercizio anticipato della call americana non è mai conveniente se il
sottostante non stacca un diritto (come il dividendo) che compensa dalla
perdita (il valore temporale) legata all’esercizio anticipato; per tale
ragione si può trattare la call americana come una call europea ed
utilizzare il modello di B&S;
• Nell’ipotesi di opzioni put europee, la formula di B&S può essere
utilizzata con i seguenti adattamenti:
C0 = K * e-rT * N(- d2) – S * N(- d1)
C0 = K * e-rT * N(- d2) – S e-yt * N(- d1)
• Il modello di B&S non può essere impiegato per valutare le opzioni le
call americano nell’ipotesi in cui il sottostante paghi dividendi e le put
americane (indipendentemente dalla circostanza che il sottostante paghi
o meno dividendi)
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LA VALUTAZIONE DELLE OPZIONI
IL MODELLO BINOMIALE
• Un modello diverso per la valutazione delle
opzioni è il modello binomiale
• Come Black e Scholes, anche il binomiale stima il
valore del sottostante (e il relativo valore
intrinseco) a scadenza e giunge al valore corrente
dell’opzione attualizzando i suoi valori futuri
tenendo conto della probabilità
• Anche se tecnicamente sono molto diversi, i due
modelli pervengono (se il binomiale è ben
calibrato) alla stessa valutazione dell’opzione
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L’ALBERO BINOMIALE
Step 1
Step 2
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IL BINOMIALE IN SINTESI – modello a 2 passi
• Si suddivide la durata dell’opzione T in 2 intervalli di durata Δt=T/2
• Partendo dal valore di oggi del sottostante S0 si calcolano i possibili
valori futuri Su (rialzo) e Sd (ribasso); da ciascuno di essi si calcolano i
due valori successivi (da Su si perviene a Suu e Sud, da Sd si perviene a
Sdu e Sdd …
• Sud e Sdu coincidono per le proprietà del modello
• In corrispondenza dei valori a scadenza del sottostante Suu, Sud e Sdd, si
calcolano i valori intrinseci della call Cuu, Cud e Cdd
• Attualizzando ogni coppia di valori futuri, tenendo conto della
probabilità di rialzo e di ribasso si perviene al valore precedente
– Da Cuu e Cud si arriva a Cu, da Cud e Cdd si arriva a Cd, infine dai valori al
tempo 1 Cu e Cd si calcola il valore corrente dell’opzione C0
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IL MODELLO BINOMIALE: LE FORMULE
Approccio di
Cox Ross
Rubinstein
• Come si determina u e d
u = eσ√Δt d = e-σ√Δt
• Come si determina pu e pd
• Noti Cuu e Cud come si determina Cu
• Allo stesso modo, da Cud e Cdd si perviene a Cd, da Cu e Cd si perviene a C0
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IL MODELLO BINOMIALE:
UN’ APPLICAZIONE PRATICA
•
•
•
Dati:
S=100; X=100; r=3%; σ=25%; Τ=1 anno
Si valuti l’opzione con l’albero a due passi
**************************
•
•
•
•
•
•
Si calcolano in primo luogo i parametri del modello
Δt, u, d, pu, pd
Si calcola la durata del passo:
Δt = T/n = 1 anno / 2 = 0,50
Si calcola il tasso di crescita u
u = eσ√T/2 = e0,25√0,50 = 1,193
Si calcola il tasso di decrescita d
d = e-σ√T/2 = e-0,25√0,50 = 0,838
Si calcola la probabilità di rialzo u = (1,015-0,838)/(1,193 -0,838) = 0,498
Si calcola la probabilità di ribasso d = (1,193-1,015)/(1,193 -0,838) = 0,502
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L’ALBERO DEL SOTTOSTANTE
Cuu=142,41 – 100 = 42,41
Cud=100 – 100 = 0
Cud=70,22 – 100 = neg = 0
LEGENDA
•
•
•
•
•
Su = 119,34 = S0 * u = 100 * 1,193
Sd = 83,80 = 100 * 0,838
Suu = 142,41 = 119,34 * 1,193
Sud = Sdu = 100,00 = 119,34 * 0,838
Sdd = 70,22 = 83,80 * 0,838
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L’ALBERO DELL’OPZIONE
•
•
•
•
LEGENDA
Cuu = (142,41 – 100) = 42,41; Cud = (100 – 100) = 0; Cuu = (70,22 – 100) = neg = 0
Cu= (42,41* 0,498 + 0 * 0,502) / e-0,03*0,50 = 20,83
Cd= (0,00 * 0,498 + 0,00 * 0,502) / e-0,03*0,50 = 0,00
C0= (20,83 * 0,498 + 0,00 * 0,502) / e-0,03*0,50 = 10,23
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IL BINOMIALE E LA CALL AMERICANA
il sottostante stacca il dividendo durante la vita dell’opzione
• La presenza del dividendo può rendere conveniente l’esercizio
anticipato della call americana
• Ipotizzando, con i dati dell’esempio precedente, di staccare il
dividendo di 5 dopo un periodo, l’albero scivola verso il basso in
misura pari al dividendo staccato
Se si esercita la call
si incassa il VI
19,34
Albero del sottostante
Cum 119,34
Albero della call
Es ant 19,34
Se non si esercita
Il valore dell’opzione
che resta in portafoglio
è solo 17,90
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Principali differenze nella valutazione
delle opzioni reali rispetto a quelle
finanziarie
• Difficoltà connesse alla quantificazione del valore
dell’attività sottostante;
• Perdita di valore dell’attività sottostante;
• Stima della volatilità;
• Opzioni composte.
La valutazione di un’opzione di rinviare un
progetto: un’esemplificazione
(Fonte A. Damodaran, Valutazione delle aziende, Apogeo, Milano, 2002)
Si ipotizzi un progetto con un investimento iniziale di 500
milioni di Euro, che per cinque anni genererà un flusso di cassa
pari a 100 milioni di Euro. Si ipotizzi, inoltre, che nei prossimi
cinque anni non ci saranno concorrenti - avendo noi l’esclusiva
del progetto per tale periodo - che il tasso di attualizzazione sia il
15%, che il tasso privo di rischio sia pari al 5% e che la
deviazione standard sia pari al 42%.
In questo caso, a fronte di un VAN negativo, abbiamo un valore
dei diritti del progetto positivi, come risulta dalle seguenti
relazioni metodologiche:
VAN = - 500 + Valore attuale di una rendita di 5 anni pari a 100 = - 500
+335 = -165
Valore dei diritti = 335 e(-0,2)(5) (0,225) – 500 e(-0,05)(5) (0,0451) = 10,18
