Trasmissione del calore
Corso di Fisica Tecnica Ambientale
Scienze dell’Architettura
Prof.Gianfranco Cellai
Generalità
Lo studio degli scambi termici assume particolare rilevanza al
fine della definizione delle condizioni di benessere di un
individuo all’interno di un ambiente; esse sono influenzate dalla
quantità di energia scambiata dal corpo umano con l’ambiente
circostante per irraggiamento,
irraggiamento convezione e, in misura minore,
per conduzione;
conduzione la trasmissione del calore è inoltre fondamentale
nel quantificare il fabbisogno di energia degli edifici per la loro
climatizzazione, e costituisce pertanto una modalità di
valutazione della qualità dell’ambiente costruito al fine del
contenimento dei consumi energetici .
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Il completamento dell’analisi
termodinamica
La trasmissione del calore è complementare all’analisi
termodinamica e completa quindi la conoscenza del fenomeno
fisico; infatti con l’analisi termodinamica si possono descrivere
solo sistemi in equilibrio e quindi ci è consentito stabilire la
direzione del fenomeno (II legge ) e le quantità di calore e lavoro
(energia) necessarie per portare un sistema da uno stato fisico di
equilibrio ad un altro; con la trasmissione del calore, che studia
condizioni di squilibrio termico, è consentito stabilire la velocità
con la quale il fenomeno di scambio termico si realizza, e la
distribuzione della temperatura nel sistema .
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I principi alla base della trasmissione del calore
I principi della termodinamica sono anch’essi alla base della
trasmissione del calore:
• il primo principio secondo il quale la quantità di calore
trasferito in un sistema eguaglia l’incremento di energia
interna;
• il secondo principio secondo il quale il calore si propaga
nella direzione delle temperature decrescenti .
A questi si aggiunge la constatazione che affinchè vi sia
trasmissione di calore occorre che si verifichi uno squilibrio
termico (differenza di temperatura) che rappresenta il motore
del fenomeno.
Per trasmissione di calore si intende il passaggio di energia
termica in un sistema dove sussiste uno squilibrio termico
interno, o quando tale squilibrio sussiste tra sistema e
contorno.
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Principali modalità di scambio termico
La trattazione dell’argomento è incentrata sulla capacità di
applicare una raccolta di equazioni che sono per lo più
empiriche, limitando la trattazione teorica ai concetti essenziali
per la comprensione fisica del fenomeno .
Le modalità di trasmissione dell’energia termica sono tre:
•
CONDUZIONE
•
CONVEZIONE
•
IRRAGGIAMENTO
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Conduzione
La conduzione è la forma di trasmissione di energia tipica dei
solidi o dei fluidi in quiete; i gas, se sono in quiete, sono dei
cattivi conduttori e quindi degli ottimi isolanti.
Questa caratteristica viene sfruttata per la realizzazione degli
isolanti che racchiudono al loro interno tante cellette chiuse con
aria in quiete (ad es. lana di roccia o di vetro, poliuretani espansi
etc.). Ciò è spiegabile con il fatto che la conduzione è in effetti
una trasmissione di energia mediante collisione tra elettroni, a
causa del diverso stato di vibrazione molecolare che si verifica tra
zone a più alta temperatura rispetto a quelle a temperatura
inferiore, sia in uno stesso mezzo sia attraverso mezzi diversi
posti a contatto .
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Convezione
La convezione è il tipico modo di scambio termico tra un corpo
solido ed un fluido in movimento che ne lambisce la superficie
ed è quindi vincolato al trasporto di materia per effetto delle
forze che agiscono sul fluido e che si ingenerano a causa delle
variazioni di temperatura (convezione naturale) o per effetto
dell’azione meccanica di apparecchi, ad esempio ventilatori
(convezione forzata); gli spostamenti di materia portano al
rimescolamento delle masse elementari e quindi alla
ridistribuitone della temperatura all’interno del fluido .
La convezione è quindi un processo di trasporto dell’energia
mediante l’azione combinata della conduzione, dell’accumulo di
energia e del mescolamento .
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Irraggiamento
Lo scambio termico per irraggiamento è legato alla
differenza tra la temperatura posseduta da un corpo e la
temperatura degli oggetti circostanti e non necessita della
presenza di materia affinchè si manifesti ( ovvero avviene
anche nel vuoto, si veda ad esempio l’irraggiamento solare ) .
Il termine irraggiamento si riferisce in generale a qualunque
fenomeno di propagazione delle onde elettromagnetiche, ma il
meccanismo di scambio termico avviene solo nei fenomeni
dipendenti dalla temperatura .
Ogni corpo, a temperatura superiore allo zero assoluto, emette
energia termica per irraggiamento e l’intensità dell’emissione
dipende dalla temperatura e dalla natura della superficie
emittente.
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Trasmissione del calore per conduzione
ipotesi sul mezzo
Per lo studio della conduzione si ipotizza che il mezzo
attraverso il quale avviene la conduzione sia:
•
CONTINUO (in ogni punto ha cioè le stesse
caratteristiche fisiche)
• ISOTROPO (ha lo stesso comportamento in ogni
direzione)
• OMOGENEO (composto da una sola sostanza).
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Condizioni per la trasmissione
Lo squilibrio termico che determina la trasmissione del calore è
misurato dalla variazione della temperatura T funzione dello
spazio e del tempo:
T = f (x, y, z, τ )
L’unione di tutti i punti aventi eguale temperatura individua
delle superfici dette ISOTERME che rappresentano l’insieme
dei punti ad eguale temperatura.
Queste superfici non possono nè intersecarsi nè avere dei
punti di tangenza altrimenti si verificherebbe l’assurdo che il
punto di tangenza ha due diversi valori di temperatura :
quindi ogni punto apparterrà ad una ed una sola superficie
isoterma che sarà continua all’interno del mezzo.
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Campo vettoriale: isoterme e densità di flusso
80°C
90°C
70°C
gradT= δT/δn
dS
La variazione di temperatura rispetto alla distanza lungo la direzione n normale
all’area è definita gradiente della temperatura T (retta di max. pendenza):
grad.T = ∂T/∂n
(K/m)
esso è un vettore di cui sono noti il punto di applicazione, la direzione (normale
alla superficie S) ed il verso assunto convenzionalmente positivo verso isoterme
crescenti .
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Densità di flusso
Per il secondo principio della termodinamica il calore fluisce
spontaneamente da punti a temperatura maggiore verso punti a
temperatura minore.
Poiché il gradiente è negativo in direzione delle isoterme
decrescenti, aggiungendo un segno – il flusso diventa positivo.
Esso assume il valore del vettore densità di flusso q
quantificato dalla LEGGE DI FOURIER :
q = λ (- grad T) (W/m²) Legge di Fourier
λ (W/mK) è il coefficiente di conduttività termica che
dipende solo dalla natura e dallo stato fisico del materiale e si
può considerare costante .
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Gradiente di T
Il gradiente (o retta di massima pendenza) in un sistema di
riferimento cartesiano è definito dalla seguente espressione:
grad T = ∇ T = ( u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z)
Dove u , v e w sono i vettori unitari ( o versori) rispettivamente
nelle direzioni degli assi cartesiani x , y e z .
L’operatore matematico ∇ (nabla) racchiude pertanto la somma
delle derivate parziali della temperatura T nelle tre direzioni x, y
e z. Poiché λ si assume costante si avrà:
λ ∇ T = λ ( u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z)
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Il gradiente con flusso monodirezionale
T1 > T2
T1
dΤ
T2
dx
grad T = dT/dx
q = - λ dT/dx
q dx = - λ dT
s2
q ∫ dx = - λ ∫ dT
flusso
s1
s1
s2
T2
T1
q = - λ (T2 – T1)/s (W/m²)
x
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Campi di variazione di λ
Per i materiali edili v.UNI 10351
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UNI 10351 Conducibilità termica dei materiali
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Quantità di energia termica trasmessa
La quantità di energia ∂Q che, in un intervallo di tempo
infinitesimo dτ, passa attraverso una superficie dS è funzione
della densità di flusso q che attraversa tale superficie nel
tempo considerato; si ha quindi :
∂Q/dτ = q ⋅ n d S = λ (- grad T ⋅ n) dS (W)
dove n è il versore normale alla superficie dS, orientato nel
verso uscente dalla superficie stessa .
Integrando la relazione suddetta a tutta la superficie S, e
considerato λ costante , si ottiene:
Q= -λ
∫ (∂T/∂n) dS dτ
(J)
S
La risoluzione dell’integrale è possibile solo conoscendo la
variazione della temperatura in funzione dello spazio e del
tempo: T = f (x, y, z, τ ) (Equazione di Fourier)
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Equazione della conduzione di Fourier
ΔS
Sistema di
volume ΔV
ΔV
d U = ρ V cp d T
per il principio di conservazione dell’energia possiamo affermare
che nel tempo dτ il flusso di energia che passa attaverso la superficie ΔS che
delimita il solido ΔV di massa M = ρV , trascurando l’energia eventualmente
generata all’interno del solido qg, è uguale alla variazione dell’energia
interna ΔU del solido:
- dτ ∫ΔS q ⋅ n d S = ΔU = dτ
- dτ
∫
ΔS
(- λ ∇ T) n ⋅ dS = dτ
∫
∫
ΔV
ΔV
ρ cp (∂T /∂τ) dV
ρ cp (∂T /∂τ) dV
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∫
ΔS
(λ ∇ T) n ⋅ dS =
∫
ΔV
ρ cp (∂T /∂τ) dV
Il primo integrale esteso alla superficie ΔS , per il teorema di
Gauss può essere trasformato in un integrale esteso al volume
ΔV tramite l’operatore matematico divergenza div :
div (λ ∇ T) = ∇⋅ λ ∇ T = λ∇²T =λ (∂²T/∂x² + ∂² T/∂y² + ∂² T/∂z²)
La divergenza del vettore (λ ∇ T) rappresenta la potenza termica
uscente da una superficie che racchiude un volume unitario di un
campo vettoriale (W/m3). Infine si ha:
∫
∫
ΔV
ΔV
(λ ∇2 T) dV = ∫ΔV ρ cp (∂T /∂τ) dV
[(λ ∇2 T) - ρ cp (∂T /∂τ)] dV = 0
e poiché dV ≠ 0 deve essere nulla la funzione integranda:
(λ ∇2 T) - ρ cp (∂T /∂τ) = 0 Equazione di Fourier
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Considerazioni
L’equazione generale della conduzione descrive un fenomeno
complesso risolvibile analiticamente solo in alcuni casi
semplici ed assumendo ipotesi semplificative al contorno.
Essa informa che il flusso di energia entrante λ ∇2 T produce
la variazione di energia interna ρcp(∂T/∂τ) nel tempo ∂τ e
quindi una variazione di temperatura con il tempo:
(λ ∇2 T) = ρ cp (∂T /∂τ)
λ= W/mK ∇2 T = K/m² ρ = kg/m3 cp = J/kg K (∂T /∂τ) = K/s
(λ ∇2 T) = W/m3
ρ cp (∂T /∂τ) = W/m3
Tale equazione definisce una proprietà del sistema denominata
diffusività termica α² = λ/ρ cp (m²/s) maggiore è la diffusività
più veloce è la diffusione del calore nel mezzo, essendo questa
il rapporto tra il calore trasmesso e quello accumulato.
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Trasmissione monodimensionale in regime
stazionario
In molti casi pratici, come per le pareti delle strutture edilizie,
il flusso di calore in una direzione, ad esempio perpendicolare
alla parete, è molto maggiore rispetto alle altre direzioni e
pertanto si può considerare che la trasmissione del calore
avvenga solo in direzione dell’asse X:
λ (d²T/dx²) = ρ cp (∂T /∂τ)
Se assumiamo inoltre che il regime sia stazionario la
relazione diventa: q = λ · ΔT/s (W/m²)
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Trasmissione attraverso una parete piana infinita
La densità di flusso trasmesso diviene :
q = λ · ΔT/s (W/m²)
T1
T1 > T2
e per una superficie S
Q = λ ·S · ΔT/s (W)
dΤ
T2
s
variazione lineare della temperatura
Tx = T1 + (T2 - T1 / s) x
flusso
x
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T1
Esercizio
T1 > T2
ad un generico punto x della parete di
spessore s = 30 cm si ha :
T2
s = 30 cm
flusso
Tx = T1 + (T2 - T1 / s) x
Si vuole sapere quanto vale la
temperatura a x = 20 cm con T1 = 18 °C
e T2 = 3 °C :
T20 = 18 + (3 -18 /0.3) x 0.2 = 8 °C
x
Si calcoli la densità di flusso trasmesso per s = 30 cm con λ = 0,8 :
q = - λ · ΔT/s = - 0,8 (3 – 18)/0,3 = 40 W/m²
Per s = 20 cm si ha : q = - 0,8 (8 –18)/0,2 = 40 W/m²
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Conduzione monodimensionale in regime
stazionario attraverso un condotto circolare
Te
Q = - λ · S · dT/dr
re
r
Per la legge di Fourier si ha:
ri
Ti
in cui dT/dr è il gradiente in direzione radiale e
S = superficie circolare di raggio r .
Per il condotto circolare la superficie S è data da :
S = 2 π r l con l = lunghezza normale alla sezione S
Separando le variabili ed integrando per parti tra
dr
Te a re e Ti a ri si ottiene:
Q d r /(2 π r l λ) = - d T
∫
re
Î Q (2 π l λ) d r/r = -
( Q /2 π l λ ) (ln re / ri ) = (Ti - Te)
ri
∫
Te
dT
Ti
Q = 2 π l λ (Ti - Te) / (ln re / ri ) (W)
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Tubi circolari
Te
re
r
dr
ri
Ti
Per le tubazioni accade spesso che lo
spessore del tubo s sia piccolo
rispetto al diametro della tubazione.
Se s = re - ri è piccolo rispetto a ri ( ovvero per
valori re/ri ≤ 1,4) si possono applicare ai tubi le
formule di trasmissione della parete piana, e la
relazione può essere riscritta nella forma :
Q = 2 π l λ ( Ti - Te ) ri / s
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resistenza termica e analogia elettrica
Nel caso che si abbiano strutture composte da più strati aventi valori diversi della
conducibilità termica λ , per la valutazione delle quantità di energia termica trasmessa
per conduzione si ricorre al metodo della ANALOGIA ELETTRICA: due sistemi si
dicono analoghi quando sono governati da equazioni simili. Infatti la legge di Fourier è
analoga alla legge di Ohm:
• la differenza di potenziale V corrisponde alla differenza di temperatura ΔT;
• il flusso di calore Q corrisponde al flusso di corrente elettrica i .
Sia Re una resistenza elettrica ai cui estremi sia applicata una differenza di potenziale
(tensione) V, per la legge di Ohm si avrà che il flusso di corrente i che attraversa detta
resistenza è retto dalla seguente equazione:
e
V
i = V /Re da cui Re = V/ i
Legge di Ohm
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Resistenza termica per strutture composte
Nella trasmissione del calore per analogia si può
sostituire i con Q , V con la differenza di temperatura
ΔT e R con la RESISTENZA TERMICA RT al
passaggio del calore:
RT = ΔT/Q
(K/W) Resistenza termica
si deduce che la resistenza termica è data da :
λ1
λ2
Q = λ S ΔT /s Î RT = s /(λ S)
e per resistenza riferita all’unità di superficie :
s1
s2
RT = s /λ
(m² K/ W)
Per la legge di Ohm la resistenza totale ReT di due
resistente in serie Re1 e Re2 è eguale alla somma delle
resistenze : ReT = Re1 + Re2 ; per analogia:
RT = ΣRi = Σ ( si /λi ) = s1 /λ1 + s2 /λ2
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Esercizio sul calcolo di RT
1 – intonaco λ1 = 0,9 s = 1 cm
2 – forati
λ2 = 0,5 s = 8 cm
3 – isolante λ3 = 0,04 s = 5 cm
4 – mattoni λ4 = 0,8 s = 30 cm
1 2
3
4
RT = Σ ( si /λi ) = 0,01/0,9 + 0,08/0,5 + 0,05/0,04 + 0,30/0,8 = 1,8 m²K/W
Senza isolante si avrebbe: RT = 0,01/0,9 + 0,08/0,5 + 0,30/0,8 = 0,55 m²K/W
Si definisce la CONDUTTANZA C il reciproco della RT : C = 1/ RT W/m²K
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Resistenza termica per un cilindro multistrato
RT = 1/λ1 ln r2/r1+ 1/λ2 ln r3/r2+ 1/λ3 ln r4/r3
UT = 1 / [1/h1+ 1/λ1 (ln r2/r1)+ 1/λ2 (ln r3/r2)+ 1/λ3 (ln r4/r3)+ 1/h2]
NB. Per una tubazione lo
scambio termico alle
interfacce esterna ed interna è
essenzialmente di tipo
convettivo
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Presenza contemporanea di diverse modalità
di scambio termico
1/h = 1/hc + 1/hr= Rc + Ri
Per pareti interne
1/he = 1/8 = 0,125 m²K/W
Rc
T∞
T1
Per pareti esterne
T∞ ≅ Tambiente
Ri
1/hi = 1/23 = 0,043 m²K/W
Le superfici che delimitano la parete (interna ed esterna) scambiano calore
con l’ambiente circostante per convezione ed irraggiamento: in pratica sulle
superfici si manifestano due ulteriori resistenze termiche in parallelo dovute
alle suddette modalità di trasmissione, che vengono denominate resistenze
termiche convettive e radiative, che agiscono in parallelo dando luogo alle
resistenze termiche liminari (o superficiali) della parete interna 1/hi ed
esterna 1/he che tengono conto di entrambe le suddette modalità di scambio
termico.
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Coefficienti liminari in regime estivo
Per i componenti vetrati i coefficienti diventano i seguenti:
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Coefficiente globale di scambio termico
La resistenza termica globale è quindi data dalla sommatoria delle resistenze termiche
liminari sulle due facce, interna ed esterna, del componente e dalla resistenza termica
per conduzione :
RT = 1/hi + ΣR i +1/he
(m²K/W)
il coefficiente globale di trasmissione termica U (o trasmittanza)
trasmittanza è dato da :
UT = 1/ (1/hi + ΣRint +1/he )
(W/m²K)
Ri
R1
T∞1
R2
Re
T3
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T∞2
Esercizio
1 – intonaco λ1 = 0,9 s = 1 cm
2 – forati
λ2 = 0,5 s = 8 cm
3 – isolante λ3 = 0,04 s = 5 cm
4 – mattoni λ4 = 0,8 s = 30 cm
1 2
3
4
hi = 8 W/m²K
he = 23 W/m²K
UT = 1/ 1/hi +Σ ( si /λi ) + 1/he = 1/ (1/8 + 0,01/0,9 + 0,08/0,5 +
0,05/0,04 + 0,30/0,8 + 1/23) = 1/ 1,968 = 0,51 W/m²K
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Valori della resistenza termica riferiti ad alcune
tipologie di pareti
NB. I valori della resistenza termica sono privi delle resistenze liminari
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Andamento della temperatura
L’andamento della temperatura all’interno della struttura si
determina mediante la seguente relazione:
Tn = Tn-1 - Q ⋅ Rn /S
Ovvero, essendo in regime stazionario Q = cost. attraverso tutti
gli n strati che costituiscono la parete, la temperatura
all’interfaccia dello strato n è funzione della resistenza termica
dello strato Rn.
La conoscenza dell’andamento delle temperature è essenziale
al fine di verificare il rischio di formazione di condensa
all’interno e sulle facce della parete, nonchè per valutare il
diverso comportamento termico al variare della posizione degli
strati, con particolare riferimento alla posizione dell’isolante.
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Esercizio: si determini l’andamento della
temperatura nella parete seguente con S = 1 m²
1 – intonaco λ1 = 0,9 s = 1 cm
1
2
3
4
5
2 – forati
λ2 = 0,5 s = 8 cm
3 – isolante λ3 = 0,04 s = 5 cm
4 – mattoni λ4 = 0,8 s = 30 cm
hi = 8 W/m²K he = 23 W/m²K
1 2
3
4
Ti = 20 °C
e
Te = 0°C UT = 0,51
Q = UT ( 20 – 0) S = 0,51 · 20 · 1 = 10,2 W
T1= Ti – Q · Ri = 20 – 10,2 · 1/8 = 18,72 °C
T2= T1 – Q · R1 = 18,72 – 10,2 · 0,01/0,9 = 18,60 °C
T3= T2 – Q · R2 = 18,60 – 10,2 · 0,08/0,5 = 16,97 °C
T4= T3 – Q · R3 = 16,97 – 10,2 · 0,05/0,04 = 4,22 °C
T5= T4 – Q · R4 = 4,22 – 10,2 · 0,3/0,8 = 0,39 °C
Per verifica Te = T5 – Q · Re = 0,39 – 10,2 · 1/23 = -0,05 °C ≅ 0°C
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Ponti termici
Si definiscono ponti termici le zone dei componenti edilizi
dove si registrano salti termici particolarmente elevati con
conseguente raffreddamento delle superfici: in tali zone si
ha una riduzione della resistenza termica e
conseguentemente un incremento delle dispersioni.
I ponti termici sono rischiosi perché possono dar luogo a
formazione di condensa e conseguente comparsa di muffe.
I ponti termici si verificano per due motivi:
• per eterogeneità dei materiali;
• per ragioni geometriche (spigoli, angoli).
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Topologie più comuni di ponti termici
Più generalmente potremo dire che avremo dei ponti termici ove vi siano
nodi tra elementi aventi coefficiente di trasmissione termica diversa, o
qualora vi sia interruzione del materiale isolante nella struttura dell’edificio:
- angolo tra due pareti esterne;
- giunto tra un muro ed un pavimento su passaggio aperto, cantine, box;
- giunto tra un muro ed una terrazza o soffitto di sottotetto;
- giunto tra un muro esterno ed un pavimento (interno o anche sporgente);
- zone intorno o comprendenti i serramenti (mazzette, velette, davanzali,
soglie, ecc.);
- elementi strutturali ad elevata conduttanza inseriti in altri a conduttanza
inferiore.
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Esemplificazione
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Calcolo dei Ponti termici
Per il calcolo dei ponti termici si fa riferimento a valori tabulati.
La norma UNI EN ISO 14683 definisce un metodo semplificato
per la determinazione del flusso di calore attraverso i ponti
termici lineari che si manifestano alle giunzioni degli elementi
dell’edificio .
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Valori
esemplificativi di
ponti termici
I valori riportati nelle tabelle
seguenti sono tratti dalle
norme francesi Regles Th-k77
k lineare = W/mK
Esempio calcolo di k per pilastro in
angolo
s muro interno = 8 cm
Trasmittanza muro K = 0,51
k = 0,11 W/mK
Lunghezza ponte termico 2,7 m
Dispersione = (0,11 · 2,7) = 0,30 W/K
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Ponti termici
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Ponti
termici
Esempio calcolo di k per davanzale
s1 davanzale = 5 cm
Spessore serramento s = 5 cm
k = 0,12 W/mK
Lunghezza ponte termico 1,2 m
Dispersione = (0,12 · 1,2) = 0,14 W/K
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Comportamento delle strutture in regime dinamico
l’inerzia termica
In regime stazionario la disposizione degli strati è indifferente, pur
evidenziando che al mutare della stessa varia l’andamento interno delle
temperature; ad esempio la posizione dell’isolante, a seconda della stagione,
mantiene una massa della parete a temperatura mediamente più o meno
elevata, ovvero con una capacità maggiore o minore di accumulare calore.
Nelle figure seguenti, in regime invernale, si evidenzia che la situazione
ottimale è rappresentata dall’isolamento a cappotto (figura 2).
1
2
3
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4
L’inerzia termica
Tale fatto deve far riflettere, ed infatti le prestazioni termiche
dei componenti edilizi non possono essere valutate
esclusivamente in regime stazionario ma è necessario
considerare anche il loro comportamento in regime dinamico;
nella realtà la temperatura delle strutture varia in funzione del
tempo, con il variare dei parametri termoigrometrici
ambientali esterni, e tanto più rapida è la variazione di
quest’ultimi tanto maggiore deve risultare l’inerzia offerta dai
componenti ad adattarsi a tali variazioni al fine di assicurare
una adeguata protezione all’interno.
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Inerzia e capacità termica
L’inerzia termica può essere definita come la
capacità di un componente ad opporsi alle variazioni
di temperatura.
Le variazioni di temperatura che si verificano sulla
faccia esterna, arrivano sulla faccia interna con un
certo ritardo e attenuate in misura tanto maggiore
quanto maggiore è la capacità termica areica Cm:
Cm = cp · m (kJ/m2K)
con cp (kJ/kgK) calore specifico a pressione costante,
e m (kg/m²) è la massa termica areica.
Dall’equazione di Fourier si aveva poi che:
la diffusività termica α² = λ/ρ cp indice dell’inerzia termica
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Massa termica areica (UNI 10375)
Pareti senza isolamento concentrato
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Pareti con isolamento concentrato
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Capacità termica areica
Cm = m · cp (kJ/m²K)
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Effetti dell’inerzia termica EN ISO 13790:
possibilità di utilizzo η degli apporti gratuiti
ALTA
INERZIA
BASSA
INERZIA
τ = costante di tempo termica dell’edificio (h)
C = capacità termica della costruzione (kJ/K)
HH = coeff. dispersione termica (W/K)
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Schema del ruolo
giocato dal fattore
di utilizzazione η
Qh = fabbisogno termico per riscaldamento
Ql = energia termica dispersa
Qse = apporti termici solari comp.opachi
Qsi = apporti termici solari comp.vetrati
Qi = apporti termici interni
tc = costante di tempo termica edificio
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Calore
specifico di
materiali
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Temperatura che varia
con legge sinusoidale
T
Tmax
Tpm
Tτ = AI sin (ω τ)
AE
Inerzia termica:
Schematizzazione
grafica
Tpm= temp.media superficiale
della parete
AI
Tmin
Ritardo R t
Rt = ΣR i (s)
La pulsazione ω è pari a :
ω = 2π/24 = 0,261 (h−1)
ω = 2π/86400 = 7,3 · 10 −5 (s-1)
Tempo τ
Ri = si/vi (s)
con si = spessore dello strato i-esimo
vi = velocità di spostamento dell’onda termica (m/s)
(m/s)
vi = √ 2 ω α ²
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α²= λi/(cpi· ρi ) (m²/s)
Equazione di Fourier e soluzioni per l’inerzia termica
l’equazione di Fourier per flusso monodimensionale :
d²T/dx² = ρ cp (dT /dτ)/ λ
all’interno della parete, ad un certo istante τ, ammette la seguente
soluzione per una variazione di T sinusoidale e ad una profondità x
dalla superficie esterna :
T(τ, x ) = A · e -ω Ri · sin [ω ( τ − ϕi)]
dove R i (ritardo)
ritardo è il tempo che l’onda termica impiega ad attraversare lo
strato i-esimo di materiale di spessore x .
Sulla faccia interna della parete di spessore s l’onda di temperatura sarà pari a :
T(τ, s ) = AI · e -ω Rt · sin [ω ( τ − Rt)]
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Ritardo
Dalla relazione Ri = si/vi si ha :
Ri = si · √ 1 /(2 ω α²i ) = √ si si cpi· ρi /(2 ωλi )
Ri = 82,76 √ si · cpi· ρi /(λi /si)
(s)
(s)
Per una condizione ottimale:
AE
Rt = 82,76 Σ √ si cpi· ρi /Ui ≥ 9 ore
AI
R
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Attenuazione σ
10 < σ = ΑE / AI < 100
AE
AI
R
σ = e 0,261 · R
σ = e 0,261 · 9 = 10 valore minimo di attenuazione
Ad esempio se il punto di massimo dell’onda AE impiega Rt = 12
ore per giungere sulla faccia interna della parete, l’ampiezza AE
risulterà attenuata di circa σ = 23 volte.
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Esercizio
Una parete in mattoni pieni ha le seguenti caratteristiche:
Spessore s = 30 cm, λ = 0,72 W/mK, cp = 835 J/kg ,
ρ = 1920 kg/m3
si determini il valore del ritardo Rt e dell’attenuazione
σ
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Calcolo del ritardo R
Dalla relazione : Rt = 82,76 √ si cpi· ρi /Ui (s)
Si ha:
Rt = 82,76 [√ s cpi· ρ /U]/3600 (h) =
82,76 [√ 0,3 · 835 · 1920/(0,72/0,3)]/3600 = 37048/3600 = 10,3 h
AE
AI
10,3
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Calcolo dell’attenuazione σ
Dalla relazione:
σ = 1/(e – 0,261 · Rt)
Si ha :
σ= 1/(e – 0,261
· 10,3)
= 14,7
Ovvero l’ampiezza dell’onda termica esterna AE subisce
un’attenuazione di circa 15 volte:
σ = AE/AI
AE
AI
10,3
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Scambi termici per convezione
Si ha trasmissione di energia termica per convezione quando
tale trasferimento di energia avviene tra un fluido (liquido o
gas) ed un solido in moto relativo uno rispetto all’altro :
pertanto al fenomeno della conduzione si sovrappone il
trasporto di energia operato dalle particelle in moto .
In dipendenza dalla natura delle forze che causano il moto del
fluido in esame si distinguono due tipi di convezione :
• convezione naturale, il moto delle particelle è determinato
essenzialmente dalle forze di galleggiamento innescate dalle
variazioni di densità in seno al fluido stesso, conseguenti alle
differenze di temperatura;
• per convezione forzata, ovvero a causa del moto che si
innesca per le forze di inerzia (moto indotto da organi
meccanici o per l’azione del vento).
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Osservazioni:
Viscosità
• un fluido ideale ha viscosità nulla ovvero è privo di attrito interno
• la viscosità è responsabile del trasporto della quantità di moto
(momentum = massa x velocità), tra uno strato di fluido e l’altro
aventi velocità diverse,
• elevati valori della stessa consentono
l’instaurarsi di moti turbolenti e viceversa .
più
difficilmente
• la viscosità cinematica ν = μ/ρ (m²/s) riflette più fedelmente il
moto viscoso di un fluido; ad esempio la viscosità dinamica μ
(kg/ms) dell’acqua è circa 100 volte maggiore di quella dell’aria,
ma la viscosità cinematica di quest’ultima è maggiore di quella
dell’acqua : ne consegue che l’aria in moto risente maggiormente
della viscosità rispetto all’acqua . ν
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Meccanismo di trasporto dell’energia:
strato limite idrodinamico
Quando un fluido viscoso in moto lambisce una
superficie, le particelle a contatto con la superficie vi
aderiscono e rallentano il moto delle particelle
contigue (effetto aderenza). Si verificherà pertanto
una variazione di velocità w del fluido in una zona
delimitata tra un valore nullo a contatto con la parete
ed un valore w∞ nella zona che non risente più
dell’effetto aderenza: la zona in questione è chiamata
strato limite idrodinamico, ed il suo spessore è
definito come la distanza dalla superficie alla
quale :
w = 0.99 w∞
E’ all’interno di tale zona che l’effetto della viscosità
ed il gradiente di velocità sono grandi,
grandi e d’altra parte
la quantità di calore trasferita tra superficie e
fluido dipende fortemente dal tipo di moto del
fluido (laminare o turbolento) entro lo strato
limite.
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Sviluppo dello strato limite e regimi di flusso
per moto su piastra piana
Fonte Yunus Cengel
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Strato limite termico
Nella convezione si ha trasporto di materia e scambio termico
conduttivo entrambi legati al tipo di moto .
δt
0,99 Τ∞
E’ intuibile che a causa della differenza di temperatura superficiefluido si sviluppi anche uno strato limite termico δt dove la
temperatura varia dal valore TS a T∞ temperatura del fluido
indisturbata ; in analogia con il profilo idrodinamico, lo spessore
dello strato limite termico δt è definito come la distanza richiesta
affinchè la temperatura T raggiunga il 99% del suo valore T∞ ;
analiticamente si può porre:
δt = λf / hc (m)
λf = conducibilità del fluido
hc = coefficiente di scambio termico convettivo
Nella figura per comodità, il profilo dello strato limite
idrodinamico è assunto eguale a quello termico ovvero il numero
di Prandtl Pr = ν/α² = 1
Pr =1
dove ν = viscosità cinematica (m²/s) e α² = diffusività termica (m²/s)
Prof.Gianfranco Cellai
Fonte Yunus Cengel
Considerazioni
isoterme
Maggiore è lo strato limite e maggiore è la resistenza termica conduttiva a
scapito della cessione del calore e viceversa. Il moto turbolento riduce al
minimo lo spessore dello strato limite e quindi si incrementa lo scambio di
energia termica rispetto al moto laminare, caratterizzato da uno strato limite
relativamente maggiore.
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Convezione naturale
Strato limite
Fp
Fg = β g (Ts - T∞) forza di galleggiamento
Fp = forza di gravità
TS
Fg > Fp
la forza di galleggiamento sarà diretta
verso l’alto se Ts > T∞ e viceversa se
Ts < T∞
Fp
β = 1/(Ts + T∞)/2 (K-1)
Fp = Fg
Tf = T∞
Fg
Se l’elemento è in quiete allora la forza di galleggiamento è
bilanciata dalla forza di gravità .
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Regimi di moto : Numeri di
Reynolds, Grashof e Prandtl
•
il moto laminare è caratterizzato da un movimento a strati del fluido e le
particelle dello stesso si muovono parallelamente le une alle altre senza subire
brusche deviazioni (file di soldati in parata); il moto laminare è rappresentato
quindi da moto uniforme con linee di corrente parallele tra loro lungo le quali si
muovono ordinatamente le particelle di fluido; in generale con i fluidi acqua e aria
perchè si abbia tale moto si devono mantenere velocità molto contenute e la
superficie del solido con il quale il fluido è a contatto deve essere quanto più liscia
possibile ;
•
il moto turbolento è invece caratterizzato dal moto caotico delle particelle di
fluido, le cui traiettorie non concidono più con le linee di corrente e quindi il moto
risulta vario o non uniforme (uscita passeggeri dalla stazione); tale moto può
manifestarsi anche per velocità relativamente contenute, per brusche deviazioni, per
eccessiva scabrezza della superficie del solido; tale condizione è quella che
normalmente si verifica per il moto di fluidi all’interno di condotti e tubazioni , e nel
moto dell’aria che lambisce esternamente le pareti degli edifici .
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Convezione forzata - Numero di Reynolds Re
Re = WLρ /μ
(adimensionale)
dove W = velocità media (m/s),
ρ = densità del fluido (kg/m³) ,
L = dimensione caratteristica (m) relativa alla situazione geometrica
μ = viscosità dinamica (kg/m s);
Ad esempio nel caso di condotti circolari L = diametro; per una parete L è l’altezza, in
una intercapedine L può essere lo spessore, ecc.
Il rapporto ν = μ/ρ (m²/s) prende il nome di viscosità cinematica.
Dal punto di vista fisico il numero di Reynolds rappresenta il rapporto tra forze
d’inerzia e forze viscose per il fluido in esame :
Re = forza d’inerzia [ρ W² L²]/forza viscosa [L W μ]
Osservando la suddetta espressione di Re si comprende perché per valori elevati dello
stesso il moto sia turbolento ovvero retto dalle forze d’inerzia e viceversa nel caso di
moto laminare sia retto dalle forze viscose.
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Moto in condotti:Valori di Reynolds
Nel caso di condotti circolari L = diametro ;
per condotti non circolari L rappresenta il diametro idraulico Di :
Di = 4 A/P con A superficie della sezione e P perimetro del condotto oppure
Di = 4 (a b)/2(a + b) con a e b dimensioni dei lati del condotto.
Per moto di fluidi in condotti l’esperienza di Re ha dimostrato che :
se
Re < 2100
2100 < Re < 3100
Re > 3100
si ha moto laminare o viscoso ;
siamo in regime di transizione
si ha moto turbolento .
Per diametro idraulico si intende il diametro di un condotto circolare che
causa la stessa perdita di pressione a parità di velocità e fattore d’attrito .
Prof.Gianfranco Cellai
Convezione naturale : Grashof
Il tipo di moto può essere determinato in funzione del valore del prodotto di
altri due numeri adimensionali denominati Grashof (Gr) e Prandtl (Pr).
Il numero di Grashof è dato dalla seguente relazione :
Gr = g β L3 (Ts - Tf ) /ν²
(adimensionale)
dove: g = accelerazione di gravità (m/s²)
L = dimensione caratteristica del problema (m)
Ts = temperatura della parete (K)
Tf = temperatura del fluido (K)
ν = viscosità cinematica (m²/s)
Fisicamente Grashof esprime il rapporto tra:
forze di galleggiamento g β (Ts - Tf)/ ν² /L3 forze di attrito viscoso :
maggiore risulterà tale numero e maggiore sarà lo scambio termico per
convezione naturale .
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Numero di Prandtl
Il numero di Prandtl è dato da :
Pr = cp μ /λf (adimensionale)
esprimibile anche mediante la relazione : Pr
= ν/α²
dove ν = viscosità cinematica (m²/s) e α² = diffusività termica (m²/s);
fisicamente Prandtl esprime il rapporto tra la disponibilità del fluido a trasportare
quantità di moto (massa x velocità) espressa da ν e quella a trasportare calore (α² );
contrariamente a Gr e Re , Pr dipende esclusivamente da natura e stato fisico del
fluido e pertanto può essere considerato una proprietà termofisica.
Maggiore è il numero di Pr e maggiore risulterà lo scambio termico convettivo
(naturale o turbolento) .
Per esempio nel caso di convezione naturale per superfici piane verticali si ha:
moto laminare per valori 104 < Gr Pr < 108
moto turbolento per valori Gr Pr > 109
Il prodotto (Gr Pr) prende anche il nome di Numero di Rayleigh (Ra) .
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Analisi del tipo di moto in funzione dei
numeri puri
Si può distinguere se si è in condizioni di convezione naturale
o forzata dal rapporto tra Gr e Re² , infatti :
Gr/Re² ≅ Fgalleggiamento/Finerzia
Tale rapporto assume pertanto il seguente significato fisico :
se Gr << Re²
si ha convezione forzata
ovvero le forze di galleggiamento sono trascurabili a fronte di
quelle d’inerzia
se Gr ≅ Re²
si ha convezione mista
se Gr >> Re²
si ha convezione naturale
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Principio di conservazione dell’energia: il
coefficiente di scambio termico convettivo hc
Strato limite
conduttivo
Q
Q = - λf (∂T/∂n) = Q = hc (Ts - T∞) (W/m²)
TS
Q
λf è il coefficiente di conducibilità del
fluido a contatto con la parete (W/mK)
Tf = T∞
hc è il coefficiente di scambio termico
convettivo(W/m²K)
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Coefficiente di scambio termico hc
Il coefficiente hc dipende da :
• natura e stato fisico del fluido (compreso la relativa
temperatura dipendente dal problema in esame);
• tipo di moto del fluido (laminare o turbolento);
• forma geometrica del solido a contatto col fluido (superficie
piana, ellittica, cilindrica etc.).
Pertanto la relazione dello scambio termico convettivo non è una
legge fisica e questo perché il coefficiente hc non dipende solo
dalla natura e dallo stato fisico del fluido, ma dipende anche
dalla configurazione geometrica del fenomeno in esame.
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Numero di Nusselt
Dal principio di conservazione dell’energia si ha :
λf ∂T/∂n|S = hc |(Ts - T∞)|
il gradiente ∂T/∂n deve essere valutato sulla superficie S. Riscrivendo
l’equazione e moltiplicando entrambi i termini per la lunghezza caratteristica L si
ha:
∂T/∂n|S /(Ts - T∞) /L = hc L /λf (adimensionale)
dove il Numero di Nusselt Nu è :
Nu = hc L /λf ovvero Nu = hc /λf /L
Nu esprime il rapporto tra lo scambio termico convettivo hc e lo scambio termico
conduttivo λf/L che si realizza attraverso uno strato di fluido immobile di spessore
L. Ricordando che lo strato limite δt = λf / hc Nusselt diviene anche :
Nu = L/δt
Si conferma pertanto che tanto minore e δt tanto maggiore è lo scambio termico
convettivo.
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Schema di calcolo
CONVEZIONE
FORZATA
NATURALE
Nu = f (Re, Pr)
Nu = f (Gr, Pr)
Moto
turbolento
Nu = a (Re)b(Pr)c
Moto
laminare
Moto
turbolento
Nu = a (Pe)n
Nu = C (Gr)a(Pr)c
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Moto
laminare
Nu = C (Ra)n
Relazioni per il calcolo di Nu
Nel caso di convezione forzata viene meno la dipendenza dal numero di
Grashof e quindi la relazione funzionale sarà del tipo :
Nu = a (Re)b (Pr)c Moto turbolento
Nel caso di moto laminare si ha :
Nu = a (Re Pr)n
Moto laminare
essendo i coefficienti b = c
il prodotto (Re Pr) prende il nome di numero di Peclet (Pe).
Nel caso di convezione naturale viene meno la dipendenza dal numero di
Reynolds e quindi si avrà :
Nu = C (Gr)a (Pr)b
Moto turbolento
Nel caso di moto laminare si ha :
Nu = C (Gr Pr)n Moto laminare essendo i coefficienti a = b
il prodotto (Gr Pr) prende il nome di numero di Rayleigh (Ra) e determina,
come visto, il tipo di moto.
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Considerazioni
Essendo Nu il rapporto tra scambio termico convettivo e
conduttivo, nel caso limite che Nu = 1 si avrà solo scambio
termico conduttivo.
Valori di Nu < 1 non hanno significato fisico.
Nu aumenta per moto turbolento e diminuisce per moto laminare
fatto questo evidenziato dal rapporto L/δt
In generale nel caso che si desideri contenere lo scambio termico si
tenderà a minimizzare Nu e viceversa qualora si intenda
incrementare lo scambio termico: questo può essere fatto agendo
su uno o su più dei parametri esaminati che entrano in gioco nello
scambio termico.
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Determinazione di hc
Una volta determinato Nu è possibile calcolare il valore di hc:
hc = Nu λf / L
e quindi la quantità di energia termica scambiata per
convezione:
Q = hc (Ts - T∞)
(W/m²)
La determinazione del coefficiente convettivo di scambio
termico hc mediante Nu può essere affrontata con diversi
metodi; in generale si otterrà una relazione funzionale tale che :
Nu = f (Re, Gr, Pr)
In funzione del tipo di moto, della natura del fluido e del
problema geometrico è possibile determinare la relazione
suddetta.
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Riepilogo
I passaggi per la determinazione dello scambio termico convettivo
Qc sono i seguenti :
1) Individuazione del problema fisico-geometrico
2) determinazione da tabella, dei coefficienti a, b, c, C necessari
per la determinazione del NUMERO DI NUSSELT
Nu = a Reb Prc ---> CONVEZIONE FORZATA
(per moto laminare Nu = a Pen )
Nu = C Gr a Prb ---> CONVEZIONE NATURALE
(per moto laminare Nu = C Ran )
3) calcolo del coefficiente di scambio termico hc = Nu λf/ L
4) calcolo dello scambio termico convettivo :
Qc = hc S (Ts - T∞) (W)
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Proprietà termofisiche di alcuni gas
Valori
di Pr
0,71
0,67
0,73
esafluoruro
di zolfo
0,68
0,66
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Formule sperimentali per il calcolo di Nu
Convezione naturale
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Valori empirici di hc : convezione naturale
Moto laminare 104< Gr Pr < 108
L
hc = 1,42 (ΔT/L)0,25
Superficie verticale di altezza L
Moto turbolento Gr Pr > 109
ΔT = (Ts - T∞)
Q
L
hc = 1,31 (ΔT)0,33
Moto laminare hc
= 1,32 (ΔT/L)0,25
Moto turbolento hc = 1,52 (ΔT)0,33
Q
Moto laminare hc
L
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= 0,59 (ΔT/L)0,25
Formule sperimentali per il calcolo di Nu
Convezione forzata
Moto turbolento all’interno di tubazioni
Nu = 0,0033 (Re)1.0 (Pr)0.37
valido per 3.000 < Re < 30.000
Fluido riscaldato
Nu = 0,023 (Re)0.8 (Pr)0.4 valido per Re > 10.000
Fluido raffreddato
Nu = 0,023 (Re)0.8 (Pr)0.3 valido per Re > 10.000
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Esercizio per convezione forzata
Si voglia calcolare il coefficiente di scambio termico convettivo
hc nel caso di acqua a temperatura Tf = 80 °C che scorre
all’interno di una tubazione avente un diametro D = 10 cm e
temperatura interna superficiale Ts = 79,9 °C.
Sia la velocità dell’acqua W = 1 m/sec con λf = 0,65 W/mK
Dalle tabelle per acqua a 80 °C si ha ν = 0,36 ⋅10
pertanto Re risulta:
-6
m²/s ,
Re = W D/ν = 1 m/s ⋅ 0,1 m /0,36 ⋅10-6 m²/s = 2,78 ⋅10 5
(Moto turbolento > 3100)
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Continua esercizio
In funzione della situazione geometrica , della natura del fluido e del salto
termico tra fluido e parete del tubo (verticale o orizzontale) le tabelle ci
forniscono i valori delle costanti a , b e c in questa particolare situazione :
Nu = 0,023 (Re) 0.8 (Pr)0.4
sempre dalle tabelle troviamo tabulato Pr = 2,23; a questo punto è possibile
calcolare il valore di Nu:
Nu = 0,023 (2,78 ⋅10 5)0.8 (2,23)0.4 = 718
e quindi hc :
hc = Nu λf / D = 718 ⋅ 0,65 / 0,1 = 4667 W/m² K
Il flusso termico scambiato per unità di lunghezza del tubo risulta:
Q = 4667 ⋅ π ⋅ 0,1 ⋅ 1 m (80 – 79,9) = 146 W
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Esercizio convezione naturale
Si voglia determinare il coefficiente di scambio termico
convettivo hc, per una parete verticale alta 3 m e larga 4 m
avente una temperatura superficiale di Ts =18 °C e una
Temperatura dell’aria Ta = 20 °C.
Alla temperatura suddetta si ha :
β = 1/ (Ts + Tf ) /2 = 1/ (293+291)/2 = 1/292 = 0,0034 K-1
Gr = g β L3 (Ts - Tf ) /ν² = 9,81· 0,0034 ·33 (20-18)/(1,51· 10-5) 2 =
= 1,801/1,51 · 10 -10 = 11,9 · 109
Pr = 0,71
Gr Pr = 11,9 · 109 · 0,71 = 8,45 · 109 Moto turbolento
hc = 1,31 (ΔT)0,33 = 1,31 (20 – 18) 0,33 = 1,65 W/m²K
Q = 1,65 (20 – 18) · 12 m² = 39,6 W
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IRRAGGIAMENTO
L’irraggiamento termico è definito come l’energia raggiante
emessa da un corpo a causa della sua temperatura assoluta
T (K),
(K) e dipende dalla natura del corpo emittente e dalle
caratteristiche della sua superficie (compresa la rugosità).
Il trasferimento di energia termica per irraggiamento, ed in
particolare l’irraggiamento solare,
solare è molto importante sia
per l’entità dei carichi termici (estivi ed invernali) che per
l’uso di tale forma di energia alternativa (collettori solari,
celle solari fotovoltaiche, serre, ecc.).
Lo scambio termico di energia raggiante tra il corpo umano e
l’ambiente circostante è inoltre molto importante ai fini del
benessere e deve pertanto essere conosciuto nei suoi
meccanismi principali potendo costituire di fatto un vincolo
progettuale .
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Analisi fisica del fenomeno
A livello macroscopico si dice che l’irraggiamento si propaga mediante
l’energia posseduta da onde elettromagnetiche che si muovono secondo
traiettorie rettilinee .
La velocità a cui si propaga la radiazione nel vuoto è pari alla velocità
della luce c = 3 ⋅108 m/s (300.000 km/s) ; sussiste la seguente relazione
tra lunghezza d’onda λ della radiazione e velocità c della stessa :
λ = c/f
(m)
dove f = frequenza (s-1)
pertanto tanto maggiore è la frequenza , tanto minore è la lunghezza
d’onda della radiazione e viceversa .
La lunghezza d’onda normalmente è espressa in μm anzichè in m
(1 μm = 10-6 m) .
le radiazioni elettromagnetiche possono essere classificate in funzione
degli effetti ed in relazione alla loro lunghezza d’onda .
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Classificazione delle radiazioni
Gli effetti termici della radiazione si
estendono nei campi dall’ultravioletto
all’infrarosso all’incirca tra 0,1 e 100 μm .
Nel campo di lunghezza d’onda compreso tra 0,39 ÷
0,78 μm si ha lo spettro del visibile ; tale campo di
radiazioni è importante ai fini dello studio
dell’illuminazione naturale e artificiale degli ambienti
confinati, delle proprietà dei vetri, delle proprietà delle
superfici (riflessione dei colori) .
Al di sotto di 0,37 μm e fino a 0,01 μm si ha il
campo dell’ultravioletto , mentre al disopra di 0,78 μ
fino a circa 100 μm si ha il campo dell’infrarosso
(suddiviso in infrarosso vicino tra 0,78 e 25 μm, ed
infrarosso lontano tra 25 e 100 μm ).
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Il campo del visibile
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Irraggiamento solare
A livello del suolo il 99%
dell’energia solare è emessa
nello spettro tra 0,3 e 2,5 μm
La diversità tra radiazione
extratmosferica e radiazione al suolo
è dovuta all’assorbimento
dall’atmosfera esercitato dai gas che
la compongono (H2O, CO2 , O2 , O3 )
e pertanto lo spettro di emissione a
livello terrestre presenta delle
“finestre” in corrispondenza delle
lunghezze d’onda sensibili ai
fenomeni di assorbimento.
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Classificazione delle superfici
Quando dell’energia raggiante Ei incide su di un
mezzo può essere in parte riflessa Er, assorbita
Ea e trasmessa Et.
Per il principio di conservazione dell’energia:
Ei = Er + Ea + Et
e
dividendo tutto per Ei si ha:
1 = Er /Ei + Ea/Ei + Et/Ei = r + a + t
dove :
r = coefficiente di riflessione
Un corpo si definisce:
a = coefficiente di assorbimento
nero se a = 1
t = coefficiente di trasmissione
grigio se a < 1 = costante
I coefficienti sono funzione della temperatura
superficiale del corpo, della lunghezza d’onda
della radiazione incidente e dell’angolo di
incidenza della stessa.
indipendentemente dalla
lunghezza d’onda della
radiazione incidente
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Corpo nero e potere emissivo
monocromatico: Max Planck
Il corpo nero in natura può essere rappresentato dal sole.
Idealmente esso rappresenta un emettitore ed assorbitore perfetto
e costituisce il parametro di riferimento per gli altri corpi.
L’energia emessa da un corpo nero, per unità di tempo e
superficie, alla lunghezza d’onda λ ed alla temperatura assoluta T
(K) è massima e denominata Potere emissivo monocromatico
EnλT, desumibile dalla seguente relazione di Max Planck :
EnλT = C1 λ- 5 /[(e C2 / λT) – 1]
(W/m² μm)
dove : C1 = 3,742 . 108 (W μm4 /m²) e C2 = 1,4387 . 104 (μm K)
T = temp. assoluta (K) λ = lunghezza d’onda (μm)
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Potere emissivo integrale del corpo nero:
Stefan-Boltzmann
L’integrazione nell’intero campo di lunghezza d’onda da 0 a ∞ del potere
emissivo monocromatico determina il Potere emissivo integrale
emisferico del corpo nero En (T) il cui valore è dovuto alla seguente equazione
∞
di Stefan-Boltzman :
∫
0
En (T) = En λ dλ = σ T4
Legge di Stefan -Boltzman (W/m²)
dove σ = 5,67 . 10-8 (W/m² K4 ) costante di Stefan-Boltzman; e T (K)
temperatura assoluta del corpo nero.
Tale legge fisica rivela immediatamente il peso che l’irraggiamento ha negli
scambi termici che avvengono elevando alla 4a potenza le temperature
assolute; da qui la necessità di mantenere più alta possibile la temperatura delle
superfici che circondano il corpo umano al fine di ridurre gli scambi termici
per irraggiamento tra questo e le pareti circostanti .
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Legge di Wien
La rappresentazione di EnλT in
funzione della lunghezza d’onda λ
permette di evidenziare la seguente
relazione di Wien , detta anche
legge del regresso :
λmax. T = costante = 2898 (K μm)
Legge di Wien
il valore 2898 della costante vale
per valori di T e λ espressi
rispettivamente in K e in μm .
In pratica all’aumentare della
temperatura T la lunghezza d’onda
λmax = 2898/T diminuisce.
Si osserva anche che il massimo
dell’emissione del sole (5800 K) è
centrato nel campo del visibile.
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Fonte Yunus Cengel
Intensità di radiazione
Viene definita intensità di radiazione I, l’energia radiante emessa
nell’unità di tempo, da una superficie unitaria dA1 nell’angolo solido
unitario dω, il cui asse è individuato dall’angolo φ rispetto alla normale
alla superficie :
I = dq1-2 /(cosφdA1) dω12 (W/m² steradiante)
dove dq1-2 è la potenza radiante (in W) emessa da dA1 che finisce su dA2.
lo steradiante è
l’angolo che sottende
una calotta sferica di
area unitaria posta su
una sfera di raggio
unitario:
dω12 = dA2/r²
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I
Intensità di radiazione per corpi con
emissione diffusa
Per i corpi nero e grigio si può considerare che l’emissione
avvenga in modo diffuso, ovvero uniforme in tutte le direzioni.
In questo caso I = costante e la calotta sferica diviene pari a π
(calotta sferica in steradianti); in sintesi:
I = E/π (W/m²steradiante)
L’intensità di radiazione In per il corpo nero è :
σ T4 = In π −> In= σ T4 / π
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Emissività dei corpi
Il potere emissivo E di una superficie reale
risulta inferiore a quello di un corpo nero En
alla stessa temperatura, possiamo pertanto
definire l’emissività emisferica ε (o
emittenza) nel modo seguente :
ε = E/En < 1
Analogamente viene definita una emissività
emisferica monocromatica ελ dal rapporto :
ελ = Eλ / Enλ ==>
Eλ = Enλ ελ
In generale l’emissività dei corpi reali varia in
funzione della natura degli stessi
(elettricamente conduttori e non conduttori),
della lunghezza d’onda, della direzione φ di
emissione e della temperatura.
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Potere emissivo del corpo
grigio
ελ = ε = costante
Eλ = ε Enλ
Legge di Kirchhoff
E n(T) = σ T4
T
N
En
Eε(T) = ε σ T4
E
Ea (T)= a σ T4
G
T
In condizioni di equilibrio termico la superficie nera N ed il corpo grigio G in essa contenuto
hanno la stessa temperatura T, e in accordo con il principio di conservazione dell’energia, la
quantità di energia raggiante emessa dal corpo G è eguale alla quantità di energia raggiante
assorbita :
ε σ T4 = a σ T4 Æ ε = a = E(T)/ E n(T) Æ ελ(,T) = aλ(,T)
Anche se a rigore tale legge vale solo per le condizioni di corpi in equilibrio
termico e contenuti in una cavità nera isoterma, esprime il fatto importante ai
fini dell’irraggiamento, che ad ogni lunghezza d’onda λ e temperatura T una
superficie tanto più emette quanto più assorbe e viceversa.
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Emissività dei corpi reali e ideali
Confronto dell’emissività ελ (a) e del potere emissivo Eλ (b) di
una superficie reale con quella di una superficie grigia e del
corpo nero alla stessa temperatura
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Valori di
ε-a
N.B. I valori di
emittanza/assorbanza
sono da utilizzare solo ai
fini degli scambi termici
per irraggiamento e non
per conoscere le proprietà
dei corpi.
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Considerazioni
Il considerare le superfici reali come grigie ai fini degli scambi
termici per irraggiamento semplifica notevolmente i calcoli, ma
non bisogna scordare quanto segue:
Superficie reale Æ ελ - aλ = f (natura della superficie,
caratteristiche spettrali della
radiazione incidente ovvero della
temperatura T, della direzione φ)
Superficie grigia e diffondente Æ ελ = aλ = costante
La percezione dei colori di una superficie è legata alla
riflessione/assorbimento della radiazione incidente sulla
superficie e quindi allo spettro della stessa.
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Percezione dei colori
ros
gia so
ver llo
ble de
u
Radiazione
riflessa
rosso
giallo verde bleu
Radiazione assorbita
aλ
Corpo grigio
0.8
Corpo rosso
0.4
0.8
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λ (μm)
Selettività delle superfici
a, ε
a, ε
0.9
0.9
Superficie
assorbente
a, ε
Superficie
assorbente
selettiva
0.1
λ
a, ε
3 μm
λ
0.9
0.1
Superficie
riflettente
0.1
λ
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Superficie
riflettente
selettiva
3 μm
λ
Vetri selettivi
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Scambi termici per irraggiamento
Per semplificare i calcoli si fanno le seguenti ipotesi :
• tutte le superfici si comportano come corpi grigi o neri (le
proprietà radiative sono così indipendenti dalla lunghezza d’onda);
• per i corpi aventi un coefficiente di assorbimento elevato (circa
a y 0,9) si trascura la riflessione ;
• le proprietà radiative si considerano uniformemente distribuite
sulle superfici aventi inoltre temperatura uniforme ;
• assorbanza ed emittenza sono eguali ed indipendenti dalla
temperatura della sorgente radiativa ;
•
l’aria non assorbe nè emette radiazioni;
•
gli scambi termici avvengono in regime stazionario.
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Energia scambiata per irraggiamento
Nello scambio termico una superficie perde energia emettendola per
irraggiamento e la guadagna assorbendo le radiazioni emesse dalle altre
superfici. Per il principio di conservazione dell’energia, in regime
stazionario, date due superfici S1 alla Temperatura T1 e S2 alla Temperatura
T2, la quantità netta di energia termica Q12 scambiata per irraggiamento sarà
E21
data dalla legge di Prevost :
T1
Q12 = E12 – E21
E12
Dove E12 = energia emessa dal corpo 1 in direzione del corpo 2
E21 = energia emessa dal corpo 2 ed assorbita dal corpo 1
1
Nel caso più semplice di superfici nere piane parallele ed infinite, lo
scambio netto di energia Q12 sarà dato da:
E12 = S1σT14
E21 = S2σT24
Q12 = σ S1(T14 -
T24 ) (W)
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T2
2
Superfici Grigie
Nel caso di superfici grigie parallele ed infinite (intercapedini) entra in gioco
l’assorbanza (o emissività) delle superfici e pertanto non tutta l’energia
emessa da 2 è assorbita da 1 ma una parte viene riflessa per poi ritornare
nuovamente in 1, e così via; con riflettanza ρ =1 − a uniforme si ha:
E1 = a1S1σT14
E2 = a2S2σT24
Si dimostra che per copri grigi affacciati su
intercapedine la quantità di calore scambiato
Q12 è:
Q12 = S1 σ (T41 - T42 )/(1/a1 +1/a2 -1)
E2
T1
E1
ρ1
1
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T2
ρ2
2
Fattore di vista
n
dq1-2 = I1 (cosφ1dS1) dω12
2
n1
φ2
φ1
dω12 = dS2 cosφ2/r²
dq1 = I1 π dS1
dS2
r
dS1
dS2 cos φ2
φ2
il fattore di vista F12 è il rapporto tra l’energia
emessa da S1 che finisce su S2 e l’energia totale
emessa da S1: F12 = Q12/ Q1
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dS2
Proprietà dei fattori di vista
Per i fattori di vista valgono importanti proprietà:
• possibilità di suddividere in i parti la superficie ricevente A2 in
modo tale che la somma dei fattori di vista F1i calcolati per
ciascuna delle sottoaree sia eguale al fattore di vista F12= Σ F1i;
• per definizione, ed in conformità al principio di conservazione
dell’energia, la sommatoria dei fattori di vista di un corpo verso
tutte le superfici che lo circondano completamente sarà eguale
all’unità (proprietà di chiusura); Σ FPi = 1
• teorema della reciprocità : A1·F12 = A2 ·F21
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Relazione generale di scambio termico
Q12 = Fε F12 S1 σ (T41 - T42 )
( W)
dove Fε = fattore di emissività (dipendente dalla natura delle superfici)
F12 = fattore di configurazione o di vista (dipendente dalla natura
geometrica del problema)
Nei casi delle superfici nere parallele sia il fattore di emissività Fε che di vista
F12 valgono 1 , mentre per le superfici grigie
F12 = 1 fattore di vista superfici grigie
Fε = 1/(1/a1 +1/a2 –1) =1/(1/ε1 +1/ε2 –1)
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Casi notevoli e semplificazioni
Superficie S1 << S2 e contenuta all’interno di S2 Æ F12 = 1
Parete (orizzontale/verticale) rivolta verso l’esterno Fp-cielo = 1
Intercapedini F12 = F21 = 1
Linearizzazione dell’equazione generale:
Q12 = Fε F12 S1 σ (T21 + T22 ) (T1 + T2 ) (T1 - T2 )
per valori di T1 e T2 non molto differenti al posto di (T21 + T22 ) (T1 + T2 )
si può mettere 4 T3m con Tm = T1 + T2 /2
Q12 = Fε F12 S1 σ 4 T3m (T1 - T2 )
posto il coefficiente di scambio termico radiativo hr = Fε F12 σ 4 T3m
Q12 = hr S1 (T1 - T2 ) (W)
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Esercizio
Calcolare la quantità di energia termica scambiata per
irraggiamento in un’intercapedine tra due superfici 1 e 2 in
mattoni aventi temperature superficiali T1 = 18 °C e T2 = 15°C
Dalle tabelle per i mattoni rossi si ha a = 0,93 mentre per
l’intercapedine F12 = 1, pertanto:
Fε = 1/(1/a1 +1/a2 –1) = 1/(1/0,93 +1/0,93 –1) = 0,87
hr = Fε F12 σ 4 T3m = 0,87 ·1· 5,68 ·10-8 4 (291 + 288)3/2 =
= 4,79 W/m²K
Q12 = hr S1 (T1 - T2 ) = 4.79 · 1 m² · (18 -15) = 14,37 (W)
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Esercizio
Dimostrare mediante la legge di Wien l’effetto serra, per una
stanza con finestra avente le pareti interne a temperatura pari a
circa 20 °C .
Posto λmax = 2898/T si ha : T = 20 + 273 = 293 K
λmax = 2898/293 = 9,9 μm a tale lunghezza d’onda il vetro è
opaco
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Intercapedini
L’uso delle intercapedini è assai diffuso in edilizia: si hanno
infatti applicazioni nelle murature a cassetta, nelle pareti e
tetti ventilati, e nei vetri doppi uniti al perimetro.
L’uso delle intercapedini, riempite o meno con materiali
coibenti, e talvolta ventilate, è sostanzialmente legato alla
necessità di ridurre le dispersioni termiche in regime
invernale e di aumentarle in regime estivo.
L’evoluzione tecnologica delle vetrature e le modalità di
riduzione dello scambio termico, in primo luogo mediante
l’uso di vetri basso emissivi e di gas diversi dall’aria, è
particolarmente legata allo studio dei fenomeni di scambio
termico che coinvolgono tutte e tre le modalità esaminate.
A tal fine si analizza il calcolo del coefficiente globale di
trasmissione termica per i serramenti.
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Valori della resistenza termica di
intercapedine d’aria
UNI EN ISO 6946
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