Corso di Fluidodinamica
Anno accademico 2012/2013
Prof. Tommaso Astarita
[email protected]
Tel. 081 7685184
MATERIALE DIDATTICO
Gasdinamica, Giovanni M. Carlomagno, ed. Liguori, 2009
Appunti e Slides dal sito www.docenti.unina.it
wpage.unina.it/astarita
RICEVIMENTO ALLIEVI
Martedì 16:00-18:00
Mercoledì 16:00-18:00
(X piano - p.le Tecchio 80)
STUDIO DI UN FENOMENO FISICO
Descrizione del fenomeno
Identificazione delle ipotesi e delle approssimazioni
Modellazione del fenomeno e individuazione delle
variabili
Applicazione dei principi e delle leggi fisiche
Scrittura delle equazioni che governano il fenomeno
Risoluzione delle equazioni con le condizioni al contorno
Verifica della qualità e della validità dei risultati
LEGGI FONDAMENTALI DELLA
TERMODINAMICA CLASSICA
T >0
dE t = δ Q − δ L
II legge
dS = δe S + δi S;
δ e S = δ Q/T ; δi S ≥ 0
Postulato di Nernst lim S = 0
Legge zero
I legge
T →0
SISTEMA TERMODINAMICO
Un sistema termodinamico Σ si può definire in termini di un volume di
controllo V (formulazione Euleriana) o di una massa di controllo
(formulazione Langrangiana).
Formulazione euleriana
V è fisso nel tempo
V può essere pluri o semplicemente
connesso
D sono superfici chiuse, materiali, o fittizie
La massa contenuta in V è, in generale,
funzione del tempo
L'estensione è fissata in termini del volume
del sistema V
Formulazione lagrangiana
è fissa nel tempo.
Le dimensioni di V, (forma e locazione)
possono variare nel tempo.
La superficie D delimitante il volume V
occupato dalla massa di controllo
varia
(in forma e dimensioni) nel tempo.
La connessione di V può variare nel tempo.
L'estensione del sistema e fissata in termini
della massa del sistema
ESEMPI DI SCELTA DEL SISTEMA DI
CONTROLLO
Formulazione Euleriana
(sistema a volume costante;
il tratto di condotto rigido)
Formulazione Lagragiana
(sistema a massa costante;
il gas nel palloncino deformabile)
GRANDEZZE ESTENSIVE
Una grandezza G si dice estensiva se il suo valore, in un sistema in cui è
distribuita in modo uniforme, è linearmente proporzionale all'estensione
del sistema stesso.
Se G è funzione solo di altre grandezze estensive G = f(Gi ); (i = 1, 2, .., k),
essa è una funzione omogenea di primo grado nelle Gi
n
G gode inoltre della proprietà di additività
Gtot = ∑ Gi
i=1
Sono grandezze estensive: il volume, la massa, il numero di moli, la quantità
di moto, l'energia cinetica, l'entropia, l'energia interna, etc
Una funzione si dice omogenea di grado α se, moltiplicando le variabili da
cui dipende per uno stesso fattore β > 0, essa risulta moltiplicata per β α ;
ad esempio: f(β x, β y) = β α f (x,y); y = x2 → y(β x) = β 2x2.
UNIFORMITÀ DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Il concetto di distribuzione uniforme di una grandezza estensiva
rappresenta il grado di omogeneità con il quale la grandezza estensiva è
distribuita all’interno di un sistema
Definizione ingegneristica di uniformità: Dato un sistema di volume V , lo
si suddivida in un numero arbitrario n di sottosistemi (con n intero
positivo) ciascuno di volume ∆V = V /n. Il valore di una qualsiasi
grandezza estensiva G in ciascuno dei sottosistemi sarà pari a ∆Gi (i = 1, ..,
n) e in generale diverso da sottosistema a sottosistema.
Indicando rispettivamente con ∆Gmax e ∆Gmin il valore massimo e il valore
minimo degli n valori ∆Gi, la massima differenza tra i valori dei ∆Gi nei
diversi sottosis-temi potrà quindi essere individuata dalla quantità:
δ G = ∆ Gmax − ∆ Gmin
L’uniformità del sistema sarà senz’altro assicurata se, qualunque sia il
valore di n, cioé la suddivisione fatta, è sempre verificata la condizione:
δ G / ∑ ∆ Gi → 0
GRANDEZZE INTENSIVE
Una grandezza intensiva I è una grandezza il cui valore (in un sistema
uniforme) non dipende dall'estensione del sistema stesso.
Una grandezza intensiva è omogenea di grado zero di grandezze estensive.
La temperatura, la pressione e la velocità di un fluido sono esempi di
grandezze intensive
GRANDEZZE SPECIFICHE
Una grandezza specifica è una grandezza estensiva riferita all'unità di
estensione infinitesima.
Una grandezza estensiva G si può rendere specifica rispetto a qualsiasi altra
grandezza estensiva G' di riferimento che caratterizzi l'estensione del
sistema.
Nella maggior parte dei casi G' si identifica con la massa, o con il volume.
GRANDEZZE SPECIFICHE
G riferita all'unità di massa si indicherà con g (densità massica di G).
G riferita all'unità di volume con g+ (densità volumetrica di G).
Tutte le grandezze specifiche riferite all'unità di massa si indicano con la
lettera minuscola corrispondente a quella (maiuscola) con la quale si indica la
grandezza estensiva.
Per le grandezze specifiche riferite all'unità di volume, alla lettera minuscola
si appone l'apice +.
Fa eccezione la densità volumetrica di massa, o più
sinteticamente densità di massa (massa riferita all'unità
di volume), che si indica con la lettera greca ρ .
∆
=ρ
lim
∆V →0 ∆V
Ad esempio, la grandezza estensiva entropia si indica con S, l'entropia per
unità di massa con s e quella per unità di volume con s+.
Valgono le relazioni:
g+ = g ρ
g = v g+
;
;
v= 1
ρ
GRANDEZZE SPECIFICHE
Le dimensioni di una grandezza specifica sono:
[g ] ≡ [G ]
;
[g ] ≡ [GL ]
+
3
Le grandezze specifiche g e g+ conservano lo stesso ordine tensoriale
delle grandezze dalle quali vengono derivate.
La densità, il volume specifico, l'energia cinetica, per unità di massa o per
unità di volume del fluido, sono esempi di grandezze specifiche.
La velocità, già indicata come grandezza intensiva, se intesa come quantità
di moto per unità di massa, rappresenta anch’essa una grandezza specifica.
GRANDEZZE SCALARI, VETTORIALI, TENSORIALI
Una grandezza scalare (o, più semplicemente, uno scalare) è descritta e
caratterizzata in modo completo, in un prescelto sistema di unità di misura, da
un numero (positivo o negativo).
Le grandezze scalari sono invarianti rispetto ad una qualunque trasformazione
del sistema delle coordinate di riferimento. Esempi sono: la massa, il volume, la
temperatura, la densità, il volume specifico, la pressione in un fluido in quiete.
Uno scalare è anche definito come un tensore di ordine zero.
Una grandezza vettoriale (o, un vettore) è descritta e caratterizzata in modo
completo da un valore numerico e da una direzione orientata.
Una grandezza vettoriale può essere considerata come somma di tre vettori
diretti secondo tre direzioni di riferimento prefissate, le cui intensità vengono
chiamate componenti (3 scalari) della grandezza stessa
Se le direzioni prefissate sono costanti per ogni punto dello spazio, il sistema di
riferimento si dice cartesiano e, se in particolare queste direzioni sono
mutuamente ortogonali, il sistema viene detto cartesiano ortogonale
GRANDEZZE SCALARI, VETTORIALI, TENSORIALI
Una grandezza vettoriale è detta assoluta se essa è invariante rispetto al
sistema di riferimento; non saranno ovviamente tali le sue componenti.
Esempi di grandezze vettoriali, non necessariamente assolute, sono: le
forze applicate, la velocità, l'accelerazione, la quantità di moto, la velocità
angolare, etc.
Un vettore è anche definito come un tensore di ordine uno e viene
generalmente indicato con una sottolineatura V.
Una grandezza tensoriale del secondo ordine (o, più semplicemente, un
tensore) è una grandezza fisica associata agli enti geometrici punto,
direzione orientata e giacitura orientata (ovvero punto e due direzioni
orientate, potendosi rappresentare la giacitura con la direzione normale alla
giacitura stessa). Essa viene generalmente indicata con due sottolineature.
GRANDEZZE SCALARI, VETTORIALI, TENSORIALI
In uno spazio a 3 dimensioni ci sono 3 giaciture indipendenti (piani
coordinati), per cui un tensore ha tre componenti vettoriali (non assolute)
associate a ciascuna delle tre giaciture.
Alternativamente, poiché in uno spazio a 3 dimensioni ci sono 3 × 3 = 9
coppie indipendenti di direzioni di riferimento (coppie coordinate), il
tensore ha nove componenti scalari (anche esse non assolute), associate a
ciascuna delle coppie coordinate.
Tutte le grandezze associate ad un punto ed a due direzioni orientate sono
grandezze tensoriali del secondo ordine che vengono indicate con una
doppia sottolineatura.
Analogamente a quanto detto per i vettori, il tensore assoluto è una
grandezza invariante rispetto al sistema di riferimento, ma non sono tali le
sue componenti (nè le vettoriali, nè le scalari)
Esempi di tensori sono gli sforzi superficiali, i momenti di inerzia etc..
FLUSSO DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Una delle caratteristiche più essenziali (ai fini termodinamici) delle grandezze
estensive è che esse (e solo esse) possono fluire (possono cioè essere
scambiate tra il sistema e il suo ambiente).
Si definisce flusso Φ G di una grandezza estensiva G in un punto, la
grandezza che dà, in intensità e direzione, la quantità di G che fluisce per
unità di superficie e per unità di tempo.
Associata al concetto di flusso è quindi una direzione orientata riconoscibile
dalla direzione secondo la quale la grandezza fluisce. Pertanto, se la grandezza G è un tensore di ordine k, il flusso di G è un tensore di ordine k + 1.
Esempio: il flusso di massa è un vettore (tensore di ordine uno) essendo la
massa uno scalare (tensore di ordine zero), il flusso di quantità di moto è un
tensore del secondo ordine essendo la quantità di moto un vettore e così via.
FLUSSO DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Le dimensioni del flusso sono:
[ΦG ] ≡ [G2 ]
Lt
Nella definizione di flusso è insito il concetto di trasporto di una
grandezza, e quindi di velocità, come può del resto dedursi dalle
dimensioni stesse del flusso infatti
[Φ ] ≡ [G ] L ≡ [g ] [V ]
+
G
3
Lt
[V] ≡ dimensioni di una velocità
Il flusso può essere comunque espresso come prodotto della densità
volumetrica della grandezza G per una opportuna velocità W.
ΦG = g +W = ρ g W
Il flusso dipende, in generale, dal sistema di riferimento.
FLUSSO DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Introducendo la velocità V di una particella elementare (più propriamente la
velocità V del centro di massa di una particella elementare) è possibile effettuare una importante scomposizione del flusso di una grandezza estensiva G.
Φ G = ρ gV + J G
La precedente relazione opera una scomposizione del flusso totale di G,
[misurato in un sistema di riferimento galileiano (Ω,ξ,η,ζ)] in due parti:
a) un flusso convettivo o macroscopico che risulta pari al prodotto
della densità volumetrica (ρ g) di G per la velocità di massa V della particella
elementare anch'essa misurata nel sistema di riferimento (Ω,ξ,η,ζ). Esso
rappresenta la G che si accompagna alla massa che fluisce;
b) un flusso diffusivo o microscopico che rappresenta la differenza
tra il flusso totale e quello macroscopico e che risulta diverso da zero se il
trasporto della grandezza G non è dovuto unicamente al trasporto convettivo
(il quale è associato al moto del centro di massa della particella), ma ad un
fenomeno di diffusione della grandezza G (pressione, flusso di calore, ecc.).
PRODUZIONE DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Una grandezza estensiva, oltre a fluire può, in generale, essere prodotta
(in senso algebrico), cioè può essere creata o distrutta (ad es. reazioni
chimiche)
La produzione di una grandezza estensiva può, ovviamente, variare da
punto a punto del sistema ed, in ogni punto, da istante a istante
Si definisce quindi la produzione di una grandezza estensiva G in un
punto la quantità di G che si crea o si distrugge per unità di volume e
per unità di tempo nel punto considerato.
Se la produzione di una grandezza è sempre identicamente nulla, si dice
che la stessa si conserva o, equivalente mente, che la grandezza è
conservativa
Le dimensioni della produzione sono:
[g& ] ≡ [G ]
+
L3 t
PRODUZIONE DI UNA GRANDEZZA ESTENSIVA
Si può definire anche la produzione di G per unità di massa e unità di
tempo che sarà indicata con:
g& = v g& +
;
g& + = ρ g&
A titolo di esempio, si noti che la produzione della quantità di moto ha le
dimensioni:
[V ] ≡ [ρ ] [a ]
L3 t
(dove con [a] sono state indicate le dimensioni di un'accelerazione) per cui
essa ha le dimensioni di una forza per unità di volume.
Le dimensioni tensoriali della produzione sono le stesse di quelle della
grandezza G da cui essa è derivata.
IL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE E
L'IPOTESI DEL CONTINUO
La materia, pur apparendo macroscopicamente continua, è di fatto costituita
da un numero elevatissimo di particelle discrete, che si chiamano molecole.
Nel famoso libro sulla teoria cinetica dei gas, scritto nel 1940, Sir J.Jeans dice:
“Un uomo, ogni volta che inspira o espira, scambia con l'ambiente circa 400cm3
di aria. Come si vedrà poi, ogni singolo respiro contiene circa 1022 molecole. È
stato stimato che tutta l'atmosfera della terra è costituita da circa 1044 molecole.
Quindi, una molecola sta, rispetto al numero di molecole contenute in un
respiro, nello stesso rapporto con il quale queste ultime stanno rispetto al
numero di molecole contenute in tutta l'atmosfera”. 1044 : 1022 = 1022 : 1
Se si suppone che l'ultimo respiro (e cioè, l’espirazione, dopo che è stato
pugnalato) di Giulio Cesare, al giorno d'oggi (dopo circa 2000 anni), si sia completamente disperso nell'atmosfera, statisticamente un individuo ogni volta che
inspira, immette nei suoi polmoni una molecola di questa sua espirazione.
Inoltre, poiché i nostri polmoni contengono circa 2 litri di aria, verosimilmente
ognuno di noi ha nei suoi polmoni circa 5 molecole dell'ultimo respiro di
Giulio Cesare!
IL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE E
L'IPOTESI DEL CONTINUO
Un gas, macroscopicamente continuo, è quindi costituito da un elevatissimo numero di molecole.
Una mole di gas (e cioè una massa di gas in grammi pari al numero che
esprime la massa molecolare del gas) contiene un numero di Avogadro
N = 6.023x1023 di molecole (ad es.: 4g di He, 28g di N2, 32g di O2, ecc.).
Una mole di gas, a temperatura e pressione normali (T = 0°C; p = 1ata),
occupa circa 22.4litri.
Perciò, a 20°C e p = 1ata, 400cm3 di aria contengono ≈1022 molecole.
Per l'aria in condizioni normali, la distanza ∆ tra le molecole è pari a circa
10 volte il loro diametro equivalente. ∆ = (22.4 x 10 -3/N)1/3 = 3.3 x 10 -9m.
Le molecole si muovono continuamente, piuttosto indipendentemente l'una
dall'altra salvo che negli istanti in cui urtano tra loro (nell’aria in condizioni
normali, ogni molecola subisce circa 7 miliardi di urti al secondo).
La traiettoria delle molecole tra due urti consecutivi può essere
considerata abbastanza rettilinea, poiché le forze intermolecolari (tra le
molecole) sono molto deboli salvo che durante gli urti.
IL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE E
L'IPOTESI DEL CONTINUO
Cammino libero medio molecolare
Il cammino libero medio molecolare
è definito come la distanza
media percorsa dalla molecola tra due urti consecutivi.
Poiché gli urti tra le molecole sono quelli mediante i quali esse
medio
scambiano sia energia, che quantità di moto, il cammino libero
3
λ
molecolare è una grandezza molto importante in fluidodinamica.
Validità dell’ipotesi di continuità del sistema
L’ipotesi del continuo comporta che nel sistema esista, comunque, un
volumetto
molto più piccolo del volume di controllo in esame
(
) ma molto più grande del cubo del cammino libero medio
molecolare (
).
sia presente un elevato numero di
Infatti, ciò garantisce che in
molecole e che in esista un numero elevato di
.
Difatti, come si vedrà, per l’aria in condizioni normali λ = 7.2x10-8m, un
cubetto di lato contiene circa 104 molecole, quantità già molto elevata.
STIMA DEL CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE
La velocità media di una molecola sia pari a .
La molecola percorrerà nel tempo
di lunghezza mediamente pari a
una traiettoria
.
Nel percorrere questo spazio la molecola entrerà in
collisione con tutte le altre molecole contenute nel
volume da essa spazzato
, le quali, se si
indica con n il numero di molecole presente per unità
.
di volume, risultano pari a
Infatti, due molecole entrano in collisione quando i loro centri sono a una
distanza inferiore al loro diametro d e cioè quando il centro della molecola
urtata entra nella cosiddetta sezione d’urto di quella presa in considerazione.
Il rapporto tra lo spazio percorso ed il numero di urti (numero di molecole
contenute nel volume spazzato) rappresenta il cammino libero medio della
molecola
, qui stimato con l'approssimazione che tutte le altre molecole
siano ferme:
;
a = approssimato
CAMMINO LIBERO MEDIO MOLECOLARE
Una più esatta espressione del cammino libero medio molecolare è la
seguente:
λ=
1
2π d 2 n
Il cammino libero medio molecolare consente di introdurre un numero
adimensionale (in quanto rapporto di due lunghezze), chiamato numero di
Knudsen Kn, definito come
Kn = λ /L
REGIMI DI MOTO
Per Knδ <10-2, il moto può essere considerato continuo, nel qual
caso la velocità del fluido in prossimità della parete risulta uguale
a quella della parete stessa (ipotesi di continuità). Se la parete è
ferma, anche il fluido è fermo.
Per 10-2 < Knδ <10-1, si può continuare a considerare il moto continuo
nel campo di moto, ma la velocità del fluido alla parete può essere
diversa da quella della parete (slip flow).
Per 10-1 < Knδ < 3, il regime di moto è detto di transizione. Il regime
di transizione risulta molto complesso da trattare.
Per Knδ > 3, si passa al regime di molecole libere. In quest'ultimo
regime, gli effetti degli urti tra le molecole e la superficie solida di
un corpo sono predominanti rispetto a quelli dovuti agli urti tra le
molecole stesse (modello newtoniano).
Valutazione del cammino libero medio molecolare
mean free path
d = 3.4 x 10-10m
Valutazione del cammino libero medio molecolare
7.2 x 10-8m
LOGICA DEL BILANCIO
Dato un campo di moto di un fluido, le grandezze incognite necessarie a
caratterizzarlo sono di due tipi:
termodinamiche
cinematiche
Le incognite fondamentali sono costituite da tutte le grandezze estensive (ad
es. la massa , l'energia totale E t , l'entropia S, la quantità di moto V) e
per ciascuna di queste grandezze si può formulare un'equazione del bilancio.
LOGICA DEL BILANCIO
Detta G una qualunque grandezza estensiva, il bilancio di
questa grandezza nel sistema Σ può essere espresso
mediante una formulazione a blocchi:
Variazione
di G in Σ
=
Interazione
con
l'ambiente
esterno via
D
+
Produzio
ne
per cause
interne in
V
Equazione formale del bilancio
LOGICA DEL BILANCIO
Se la grandezza G è conservativa l’equazione del bilancio diventa:
Variazione
di G in Σ
Interazione
con l'ambiente
esterno via D
=
Equazione formale della conservazione
FORMULAZIONE DEL BILANCIO
Gt = ∫ g + (r , t ) dV = ∫ ρ (r , t ) g (r , t ) dV = G t (t )
V
V
dGt d
=
dt
dt
∫
V
ρ g dV
G& = ∫ g& + dV = ∫ ρ g& dV = G& (t )
V
V
Variazione di G
Produzione
La portata elementare della grandezza estensiva G che
ΦG
attraversa dD è data dalla quantità:
Φ G ⋅ n dD = (Φ G )n dD
Portata totale
Interazione con
l'esterno
∫
D
(Φ G ⋅ n ) dD
FORMULAZIONE DEL BILANCIO
Variazione di G
d
dt
∫ ρ g dV
V
Interazione con
l'esterno
= − ∫ D (Φ G ⋅ n )dD +
Produzione
∫ ρ g& dV
V
Φ G = ρ gV + J G
V
Se la superficie D del sistema Σ non è fissa rispetto al sistema dis
riferimento in cui è valutata la V, ma è dotata di una velocità
Φ G = ρg (V − V s ) + J G
d
ρ g dV + ∫ D [ρg (V − V s ) ⋅ n] dD +
∫
V
dt
+ ∫ D (J G ⋅ n )dD = ∫V ρ g& dV
BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO
(II PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA)
Per sistemi puramente meccanici (con scambi di energia che avvengono
solo nel modo lavoro) non si scambia anche entropia;
Per i sistemi aperti non esiste un modo univoco di definire il flusso di
entropia: quando fluisce la massa, fluiscono simultaneamente l'entropia e
l'energia;
Per un sistema chiuso, il flusso di entropia è associato al solo flusso di
energia nel modo calore;
Il sistema è chiuso quindi: (V − V s ) ⋅ n = 0
dS
= − ∫ D (J s ⋅ n )dD +
dt
∫ ρ s&dV
V
BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO
(II PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA)
Ricordando che:
Js =
Jq
T
dS
J
= − ∫ D q ⋅ n dD +
dt
T
J
dS = − ∫ D q ⋅ n dD +
T
∫ ρ s& dV dt
V
J
δ e S = − ∫ D q ⋅ n dD dt
T
∫ ρ s&dV
V
dS = δ e S + δ i S
;
δi S =
[∫
V
]
ρ s& dV dt
BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO
(II PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA)
Trasformazione adiabatica. Se in tutti i punti della superficie del sistema si
verifica:
Jq
⋅n = 0
T
δeS = 0
Trasformazione reversibile. Si dice reversibile una trasformazione durante la
quale si verifica che:
s& = 0
δiS = 0
Trasformazione isoentropica. Se l'entropia del sistema si mantiene
costante durante la trasformazione, questa è detta isoentropica, infatti:
dS = 0
S = cost.
BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO
a) Una trasformazione adiabatica e reversibile è necessariamente anche isoentropica:
δeS = δiS = 0
dS = 0
b) Una trasformazione isoentropica non è necessariamente adiabatica, e/o reversibile,
potendo essere:
dS = 0
con
δeS = – δiS ≤ 0
e cioè l'entropia prodotta viene riversata nell'ambiente.
c) una trasformazione adiabatica e isoentropica è necessariamente anche reversibile:
δ e S = dS = 0
δiS = 0
d) una trasformazione adiabatica non è necessariamente isoentropica, e/o reversibile,
potendo essere:
δeS = 0
con
dS = δ i S ≥ 0
e cioè la variazione di entropia è dovuta alla sua produzione.
e) una trasformazione isoentropica e reversibile è necessariamente anche adiabatica:
δ i S = dS = 0
δeS = 0
f) una trasformazione reversibile non è necessariamente isoentropica, e/o adiabatica,
potendo essere:
δiS = 0
con
dS = δ e S ≠ 0
e cioè la variazione di entropia è dovuta agli scambi con l'ambiente.
BILANCIO DELL'ENTROPIA PER UN SISTEMA CHIUSO
a) Una trasformazione adiabatica e reversibile è necessariamente anche isoentropica:
δeS = δiS = 0
dS = 0
b) Una trasformazione isoentropica non è necessariamente adiabatica, e/o reversibile, potendo
essere:
dS = 0
con
δeS = – δiS ≤ 0
e cioè l'entropia prodotta viene riversata nell'ambiente.
c) Una trasformazione adiabatica e isoentropica è necessariamente anche reversibile:
δ e S = dS = 0
δiS = 0
d) Una trasformazione adiabatica non è necessariamente isoentropica, e/o reversibile, potendo
essere:
δeS = 0
con
dS = δ i S ≥ 0
e cioè la variazione di entropia è dovuta alla sua produzione.
e) Una trasformazione isoentropica e reversibile è necessariamente anche adiabatica:
δ i S = dS = 0
δeS = 0
f) Una trasformazione reversibile non è necessariamente isoentropica, e/o adiabatica, potendo
essere:
con
dS = δ e S ≠ 0
δiS = 0
e cioè la variazione di entropia è dovuta agli scambi con l'ambiente.
RAPPRESENTAZIONE EULERIANA / LAGRANGIANA
Formulazione Euleriana
Formulazione Lagragiana
(sistema a volume costante)
(sistema a massa costante)
Il sistema di riferimento rispetto al quale si scriveranno tutte le equazioni
sarà in generale inerziale.
RAPPRESENTAZIONE LAGRANGIANA O MATERIALE
Scelto un sistema di coordinate rispetto alle quali si intende studiare il moto
del fluido, si supponga che le varie particelle di fluido (masse elementari di
fluido) rimangano distinte sul piano macroscopico nel loro moto.
La particella nel generico istante di tempo si può rappresentare come
funzione della sua posizione iniziale r o e del tempo t:
r = r (r o , t )
Le coordinate che specificano il vettore posizione iniziale r o delle particelle
di fluido vengono generalmente indicate come coordinate materiali o
lagrangiane; esse unite alla variabile tempo formano l'insieme delle
variabili indipendenti per la descrizione lagrangiana del moto.
RAPPRESENTAZIONE EULERIANA
Si supponga che la trasformazione inversa di quella lagrangiana esista e che
essa si può scrivere formalmente come:
r o = r o (r , t )
Le coordinate che specificano il vettore posizione r si chiamano coordinate
spaziali o euleriane; esse unite alla variabile tempo formano l'insieme delle
variabili indipendenti per la descrizione euleriana del moto.
DERIVATE SOSTANZIALE E LOCALE
RISPETTO AL TEMPO
g = g (r o , t ) = g ( xo , yo , zo , t )
g = g (r , t ) = g ( x , y , z , t )
(x
o
, yo , zo ) e (x,y,z) sono, nell'ordine, le coordinate materiali di una
particella e le coordinate spaziali di un punto in un sistema di riferimento
che, per semplicità di trattazione, si suppone cartesiano ortogonale
La derivata materiale o sostanziale (lagrangiana) rispetto al tempo di una
generica grandezza g si indica con Dg /Dt; essa rappresenta la rapidità con
la quale varia la grandezza g misurata da un osservatore che si muove a
cavallo di una particella elementare.
La derivata spaziale o locale (euleriana) rispetto al tempo di una generica
grandezza g si indica con ∂ g/∂ t; essa rappresenta la rapidità con la quale
varia la grandezza g in un punto fisso rispetto al sistema di coordinate di
riferimento.
DERIVATA SOSTANZIALE
La variazione nel tempo ∆ t della generica grandezza g(x,y,z,t),
relativa alla particella considerata, può essere approssimata dai termini del
primo ordine dello sviluppo in serie di Taylor:
(∆ g )
part
= g ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z, t + ∆ t ) − g ( x, y, z, t ) =
∂ g
∂ g
∂ g
∂ g
∆ y +
=
∆t +
∆ x +
∆z
y
z
∂
∂
∂ t r
∂ x y,z,t
x, y,t
x, z,t
e dividendo per ∆ t:
∆g
∂ g ∂ g ∆x ∂ g ∆ y ∂ g ∆z
+
+
=
+
∆
∆
∆
t
t
t
t
x
y
z
∂
∂
∂
∂
part
∆t
∆t→0 →
∂ g
∂ g
Dg ∂ g ∂ g
+
w
v+
u+
=
Dt ∂ t ∂ x
∂ y
∂z
→
Dg ∂ g
+V ⋅∇ g
=
Dt ∂ t
TEOREMA DEL TRASPORTO
∫ ρ (r, t ) dV = ∫ ρ (r, t ) dV
V0
o
V
G=∫
=
gd
La generica grandezza estensiva totale associata ad
TEOREMA DEL TRASPORTO
La variazione di G nell'intervallo di tempo ∆ t
(∆ G )
=∫
V
(∆ G )
ρ (r ,t ) g (r ,t )dV − ∫ ρ (r ,to ) g (r ,to )dV
V0
=
[∫
V
]
ρ g dV − ∫ ρ g dV
t
V
t
0
o
(∆ G )
=
(∆ G )
= ∫
ρ g dV − ∫
ρ g dV + ∫
ρ g dV − ∫
ρ g dV
to
t Vo ∩V
V o ∩V
V
V
∩
V
V
V
∩
V
to
t o o
o
ρ g dV + ∫
ρ g dV − ∫
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫
to Vo ∩V
t Vo - V o ∩V
t V o ∩V
V - V o ∩V
to
TEOREMA DEL TRASPORTO
Dividendo per ∆ t e passando al limite per ∆ t → 0
(∆ G )
∆t
→
DG / Dt =
d
dt
∫
gd
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫
to
V
∩
V
V
∩
V
o
t o
DG
= lim
+
Dt ∆ t →0
∆t
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫V - Vo ∩V
to
V
V
∩
V
t o o
+ lim
∆ t →0
∆t
TEOREMA DEL TRASPORTO
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫
to
V
∩
V
V
∩
V
o
t o
DG
= lim
+
∆t
Dt ∆ t →0
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫V - Vo ∩V
to
V
V
∩
V
t o o
+ lim
∆ t →0
∆t
Per ∆ t → 0 si ha Vο ∩V → V → Vο ed il primo limite del
secondo membro
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫
V o ∩V
t V o ∩V
to d
lim
=
∆ t →0
∆t
dt
∫
Vo
ρ g dV o
TEOREMA DEL TRASPORTO
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫
to
V
∩
V
V
∩
V
o
t o
DG
= lim
+
Dt ∆ t →0
∆t
ρ g dV − ∫
ρ g dV
∫V - Vo ∩V
to
V
V
∩
V
t o o
+ lim
∆ t →0
∆t
La quantità di G che attraversa la superficie dD nel tempo ∆t si può
scrivere ρ g dV ≅ ρ gV ⋅ n∆tdD
ρ g dV − ∫
ρ g dV
t Vo - V o ∩V
∫V - Vo ∩V
to
= ∫ ρ gV ⋅ n dD
lim
Do
∆ t →0
∆t
TEOREMA DEL TRASPORTO
In definitiva:
DG d
=
Dt dt
∫
Vo
ρ g dV + ∫
Do
ρ gV ⋅ n dD
e facendo uso del teorema della divergenza:
DG d
=
Dt dt
∫
Vo
ρ g dV + ∫
Vo
∇ ⋅ ( ρ g V ) dV
