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Funzioni continue
Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente
come in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione.
(6.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le tre proposizioni seguenti sono
equivalenti:
(i) f è continua
(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).
(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso in X.
(iv) Se B è una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la controimmagine
f −1 B è aperto in X.
(6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.
Dimostrazione. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. La
composizione gf : X → Z è continua se e solo se (gf )−1 (A) è aperto in X ogni volta che A è
aperto in Z. Ora,
(gf )−1 (A) = {x ∈ X : g(f (x)) ∈ A}
= {x ∈ X : f (x) ∈ g −1 (A)}
= f −1 (g −1 (A))
e dunque se A è aperto anche g −1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è
continua f −1 (g −1 (A)) è aperto in X.
q.e.d.
(6.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia indotta,
allora la restrizione f |A è continua.
Dimostrazione. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1 (B) è aperta in X, dato che f
è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f |A è data dall’insieme
{x ∈ A : f (x) ∈ B},
e quindi da A ∩ f −1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. q.e.d.
(6.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è
biunivoca e sia f che la funzione inversa f −1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono
omeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).
(6.5) Definizione. Una funzione f : X → Y è
(i) aperta se l’immagine f (A) di ogni aperto A di X è aperta in Y .
(ii) chiusa se l’immagine f (C) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y .
(6.6) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà
è vera:
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(i) f è biunivoca, continua e aperta.
(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.
La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro
che un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che la
famiglia degli aperti viene conservata.
(6.7) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito
della metrica d((ai,j ), (bi,j )) = max(|ai,j − bi,j |). X è omeomorfo a R4 con la metrica euclidea
i,j
qP
4
2
d((xi ), (yi )) =
i=1 (xi − yi ) tramite l’omeomorfismo
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
a
1,1
a2,1
7→
a1,2
a2,2
(6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione
stereografica).
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Topologia prodotto
(7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X × Y ammette una
topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base
base = {U × V ⊂ X × Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }.
Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme di
aperti sopra descritto costituisca una base per X × Y : esercizio (3.1).
Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1 (x, y) = x e p2 (x, y) = y si
dicono le proiezioni.
(7.2) Se X × Y ha la topologia prodotto, allora X × Y ≈ Y × X (sono omeomorfi), e le
proiezioni p1 : X × Y → X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.
Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi
˙ n⊂
topologici X1 ,X2 ,. . . , Xn , che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U1 ×U2 × ×U
X1 × X2 × · · · × Xn .
(7.3) Esempio. La retta è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b) per ogni a < b.
(7.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale
alla topologia prodotto.
(7.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R2 . Analogamente, I n è il cubo di dimensione
n.
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Spazi di identificazione e topologie quoziente
Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di
funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.
Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X → X/∼ la
proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza).
(8.1) Esempio.
(i) I0∼1 .
(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z.
(iii) R2 con x = (x1 , x2 ) ∼ y = (y1 , y2 ) ⇐⇒ x − y ∈ Z2 .
(iv) Striscia di Möbius.
In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y si può vedere come insieme
delle classi di equivalenza date dalla relazione
∀x, y ∈ X, x ∈ y ⇐⇒ f (x) = f (y).
(8.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzione suriettiva,
allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli
i sottoinsiemi A ⊂ Y per cui la controimmagine f −1 (A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dice
spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f .
(8.3) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia
quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X).
Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è aperto nella
topologia di Y , allora f −1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è
aperto nella topologia quoziente.
q.e.d.
(8.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A ⊂ X un sottospazio, si scrive X/A
(quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo
spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli
punti di X r A e A.
(8.5) Esempio. Il toro: [0, 1] × [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza. . . )
(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).
(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.
(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.
È omeomorfo a S 1 × S 1 ?
(8.6) Esempio. Il disco: D1 (0, R2 ) = D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, quozientato rispetto
alla relazione di equivalenza:
(
x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2 (x e y stanno sul bordo)
x ∼ y ⇐⇒
x=y
altrimenti
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(8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D2 quozientato rispetto alla relazione:
(
x = −y
se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2
x ∼ y ⇐⇒
x=y
altrimenti
Analogo: S 2 /∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).
(8.8) Esempio. Nastro di Möbius:
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