Misure Elettriche

Misure Elettriche
Piero Malcovati
1 luglio 2014
Indice
Elenco delle Figure
9
Elenco delle Tabelle
17
Elenco delle Abbreviazioni
19
Elenco dei Simboli
21
1
2
Concetti Generali
1.1 Scopo di una Misurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Sistema Internazionale di Unità di Misura . . . . . . . . . . . .
1.3 Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati
1.4 Alcune Nozioni di Statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Distribuzione Normale (o Gaussiana) . . . . . . . . . .
1.4.2 Distribuzione di Student . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Distribuzione Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Incertezza di Misura di Tipo A . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Incertezza di Misura di Tipo B . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Incertezza Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Incertezza Estesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Espressione dei Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Riferibilità delle Misure . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Campioni di Laboratorio
2.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Campioni di Forza Elettromotrice . . . . .
2.3 Sorgenti di Tensione Campione . . . . . . .
2.4 Campioni di Resistenza . . . . . . . . . . .
2.5 Campioni di Capacità . . . . . . . . . . . .
2.6 Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza
2.7 Campioni di Intervallo di Tempo . . . . . .
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Piero Malcovati, Misure Elettriche
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Catene di Misura
3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Richiami sulla Trasformata di Laplace . . . . . .
3.2.1 Proprietà della Trasformata di Laplace . .
3.2.2 Risoluzione di Equazioni Differenziali . .
3.3 Funzione di Trasferimento . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Sistemi del Primo Ordine . . . . . . . . .
3.3.2 Sistemi del Secondo Ordine . . . . . . .
3.4 Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
3.5 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale . .
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Strumenti Analogici
4.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Classe di Precisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio
4.4 Strumenti a Conversione Magnetoelettrica . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Strumenti a Conversione Elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Strumenti a Conversione Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Strumenti ad Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Contatori ad Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misure Industriali con Strumenti Analogici
5.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Misure in Corrente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Misure di Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Misure di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Misure di Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Misure di Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Misure di Tensione in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Misure di Corrente in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale . . . .
5.5.1 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Misure di Fattore di Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5 Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della Corrente
5.6 Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale . . . . .
5.6.1 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Misure in Regime Non-Sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Misure di Tensione e Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Piero Malcovati, Misure Elettriche
Indice
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6
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8
5.7.3 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Teoria di Budeanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo . . . . . . . . . .
5.8.1 Apparecchio di Epstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale . . .
5.8.3 Separazione delle Perdite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
5.8.5 Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica . . .
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Metodi di Ponte
6.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ponte di Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Doppio Ponte di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Metodi di Ponte in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Principio dei Ponti in Corrente Alternata . . . . . . .
6.4.2 Ponte di Schering . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Misure su Condensatori di Capacità Elevata . . . . .
6.4.4 Misure in Alta Tensione e Regolazione dei Potenziali
6.4.5 Ponti Automatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conversione Analogico-Digitale
7.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Blocchi Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Comparatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Contatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Convertitore D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Convertitori A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare
7.5.2 Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare . . . . .
7.5.3 Convertitore A/D Incrementale . . . . . . . . . . . .
7.5.4 Convertitore A/D ad Approssimazioni Successive . .
7.5.5 Convertitore A/D Flash . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.6 Convertitore A/D Pipeline . . . . . . . . . . . . . .
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Strumenti Digitali
8.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Multimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Wattmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza . . . . .
8.4.1 Strumenti per la Misura di Frequenza e Periodo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
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Indice
8.5
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8.4.2 Strumenti per la Misura di Intervalli di Tempo . . . . . . . . . . . 212
Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Trasformatori di Misura
9.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Trasformatore di Corrente . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . .
9.2.2 TA per Misura . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 TA per Protezione . . . . . . . . . . . .
9.2.4 TA a Più Rapporti . . . . . . . . . . . .
9.3 Trasformatore di Tensione Induttivo . . . . . . .
9.3.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . .
9.3.2 TVI per Misura . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 TVI per Protezione . . . . . . . . . . . .
9.3.4 TVI a Più Rapporti . . . . . . . . . . . .
9.4 Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente
9.5 Trasformatore di Tensione Capacitivo . . . . . .
9.5.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . .
9.5.2 TVC per Misura . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 TVC per Protezione . . . . . . . . . . .
9.5.4 TVC a Più Rapporti . . . . . . . . . . .
9.6 Taratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Taratura di un TA . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Taratura di un TVI o di un TVC . . . . .
9.7 Diagramma di Moellinger . . . . . . . . . . . . .
9.8 Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Misure di Tensione Residua in Sistemi Trifase . .
9.10 Misure di Potenza in Sistemi Monofase . . . . .
10 Oscilloscopi
10.1 Generalità . . . . . . . . . . . .
10.2 Tubo a Raggi Catodici . . . . .
10.2.1 Cannone Elettronico . .
10.2.2 Placchette di Deflessione
10.2.3 Schermo . . . . . . . .
10.3 Base dei Tempi . . . . . . . . .
10.3.1 Modalità Triggered . . .
10.3.2 Modalità Auto . . . . .
10.3.3 Modalità Single-Sweep .
10.4 Canale Verticale (Y) . . . . . . .
10.5 Canale Orizzontale (X) . . . . .
10.6 Oscilloscopio a Doppia Traccia .
10.6.1 Modalità Alternate . . .
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257
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262
262
263
263
266
266
267
268
268
270
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Indice
10.6.2 Modalità Chopped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.7 Oscilloscopio Digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.8 Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11 Sensori e Trasduttori
11.1 Generalità . . . . . . . . . . .
11.2 Sensori Attivi . . . . . . . . .
11.2.1 Termocoppie . . . . .
11.2.2 Sensori Fotoelettrici .
11.2.3 Sensori Piezoelettrici .
11.2.4 Sensori ad Effetto Hall
11.3 Sensori Passivi . . . . . . . .
11.3.1 Termometri . . . . . .
11.3.2 Estensimetri . . . . .
11.3.3 Sensori Capacitivi . .
11.3.4 Sensori Induttivi . . .
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277
277
278
278
280
281
282
283
283
285
290
293
A Grandezze Fondamentali
297
B Identificazione degli Strumenti
305
Indice Analitico
309
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7
Elenco delle Figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
Tipici diagrammi di distribuzione della densità di probabilità . . . . . .
Tipico diagramma di probabilità cumulata da −∞ a x . . . . . . . . . .
Tipico diagramma di probabilità cumulata da x a ∞ . . . . . . . . . . .
Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità
in un caso pratico con un numero limitato di risultati . . . . . . . . . . .
Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità
in un caso pratico con un numero maggiore di risultati . . . . . . . . . .
Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densità di
probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2 . . . . . . .
Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione t di
Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
37
38
Pila Weston di tipo saturo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener . . . . . . . . . . . .
Circuito base di impiego di un diodo Zener . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno
stadio in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di resistenza con quattro terminali . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di resistenza con avvolgimento bifilare . . . . . . . . . . . .
Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine . . .
Diagramma vettoriale di un condensatore reale . . . . . . . . . . . . . .
Circuiti equivalenti di un condensatore reale . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di capacità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di capacità variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di capacità per alta tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di capacità a gas compresso con elettrodi (anelli) di guardia .
Campione di induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di mutua induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Campione di mutua induttanza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema semplificato di un oscillatore a fascio di cesio . . . . . . . . . .
58
60
60
Piero Malcovati, Misure Elettriche
38
39
40
42
48
49
61
62
63
63
64
65
66
66
67
67
68
68
69
70
9
Elenco delle Figure
2.18
2.19
Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo . .
Schema di principio di un oscillatore al quarzo . . . . . . . . . . . . . .
71
72
3.1
3.2
3.3
Schema generale di una catena di misura . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace . . . . . . . . . . .
Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione della funzione δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico . . . . . . .
Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC . . . . . . . . . . . .
Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine . . . . . . .
Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine . . . . . . . . . . . .
Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine . . . . . .
Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un sistema del secondo ordine in funzione del parametro γ . . . . . . . . . . . .
Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine . . . . .
Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine
passa-basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito RC passa-alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine
passa-alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
74
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
10
Indice degli strumenti analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore
di γ da 0 a 1.6 con passi di 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strumento a conversione magnetoelettrica . . . . . . . . . . . . . . . .
Voltmetro magnetoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strumento a conversione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . .
Strumento a conversione elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conversione elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro . . . . . . . . . .
Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro . . . . . . . . . . .
Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro . . . . . . . . .
Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro . . . . . . . . . .
Strumento a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione . .
Rotazione del disco di uno strumento a induzione . . . . . . . . . . . .
Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione . . . . . . . . . . .
Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione . . . . . . . .
Contatore a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
78
79
79
80
81
82
82
83
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87
90
93
93
94
95
96
97
98
100
100
101
102
102
103
104
104
105
106
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco delle Figure
4.19
4.20
4.21
4.22
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
Diagramma vettoriale in un contatore a induzione . . . .
Curva di errore di un contatore a induzione . . . . . . . .
Dispositivi di taratura in un contatore a induzione . . . .
Compensazione della regolazione di velocità al piccolo
contatore a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
in un
. . . .
107
109
110
Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale . . . . . . . . . .
Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate . . . . . . . . . . . . . .
Amperometro con derivatore (shunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amperometro magnetoelettrico con derivatore (shunt) a più portate . . .
Misura di resistenza con metodo voltamperometrico . . . . . . . . . . .
Misura di resistenza con metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . .
Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione
alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata . . . . .
Amperometro elettromagnetico con due portate . . . . . . . . . . . . .
Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione
del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi
monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di inserzione di un varmetro monofase . . . . . . . . . . . . . .
Schemi per la misura della potenza reattiva in sistemi monofase in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in
regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili . . . . . . . .
Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili . . . . . . . . . .
Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della
potenza attiva in un sistema trifase a tre fili . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase
a tre fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase
a tre fili in funzione della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi
trifase simmetrici ed equilibrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase
simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di Barbagelata per la misura della potenza reattiva in sistemi
trifase simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase
simmetrici in funzione della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
115
116
117
118
120
Piero Malcovati, Misure Elettriche
. . . .
. . . .
. . . .
carico
. . . .
111
123
124
125
126
126
128
130
130
131
137
138
139
140
142
144
146
148
150
11
Elenco delle Figure
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
12
Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensione sinusoidale e forma d’onda di corrente non-sinusoidale . . . . . .
Ciclo di isteresi di un materiale magnetico . . . . . . . . . . . . . . . .
Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel
materiale magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apparecchio di Epstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein
Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico . . . . . . . . . . .
Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein
con tensione non-sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolazione grafica per la determinazione del valore delle perdite alla
induzione magnetica di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolazione grafica per la determinazione del valore efficace della
tensione corrispondente alla induzione magnetica di riferimento . . . . .
Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura
del valore massimo dell’induzione magnetica . . . . . . . . . . . . . . .
153
156
156
158
159
161
163
164
165
166
6.9
Ponte di Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppio ponte di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema di principio di un ponte in corrente alternata . . . . . . . . . . .
Ponte di Schering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ponte di Schering per capacità elevate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente del ponte di Schering per capacità elevate . . . . .
Ponte di Schering con capacità parassite . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacità parassite (metodo delle terre di Wagner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ponte automatico per la misura di capacità e fattore di perdita . . . . . .
180
181
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
Compromesso tra risoluzione e frequenza di campionamento
Campionamento ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spettro del segnale campionato . . . . . . . . . . . . . . . .
Fenomeno dell’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principio di funzionamento del sample-and-hold . . . . . . .
Quantizzazione di un segnale analogico . . . . . . . . . . . .
Principio di funzionamento di un comparatore . . . . . . . .
Contatore di impulsi asincrono . . . . . . . . . . . . . . . .
Contatore di impulsi sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convertitore D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare . . . . . .
Convertitore A/D a doppia rampa . . . . . . . . . . . . . . .
Convertitore A/D incrementale . . . . . . . . . . . . . . . .
Convertitore A/D ad approssimazioni successive . . . . . . .
184
185
186
186
187
188
190
191
193
194
196
197
199
200
.
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.
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168
170
174
175
178
178
179
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco delle Figure
7.15
7.16
7.17
Principio di funzionamento di un
successive . . . . . . . . . . . .
Convertitore A/D flash . . . . . .
Convertitore A/D pipeline . . . .
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
Schema a blocchi di un generico strumento digitale . . . . . .
Multimetro digitale “palmare” . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multimetro digitale da banco . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo del valore efficace nel dominio digitale . . . . . . . . .
Finestre di Hamming, Hanning e Blackman-Harris . . . . . . .
Wattmetro digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strumento digitale per misure di frequenza e periodo . . . . . .
Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo
Strumento digitale per misure di intervalli di tempo . . . . . .
Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo (“walk”) .
Metodo del verniero temporale . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
9.2
9.3
9.4
Schema di inserzione e circuito equivalente del TA . . . . . . . . . . . . 219
Diagramma vettoriale di un TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
TA utilizzati su reti a media (a) e bassa (b) tensione . . . . . . . . . . . 223
Andamento delle correnti secondaria (i2 ), primaria (i1 ) e magnetizzante
(i0 ) in un TA quando il nucleo è in saturazione . . . . . . . . . . . . . . 225
TA con avvolgimento primario diviso in due sezioni connesse in serie
(a) o in parallelo (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
TA con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secondari (tre nuclei magnetici distinti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Schema di inserzione e circuito equivalente dei TVI . . . . . . . . . . . 228
Diagramma vettoriale di un TVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
TVI utilizzati su reti a media tensione per (a) inserzione tra fasi e (b)
inserzione verso terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
TVI con avvolgimento secondario diviso in due sezioni connesse in serie
(a) o in parallelo (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di
un TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TA in classe 0.5 con
prestazione 20 VA, per reti a media tensione . . . . . . . . . . . . . . . 239
Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TVI in classe 0.5 con
prestazione 60 VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Schema utilizzato per la taratura di un TA . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Schema utilizzato per la taratura di un TVI o di un TVC . . . . . . . . . 242
Diagramma di Moellinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Schema di inserzione di tre TVI monofase per misurare la tensione residua247
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
Piero Malcovati, Misure Elettriche
convertitore A/D ad
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
approssimazioni
. . . . . . . . . . 201
. . . . . . . . . . 202
. . . . . . . . . . 203
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206
207
207
208
209
210
211
213
213
214
215
13
Elenco delle Figure
9.18
9.19
9.20
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13
14
Formazione della tensione residua VR nel caso di guasto monofase a terra
netto della fase 3 dello schema di Figura 9.17 . . . . . . . . . . . . . . . 248
Schema per la misura di potenza in un sistema monofase con trasformatori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Diagramma vettoriale delle grandezze in gioco in una misura di potenza
con trasformatori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale 258
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi . . . . 259
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalità XY . . . . . . 260
Tubo a raggi catodici (CRT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello schermo tramite griglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b) . . . . 262
Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni . . . . . . . 263
Schema a blocchi della base dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Forme d’onda della base dei tempi in modalità di funzionamento triggered265
Schema a blocchi semplificato della base dei tempi in modalità auto . . . 266
Schema a blocchi del canale verticale (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Schema a blocchi del canale orizzontale (X) . . . . . . . . . . . . . . . 268
Schema a blocchi del canale verticale (Y) di un oscilloscopio a doppia
traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità chopped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale . . . . . . . . 273
Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda . . . . . . . . . . . . . 274
Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . 275
Trasduttori, sensori e attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuiti equivalenti di un sensore attivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Termocoppia con circuito di lettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forza elettromotrice in funzione della temperatura per le termocoppie
citate in Tabella 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effetto fotoelettrico in un fotodiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici . . . . . . . . . . . . . . .
Sensore ad effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito equivalente di un sensore passivo . . . . . . . . . . . . . . . .
Termometro a resistenza di platino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sensore di temperatura a diodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estensimetro a filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estensimetro in configurazione a semi-ponte . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito di lettura per un estensimetro in configurazione a semi-ponte . .
277
278
279
280
281
282
282
284
284
286
287
288
290
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco delle Figure
11.14
11.15
11.16
11.17
Sensore capacitivo differenziale . . . . . . .
Circuito per la lettura di sensori capacitivi .
Esempio di accelerometro capacitivo MEMS
Sensore induttivo . . . . . . . . . . . . . .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
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290
292
294
294
15
Elenco delle Tabelle
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Grandezze fondamentali, supplementari e derivate e relative unità di misura
Multipli e sottomultipli decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Area della distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Area della distribuzione t di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta . . . . . . . . . . . .
Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa . . . . . . . . . . . .
31
32
47
48
52
52
3.1
3.2
Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego . . . . .
Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacità . .
76
83
9.1
Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TA per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TA per misura per applicazioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di corrente (rapporto), dell’errore d’angolo (fase) e
dell’errore composto per i TA per protezione . . . . . . . . . . . . . . .
Valori normali del fattore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TVI per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TVI per protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TVC per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per
i TVC per protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di misura al 100% e al
25% della prestazione nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
11.1
11.2
224
224
226
231
233
233
238
238
244
Termocoppie di comune impiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Espressione della capacità in funzione dei parametri geometrici per diversi tipi di condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Piero Malcovati, Misure Elettriche
17
Elenco delle Abbreviazioni
A/D Analogico-Digitale
CEE Comunità Economica Europea
CEI Comitato Elettrotecnico Italiano
CENELEC Comité Européen de Normalisation Electrotechnique
CRT Tubo a Raggi Catodici
D/A Digitale-Analogico
DCF77 Deutschland Long-Wave Signal Frankfurt 77
EN Norme Europee
IEC International Electrotechnical Commission
INRIM Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica
MEMS Micro-Electro-Mechanical System
SI Sistema Internazionale
SIT Servizio Italiano Taratura
TA Trasformatore di Corrente
TVI Trasformatore di Tensione Induttivo
TVA Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente
TVC Trasformatore di Tensione Capacitivo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
19
Elenco dei Simboli
A
Sezione
A
Ampere
B
Induzione magnetica
BS
Banda del segnale
C
Capacità
C
Coulomb
CP
Cifra di perdita
Cm
Coppia motrice
Cp
Capacità equivalente parallelo di un condensatore reale
Cr
Coppia antagonista
Cs
Capacità equivalente serie di un condensatore reale
Cs
Coppia smorzante
D
Potenza reattiva deformante
∆
Semi-ampiezza della distribuzione uniforme
E
Forza elettromotrice
E-
Exa- (×1018 )
ENOB
Risoluzione effettiva
F
Forza
Φ
Flusso dell’induzione magnetica
F
Farad
Piero Malcovati, Misure Elettriche
21
Elenco dei Simboli
F (x)
Funzione di probabilità cumulata diretta di una distribuzione probabilistica
Γ (x)
Funzione gamma di Eulero
G-
Giga- (×109 )
G (x)
Funzione di probabilità cumulata inversa di una distribuzione probabilistica
Gf
Gauge factor
H
Campo magnetico
H
Henry
Hz
Hertz
I
Corrente
I
Valore efficace della corrente
I1,N
Corrente primaria nominale di un trasformatore di corrente
I2,N
Corrente secondaria nominale di un trasformatore di corrente
IC
Valore di cresta o massimo della corrente
=
Parte immaginaria
J
Momento di inerzia
J
Joule
K
Kelvin
L
Induttanza
L
Trasformata di Laplace
M
Mutua induttanza
M-
Mega- (×106 )
N
Costante della coppia di smorzamento
N
Newton
Nbit
Risoluzione
Nc
Costante di un contatore a induzione
Ω
Ohm
22
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco dei Simboli
P
Potenza attiva
P-
Peta- (×1015 )
PI
Perdite
per isteresi magnetica
PP
Perdite per correnti parassite
Pa
Pascal
Q
Potenza reattiva
R
Resistenza
Rp
Resistenza equivalente parallelo di un condensatore reale
Rs
Resistenza equivalente serie di un condensatore reale
<
Parte reale
S
Potenza apparente
S
Siemens
SNR
Rapporto segnale-rumore
T
Periodo
T
Temperatura assoluta
T
Tesla
T-
Tera- (×1012 )
TS
Intervallo di campionamento
U
Incertezza di misura estesa assoluta
U̇
Incertezza di misura estesa relativa
V
Tensione
V
Valore efficace della tensione
V
Volt
V1,N
Tensione primaria nominale di un trasformatore di tensione
V2,N
Tensione secondaria nominale di un trasformatore di tensione
Piero Malcovati, Misure Elettriche
23
Elenco dei Simboli
VC
Valore di cresta o massimo della tensione
Vm
Valore medio sul semiperiodo della tensione
W
Energia
W
Watt
X
Reattanza
Xm
Media aritmetica di una serie di dati
Z
Impedenza
Z
Variabile normalizzata con distribuzione gaussiana
a
Costante della coppia antagonista
α
Deviazione dell’indice
a-
Atto- (×10−18 )
c
Velocità della luce
c-
Centi- (×10−2 )
cd
Candela
cos (ϕ)
Fattore di potenza
d
Diametro
δ
Angolo di perdita
d-
Deci- (×10−1 )
dB
Decibel
δQ
Intervallo di quantizzazione
da-
Deca- (×101 )
Errore
η
Peso specifico
Q
Errore di quantizzazione
TA
Errore di fase di un trasformatore di corrente
TV
Errore di fase di un trasformatore di tensione
24
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco dei Simboli
c,T A
Errore composto di un trasformatore di corrente
ηTA
Errore di rapporto di un trasformatore di corrente
ηTV
Errore di rapporto di un trasformatore di tensione
f
Frequenza
ϕ
Sfasamento
f-
Femto- (×10−15 )
f (x)
Funzione densità di probabilità di una distribuzione probabilistica
fS
Frequenza di campionamento
γ
Fattore di smorzamento
h
Costante di Planck
h-
Etto- (×102 )
j
√
Variabile complessa ( −1)
k
Costante di Boltzmann
κ
Coefficiente di temperatura
k-
Kilo- (×103 )
kA
Potere moltiplicatore dello shunt
kV
Potere moltiplicatore della resistenza addizionale
kTA,N
Rapporto di trasformazione nominale di un trasformatore di corrente
kTA,S
Rapporto spire di un trasformatore di corrente
kTA
Rapporto di trasformazione reale di un trasformatore di corrente
kTV,N
Rapporto di trasformazione nominale di un trasformatore di tensione
kTV,S
Rapporto spire di un trasformatore di tensione
kTV
Rapporto di trasformazione reale di un trasformatore di tensione
ka
Costante amperometrica
kv
Costante voltmetrica
kg
Kilogrammo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
25
Elenco dei Simboli
l
Lunghezza
λ
Lunghezza d’onda
lm
Lumen
lx
Lux
m
Massa
µ
Media di una distribuzione probabilistica
m
Metro
µ-
Micro- (×10−6 )
m-
Milli- (×10−3 )
mol
Mole
n
Coefficiente di Steinmetz
ν
Numero di gradi di libertà della distribuzione t di Student
νeff
Numero di gradi di libertà effettivi della distribuzione t di Student
n-
Nano- (×10−9 )
ng
Numero di giri
ns
Numero di spire
ν
Modulo di Poisson
ω
Pulsazione angolare
ω0
Pulsazione caratteristica
p-
Pico- (×10−12 )
ppm
Parti per milione (10−6 )
q
Carica dell’elettrone
rad
Radiante
ρ
Resistività elettrica
s
Scarto tipo di una serie di dati
s
Variabile di Laplace
26
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Elenco dei Simboli
σ
Deviazione standard di una distribuzione probabilistica
σ2
Varianza di una distribuzione probabilistica
σµ
Deviazione standard delle medie di serie di dati
s
Secondo
s2
Scarto quadratico medio di una serie di dati
sµ
Scarto tipo delle medie di serie di dati
s2µ
Scarto quadratico medio delle medie di serie di dati
st
Steradiante
t
Tempo
t
Variabile normalizzata con distribuzione t di Student
τ
Costante di tempo
tan (δ)
Fattore di perdita
τr
Tempo di risposta
u
Incertezza di misura tipo assoluta
u̇
Incertezza di misura tipo relativa
wb
Weber
Piero Malcovati, Misure Elettriche
27
Capitolo 1
Concetti Generali
1.1
Scopo di una Misurazione
In senso generale, misurare significa stabilire il rapporto fra la grandezza in esame e la sua
unità di misura, cioè fra una grandezza e una quantità di riferimento, con essa omogenea
(per esempio lunghezza paragonata a lunghezza o resistenza elettrica a resistenza elettrica). Una misurazione può riguardare un solo misurando, oppure più misurandi, per cui
essa può risultare più o meno complessa. La misurazione è, quindi, il processo necessario
per determinare il suddetto rapporto, mentre la misura è il risultato della misurazione.
Per esprimere il valore di una grandezza fisica si usano due simboli: un numero e
una lettera. La lettera rappresenta il simbolo dell’unità di misura scelta, mentre il numero
esprime il rapporto tra la grandezza in esame e la quantità definita come unità di misura.
Ad esempio, l’unità di misura della lunghezza è il metro, che si indica con la lettera “m”:
scrivere 8 m significa indicare una lunghezza pari a otto volte l’unità di misura.
Le diverse unità di misura necessarie per le diverse grandezze (lunghezza, resistenza elettrica, tempo, volume, pressione, eccetera) formano un sistema di unità di misura.
In un sistema di unità di misura vengono assunte come assolute o fondamentali alcune
grandezze, indipendenti tra loro e nel numero più piccolo possibile, definendone le unità
di misura. Tutte le altre unità di misura del sistema, che vengono dette unità derivate,
si ricavano da quelle fondamentali. Per fare un esempio, la lunghezza l è una grandezza
fondamentale, mentre l’area, essendo il prodotto di due lunghezze (l × l = l2 ), rappresenta
una grandezza derivata.
1.2
Sistema Internazionale di Unità di Misura
Il sistema di unità di misura attualmente in vigore è il SI. Esso è basato su sette grandezze
fondamentali e due supplementari. In particolare, lunghezza, massa, intervallo di tempo,
intensità di corrente elettrica, intervallo di temperatura, intensità luminosa e quantità di
materia sono le unità fondamentali, mentre angolo piano e angolo solido sono le unità
supplementari.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
29
1. Concetti Generali
La Tabella 1.1 riporta le grandezze fondamentali, supplementari e le principali grandezze derivate del SI, con il nome e il simbolo della loro unità.
Le unità del SI sono unità legali in Italia, in forza del Decreto del Presidente della
Repubblica n◦ 802 del 12/08/1982, emanato in attuazione della Direttiva n◦ 80/181 della
Comunità Economica Europea (CEE), di cui l’Italia è parte. L’impiego di unità di misura
di vecchi sistemi non è, pertanto, corretto e deve, perciò, essere abbandonato.
Nell’Appendice A sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali e, in
modo dettagliato, le grandezze del SI, unitamente alle loro unità di misura. Sono, inoltre,
riportate le unità di misura che, pur non comprese nel SI, sono ammesse o transitoriamente
tollerate.
L’uso delle sole unità di misura del SI non risulta sempre pratico, per cui è necessario
l’impiego di multipli e sottomultipli decimali, formati mediante i prefissi indicati in Tabella 1.2. Il prefisso, unito al simbolo dell’unità di misura, forma il simbolo del multiplo
o sottomultiplo di quella unità. Esso può essere utilizzato direttamente, oppure combinato
con i simboli di altre unità di misura. Ad esempio,
1 mm2 = 10−6 m2 , 1 kV = 103 V, 1 mm/s = 10−3 m/s.
(1.1)
Per esprimere il valore numerico di una grandezza è consigliabile l’uso dei multipli e
sottomultipli, in modo che il valore numerico stesso risulti compreso tra 0.1 e 1000. Per
esempio, conviene scrivere 6.25 mm, oppure 6.25×10−3 m, invece di 0.00625 m. I prefissi
hanno anche un nome e un simbolo, cosı̀ come indicato in Tabella 1.2. Per la grafia sono
valide le seguenti regole:
• i nomi delle unità di misura devono essere scritti con caratteri minuscoli, compresa
la lettera iniziale, e senza punto finale (ad esempio volt e non Volt), e, quando
derivano da nome proprio, restano invariati al plurale;
• l’unità di misura, quando accompagna il relativo valore numerico, deve essere
espressa mediante il suo simbolo, che deve essere scritto dopo il valore numerico
senza punto finale;
• l’uso dei simboli è ammesso solo quando essi sono preceduti da valore numerico;
diversamente si deve scrivere il nome dell’unità di misura per esteso;
• il simbolo dei multipli e sottomultipli di una unità si scrive facendo precedere il
prefisso al simbolo dell’unità, senza interporre un punto o uno spazio, mentre il
simbolo delle unità derivate, prodotto di due o più unità, deve essere scritto interponendo, tra i simboli delle unità componenti, il punto di moltiplicazione o uno
spazio, come, ad esempio,
Nm oppure N · m;
(1.2)
• qualora l’unità derivi dal quoziente di due altre unità, il simbolo è formato interponendo fra il simbolo a numeratore e quello a denominatore un tratto obliquo o la
riga di frazione o usando gli esponenti negativi, come, per esempio,
m/s2 oppure
30
m
oppure m · s−2 .
s2
(1.3)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura
Grandezza
Fondamentali
Lunghezza
Massa
Intervallo di tempo
Corrente elettrica
Intervallo di temperatura
Intensità luminosa
Quantità di sostanza
Supplementari
Angolo piano
Angolo solido
Derivate
Frequenza
Forza
Pressione, tensione meccanica
Lavoro, energia, quantità di calore
Potenza
Carica elettrica
Potenziale elettrico, tensione elettrica, forza
elettromotrice
Capacità elettrica
Resistenza elettrica
Conduttanza elettrica
Flusso di induzione magnetica
Induzione magnetica
Induttanza propria, induttanza mutua
Flusso luminoso
Illuminamento
Unità SI
Nome dell’Unità Simbolo dell’Unità
metro
kilogrammo
secondo
ampere
kelvin
candela
mole
m
kg
s
A
K
cd
mol
radiante
steradiante
rad
st
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
Hz
N
Pa
J
W
C
V
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Tabella 1.1: Grandezze fondamentali, supplementari e derivate e relative unità di misura
Piero Malcovati, Misure Elettriche
31
1. Concetti Generali
Fattore di Moltiplicazione
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Prefisso
Nome Simbolo
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
etto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
Tabella 1.2: Multipli e sottomultipli decimali
32
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati
1.3
Impostazione di una Misurazione e Interpretazione
dei Risultati
Il misurando è la specifica quantità oggetto di misurazione (ad esempio, la resistenza elettrica di un conduttore a 20◦ C). Quando si specifica un misurando, può essere necessario
includere riferimenti ad altre quantità, quali tempo, temperatura, pressione e cosı̀ via. L’obiettivo della misurazione è di determinare una stima del valore del misurando nel modo
più appropriato.
La scelta del metodo di misura, che può essere fatta dall’operatore o stabilita da una
norma, è di fondamentale importanza. Si tenga presente che, anche dovendo operare
sullo stesso tipo di misurando (ad esempio, una potenza elettrica o una temperatura), le
sue specifiche caratteristiche possono imporre l’uso di un metodo ed escluderne altri. In
una misura elettrica, un metodo può differire da un altro per le caratteristiche del circuito
realizzato e per gli strumenti impiegati.
Il risultato di una misurazione (o misura) deve essere interpretato, in quanto generalmente esso si discosta dal “valore vero” del misurando, per ragioni legate al metodo e
agli strumenti usati, nonché alle condizioni in cui la misura viene effettuata. È, innanzitutto, da osservare che il termine di “valore vero” deve essere considerato in senso lato,
in quanto si deve ammettere che, essendo la sua determinazione comunque ottenuta da
una misurazione, esso è in realtà sempre incognito. Il ricorso ad un metodo e a strumenti
di caratteristiche misuristiche più pregiate può consentire di ottenere risultati migliori di
quelli forniti da un sistema più scadente, ma l’approccio al problema non cambia.
Nella interpretazione dei risultati di una misurazione, si deve tenere presente che gli
scarti rispetto al “valore vero” dipendono:
• da errori grossolani commessi dall’operatore, per esempio, nella lettura di uno
strumento o nella sua errata inserzione e cosı̀ via;
• da scarti di segno costante, che, se noti o determinabili mediante un processo logico,
vengono definiti effetti sistematici;
• da eventi casuali, quali l’interpretazione delle indicazioni di uno strumento a indice,
l’effetto della temperatura, la presenza di disturbi non individuabili e cosı̀ via.
Gli errori grossolani sono in generale di ampiezza tale da essere facilmente riconoscibili. Quando si opera su un solo misurando, il rischio di errori grossolani può essere
praticamente eliminato effettuando misure ripetute, ricorrendo, eventualmente, a operatori diversi. Gli effetti sistematici noti o determinabili sono, generalmente, legati al metodo
e agli strumenti usati e, molte volte, possono essere corretti. Una volta ripuliti i risultati
dagli eventuali errori grossolani e dagli effetti sistematici, si deve passare alla valutazione
degli effetti degli eventi casuali.
Quando, nelle stesse condizioni, si ripete più volte la misurazione di una stessa grandezza, si ottengono, in generale, risultati diversi. Ciò non significa necessariamente che
la grandezza sia cambiata, ma piuttosto che le indicazioni dello strumento utilizzato sono
variate per cause accidentali o che la loro lettura è stata effettuata in modo imperfetto
dall’operatore. Un esempio tipico è la misurazione di una distanza mediante bindella
Piero Malcovati, Misure Elettriche
33
1. Concetti Generali
centimetrata. La stessa operazione, ripetuta più volte dallo stesso operatore o da operatori differenti, fornisce risultati prossimi tra loro ma diversi. Un altro esempio può essere
quello della misurazione ripetuta del periodo di un pendolo, effettuata con un cronometro.
Di fronte a questa situazione, l’operatore si deve porre due domande:
• quale è il valore più attendibile del misurando?
• quale è il significato da dare agli scarti riscontrati?
La risposta a tali domande si trova generalmente applicando metodi probabilistici, basati
sull’uso della statistica.
La miglior stima del valore del misurando, che varia casualmente e per cui n osservazioni indipendenti xk sono state ottenute nelle stesse condizioni di misura, è la media
aritmetica Xm delle n osservazioni,
n
1X
xk .
Xm =
n k=1
(1.4)
Si intuisce immediatamente che il valore di Xm è tanto più attendibile, quanto maggiore è
il numero delle misure effettuate.
Le singole misure scartano dalla media delle quantità x1 − Xm , x2 − Xm , eccetera,
per effetto di fattori di influenza casuali. Gli scarti assumono valori tanto più grandi,
quanto più dispersi tra loro sono i dati originali. La qualità della misura sarà, quindi,
tanto migliore, quanto più piccoli sono tali scarti rispetto alla media. Nasce, perciò, la
necessità di dare una valutazione quantitativa di questa qualità, utilizzando un criterio
convenzionale.
L’incertezza di misura è un parametro, associato con il risultato di una misurazione,
che caratterizza la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti
al misurando. Analizzando le condizioni e il processo di misura, ci si può rendere conto
che le cause di aleatorietà del risultato finale di una misurazione sono diverse e, a volte,
complesse, quali:
• definizione incompleta del misurando;
• conoscenza o misura inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali;
• effetti sistematici non noti nella indicazione degli strumenti analogici;
• risoluzione finita di strumenti a indicazione discreta;
• valori delle costanti e di altri parametri, ottenuti da fonti esterne ed usati nell’algoritmo di riduzione dei dati;
• variazioni del misurando in ripetute osservazioni, effettuate in condizioni apparentemente identiche;
• imperfetta correzione di effetti sistematici, legati al metodo di misura usato.
In un rapporto di prova si dichiara, normalmente, un unico valore come stima del valore del misurando, a cui viene associata un’incertezza, opportunamente definita e calcolata.
In generale, si scriverà che il valore della grandezza da misurare X è dato dalla sua stima
Xm , gravata dall’incertezza U (tale lettera è l’iniziale della parola inglese “uncertainty”,
che significa per l’appunto “incertezza”),
X = Xm ± U.
34
(1.5)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
L’incertezza di misura U può anche essere espressa in forma relativa,
U̇ =
U
.
Xm
(1.6)
Il concetto di incertezza, come attributo quantificabile di una misura, è relativamente
recente, sebbene errore e analisi dell’errore siano stati, a lungo, una parte importante
della scienza della metrologia. Si riconosce che, quando tutti gli effetti noti sono stati
valutati e sono state apportate le correzioni appropriate, rimane ancora un’incertezza circa
la correttezza del risultato, cioè un dubbio su quanto il risultato della misura rappresenti
il valore della quantità cercata.
Nell’incertezza del risultato di una misura possono generalmente essere individuati diversi componenti, che per comodità possono essere raggruppati in due categorie, a
seconda del modo in cui l’incertezza stessa viene stimata:
• quelli che vengono valutati applicando metodi statistici, partendo da una serie di
misure ripetute (incertezza di tipo A);
• quelli che vengono valutati con altri mezzi (incertezza di tipo B).
Non esiste alcuna corrispondenza tra la classificazione dei componenti nelle categorie A
o B, se non quella di indicare due diversi criteri di valutazione dell’incertezza.
In pratica, il livello di accuratezza richiesto nella stima dell’incertezza e l’incertezza
stessa possono essere anche molto diversi, a seconda dello scopo e del livello della misura.
1.4
Alcune Nozioni di Statistica
Per poter applicare i metodi statistici, necessari alla determinazione dell’incertezza di
misura, è opportuno introdurre alcune definizioni. Si definisce probabilità di un evento,
il rapporto tra il numero di casi favorevoli a tale evento e il numero di casi possibili.
Più precisamente, si definisce probabilità di ottenere da un esperimento un certo risultato,
definito da un certo valore y, assunto dalla variabile casuale che caratterizza l’esperimento
stesso, il rapporto tra la misura dell’insieme dei risultati che forniscono il valore y e la
misura dell’insieme comprendente tutti i risultati possibili relativi all’esperimento.
Ad esempio, se si lancia un dado da gioco, la probabilità di ottenere il numero quattro
è 1/6. Se si lanciano due dadi, lo stesso numero ha probabilità di verificarsi pari a 1/12
(combinazioni 2+2, 3+1, 1+3). Se si effettua un numero di lanci ripetuti di un solo dado,
ad esempio un centinaio, si constata che tutti i possibili valori (da 1 a 6) si presentano con
la stessa frequenza. Diversa è la situazione nel caso di lancio ripetuto di due dadi, in
quanto i possibili valori (da 2 a 12) hanno diverse probabilità di verificarsi.
Un qualunque evento casuale è, quindi, caratterizzato da una distribuzione probabilistica, che ne determina le proprietà statistiche. Ad una distribuzione probabilistica è
sempre associata una funzione densità di probabilità, che esprima la probabilità che la
variabile casuale che caratterizza l’evento assuma un determinato valore. Se l’evento ha
come variabile casuale una grandezza misurabile, che può assumere, almeno in linea teorica, tutti i valori possibili, la funzione densità di probabilità assume andamento continuo,
Piero Malcovati, Misure Elettriche
35
f(x)
1. Concetti Generali
f(x)
x
x
Figura 1.1: Tipici diagrammi di distribuzione della densità di probabilità
anziché discreto come negli esempi precedenti. La funzione densità di probabilità dell’evento definito dalla variabile casuale x si indica con f (x). In Figura 1.1 sono riportati
due diagrammi tipici, che rappresentano f (x) in funzione di x. Si noti che il primo di essi
presenta simmetria rispetto al valore centrale, a differenza del secondo.
Un’altra curva di interesse si può ottenere esprimendo la probabilità cumulata F (x) in
funzione della variabile casuale (Figura 1.2). La funzione F (x) rappresenta la probabilità
di ottenere tutti i valori inferiori o uguali a x ed è analiticamente rappresentata da
Z x
F (x) =
f (x) dx.
(1.7)
−∞
Si noti che f (x) tende a zero sia per x → ∞, sia per x → −∞ e, quindi,
Z ∞
lim F (x) =
f (x) dx = 1.
x→∞
36
(1.8)
−∞
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
F(x)
1
0.5
0
Xm
x
Figura 1.2: Tipico diagramma di probabilità cumulata da −∞ a x
Alternativamente, si può definire la funzione G (x) (Figura 1.3), che rappresenta la probabilità di ottenere tutti i valori superiori o uguali a x ed è analiticamente rappresentata da
Z ∞
G (x) =
f (x) dx.
(1.9)
x
È ovvia la relazione
G (x) = 1 − F (x) .
(1.10)
Sotto l’aspetto applicativo, si può osservare che, normalmente, si ha a disposizione un
numero limitato di risultati e che la loro rappresentazione grafica può essere fatta ricorrendo ad istogrammi del tipo indicato in Figura 1.4, che si riferisce al caso di una distribuzione simmetrica. La curva reale si ottiene per interpolazione tra le altezze delle canne che
costituiscono l’istogramma. Se si prende un campione più grande, l’istogramma risulta
quello di Figura 1.5, che è ovviamente più prossimo alla distribuzione reale.
Si presenta ora il problema di caratterizzare una distribuzione probabilistica con il
minimo numero di parametri. In Figura 1.6 sono rappresentate tre distribuzioni, di cui
vengono definite le seguenti grandezze:
• media: rappresenta la somma delle varie osservazioni divisa per il numero delle osservazioni stesse; la media µ per una certa distribuzione probabilistica viene
ottenuta pesando ogni valore x con la corrispondente densità di probabilità f (x),
Z ∞
µ=
x f (x) dx;
(1.11)
−∞
• mediana: è definita dal valore dell’osservazione che divide in due parti uguali l’insieme ordinato delle osservazioni (se il numero delle osservazioni è pari, è la media
Piero Malcovati, Misure Elettriche
37
1. Concetti Generali
G(x)
1
0.5
0
x
Xm
f(x)
Figura 1.3: Tipico diagramma di probabilità cumulata da x a ∞
x
Figura 1.4: Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità in
un caso pratico con un numero limitato di risultati
38
Piero Malcovati, Misure Elettriche
f(x)
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
x
Figura 1.5: Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità in
un caso pratico con un numero maggiore di risultati
dei due valori più vicini, se il numero è dispari, il valore dell’osservazione centrale),
ovvero, il valore della variabile casuale x, per cui
F (x) = G (x) = 0.5;
(1.12)
• moda: è il valore dell’osservazione che si verifica più frequentemente.
Dal punto di vista pratico, avendo a disposizione un numero limitato di risultati, la media
µ della distribuzione, che caratterizza la variabile casuale x, può essere stimata utilizzando
la media aritmetica Xm delle osservazioni xk ,
n
Xm =
1X
xk .
n k=1
(1.13)
Si può dimostrare che
lim Xm = µ.
n→∞
(1.14)
Un altro parametro interessante di una distribuzione probabilistica caratterizza, invece,
la dispersione della distribuzione attorno al valore medio µ. È ovvio che, quanto meno
la distribuzione sarà dispersa, tanto più i risultati dell’esperimento saranno raggruppati
attorno a µ. Per quantificare la dispersione si utilizza il parametro σ2 , ottenuto pesando
ogni valore di (x − µ)2 con la funzione densità di probabilità f (x),
Z ∞
2
(x − µ)2 f (x) dx.
σ =
(1.15)
−∞
Il parametro σ2 è detto varianza della distribuzione. La sua radice quadrata,
sZ
∞
(x − µ)2 f (x) dx,
σ=
(1.16)
−∞
Piero Malcovati, Misure Elettriche
39
1. Concetti Generali
Media, Moda, Mediana
J
f(x)
Normale
x
J
J
Media
Mediana
Moda
f(x)
J
x
J
Moda
Media
J
Mediana
f(x)
J
x
Figura 1.6: Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densità di
probabilità
40
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
prende il nome di deviazione standard della distribuzione. Dal punto di vista pratico,
avendo a disposizione un numero limitato di risultati, la varianza σ2 della distribuzione,
che caratterizza la variabile casuale x, può essere stimata utilizzando lo scarto quadratico
medio s2 delle osservazioni xk attorno alla media aritmetica Xm ,
n
1 X
(xk − Xm )2 .
s =
n − 1 k=1
2
(1.17)
Analogamente, la deviazione standard σ della distribuzione può essere stimata usando lo
scarto tipo s, definito come la radice quadrata positiva dello scarto quadratico medio,
v
t
s=
n
1 X
(xk − Xm )2 .
n − 1 k=1
(1.18)
Si può dimostrare che
lim s2 = σ2 e lim s = σ.
n→∞
n→∞
(1.19)
Quando si ha a disposizione un numero limitato di risultati, assumono particolare
interesse lo scarto quadratico medio s2µ e lo scarto tipo sµ della media aritmetica Xm , dati,
rispettivamente, da
s2
s2µ = ,
(1.20)
n
s
sµ = √ .
n
(1.21)
Questi parametri sono indicativi degli scarti tra le stime Xm della media µ, ottenute da
diverse sequenze di dati, appartenenti ad una stessa distribuzione probabilistica. Ovviamente,
lim s2µ = 0 e lim sµ = 0.
n→∞
n→∞
(1.22)
Il parametro σµ rappresenta la deviazione standard della distribuzione probabilistica delle
medie Xm e, analogamente a quanto visto per sµ , esso è dato da
σ
σµ = √ .
n
(1.23)
lim σµ = 0.
(1.24)
Risulta immediato verificare che
n→∞
Piero Malcovati, Misure Elettriche
41
1. Concetti Generali
0.2
f(x)
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Figura 1.7: Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2
1.4.1
Distribuzione Normale (o Gaussiana)
Tra le varie distribuzioni, ha un posto particolarmente rilevante la cosı̀ detta distribuzione
normale (o di Gauss), la cui funzione densità di probabilità è definita da
f (x) =
1
√
σ 2π
e−
(x−µ)2
2σ2
.
(1.25)
Questa distribuzione ha valore medio µ, deviazione standard σ ed è simmetrica rispetto a
µ. Essa è caratterizzata dalle seguenti probabilità cumulate:
• F (µ − σ < x < µ + σ) = 0.683;
• F (µ − 2σ < x < µ + 2σ) = 0.957;
• F (µ − 3σ < x < µ + 3σ) = 0.997.
Per cui, si assume comunemente che il valore x di una variabile casuale, caratterizzata
dalla distribuzione normale, è, in generale, compreso nell’intervallo ±3σ attorno al valore medio. Nel grafico di Figura 1.7 è rappresentato l’andamento della distribuzione di
probabilità in cui µ = 5 e σ = 2, che equivale alla funzione
f (x) =
(x−5)2
1
√ e− 8 .
2 2π
(1.26)
La distribuzione normale è, quindi, completamente definita da due parametri: la media e
la varianza o la deviazione standard.
L’importanza della distribuzione normale risiede nel fatto che un notevole numero di
fenomeni naturali sono normalmente distribuiti. Si citano, ad esempio, l’altezza ed il
peso degli individui, gli errori nella misura della lunghezza di un’asta metallica o di una
tensione elettrica e cosı̀ via.
42
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
La complessità della (1.25) ha suggerito il ricorso a tabelle in cui sono riportati parametri di validità generale. Una variabile casuale è detta normalizzata, quando essa è stata
trasformata in modo da avere media nulla e deviazione standard unitaria. Uno dei più
importanti teoremi della statistica dimostra che, se x è una variabile casuale con media µ
e deviazione standard σ, allora la variabile
Z=
x−µ
σ
(1.27)
f(Z)
presenta valore medio nullo e deviazione standard uguale a 1. Una variabile con queste
caratteristiche è detta normalizzata e viene solitamente indicata con Z.
Esistono quindi tabelle che danno i valori dell’area sottesa dalla distribuzione normale
della variabile Z. Un esempio è riportato in Tabella 1.3.
A(Z)
Z
Z
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
A (Z)
0.00000
0.00399
0.00798
0.01197
0.01595
0.01994
0.02392
0.02790
0.03188
0.03586
0.03983
0.04380
0.04776
0.05172
0.05567
0.05962
Z
1
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.1
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Piero Malcovati, Misure Elettriche
A (Z)
0.34134
0.34375
0.34614
0.34849
0.35083
0.35314
0.35543
0.35769
0.35993
0.36214
0.36433
0.36650
0.36864
0.37076
0.37286
0.37493
Z
A (Z)
2
0.47725
2.01 0.47778
2.02 0.47831
2.03 0.47882
2.04 0.47932
2.05 0.47982
2.06 0.48030
2.07 0.48077
2.08 0.48124
2.09 0.48169
2.1 0.48214
2.11 0.48257
2.12 0.48300
2.13 0.48341
2.14 0.48382
2.15 0.48422
Z
A (Z)
3
0.49865
3.01 0.49869
3.02 0.49874
3.03 0.49878
3.04 0.49882
3.05 0.49886
3.06 0.49889
3.07 0.49893
3.08 0.49896
3.09 0.49900
3.1 0.49903
3.11 0.49906
3.12 0.49910
3.13 0.49913
3.14 0.49916
3.15 0.49918
Continua. . .
43
f(Z)
1. Concetti Generali
A(Z)
Z
Z
0.16
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.3
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
0.41
0.42
44
A (Z)
0.06356
0.06749
0.07142
0.07535
0.07926
0.08317
0.08706
0.09095
0.09483
0.09871
0.10257
0.10642
0.11026
0.11409
0.11791
0.12172
0.12552
0.12930
0.13307
0.13683
0.14058
0.14431
0.14803
0.15173
0.15542
0.15910
0.16276
Z
1.16
1.17
1.18
1.19
1.2
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.3
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.4
1.41
1.42
A (Z)
0.37698
0.37900
0.38100
0.38298
0.38493
0.38686
0.38877
0.39065
0.39251
0.39435
0.39617
0.39796
0.39973
0.40147
0.40320
0.40490
0.40658
0.40824
0.40988
0.41149
0.41308
0.41466
0.41621
0.41774
0.41924
0.42073
0.42220
Z
2.16
2.17
2.18
2.19
2.2
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.3
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.4
2.41
2.42
A (Z)
0.48461
0.48500
0.48537
0.48574
0.48610
0.48645
0.48679
0.48713
0.48745
0.48778
0.48809
0.48840
0.48870
0.48899
0.48928
0.48956
0.48983
0.49010
0.49036
0.49061
0.49086
0.49111
0.49134
0.49158
0.49180
0.49202
0.49224
Z
A (Z)
3.16 0.49921
3.17 0.49924
3.18 0.49926
3.19 0.49929
3.2 0.49931
3.21 0.49934
3.22 0.49936
3.23 0.49938
3.24 0.49940
3.25 0.49942
3.26 0.49944
3.27 0.49946
3.28 0.49948
3.29 0.49950
3.3 0.49952
3.31 0.49953
3.32 0.49955
3.33 0.49957
3.34 0.49958
3.35 0.49960
3.36 0.49961
3.37 0.49962
3.38 0.49964
3.39 0.49965
3.4 0.49966
3.41 0.49968
3.42 0.49969
Continua. . .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
f(Z)
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
A(Z)
Z
Z
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
A (Z)
0.16640
0.17003
0.17364
0.17724
0.18082
0.18439
0.18793
0.19146
0.19497
0.19847
0.20194
0.20540
0.20884
0.21226
0.21566
0.21904
0.22240
0.22575
0.22907
0.23237
0.23565
0.23891
0.24215
0.24537
0.24857
0.25175
0.25490
Z
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.5
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.6
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
Piero Malcovati, Misure Elettriche
A (Z)
0.42364
0.42507
0.42647
0.42785
0.42922
0.43056
0.43189
0.43319
0.43448
0.43574
0.43699
0.43822
0.43943
0.44062
0.44179
0.44295
0.44408
0.44520
0.44630
0.44738
0.44845
0.44950
0.45053
0.45154
0.45254
0.45352
0.45449
Z
A (Z)
2.43 0.49245
2.44 0.49266
2.45 0.49286
2.46 0.49305
2.47 0.49324
2.48 0.49343
2.49 0.49361
2.5 0.49379
2.51 0.49396
2.52 0.49413
2.53 0.49430
2.54 0.49446
2.55 0.49461
2.56 0.49477
2.57 0.49492
2.58 0.49506
2.59 0.49520
2.6 0.49534
2.61 0.49547
2.62 0.49560
2.63 0.49573
2.64 0.49585
2.65 0.49598
2.66 0.49609
2.67 0.49621
2.68 0.49632
2.69 0.49643
Z
A (Z)
3.43 0.49970
3.44 0.49971
3.45 0.49972
3.46 0.49973
3.47 0.49974
3.48 0.49975
3.49 0.49976
3.5 0.49977
3.51 0.49978
3.52 0.49978
3.53 0.49979
3.54 0.49980
3.55 0.49981
3.56 0.49981
3.57 0.49982
3.58 0.49983
3.59 0.49983
3.6 0.49984
3.61 0.49985
3.62 0.49985
3.63 0.49986
3.64 0.49986
3.65 0.49987
3.66 0.49987
3.67 0.49988
3.68 0.49988
3.69 0.49989
Continua. . .
45
f(Z)
1. Concetti Generali
A(Z)
Z
Z
0.7
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.8
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.9
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
46
A (Z)
0.25804
0.26115
0.26424
0.26730
0.27035
0.27337
0.27637
0.27935
0.28230
0.28524
0.28814
0.29103
0.29389
0.29673
0.29955
0.30234
0.30511
0.30785
0.31057
0.31327
0.31594
0.31859
0.32121
0.32381
0.32639
0.32894
0.33147
Z
1.7
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.8
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.9
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
A (Z)
0.45543
0.45637
0.45728
0.45818
0.45907
0.45994
0.46080
0.46164
0.46246
0.46327
0.46407
0.46485
0.46562
0.46638
0.46712
0.46784
0.46856
0.46926
0.46995
0.47062
0.47128
0.47193
0.47257
0.47320
0.47381
0.47441
0.47500
Z
2.7
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
2.76
2.77
2.78
2.79
2.8
2.81
2.82
2.83
2.84
2.85
2.86
2.87
2.88
2.89
2.9
2.91
2.92
2.93
2.94
2.95
2.96
A (Z)
0.49653
0.49664
0.49674
0.49683
0.49693
0.49702
0.49711
0.49720
0.49728
0.49736
0.49744
0.49752
0.49760
0.49767
0.49774
0.49781
0.49788
0.49795
0.49801
0.49807
0.49813
0.49819
0.49825
0.49831
0.49836
0.49841
0.49846
Z
A (Z)
3.7 0.49989
3.71 0.49990
3.72 0.49990
3.73 0.49990
3.74 0.49991
3.75 0.49991
3.76 0.49992
3.77 0.49992
3.78 0.49992
3.79 0.49992
3.8 0.49993
3.81 0.49993
3.82 0.49993
3.83 0.49994
3.84 0.49994
3.85 0.49994
3.86 0.49994
3.87 0.49995
3.88 0.49995
3.89 0.49995
3.9 0.49995
3.91 0.49995
3.92 0.49996
3.93 0.49996
3.94 0.49996
3.95 0.49996
3.96 0.49996
Continua. . .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
f(Z)
1.4. Alcune Nozioni di Statistica
A(Z)
Z
Z
0.97
0.98
0.99
A (Z)
0.33398
0.33646
0.33891
Z
1.97
1.98
1.99
A (Z)
0.47558
0.47615
0.47670
Z
2.97
2.98
2.99
A (Z)
0.49851
0.49856
0.49861
Z
3.97
3.98
3.99
A (Z)
0.49996
0.49997
0.49997
Tabella 1.3: Area della distribuzione normale
1.4.2
Distribuzione di Student
Nella pratica, per ragioni di tempo e di costo, le misurazioni presentano sempre una serie
limitata di valori. La variabile, che razionalizza esattamente i valori di serie limitate, è
stata studiata da Student ed è data da
Xm − x
t=
(1.28)
√ ,
s/ n
dove Xm rappresenta la media aritmetica delle n misurazioni ed è una stima della media µ
della distribuzione, mentre s è lo scarto tipo della serie di misurazioni ed è una stima della
deviazione standard σ della distribuzione. L’espressione a denominatore della (1.28) è lo
scarto tipo della media sµ .
La funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student f (t, ν) è data da
!−(ν+1)/2
ν+1
t2
1 Γ 2
1+
,
(1.29)
f (t, ν) = √
ν
πν Γ 2ν
dove −∞ < t < ∞, ν > 0 sono i gradi di libertà e
Z ∞
Γ (n) =
xn−1 e−x dx,
(1.30)
0
con n > 0.
La distribuzione t di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale, ma è
meno appuntita, come si nota dal grafico di Figura 1.8. Per ogni valore di ν = n − 1, con
n ≥ 2, esiste una funzione densità di probabilità di t. La Tabella 1.4 riporta, per un buon
numero di valori di n, i valori di t corrispondenti a diversi livelli di probabilità.
1.4.3
Distribuzione Uniforme
Un caso particolare di distribuzione probabilistica è rappresentato dalla distribuzione
uniforme, la cui funzione densità di probabilità è rappresentata in Figura 1.9. Per la
Piero Malcovati, Misure Elettriche
47
f(t)
1. Concetti Generali
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Normale
ν=6
ν=1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
Figura 1.8: Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione t di
Student
Gradi di Libertà
ν
68.27%
1
1.840
2
1.320
3
1.200
4
1.140
5
1.110
6
1.090
7
1.080
8
1.070
9
1.060
10
1.050
15
1.030
20
1.030
30
1.020
40
1.010
50
1.010
1.000
Valori di t con Probabilità p
90.00% 95.00% 95.45% 99.00%
6.310
12.710 13.970 63.660
2.920
4.300
4.530
9.920
2.350
3.180
3.310
5.840
2.130
2.780
2.870
4.600
2.020
2.570
2.650
4.030
1.940
2.450
2.520
3.710
1.890
2.360
2.430
3.500
1.860
2.310
2.370
3.360
1.830
2.260
2.320
3.250
1.810
2.230
2.280
3.170
1.750
2.130
2.180
2.950
1.720
2.090
2.130
2.850
1.700
2.040
2.090
2.750
1.680
2.020
2.060
2.700
1.680
2.010
2.050
2.680
1.645
1.960
2.000
2.576
99.73%
235.800
19.210
9.220
6.620
5.510
4.900
4.530
4.280
4.090
3.960
3.590
3.420
3.270
3.200
3.160
3.000
Tabella 1.4: Area della distribuzione t di Student
48
Piero Malcovati, Misure Elettriche
f(x)
1.5. Incertezza di Misura
1/(2Δ)
μ–Δ
μ
μ+Δ
x
Figura 1.9: Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione uniforme
distribuzione uniforme, vale

1


 f (x) = 2∆ per |x − µ| ≤ ∆
.


 f (x) = 0 per |x − µ| > ∆
(1.31)
Pertanto, la distribuzione uniforme avrà media µ e varianza pari a
σ =
Z
∞
(x − µ) f (x) dx =
Z
2
2
∆
−∆
−∞
(x − µ)2
∆2
dx = .
2∆
3
(1.32)
La deviazione standard, quindi, sarà data da
∆
σ= √ .
3
1.5
(1.33)
Incertezza di Misura
Come già menzionato nel Paragrafo 1.3, l’incertezza di misura può essere determinata
in due modi (incertezza di tipo A e incertezza di tipo B). La differenza fra incertezza di
tipo A e incertezza di tipo B risiede solo nella procedura con cui l’incertezza stessa viene
stimata, mentre il significato da attribuire all’incertezza stessa è lo stesso nei due casi.
1.5.1
Incertezza di Misura di Tipo A
L’incertezza di tipo A prevede la determinazione dell’incertezza in base alla interpretazione, con metodi statistici, di una serie di misure ripetute dello stesso misurando. Per
quantificare le differenze fra le diverse misure xk e, quindi, l’incertezza di misura da associare alla singola misura xk , si ricorre allo scarto quadratico medio s2 , stima della varianza
Piero Malcovati, Misure Elettriche
49
1. Concetti Generali
σ2 della distribuzione di probabilità di x, dato dalla (1.17), oppure allo scarto tipo s, stima
della deviazione standard σ della distribuzione di probabilità di x, dato dalla (1.18).
Entrambi i parametri citati possono essere usati per indicare l’incertezza di misura,
ma, in generale, si preferisce usare lo scarto tipo, in quanto espresso nella stessa unità
di misura del misurando. Lo scarto tipo può essere espresso in valore assoluto, in valore
relativo o in valore relativo percentuale. Si parlerà, allora, di scarto tipo assoluto, di scarto
tipo relativo e di scarto tipo percentuale.
Ai fini dei confronti tra i risultati di serie di misure ripetute, delle quali è nota la stima più attendibile del misurando Xm , dato dalla (1.4), risulta utile esprimere l’incertezza
di misura tramite lo scarto quadratico medio delle medie s2µ , stima della varianza della
distribuzione delle medie, dato dalla (1.20), o lo scarto tipo delle medie sµ , stima della deviazione standard della distribuzione delle medie, dato dalla (1.21). Per la stessa
ragione sopra riportata, si preferisce generalmente utilizzare il parametro sµ .
L’incertezza di misura, definita tramite il parametro s oppure il parametro sµ , prende
il nome di incertezza tipo e si indica con u. Nel caso in cui si consideri una distribuzione
probabilistica normale, l’intervallo ±u copre il 68.3% dei casi.
Nel caso di incertezza di tipo A, quindi, l’incertezza tipo u, da associare alla singola
misurazione xk , risulta essere lo scarto tipo s, mentre l’incertezza tipo u, da associare alla
media aritmetica delle misure (miglior stima del misurando) Xm , risulta essere lo scarto
tipo delle medie sµ , ovvero,
u (xk ) = s,
(1.34)
s
(1.35)
u (Xm ) = sµ = √ ,
n
dove n è il numero di misure considerato.
1.5.2
Incertezza di Misura di Tipo B
La stima dell’incertezza di tipo B deve essere determinata valutando tutte le informazioni
ottenibili, relative alla variabilità dei risultati e, quindi, alla loro distribuzione probabilistica. Queste informazioni possono includere precedenti dati di misura, specifiche dei
costruttori degli strumenti e dati di taratura degli stessi, oltre che dati di incertezza sui
materiali in uso, riscontrabili nella manualistica.
Le modalità di determinazione dell’incertezza possono, quindi, variare a seconda delle circostanze. In ogni caso, però, l’incertezza di tipo B prevede la conoscenza a priori
della distribuzione probabilistica associata ai risultati della misurazione. Analogamente
a quanto fatto per l’incertezza di tipo A, pertanto, per quantificare l’incertezza di misura, si ricorre alla varianza della distribuzione σ2 , definita dalla (1.15), o alla deviazione
standard della distribuzione σ, definita dalla (1.16). Per la stessa ragione discussa precedentemente, per quantificare l’incertezza di misura, si preferisce utilizzare la deviazione
standard.
Nel caso di misurazioni ripetute, in cui la miglior stima del misurando è data dalla
media aritmetica delle misure Xm , analogamente a quanto visto per l’incertezza di tipo
50
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.5. Incertezza di Misura
A, l’incertezza di misura viene quantificata usando il parametro σµ (deviazione standard
della distribuzione delle medie), dato dalla (1.23).
Anche in questo caso, l’incertezza di misura, definita tramite il parametro σ o il parametro σµ , prende il nome di incertezza tipo e si indica con u. Se la distribuzione è
normale, l’intervallo ±u, anche in questo caso, ovviamente, copre il 68.3% dei casi. Nel
caso in cui si utilizzi una distribuzione uniforme, la deviazione standard σ può essere
ricavata facilmente utilizzando la (1.33).
Nel caso di incertezza di tipo B, quindi, l’incertezza tipo u, da associare alla singola
misurazione x, risulta essere la deviazione standard della distribuzione σ, mentre l’incertezza tipo u, da associare alla media aritmetica delle misure Xm , nel caso di misure
ripetute, risulta essere la deviazione standard della distribuzione delle medie σµ , ovvero,
u (x) = σ,
σ
u (Xm ) = σµ = √ ,
n
dove n è il numero di misure considerato.
1.5.3
(1.36)
(1.37)
Incertezza Composta
In molti casi, le incertezze di misura, ottenute sui singoli componenti di un sistema di misura complesso, devono essere combinate tra loro, per determinare l’incertezza complessiva (incertezza composta), che grava sulla misurazione. Se il risultato della misurazione
(y) è ottenuto dall’elaborazione di risultati di più misure indipendenti tra loro (xi ), cioè
y = f (x1 , x2 , · · · , xi , · · · , xn ) ,
(1.38)
l’incertezza che grava sulla stima del misurando finale (incertezza composta) è legata alle
incertezze che gravano sulle singole quantità xi . L’incertezza tipo composta, espressa in
valore assoluto, è data da
v
t n
X ∂ f !2
u (y) =
u (xi )2 ,
(1.39)
∂x
i
i=1
dove u (xi ) sono le incertezze tipo (di tipo A o di tipo B), che gravano sulle diverse quantità
xi , di cui è funzione il misurando finale.
Nella Tabella 1.5 è riportato il risultato che si ottiene dalla (1.39) per alcuni casi particolari, in cui, per semplicità, si è supposto che il misurando non sia funzione di più di tre
componenti.
Nella Tabella 1.6 sono, invece, riportate, per alcuni casi particolari, le espressioni
dell’incertezza tipo composta relativa,
u̇ (y) =
u (y)
,
y
(1.40)
in funzione delle singole incertezze tipo relative u̇ (xi ).
Per chiarire meglio il procedimento di calcolo dell’incertezza composta, si possono
considerare due semplici esempi.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
51
1. Concetti Generali
Funzione
y= A+B
y= A−B
y=k·A
y= A·B
y=
A
B
y = An
y = A+ B+C
Incertezza Composta Assoluta
p
u (y) = u (A)2 + u (B)2
p
u (y) = u (A)2 + u (B)2
u (y) = k · u (A)
p
u (y) = B2 u (A)2 + A2 u (B)2
r
A2
1
2
(A)
u (y) =
u
+
u (B)2
B2
B4
u (y) = n · An−1 · u (A)
p
u (y) = u (A)2 + u (B)2 + u (C)2
Tabella 1.5: Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta
Funzione
y= A+B
y= A−B
y=k·A
y= A·B
A
B
y = An
y=
y = A· B·C
Incertezza Composta Relativa
s
A2 u̇ (A)2 + B2 u̇ (B)2
u̇ (y) =
(A + B)2
s
A2 u̇ (A)2 + B2 u̇ (B)2
u̇ (y) =
(A − B)2
u̇ (y) = u̇ (A)
p
u̇ (y) = u̇ (A)2 + u̇ (B)2
p
u̇ (y) = u̇ (A)2 + u̇ (B)2
u̇ (y) = n · u̇ (A)
p
u̇ (y) = u̇ (A)2 + u̇ (B)2 + u̇ (C)2
Tabella 1.6: Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa
52
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.5. Incertezza di Misura
• Y = A+B
Le grandezze misurate sono Am = A ± u (A) e Bm = B ± u (B).
L’incertezza assoluta della somma è, quindi,
s
"
#2 "
#2 q
∂ (A + B)
∂ (A + B)
u (A) +
u (B) = u (A)2 + u (B)2 . (1.41)
u (A + B) =
∂A
∂B
L’incertezza relativa è, invece, data da
u (A + B)
u̇ (A + B) =
=
A+B
s
A2 u̇ (A)2 + B2 u̇ (B)2
.
(A + B)2
(1.42)
L’incertezza relativa è, quindi, pesata dal valore delle due grandezze in gioco e,
nella espressione di u̇ (A + B), ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.
• Y = A·B
Le grandezze misurate sono Am = A ± u (A) e Bm = B ± u (B).
L’incertezza assoluta del prodotto risulta
s
#2 "
#2 q
"
∂ (AB)
∂ (AB)
u (A · B) =
u (A) +
u (B) = B2 u (A)2 + A2 u (B)2 .
∂A
∂B
(1.43)
L’incertezza assoluta è, quindi, pesata dal valore delle due grandezze in gioco e,
nella espressione di u (A · B), ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.
Per l’incertezza relativa, invece, si ottiene
q
u (A · B)
(1.44)
u̇ (A · B) =
= u̇ (A)2 + u̇ (B)2 .
A·B
Come curiosità, si noti che, utilizzando la (1.39) nel caso in cui y = f (x1 , x2 , · · · , xn )
sia la media aritmetica di n misure tutte affette da incertezza u (x), ovvero,
n
1X
y = Xm =
xk ,
n k=1
(1.45)
si ottiene
u (x)
u (y) = u (Xm ) = √ ,
(1.46)
n
ovvero, lo stesso risultato previsto dalla (1.37).
Nel caso in cui si consideri una misurazione complessa del tipo y = f (x1 , x2 , · · · , xn ) e
si voglia utilizzare la distribuzione t di Student, la formula di Welch-Satterhwaite permette
di calcolare il numero di gradi di libertà effettivi di y
u (y)4
νeff = P h
i4 .
∂y
u (xi ) /νi
i
∂xi
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(1.47)
53
1. Concetti Generali
Da cui, se ∂y/∂xi = 1,
u (y)4
νeff = P 4 .
i /νi
(1.48)
Se il valore di νeff calcolato non è intero, deve essere arrotondato all’intero inferiore più
prossimo.
1.5.4
Incertezza Estesa
Nel campo delle misure è raccomandabile che l’incertezza estesa U (y), riportata in un
certificato o in un rapporto, sia ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo composta u (y) per
un opportuno fattore di copertura k,
U (y) = k · u (y) ,
(1.49)
U̇ (y) = k · u̇ (y) ,
(1.50)
o in forma relativa,
in modo che l’incertezza dichiarata definisca un intervallo entro il quale si possa ritenere compreso con probabilità elevata il “valore vero” del misurando. Questa probabilità
prende il nome di livello di confidenza.
L’associazione dell’intervallo ±U, definito come sopra, con uno specifico livello di
confidenza, e, quindi, la scelta del valore di k, richiede l’assunzione implicita del tipo di
distribuzione statistica delle stime y della grandezza Y. In campo internazionale, è stato
deciso di adottare, se non diversamente prescritto, il fattore di copertura k = 2. Se, come
di solito avviene, la distribuzione può essere considerata normale (gaussiana), ciò associa
i limiti dell’incertezza estesa dati, da U, a un livello di confidenza approssimativamente
uguale al 95%.
Nel caso in cui si utilizzi una distribuzione normale, l’incertezza estesa U (y), con un
dato livello di confidenza p, si determina ricavando dalla Tabella 1.3 il valore di Z che
corrisponde a p = 2A (Z), secondo la relazione
U (y) = k · u (y) = Z · u (y) .
(1.51)
In questo caso, risulta, quindi, un fattore di copertura dato da k = Z.
L’espressione dell’incertezza estesa, utilizzando la distribuzione t di Student, si ottiene
dalla (1.28) ed è data da
U (y) = k · u (y) = t · u (y) ,
(1.52)
dove il valore della variabile t di Student è riportato in Tabella 1.4 per vari livelli di probabilità e in corrispondenza a ν = νeff gradi di libertà, secondo la (1.47), per misurazioni
complesse, o ν = n − 1, nel caso di misurazioni dirette. In questo caso, risulta, quindi, un
fattore di copertura dato da k = t.
54
Piero Malcovati, Misure Elettriche
1.5. Incertezza di Misura
1.5.5
Espressione dei Risultati
Nello scrivere il risultato numerico di una misura, si deve sempre tenere presente il grado
di approssimazione con cui esso è stato ottenuto, per non indicare cifre assolutamente
prive di significato, come spesso si tende a fare, quando il risultato numerico è frutto di
elaborazioni e calcoli.
L’incertezza estesa della misura deve essere espressa con due cifre significative. Per
esempio, U (y) = 0.10 V, oppure U (y) = 3.1 A, oppure U (y) = 10 Ω, oppure U (y) =
110 W. Espressioni come U (y) = 114 W, oppure U (y) = 13.1 Ω, hanno tre cifre
significative e, quindi, vanno arrotondate a U (y) = 110 W, oppure U (y) = 13 Ω.
Il risultato della misurazione deve poi essere espresso allineando le cifre decimali
del risultato stesso con quelle dell’incertezza estesa, arrotondando o aggiungendo zeri, a seconda dei casi. Cosı̀, per esempio, facendo riferimento ai casi precedentemente riportati, si potrà avere: V = 102.55 ± 0.10 V, oppure I = 17.3 ± 3.1 A, oppure
R = 107 ± 10 Ω, oppure P = 1030 ± 110 W. Espressioni come P = 1035 ± 110 W, oppure
R = 107.3 ± 10 Ω, risultano avere troppe cifre significative nel risultato e devono essere
arrotondate a P = 1030 ± 110 W, oppure R = 107 ± 10 Ω.
1.5.6
Riferibilità delle Misure
Gli strumenti impiegati per effettuare misurazioni nei diversi campi delle attività tecniche
e tecnologiche odierne sono tarati rispetto alle corrispondenti unità di misura (volt, ohm,
secondo, metro, eccetera). Per ridurre al minimo o perlomeno entro valori accettabili,
a seconda dei diversi scopi, i possibili gradi di arbitrarietà degli apparecchi di misura
che si usano, nei paesi più industrializzati esistono laboratori, ai quali è stato affidato il
compito di conservare, mediante campioni, materiali o esperienze rigorosamente definite,
le unità di misura legali. Queste unità di misura corrispondono a quelle definite dal SI,
entro incertezze che i laboratori nazionali curano di ridurre a valori sempre più piccoli,
mediante continui lavori di ricerca metrologica.
In Italia, questi compiti sono assegnati all’Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica
(INRIM). Per fare in modo che tutti gli apparecchi usati in un paese siano tarati in unità
di misura legali, o come si dice, riferite alle unità legali, occorre che essi siano confrontati
con i campioni delle unità legali.
Poiché un confronto singolo diretto comporterebbe, come facilmente immaginabile,
un lavoro enorme, la riferibilità alle unità legali si attua mediante catene di confronti, di
cui solo il primo anello, effettuabile di tanto in tanto dallo stesso laboratorio nazionale,
è un confronto diretto. L’organizzazione di questi confronti e, quindi, la riferibilità di
qualsiasi apparecchio di misura alle unità legali è affidata, in Italia, al Servizio Italiano
Taratura (SIT), che consiste in una rete di centri di taratura, dei quali viene accertata, riconosciuta e verificata la capacità metrologica in settori di misura ben definiti, ad esempio,
tensioni, correnti, potenze, temperature e cosı̀ via.
Il compito di verificare le capacità metrologiche dei centri di taratura è affidato agli
istituti metrologici nazionali (in Italia, l’INRIM). I centri di taratura sono riconosciuti
Piero Malcovati, Misure Elettriche
55
1. Concetti Generali
idonei a emettere certificati garantiti dal SIT a livello nazionale, in cui sono chiaramente
specificate le incertezze di misura del centro, per le varie grandezze, rispetto alle unità di
misura legali.
56
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 2
Campioni di Laboratorio
2.1
Generalità
Il problema della riferibilità delle misure, a cui si è fatto cenno nel Paragrafo 1.5.6, viene normalmente affrontato attraverso una catena di confronti, diretti o indiretti, a partire
dalle unità di misura legali (campioni primari). Per questo scopo, è necessario utilizzare
un certo numero di campioni secondari, da verificare periodicamente presso i centri specializzati e riconosciuti, in modo da mantenere la catena di riferibità rispetto alle unità di
misura legali. Ai campioni secondari, detti campioni di laboratorio, si fa riferimento per
tutti gli altri strumenti di impiego comune.
Poiché, in pratica, è impossibile mantenere un campione di corrente, che è la grandezza fondamentale elettrica del SI, si ricorre solitamente a campioni di tensione e a campioni
passivi (di resistenza, di capacità e di induttanza).
2.2
Campioni di Forza Elettromotrice
Il classico campione di forza elettromotrice è la pila Weston, nelle due versioni: satura e
non satura. Il contenitore di una pila di tipo saturo è un recipiente di vetro neutro, a forma
di “H”, con saldati alle due estremità inferiori degli elettrodi di platino, come illustrato
in Figura 2.1. L’anodo della pila è costituito da mercurio, depolarizzato da uno strato
di solfato mercuroso, mescolato con cristalli finissimi di solfato di cadmio. Il catodo
della pila è un’amalgama di cadmio. Uno strato di grossi cristalli di solfato di cadmio
ricopre le superfici dell’amalgama e del solfato mercuroso. Il contenitore è poi riempito
di elettrolita (soluzione satura di solfato di cadmio), sino a coprire interamente il braccio
trasversale della “H”, le cui estremità superiori sono poi accuratamente sigillate. La forza
elettromotrice della pila satura è di 1.01865 V a 20◦ C.
La pila di tipo non saturo è simile alla precedente, ma l’elettrolita è una soluzione
di solfato di cadmio non satura a temperatura ambiente (mancano i grossi cristalli di
cadmio). La forza elettromotrice della pila non satura è intorno a 1.0193 V a 20◦ C.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
57
2. Campioni di Laboratorio
Aria
Soluzione Solfato di Cadmio
Cristalli Solfato di Cadmio
Pasta Solfato Mercuroso e
Solfato di Cadmio
Amalgama di Cadmio
Mercurio
Figura 2.1: Pila Weston di tipo saturo
La variazione della concentrazione dell’elettrolita con la temperatura rende la forza elettromotrice della pila satura leggermente variabile con la temperatura stessa. Nel
campo di temperatura da 0◦ C a 40◦ C, la variazione di forza elettromotrice è di circa
40 mV/K. La pila non satura ha un coefficiente di temperatura molto inferiore, dell’ordine di 3 mV/K. La resistenza interna di una pila campione è intorno a un migliaio di
ohm.
La pila Weston si polarizza quando eroga corrente, compromettendo la stabilità del
valore della forza elettromotrice. Essa deve, quindi, essere sempre impiegata in circuiti
di misura che non richiedano corrente superiore a 100 mA per qualche secondo. Le pile
Weston sature presentano, se correttamente impiegate, elevati valori di stabilità nel tempo:
i migliori esemplari variano solo di frazioni di microvolt all’anno, mentre pile di normale
produzione presentano, in genere, un decremento annuo contenuto in 5 mV.
Le pile non sature hanno stabilità inferiore e, mediamente, presentano un decremento
annuo di 30 mV ÷ 50 mV, rispetto al valore di forza elettromotrice iniziale. Le pile
campione poste in vendita dalle case costruttrici sono munite di un certificato, che fornisce
il valore della tensione generata a una determinata temperatura e la relativa incertezza,
rispetto al gruppo di pile del laboratorio che ha rilasciato il certificato stesso. In genere, il
valore di incertezza tiene conto anche dell’instabilità per un periodo di uno o cinque anni,
valutata per esperienza su numerosi esemplari di pile.
Per le pile di tipo saturo l’incertezza è di 1 ppm ÷ 5 ppm, se comprendente l’instabilità
annua, e sino a 100 ppm, se comprendente l’instabilità quinquennale. Per quelle di tipo
non saturo essa è pari a 50 ppm e 200 ppm per i due casi.
Le pile Weston di tipo non saturo sono più facilmente trasportabili e maneggevoli, in
quanto munite di setti porosi, che dividono i loro componenti e li mantengono in sito.
Inoltre, come si è visto, esse hanno un coefficiente di temperatura abbastanza ridotto e,
quindi, non necessitano di essere mantenute in contenitori termostatici.
58
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.3. Sorgenti di Tensione Campione
2.3
Sorgenti di Tensione Campione
Si chiamano sorgenti di tensione campione quei particolari stabilizzatori in corrente continua, che forniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione avente
qualità paragonabili alla forza elettromotrice di una pila campione: elevata costanza nel
tempo, rispetto alla temperatura e alla sorgente di alimentazione dello stabilizzatore.
Le sorgenti in oggetto sono nate dall’esigenza di poter disporre di sorgenti campione
più robuste delle tradizionali pile Weston. Per tali sorgenti, si sfruttano, di solito, le proprietà dei diodi Zener. I diodi Zener sono diodi al silicio che, nella zona negativa della
loro caratteristica I = f (V), presentano un valore di tensione Vz , al di là del quale la
corrente inversa aumenta notevolmente per piccoli incrementi di tensione. La caratteristica diviene, infatti, una retta quasi parallela all’asse delle ordinate, come illustrato in
Figura 2.2. La resistenza differenziale del diodo, data da
Rd =
dVz
,
dIz
(2.1)
assume valori dell’ordine di qualche decina di ohm.
I valori di Vz sono dell’ordine di qualche volt. Il coefficiente di temperatura dei diodi
Zener ha la singolarità di annullarsi per un determinato valore di Vz ; nei diodi Zener
particolarmente studiati per le sorgenti campione, il coefficiente di temperatura viene reso
prossimo a zero per una certa gamma di valori di Vz .
Il circuito base di impiego di un diodo Zener, illustrato in Figura 2.3, è molto semplice: una tensione continua non stabilizzata VE è applicata al diodo, avente resistenza
differenziale Rd , attraverso un resistore RV . Ai capi del resistore RU , si ottiene la tensione stabilizzata VU . Il fattore di stabilizzazione S del circuito, cioè il rapporto tra una
variazione di VE e la conseguente variazione di VU , è dato dalla relazione
!
VU
RV
dVE VU
=
1+
,
(2.2)
S =
VE dVU
VE
Rd
dove S può raggiungere, in pratica, valori intorno a 100.
Per ottenere valori più elevati, è necessario porre in cascata più stadi di stabilizzazione:
con tre stadi si possono raggiungere valori notevoli di S , intorno a 70000. Questo significa
che, per una variazione di VE di ±10%, la variazione conseguente di VU rimane compresa
entro ±0.01%.
Valori del fattore di stabilizzazione ancora più elevati, con impiego di un numero
minore di diodi Zener, si possono ottenere con schemi a ponte. La Figura 2.4 rappresenta
una sorgente di tensione campione basata su un ponte a due diodi, preceduto da uno stadio
base. Si può dimostrare che, se per il ponte vale la relazione
R1 = R2 = Rd1 = Rd2 ,
(2.3)
la tensione d’uscita assume l’espressione
VU =
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Vz1 + Vz2 RU
,
2
RU + Rd1
(2.4)
59
2. Campioni di Laboratorio
I
Vz
V
Iz
Figura 2.2: Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener
RV
VE
RU
VU
Figura 2.3: Circuito base di impiego di un diodo Zener
60
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.4. Campioni di Resistenza
RV
R2
VE
Z1
VU
RU
Z2
R1
Figura 2.4: Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno
stadio in cascata
la quale mostra come VU sia indipendente dalla tensione d’ingresso e dalle resistenze che
formano il ponte. Il fattore di stabilizzazione di tale schema sarebbe teoricamente infinito,
ma, in realtà, risulta dell’ordine di 200000.
Il coefficiente di temperatura di queste sorgenti di tensione campione è molto piccolo,
inferiore a 0.01% K−1 .
2.4
Campioni di Resistenza
Una seconda grandezza elettrica, che si presta facilmente ad essere rappresentata con un
campione fisico, è la resistenza. I campioni di resistenza devono presentare un’elevata
stabilità in funzione della temperatura e del tempo. I materiali che si possono impiegare
per ottenere questi requisiti non sono molti.
La manganina è la lega più pregiata, formata da rame (84%), manganese (12%) e
nichel (4%), con questi dati nominali:
• resistività: 0.43 Ωmm2 /m;
• coefficiente di Seebeck: +1 µV/K rispetto al rame tra 0◦ C e 100◦ C;
• coefficiente di dilatazione: 0.000016 K−1 ;
• punto di fusione: 960◦ C.
La variazione di resistività della manganina in funzione della temperatura, tra 10◦ C e
30◦ C, risulta 10 ppm/K.
Si usano anche altre leghe, meno pregiate, a base di nichel (75%), cromo (20%),
alluminio (2.5%) e rame (2.5%), che hanno diverse denominazioni commerciali. Le
caratteristiche nominali della lega karma, per esempio, sono le seguenti:
• resistività: 1.33 Ωmm2 /m;
• coefficiente di Seebeck: +0.5 µV/K rispetto al rame;
• coefficiente di dilatazione: 0.000014 K−1 ;
• punto di fusione: 1400◦ C.
La variazione di resistività di queste leghe in funzione della temperatura è dello stesso
ordine di grandezza di quella della manganina.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
61
2. Campioni di Laboratorio
RC
I
R
RC
V
Figura 2.5: Campione di resistenza con quattro terminali
Molto diffusa è anche la costantana (rame, nichel, manganese), che ha caratteristiche
molto simili alla manganina, ma un coefficiente di Seebeck rispetto al rame molto più
elevata, 40 µV/K. Per questo, essa viene usata per resistori di pregio minore e di valore
piuttosto elevato (maggiore di 100 Ω).
I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di manganina, avvolta su un supporto rinchiuso in una custodia metallica. I resistori avvolti con
filo hanno valori da 1 Ω a 100 kΩ, secondo le potenze di 10, mentre resistori di valore
inferiore (generalmente da 0.1 Ω a 0.1 mΩ) sono avvolti con piattina.
I resistori campione hanno quattro morsetti: due per addurre corrente, due per prelevare tensione e delimitare, cosı̀, esattamente il valore di resistenza R, come illustrato in
Figura 2.5. Solo i resistori di valore elevato hanno, talvolta, solo due morsetti, in quanto
la resistenza dei blocchetti terminali (RC ) può ritenersi trascurabile, rispetto a quella del
resistore (R).
Il supporto per l’avvolgimento del filo è solitamente un cilindro di ottone, ricoperto
da un sottile strato isolante, in modo da facilitare la dissipazione del calore, prodotto dal
passaggio di corrente nel resistore. Per questa ragione, frequentemente, la custodia del
resistore è riempita di olio.
Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve presentare un valore di reattanza (X) trascurabile. L’impedenza di un resistore di questo tipo
viene, solitamente, definita in termini di resistenza R e di costante di tempo τ, essendo
τ=
L
,
R
(2.5)
dove L rappresenta un’induttanza “equivalente” residua. Per ottenere valori di τ molto
piccoli (10−6 s ÷ 10−8 s), si impiegano svariati metodi. Il metodo più diffuso è l’avvolgimento bifilare, nel quale il filo resistivo, di lunghezza l, viene ripiegato in due, partendo
dal punto l/2, e avvolto, mantenendo vicine o addirittura intrecciate le due metà, come
illustrato in Figura 2.6. Poiché le due metà del filo vengono percorse in senso opposto
dalla corrente di misura, i flussi dell’induzione magnetica da questa prodotti tendono ad
annullarsi, ottenendo, in definitiva, un valore di induttanza molto piccolo.
Se l’avvolgimento bifilare è formato con un filo di lunghezza notevole, può non essere
trascurabile la capacità tra le due metà del filo stesso. Con i valori di lunghezza di filo
normalmente usati per i resistori, si ha in genere una prevalenza di induttanza, per valori di
62
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.4. Campioni di Resistenza
Figura 2.6: Campione di resistenza con avvolgimento bifilare
Figura 2.7: Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine
resistenza R < 100 Ω, e una prevalenza di capacità, per valori di R > 100 Ω. Per ovviare
a questo inconveniente, si usano avvolgimenti formati da più sezioni di resistenza, poste
in serie o parallelo. Per esempio, per R > 100 Ω, si usano n sezioni di resistenza di valore
R/n poste in serie: in questo caso, l’induttanza totale rimane pressoché uguale, ma viene
notevolmente diminuita la capacità dell’avvolgimento.
Altri metodi di avvolgimento sono quelli di Chaperon, di Curtis e Grover e di Ayrton
e Perry.
Quando è necessario disporre di campioni di resistenza variabile, si ricorre alle cassette di resistori, generalmente di legno e con coperchio di materiale isolante, dal quale
sporgono i comandi per la variazione del valore totale di resistenza del circuito.
Un tipo comune di resistenza campione variabile è la cassetta a spine, nella quale ogni
resistore singolo ha i capi collegati a due blocchetti di ottone disposti sopra al coperchio.
Inserendo delle spine fra blocchetti adiacenti, si effettuano i collegamenti, includendo o
cortocircuitando i resistori, a seconda della disposizione, come illustrato in Figura 2.7.
Una cassetta con 16 resistori di valore rispettivamente 1 Ω, 2 Ω, 2 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 20 Ω,
20 Ω, 50 Ω, 100 Ω, 200 Ω, 200 Ω, 500 Ω, 1000 Ω, 2000 Ω, 2000 Ω e 5000 Ω, disposti in
serie, permette di realizzare qualsiasi valore intero di resistenza da 1 Ω a 11110 Ω.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
63
Im
2. Campioni di Laboratorio
I
δ
ϕ
V
Re
Figura 2.8: Diagramma vettoriale di un condensatore reale
2.5
Campioni di Capacità
Un condensatore reale presenta, inevitabilmente, differenze di comportamento agli effetti
esterni, rispetto al condensatore ideale, caratterizzato da I = ωCV, schematizzabili sotto
forma di potenza attiva dissipata. La dissipazione di potenza attiva avviene tipicamente:
• per conduzione, in quanto il dielettrico non è perfetto e la resistività non è infinita;
• per isteresi dielettrica nei materiali polari, poiché la polarizzazione delle molecole
avviene a spese di una certa energia;
• per effetto Joule nei collegamenti e nelle armature;
• per ossidazione delle armature;
• per effetti di bordo;
• per scariche parziali, legate alla eterogeneità del materiale.
Dal diagramma vettoriale mostrato in Figura 2.8, emerge che lo scostamento dalle condizioni di funzionamento ideali può essere espresso dal valore della tangente dell’angolo di
perdita, chiamato fattore di perdita, definito da
tan (δ) =
P
,
Q
(2.6)
dove P e Q esprimono la potenza attiva e reattiva, assorbite da un condensatore reale.
È evidente che, quanto più ci si approssima alle condizioni ideali, tanto più piccola è
P, cosı̀ come tan (δ). I circuiti equivalenti di un condensatore reale, riportati in Figura 2.9,
permettono di scrivere, nel caso serie,
tan (δ) = ωC s R,
(2.7)
G
.
ωC p
(2.8)
e, nel caso parallelo,
tan (δ) =
64
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.5. Campioni di Capacità
R
G
Cp
Cs
Circuito Equivalente
Parallelo
Circuito Equivalente
Serie
Figura 2.9: Circuiti equivalenti di un condensatore reale
I parametri nei due schemi, ovviamente, non sono gli stessi. Per il circuito equivalente
parallelo, si può scrivere
Y = G + jωC p ,
(2.9)
mentre, per il circuito equivalente serie, si ottiene
Z=
ωC p
1
1
G
1
=
= 2
−j 2
=R− j
.
2
2
2
2
Y G + jωC p G + ω C p
G + ω Cp
ωC s
(2.10)
Ai morsetti esterni del condensatore, i due schemi devono essere perfettamente equivalenti. Tenuto conto della natura dei fenomeni, si preferisce, solitamente, fare riferimento
all’equivalente parallelo. Se si considera che l’angolo di perdita è sempre molto piccolo,
si può, peraltro, rilevare che la capacità equivalente serie è praticamente uguale alla capacità equivalente parallelo. Infatti, essendo G ωC p , il termine immaginario della (2.9)
coincide con l’inverso del termine immaginario della (2.10), ovvero, C p C s = C.
Gran parte delle cause di dissipazione è da attribuirsi al materiale dielettrico, per cui, i
minimi valori dell’angolo di perdita (dell’ordine di 10−5 ) si ottengono con isolanti gassosi,
notoriamente poco dissipativi. In tal modo, si realizzano capacità fino a 0.001 µF, per
tensioni fino a 10 kV, con coefficienti di temperatura dell’ordine di 2 × 10−12 K−1 .
I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche, fra le quali
è interposto un isolante. Nella forma più comune, si tratta di fogli alternati, sovrapposti
nel seguente ordine (chiamando A e B i due morsetti terminali): armatura A – isolante –
armatura B – isolante – armatura A – isolante – armatura B, eccetera, come illustrato in
Figura 2.10.
Per capacità maggiori, si deve ricorrere ai dielettrici solidi: essi hanno rigidità dielettrica notevolmente più elevata, a scapito sia del coefficiente di temperatura, sia dell’angolo
di perdita, il cui valore sale fino a 10−4 .
Gruppi di condensatori, cosı̀ costruiti, vengono riuniti in cassette a spine, che permettono il loro inserimento in parallelo per aumentare la capacità complessiva. Condensatori
Piero Malcovati, Misure Elettriche
65
2. Campioni di Laboratorio
A
B
Figura 2.10: Campione di capacità
Figura 2.11: Campione di capacità variabile
in aria sono di uso molto comune, quando si richiede la variazione continua della capacità. In tal caso, si ha una serie di armature fisse, fra le quali sono interposte quelle
mobili, meccanicamente collegate fra di loro e all’albero di comando, come illustrato in
Figura 2.11. Durante la rotazione, varia la superficie affacciata fra le armature e cambia,
quindi, la capacità. La legge di variazione dipende dal profilo assegnato alle armature.
Quando si debbono eseguire misure in alta tensione, si usano dei condensatori campione in gas compresso (Figura 2.12), che possono sopportare tensioni anche di diverse
centinaia di kilovolt. L’uso del gas compresso come dielettrico offre i vantaggi di una
più elevata rigidità dielettrica, di minime perdite e di stabilità nel tempo. I gas più frequentemente usati sono l’azoto e l’anidride carbonica, compressi a 1 MPa ÷ 1.5 MPa.
Le armature di un condensatore presentano, sempre, capacità parassite rispetto ad ogni
conduttore circostante. Per limitarne gli effetti e per avere capacità costante con la tensione, si muniscono i condensatori di elettrodi (anelli) di guardia. Una delle disposizioni
preferite è schematizzata in Figura 2.13. Il morsetto 3 permette l’accesso all’elettrodo
di guardia, che minimizza l’effetto di bordo. Affinché l’anello di guardia sia efficace, è
necessario che il suo potenziale sia prossimo a quello dell’elettrodo. Pertanto, il morsetto
di alta tensione sarà, indubbiamente, il morsetto l, mentre il morsetto 2 ed il morsetto 3
andranno mantenuti a potenziali prossimi a quello di terra.
2.6
Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza
Gli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante,
per evitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scato66
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza
Figura 2.12: Campione di capacità per alta tensione
1
2
3
Figura 2.13: Campione di capacità a gas compresso con elettrodi (anelli) di guardia
Piero Malcovati, Misure Elettriche
67
2. Campioni di Laboratorio
Figura 2.14: Campione di induttanza
Figura 2.15: Campione di mutua induttanza
la, pure isolante, dalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento, come illustrato in
Figura 2.14. Nell’impiego di questi campioni, bisogna tenere presente che, per quanto i
conduttori siano abbondantemente dimensionati, la resistenza ohmica non è mai nulla ed
il suo valore deve essere considerato nella valutazione dei parametri del circuito.
In modo analogo, sono realizzati i campioni di mutua induttanza, costituiti da due
avvolgimenti concentrici, terminanti su quattro morsetti. Un mutuo induttore, costituito
da due avvolgimenti concatenati strettamente fra di loro per minimizzare i flussi dispersi,
presenta quattro morsetti, due per ciascun avvolgimento, come mostrato in Figura 2.15,
fra i quali si determina la ben nota relazione
E1 = jMI2 e E2 = jMI1 ,
(2.11)
dove E1 e I1 sono, rispettivamente, la forza elettromotrice e la corrente del primo avvolgimento, E2 e I2 sono, rispettivamente, la forza elettromotrice e la corrente del secondo
avvolgimento e M è il coefficiente di mutua induzione, proporzionale al prodotto del
numero di spire dei due avvolgimenti.
Qualora si connettano fra loro un morsetto del primo avvolgimento e uno del secondo
avvolgimento, l’induttanza totale della serie cosı̀ costruita sarà
L = L1 + L2 ± 2M.
(2.12)
L’alternanza del segno dipende dal verso di circolazione della corrente in un avvolgimento
rispetto all’altro. Cosı̀, il medesimo dispositivo può essere impiegato sia come induttore,
sia come mutuo induttore.
68
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.7. Campioni di Intervallo di Tempo
Figura 2.16: Campione di mutua induttanza variabile
Qualora si vogliano realizzare induttanze o mutue induttanze variabili, è necessario
permettere la rotazione reciproca degli assi delle bobine, come mostrato in Figura 2.16.
Il valore massimo dell’induttanza (o della mutua induttanza) si ha per α = 0◦ , mentre il
massimo negativo di M si ha per α = 180◦ . La precisione, ottenibile con simili dispositivi,
è abbastanza limitata, considerando la notevole entità dei flussi dispersi.
2.7
Campioni di Intervallo di Tempo
Costruire un campione di intervallo di tempo significa poter disporre di una sorgente di
segnali, preferibilmente elettrici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e con
la temperatura di impiego, di piccolo ingombro ed elevata affidabilità.
I primi campioni di intervallo di tempo, basati essenzialmente sul moto degli astri,
furono utilizzati già in epoca preistorica. Nel 1875 fu adottato, come riferimento internazionale, il “secondo di giorno solare medio”, determinato in base ad osservazioni astronomiche ed, in particolare, alla rotazione della Terra su sé stessa. Gli orologi (perlopiù
meccanici) venivano utilizzati solo per conservare, tra una osservazione e la successiva,
l’unità di intervallo di tempo.
I generatori di oscillazioni, che sono alla base di tutti i campioni di intervallo tempo, sono ancora oggi di natura prevalentemente meccanica, salvo il ricorso a fenomeni
atomici, in tecnologie particolarmente raffinate e costose, che sono utilizzati per la realizzazione dei campioni primari. È ben noto che l’atomo di una qualsiasi sostanza può
assumere un certo numero di stati eccitati ben determinati, caratteristici dell’elemento al
quale esso appartiene. Passando da un livello di energia ad un altro, corrispondenti a
ciascuno di questi stati, l’atomo cede energia quando passa ad un livello inferiore e, al
contrario, ne assorbe quando passa al livello superiore. Questo cambiamento di livello o
transizione dà luogo all’emissione o all’assorbimento di una radiazione elettromagnetica,
la cui frequenza è direttamente proporzionale alla quantità di energia ed è determinabile
con grande precisione. Tecnicamente, si sono rivelati molto adatti a essere utilizzati come
“oscillatori” gli atomi di idrogeno, rubidio e cesio.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
69
2. Campioni di Laboratorio
Rivelatore
Magnete di
Selezione
Fornetto di Generazione
di Atomi Equamente
Distribuiti
(e)
Uscita Atomi
Scartati
(a)
(c)
N
S
(d)
Cavità Risonante
S (b)
N
Uscita Atomi
Scartati
Atomi di Cesio nel Livello
Energetico Inferiore
Oscillatore
a Microonde
Atomi di Cesio nel Livello
Energetico Superiore
(f)
Ioni di Cesio
VCXO
Circuito di
Controllo
Uscita a 5 MHz
Figura 2.17: Schema semplificato di un oscillatore a fascio di cesio
Il segnale di riferimento del secondo, derivato da questi oscillatori, è caratterizzato da
una accuratezza che, nei migliori campioni al cesio, è almeno diecimila volte migliore di
quella raggiungibile con le osservazioni astronomiche. Proprio su una transizione naturale
del cesio è basata l’attuale definizione dell’unità di intervallo di tempo, il secondo. Tale
definizione, adottata in tutto il mondo fin dal 1967, a seguito delle decisioni prese dalla 13a
Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure, è cosı̀ formulata: “il secondo è l’intervallo di
tempo che contiene 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione
tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio 133”.
In Figura 2.17 viene illustrato lo schema semplificato di un oscillatore a fascio di
cesio. Il fornetto (a), riscaldato a circa 90◦ C, emette un fascio di atomi di cesio, uniformemente distribuiti nei sedici livelli energetici. Il selettore magnetico (b) attua la prima
selezione, garantendo l’immissione nella cavità risonante del livello energetico inferiore
(F = 3, mF = 0). Nell’interno della cavità risonante (c), grazie all’interazione con il
segnale a microonde, avviene la transizione al livello superiore (F = 4, mF = 0), che
in uscita viene indirizzata sul rivelatore dal selettore magnetico (d). La rivelazione del
livello energetico superiore è affidata ad un filo incandescente (e), in grado di produrre un
segnale elettrico, proporzionale alla quantità di atomi incidenti. Un circuito di controllo
provvederà, in funzione del segnale rivelato, a generare un segnale di errore, utilizzato per
controllare l’osillatore comandato in tensione ( f ), che a sua volta costituisce la sorgente
dell’oscillatore a microonde.
70
Piero Malcovati, Misure Elettriche
2.7. Campioni di Intervallo di Tempo
Cp
C
R
L
(a)
(b)
Figura 2.18: Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo
La maggior parte dei campioni di intervallo di tempo da laboratorio sono realizzati
tramite risuonatori al quarzo. Il funzionamento dei risuonatori al quarzo si basa sull’effetto piezoelettrico, che determina un legame, biunivoco e definito, fra deformazione e forza
elettromotrice, applicate e generate alle facce di cristalli di particolare natura, fra i quali
il quarzo è l’esponente tipico e di minor costo.
Lo schema costruttivo generale di un risuonatore al quarzo è riportato in Figura 2.18a,
ove una lamina di materiale piezoelettrico, tagliata da una massa cristallina, secondo piani
paralleli opportunamente orientali rispetto agli assi cristallografici, è interposta fra due
elettrodi, alimentati elettricamente alla frequenza di risonanza meccanica della lamina
stessa.
È evidente che le condizioni di risonanza (frequenza elettrica di eccitazione uguale alla
frequenza meccanica di vibrazione) vanno mantenute e rese stabili nel tempo. Le frequenze di risonanza serie ( f s ) e parallelo ( f p ) di un cristallo di quarzo si possono determinare
usando il circuito equivalente di Figura 2.18b e risultano
1
√
,
2π LC
q
1 + CCp
fp =
.
p
2π LC p
fs =
(2.13)
(2.14)
Lo schema di principio di un oscillatore al quarzo è mostrato in Figura 2.19. Assunto il circuito equivalente del risuonatore Q, riportato in Figura 2.18b, e ricordando
che
equivalente di un circuito risonante è minima in condizioni di risonanza
l’impedenza
(Zeq = R), l’oscillatore al quarzo si può considerare in funzionamento stabile solo in una
delle condizioni di risonanza di Q.
La stabilità in frequenza ottenuta è di 10−8 Hz; il campo coperto va da 5 kHz a
100 MHz circa, con limitazioni dovute all’eccessivo aumento delle dimensioni verso il
basso, ed alla fragilità delle piastrine verso l’alto.
Una caratteristica peculiare dei campioni di intervallo di tempo, che li differenzia da
tutti gli altri campioni, è la possibilità di essere trasmessi a distanza, permettendo quindi
di effettuare confronti tra diversi campioni, senza la necessità di portarli fisicamente nello
Piero Malcovati, Misure Elettriche
71
2. Campioni di Laboratorio
Q
R
VU
Figura 2.19: Schema di principio di un oscillatore al quarzo
stesso luogo. La trasmissione avviene tramite radiazioni elettromagnetiche, la cui frequenza è agganciata a un campione di tempo primario. Per esempio, con lo standard Deutschland Long-Wave Signal Frankfurt 77 (DCF77), utilizzato dalla maggior parte degli
orologi radio-controllati in Europa, la trasmissione avviene a 77.5 kHz.
72
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 3
Catene di Misura
3.1
Generalità
Nel corso di una misurazione, il segnale che rappresenta la grandezza da misurare viene
trattato in modo da poter esprimere la misura con uno o più valori numerici o di fornirne
una appropriata rappresentazione. Il complesso degli elementi interposti, per ottenere
detta rappresentazione, costituisce una catena di misura, come illustrato in Figura 3.1. La
catena di misura più semplice è costituita da un solo strumento, ma è assai frequente il
ricorso a catene più complesse. In termini più generali, si può anche pensare che il singolo
strumento sia, dal punto di vista funzionale, assimilabile ad una catena di misura.
Il tipo di trattamento del segnale può variare in relazione alla natura e all’ampiezza
della grandezza in esame, nonché al tipo di misura che si desidera condurre. È, comunque,
importante conseguire l’univocità della relazione tra la rappresentazione in uscita della
grandezza e il segnale che la rappresenta in ingresso.
Il caso più semplice di elaborazione del segnale è quello per il quale i due segnali in
ingresso e in uscita della catena sono della stessa natura e sono tra loro legati da un fattore
di conversione (y = k · x). Sono, tuttavia, assai frequenti anche casi in cui si ha a che
fare con funzioni più complesse, ad esempio relazioni di fase tra grandezze sinusoidali,
oppure in cui le grandezze in ingresso e uscita sono di diversa natura.
e(t)
M
u(t)
Figura 3.1: Schema generale di una catena di misura
Piero Malcovati, Misure Elettriche
73
3. Catene di Misura
jω
Ascissa di
Convergenza
c
α
Figura 3.2: Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace
3.2
Richiami sulla Trasformata di Laplace
Data una funzione f (t), definita nel dominio del tempo per t > 0 e identicamente nulla
per t < 0, si definisce “Trasformata di Laplace” della f (t) una funzione F (s), definita nel
dominio della variabile complessa s = α + jω,
Z ∞
F (s) =
f (t) e−st dt = L f (t) .
(3.1)
0
Poiché la funzione F (s) si ottiene con un integrale esteso ad un intervallo infinito, essa
può convergere o non convergere.
Data una trasformata di Laplace F (s), i valori di s che rendono infinito il modulo
di F (s) si dicono poli, mentre i valori di s che annullano F (s) si dicono zeri. Si può
dimostrare che, se l’integrale che definisce F (s) converge per s0 = α + jω, esso converge
anche per ogni valore di s la cui parte reale è maggiore di α. L’estremo inferiore dei
valori di per cui l’integrale converge si dice ascissa di convergenza c, come illustrato in
Figura 3.2.
Con la trasformata di Laplace si è stabilita una corrispondenza univoca tra funzioni
reali di variabili reali trasformabili e funzioni complesse di variabile complessa. È anche
possibile applicare il procedimento inverso e, cioè, calcolare f (t), quando è nota F (s)
(antitrasformata di Laplace). Si ha allora
Z α+ jω
1
F (s) e st ds = L −1 [F (s)] ,
(3.2)
f (t) =
2π j α− jω
74
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace
dove l’integrazione è effettuata lungo una retta parallela all’asse immaginario di ascissa
(α > 0). La corrispondenza tra f (t) e F (s) è biunivoca.
La funzione F (s) può sempre essere ricondotta a una funzione razionale, del tipo
F (s) =
a0 + a1 s + a2 s2 + · · · + am sm
.
b0 + b1 s + b2 s2 + · · · + bn sn
(3.3)
Nel caso in cui il grado m del polinomio al numeratore fosse maggiore del grado n del
polinomio al denominatore, si può effettuare il quoziente tra i due polinomi, ottenendo
una funzione
F (s) = A (s) + B (s) ,
(3.4)
nella quale B (s) è del tipo descritto dalla (3.3), mentre A (s) è un polinomio, che ha come
antitrasformata la funzione di Dirac (o sue derivate).
Dato che l’uso diretto dell’integrale di trasformazione (3.1) e di antitrasformazione (3.2) è complicato, si ricorre ad apposite tabelle, che riportano le coppie funzionetrasformata di uso più comune. Prima di ricorrere a dette tabelle, può essere conveniente
scomporre la funzione razionale in s in una serie di termini semplici, usando lo sviluppo
di Heavyside.
3.2.1
Proprietà della Trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace gode delle seguenti proprietà:
• Linearità:
L k1 f1 (t) + k2 f2 (t) = k1 L f1 (t) + k2 L f2 (t) .
• Traslazione nel dominio del tempo: se F (s) = L f (t) , allora
L f (t − τ) = e−sτ F (s) .
• Traslazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L f (t) , allora
L eat f (t) = F (s − a) .
• Derivazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L f (t) , allora
dF (s)
.
L t f (t) = −
ds
• Derivazione nel dominio del tempo: se F (s) = L f (t) , allora
#
"
d f (t)
= sF (s) − f (0) .
L
dt
Se la funzione f (t) è discontinua per t = 0, ad f (0) occorre sostituire
f 0+ = lim+ f (t) .
t→0
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
La formula di derivazione è iterabile e può, quindi, essere utile per il calcolo della
trasformata di una qualunque derivata della funzione f (t), nota la sua trasformata
F (s).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
75
3. Catene di Misura
Funzione
Impulso: δ (t)
Scalino: sca (t)
Rampa: ram (t) = tsca (t)
Parabola: par (t) = t2 sca (t)
Esponenziale: e−at sca (t)
Seno: sin (ωt) sca (t)
Coseno: cos (ωt) sca (t)
Trasformata di Laplace
1
1
s
1
s2
1
s3
1
s+a
ω
2
s + ω2
s
2
s + ω2
Tabella 3.1: Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego
• Teorema del valore iniziale: se F (s) = L f (t) , allora
f 0+ = lim sF (s) .
s→∞
(3.11)
• Teorema del valore finale: se F (s) = L f (t) e F (s) ha poli solo a parte reale
negativa e nell’origine (ma non su altri punti dell’asse immaginario o nel semipiano
a parte reale positiva), allora
lim f (t) = lim sF (s) .
t→∞
s→0
(3.12)
Nella Tabella 3.1 sono riportate le trasformate, per alcune delle funzioni d’uso più frequente.
3.2.2
Risoluzione di Equazioni Differenziali
Mediante la trasformata di Laplace, è possibile ridurre la risoluzione di equazioni differenziali lineari ed a coefficienti costanti alla risoluzione di equazioni algebriche, utilizzando
il seguente procedimento:
• mediante la trasformata di Laplace, il sistema di equazioni da risolvere viene trasferito dal dominio del tempo al dominio di Laplace, ottenendo, in virtù della (3.9),
un sistema di equazioni algebriche equivalente, in cui l’incognita è la trasformata
di Laplace dell’incognita di partenza;
• si risolve il problema equivalente nel dominio di Laplace, determinando la trasformata dell’incognita del problema originale;
• si ritorna nel dominio del tempo, mediante l’antitrasformata di Laplace.
76
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.3. Funzione di Trasferimento
Dominio di Laplaceo
Problema
Equivalente
Metodi Risolutivi di
Equazioni Algebriche
Trsasformazione
Soluzione del
Problema
Equivalente
Antitrasformazione
Dominio del Tempo
Metodi Risolutivi di
Equazioni Differenziali
Problema
Soluzione del
Problema
Figura 3.3: Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio di
Laplace
Il problema potrebbe essere risolto anche direttamente restando nel dominio del tempo.
Si pongono, cosı̀, le due alternative, illustrate in Figura 3.3. Il procedimento che passa
attraverso il dominio di Laplace è utilizzato nei casi in cui la trasformata del segnale di
ingresso è una funzione razionale.
3.3
Funzione di Trasferimento
Dato un sistema lineare, con un ingresso ed una uscita, si dice “funzione di trasferimento”
G (s) il rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale di uscita U (s) e la trasformata
di Laplace del segnale di ingresso E (s), quando il sistema ha condizioni iniziali nulle,
G (s) =
U (s)
.
E (s)
(3.13)
La funzione G (s) ha il significato fisico di trasformata di Laplace della risposta del
sistema ad un segnale di ingresso di tipo impulsivo (δ di Dirac), la cui trasformata è uguale
Piero Malcovati, Misure Elettriche
77
Ampiezza
3. Catene di Misura
1/τ
τ
Tempo
Figura 3.4: Rappresentazione della funzione δ di Dirac
a 1. Si ricorda che la funzione di Dirac è rappresentabile con un rettangolo δ (t) di durata
τ e altezza 1/τ e, quindi, di area 1. Se si fa tendere τ a 0, mantenendo l’area uguale a 1,
l’ordinata 1/τ tende a infinito, come illustrato in Figura 3.4.
Si osserva che la risposta di un sistema ad una funzione impulsiva può essere ottenuta,
sia pure con difficoltà, anche per via sperimentale. È, però, in generale, più semplice produrre l’eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamente ripido e poi valore costante
unitario), che altro non è che l’integrale dell’impulso di Dirac. La trasformata di Laplace
della risposta al gradino, moltiplicata per il fattore s, dà ancora la funzione di trasferimento G (s). Si ricordi che la funzione di trasferimento è una caratteristica del sistema ed è
indipendente dal segnale di ingresso.
In un circuito elettrico si hanno, tipicamente, più funzioni di trasferimento a seconda
del punto in cui si applica la forzante E (s) e del punto in cui si rileva il segnale di uscita
U (s). Per rendersene conto, basta osservare il circuito di Figura 3.5, nel quale senza
cambiare la posizione della forzante, si assume una volta come uscita U1 (s) e la seconda
U2 (s).
In generale, i sistemi reali più significativi presentano funzioni di trasferimento di due
tipi:
• sistemi del primo ordine, in cui
µ
;
(3.14)
G (s) =
1 + sτ
• sistemi del secondo ordine, in cui
µ
G (s) =
.
(3.15)
1 + ω2γ0 s + ω12 s2
0
78
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.3. Funzione di Trasferimento
u 1(t)
R C
e(t)
u 2(t)
Figura 3.5: Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico
R
e(t)
C
u(t)
Figura 3.6: Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC
In entrambi i casi la G (s) è caratterizzata da G (0) = µ, cioè il sistema trasferisce, senza
alterazioni, un segnale di ingresso costante nel tempo, moltiplicandolo per il guadagno
µ. Poiché µ è costante, l’analisi delle due funzioni può essere fatta utilizzando la forma
ridotta, ponendo µ = 1.
3.3.1
Sistemi del Primo Ordine
Si analizza ora la funzione di trasferimento G (s) per i sistemi del primo ordine che, dal
punto di vista elettrico, possono essere rappresentati con un circuito, in cui ci sono resistenze R e induttanze L, ma non capacità C, oppure resistenze R e capacità C, ma non
induttanze L. Il parametro τ è detto costante di tempo e definisce completamente il sistema. Ad esempio, per il circuito di Figura 3.6, la costante di tempo è τ = RC (in
secondi).
Si esamina ora il caso in cui il seganle di ingresso e (t) è un gradino unitario, cioè,
e (t) = 0 per t < 0 e e (t) = 1 per t > 0. Trasformando nel dominio di Laplace, si ottiene
1
E (s) = ,
s
(3.16)
per cui si ha
1 1
.
(3.17)
1 + sτ s
Per determinare il segnale di uscita nel dominio del tempo u (t), bisogna antitrasformare
la U (s). Conviene applicare il teorema di Heavyside, che consente di suddividere la
funzione in più termini di tipo più semplice,
U (s) = E (s) G (s) =
U (s) =
1 1 1
1/τ
1
1
= −
= −
.
1 + sτ s
s 1 + sτ s 1/τ + s
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(3.18)
79
3. Catene di Misura
1.2
1
Ampiezza
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Tempo
τ
Figura 3.7: Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine
Si può ora facilmente antitrasformare, ottenendo
u (t) = L −1 [U (s)] = 1 − e−t/τ .
(3.19)
In Figura 3.7 è riportata in grafico questa funzione, confrontata con il gradino unitario.
Si noti il significato geometrico di τ, che è la sottotangente, riferita all’ordinata e (t) = 1,
della funzione u (t). Essa rappresenta:
• il tempo dopo il quale u (t) = 0.632 = e−1 ;
• l’area compresa tra le due curve (tempo di risposta).
Se si considera, invece, la funzione a rampa e (t) = k · t, la risposta è ancora una
rampa, con ritardo costante τ rispetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbastanza
grande rispetto a τ, come illustrato in Figura 3.8.
3.3.2
Sistemi del Secondo Ordine
Si passa ora ad esaminare la funzione di trasferimento ridotta (µ = 1) per sistemi del
secondo ordine,
1
G (s) =
,
(3.20)
2γ
1 + ω0 s + ω12 s2
0
nella quale γ rappresenta il fattore adimensionale di smorzamento, mentre ω0 rappresenta
la pulsazione caratteristica del sistema.
80
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
Ampiezza
τ
Tempo
Figura 3.8: Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine
Si consideri ora il comportamento dinamico, applicando un gradino unitario. A seconda se γ > 1, γ = 1 o γ < 1, la risposta sarà aperiodica, critica o oscillatoria, come
mostrato in Figura 3.9. L’ampiezza massima della sovraelongazione è data da
− √ πγ
UM = 1 + e
1−γ2
,
(3.21)
che è pure una funzione di γ, come evidenziato in Figura 3.10.
Per i sistemi del secondo ordine, ha ancora significato il tempo di risposta (τr ), come
è stato definito per i sistemi del primo ordine. Nel caso di risposta oscillatoria, il tempo
di risposta si calcola sommando algebricamente le aree (τr = τ1 − τ2 + τ3 − τ4 ), come
indicato in Figura 3.11.
3.4
Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
Il metodo simbolico permette di passare immediatamente dalla funzione e (t) alla funzione
E (s), tenendo presente i teoremi di derivazione e integrazione della trasformata di Laplace. In un circuito elettrico, i componenti R, C e L possono essere sostituiti con impedenze
simboliche equivalenti:
1
Resistenze → R, Capacità →
, Induttanze → sL.
(3.22)
sC
Si veda in proposito la Tabella 3.2.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
81
3. Catene di Misura
γ<1
Ampiezza
E(t)
γ=1
γ=2
Tempo
Figura 3.9: Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine
2
Ampiezza
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
γ
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 3.10: Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un sistema
del secondo ordine in funzione del parametro γ
82
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace
1.4
1.2
τ2
τ4
Ampiezza
1
0.8
τ3
τ1
0.6
0.4
0.2
0
Tempo
Figura 3.11: Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine
Componente
Resistenza
Capacità
Induttanza
Dominio
Tempo
Frequenza
v (t)
=R
i (t)
dv (t)
i (t) = C
dt
di (t)
v (t) = L
dt
V (s)
=R
I (s)
V (s)
1
=
I (s)
sC
V (s)
= sL
I (s)
Tabella 3.2: Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacità
Piero Malcovati, Misure Elettriche
83
3. Catene di Misura
3.5
Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale
In un sistema lineare a parametri concentrati, la risposta a una eccitazione sinusoidale è
ancora una sinusoide, con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase diverse, come è
ben noto dallo studio dei circuiti in corrente alternata.
Si può dimostrare che, in generale, l’ampiezza della sinusoide in uscita si ottiene
moltiplicando il segnale in ingresso per il modulo della funzione di trasferimento, calcolato ponendo s = jω, dove ω = 2π f è uguale alla pulsazione della sinusoide di ingresso ( f è la frequenza della sinusoide di ingresso), mentre lo sfasamento è determinato
dall’argomento di G ( jω).
Dal punto di vista sperimentale, è molto più comodo determinare la risposta in regime
sinusoidale che all’impulso di Dirac o al gradino unitario, in quanto esistono generatori
di funzioni sinusoidali a frequenza variabile molto semplici. Nel caso in cui tutti gli
zeri e tutti i poli della funzione di trasferimento si trovino nel semipiano negativo del
piano complesso, l’ampiezza e la fase della risposta in frequenza e, perciò, il modulo e
l’argomento di G ( jω) possono essere facilmente determinati. Si consideri quale esempio
la funzione di trasferimento
1
,
(3.23)
G (s) =
1 + sτ
con un ingresso sinusoidale e (t) = sin (ωt). La funzione di trasferimento G ( jω) assume
la forma
1
G ( jω) =
,
(3.24)
1 + jωτ
il cui modulo è dato da
|G ( jω)| = s
1
τ
1
1 1 + ω2 τ2
=
= −
j
=
. (3.25)
√
1 + jωτ
1 + ω2 τ2
1 + ω2 τ2
1 + ω2 τ2 2
1 + ω2 τ2
Normalmente, esso viene espresso in decibel (dB) e risulta, quindi, dato da
!
1
.
|G ( jω)|dB = 20 log |G ( jω)| = 20 log √
1 + ω2 τ2
(3.26)
L’argomento di G ( jω) è, invece, dato da
ϕ = arctan (ωτ) .
(3.27)
Se ωτ 1, si ottiene |G ( jω)| 1 e ϕ −ωτ. Il segnale di uscita ha, quindi, la stessa
ampiezza del segnale di ingresso, ma è in ritardo di ωτ. Se, invece, ωτ 1, si ottiene
|G ( jω)| 1/ (ωτ) e ϕ −π/2, cioè, il sistema funziona da integratore approssimato
(le due onde sono sfasate di 1/4 di periodo). Poiché il circuito facilita la trasmissione
delle frequenze basse, esso si comporta come un filtro passa-basso. La rappresentazione
grafica del modulo e dell’argomento di G ( jω) è riportata in Figura 3.12. Questi andamenti
corrispondono a quelli di un circuito elettrico del tipo indicato in Figura 3.6.
84
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale
Modulo
1
0.5
0
Frequenza
Fase
0
-45
-90
Frequenza
Modulo [dB]
0
-5
-10
-15
-20
-25
Frequenza - Scala Logaritmica
Fase
0
-45
-90
Frequenza - Scala Logaritmica
Figura 3.12: Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine
passa-basso
Piero Malcovati, Misure Elettriche
85
3. Catene di Misura
e(t)
C
u(t)
R
Figura 3.13: Circuito RC passa-alto
Se si considera invece il circuito riportato in Figura 3.13, la funzione di trasferimento
è data da
sτ
G (s) =
.
(3.28)
1 + sτ
Se si calcolano il modulo e la fase in regime sinusoidale, si ottiene
ωτ
,
|G ( jω)| = √
1 + ω2 τ2
ωτ
(3.29)
!
,
|G ( jω)|dB = 20 log √
1 + ω2 τ2
!
1
.
ϕ = arctan
ωτ
(3.30)
(3.31)
Queste funzioni hanno l’andamento riportato in Figura 3.14. Per ωτ 1, si ottiene
|G ( jω)| ωτ e ϕ π/2, mentre per ωτ 1, si ottiene |G ( jω)| 1 e ϕ ωτ. Questo
circuito si comporta come un derivatore approssimato. Poiché il circuito trasmette le
frequenze più elevate, esso agisce da filtro passa-alto.
86
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale
Modulo
1
0.5
0
Frequenza
Fase
90
45
0
Frequenza
Modulo [dB]
0
-10
-20
-30
-40
Frequenza - Scala Logaritmica
Fase
90
45
0
Frequenza - Scala Logaritmica
Figura 3.14: Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine
passa-alto
Piero Malcovati, Misure Elettriche
87
Capitolo 4
Strumenti Analogici
4.1
Generalità
Tra tutte le classificazioni possibili, per gli strumenti analogici, conviene fare riferimento
a quella per tipo di conversione:
• magnetoelettrica;
• elettromagnetica;
• elettrodinamica;
• ad induzione;
• termica.
Le caratteristiche degli strumenti analogici sono riportate sulla targa attraverso dei simboli. I simboli più importanti sono riportati nell’Appendice B.
Negli strumenti analogici, la grandezza di uscita è generalmente la deviazione angolare di un indice, solidale con un equipaggio, che, per effetto della grandezza incognita, è
forzato a ruotare intorno ad un asse.
L’equipaggio mobile è sottoposto ad una coppia motrice, funzione della grandezza
sotto misura. Affinché lo strumento possa fornire un’indicazione in condizioni di equilibrio statico, con l’indice fermo in una posizione univocamente corrispondente alla entità
del misurando, sull’equipaggio mobile dovrà agire anche una coppia antagonista, funzione crescente della deviazione, di solito di natura elastica. Per smorzare le oscillazioni
intorno alla posizione di equilibrio, sempre presenti con coppie antagoniste di tipo elastico, deve essere prevista una coppia smorzante, funzione della derivata della grandezza
sotto misura, di solito di natura viscosa, che riduce la durata del transitorio meccanico.
Purtroppo, è presente anche una coppia d’attrito, che si cerca di minimizzare, poiché
attribuisce insensibilità e imprecisione allo strumento.
La portata di uno strumento analogico è la grandezza che, applicata ai suoi morsetti,
fa arrestare l’indice in corrispondenza del fondo scala. La scala di uno strumento analogico è la suddivisione dell’arco di cerchio che può essere percorso dall’indice. Essa è,
solitamente, tracciata in divisioni e numerata, in modo da consentire una facile lettura.
L’indice degli strumenti più pregiati è a coltello o a filo e, sotto di esso, è previsto uno
specchio, che consente di ridurre l’errore di parallasse che si commette nella lettura, coPiero Malcovati, Misure Elettriche
89
4. Strumenti Analogici
Figura 4.1: Indice degli strumenti analogici
me illustrato in Figura 4.1. Uno strumento può avere più di una portata e la lettura non
corrisponde, necessariamente, alla ampiezza della grandezza sotto misura, ma è a questa
legata linearmente, secondo una costante. La costante di uno strumento è il rapporto tra
la grandezza di fondo scala e il numero di divisioni della scala. Nel caso di strumento a
più portate, si avranno tante costanti, quante sono le portate. Per pervenire al valore della
grandezza misurata, la lettura, fatta sulla scala, deve essere moltiplicata per la costante.
4.2
Classe di Precisione
La precisione di uno strumento è definita dai limiti dell’errore espresso in percento di un
valore convenzionale. Il valore convenzionale coincide, quasi sempre, con il valore di
fondo scala, cioè, con la portata. Per quanto riguarda la precisione, gli strumenti sono
suddivisi in classi, contraddistinte da un numero, detto indice di classe. Le classi previste dalle norme del Comitato Elettrotecnico Italiano (CEI), mutuate dalle norme dell’
International Electrotechnical Commission (IEC), sono:
• Classe 0.05, errore inferiore allo 0.05% del fondo scala;
• Classe 0.1, errore inferiore allo 0.1% del fondo scala;
• Classe 0.2, errore inferiore allo 0.2% del fondo scala;
• Classe 0.3, errore inferiore allo 0.3% del fondo scala;
• Classe 0.5, errore inferiore allo 0.5% del fondo scala;
• Classe 1, errore inferiore allo 1% del fondo scala;
• Classe 1.5, errore inferiore allo 1.5% del fondo scala;
• Classe 2.5, errore inferiore allo 2.5% del fondo scala;
• Classe 3, errore inferiore allo 3% del fondo scala.
Questi indici rappresentano i limiti di errore percentuale, che uno strumento, appartenente ad una certa classe, non deve superare, al fondo scala, in determinate condizioni di
riferimento, indicate dal costruttore oppure specificate dalle norme.
L’errore assoluto dello strumento, in qualunque punto della scala, non deve essere
superiore a
Classe · Portata
.
(4.1)
=
100
90
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio
Ad esempio, un amperometro di classe 0.2, con portata 5 A, in qualunque punto della
scala, non deve avere un errore assoluto superiore a
0.2 · 5
= ±0.01 A.
(4.2)
100
Per una data lettura, l’errore relativo dello strumento risulta
Classe · Portata
˙ =
.
(4.3)
100 · Lettura
Dalla (4.3), si evince che l’errore relativo ˙ è tanto maggiore, quanto più piccola è la
lettura rispetto al fondo scala (portata). È, quindi, sempre consigliabile scegliere opportanamente la portata, in modo da ottenere una lettura vicina al fondo scala, dove ˙ risulta
minimo.
Le condizioni di riferimento per la classe di precisione riguardano la temperatura
ambiente, la posizione dello strumento, il suo orientamento rispetto al campo magnetico terrestre, eventuali valori di induzione magnetica esterna, la frequenza della corrente in misura (se si tratta di corrente alternata), eccetera. Facendo variare queste condizioni, entro i limiti indicati dalle norme, l’errore d’indicazione dello strumento non
deve ulteriormente variare oltre il limite stabilito dalla classe. Ad esempio, nel caso di
un amperometro di classe 0.2, con portata 5 A, i limiti di variazione della temperatura
ambiente sono di ±10◦ C, intorno alla temperatura di riferimento di 20◦ C. L’errore assoluto dello strumento, a 30◦ C oppure a 10◦ C, non dovrà, perciò, essere superiore a
0.01 + 0.01 = ±0.02 A.
L’incertezza tipo assoluta, che possiamo attribuire a uno strumento di una data classe
di precisione, si ottiene assumendo una distribuzione uniforme (rettangolare) dell’errore,
delimitata dai limiti di classe e, utilizzando la (1.33), risulta
=
Classe · Portata
.
u= √ =
√
3
100 3
Conseguentemente, l’incertezza tipo relativa risulta data da
˙
Classe · Portata
.
u̇ = √ =
√
3 100 3 · Lettura
4.3
(4.4)
(4.5)
Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio
Quando ad uno strumento analogico viene applicata una coppia motrice costante, l’indice tende a porsi in movimento ed a raggiungere la condizione d’equilibrio stabile, per
cui si verifica la uguaglianza tra coppia motrice e coppia resistente (o antagonista). Lo
spostamento dell’indice è retto dalla equazione del moto, nella quale per semplicità si è
trascurata la coppia di attrito,
J
d2 α
dα
+N
+ aα = Cm ,
2
dt
dt
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(4.6)
91
4. Strumenti Analogici
dove J è il momento di inerzia dell’equipaggio, N è la costante della coppia di smorzamento, a è la costante della coppia antagonista, α è la deviazione dell’indice dello strumento, Cm è la coppia motrice, supposta indipendente da α, e t è il tempo. Si tratta di una
equazione differenziale del secondo ordine, che può essere risolta, rispetto all’incognita
α, con il metodo della trasformata di Laplace, ricordando che α = 0 per t = 0. Si ottiene
una funzione di trasferimento, G (s) = α (s) /Cm (s), del secondo ordine, data dalla (3.15),
caratterizzata dalla pulsazione di risonanza del sistema,
r
a
,
(4.7)
ω0 =
J
e dal fattore di smorzamento,
N
(4.8)
√ .
2 aJ
L’indice assumerà, quindi, la posizione di regime dopo un certo tempo e lo spostamento
dell’indice potrà essere oscillante, smorzato o aperiodico, a seconda del valore di γ, come
illustrato in Figura 4.2. Negli strumenti analogici, normalmente, si fa in modo che sia
γ = 0.7÷0.8, per cui l’indice supera, sia pur di poco, la posizione di equilibrio, oscillando
brevemente intorno a questa.
Quanto è stato esposto, assumendo, per semplicità, Cm costante, può essere, facilmente, esteso al caso di coppia motrice variabile nel tempo. Ad esempio, nel caso di coppia
impressa sinusoidale, di pulsazione ω, se si fa in modo che ω ω0 , la deviazione dell’indice seguirà e riprodurrà, senza inerzia, la coppia motrice istantanea applicata. Nel
caso, invece, in cui ω ω0 , l’indice dello strumento non è in grado di seguire l’andamento della grandezza e rimane fermo sulla posizione di zero. Se la coppia motrice fosse
variabile, con valore medio non nullo, l’indice devierebbe in ragione del valore medio.
γ=
4.4
Strumenti a Conversione Magnetoelettrica
L’equipaggio mobile di uno strumento magnetoelettrico è costituito da una bobina rettangolare in filo di rame sottile, avvolta su un nucleo ferromagnetico di forma cilindrica,
immerso nel campo magnetico generato da un magnete permanente. Le espansioni polari del magnete sono sagomate in modo da avere traferro costante, come illustrato in
Figura 4.3.
Se la bobina è percorsa da corrente I, sui suoi lati attivi si esercita una coppia motrice
Cm , data da
Cm = Bn s dlI = kI,
(4.9)
dove B è l’induzione magnetica, n s è il numero delle spire della bobina, l è la lunghezza
della bobina, d è il diametro della bobina. Tale coppia è contrastata da una coppia antagonista Cr , di natura elastica (una molla o i fili stessi di adduzione della corrente alla bobina,
tesi fra due vincoli), che vale
Cr = aα,
(4.10)
92
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.4. Strumenti a Conversione Magnetoelettrica
2
γ=0
1.8
1.6
1.4
α/α 0
1.2
1
0.8
0.6
0.4
γ = 1.6
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/T0
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.2: Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore di γ
da 0 a 1.6 con passi di 0.2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Magnete Permanente
Espansioni
Bobina Mobile
Nucleo Interno
Molla Antagonista
Dispositivo di Messa a Zero
Indice
Contrappesi dell'Indice
Figura 4.3: Strumento a conversione magnetoelettrica
Piero Malcovati, Misure Elettriche
93
4. Strumenti Analogici
I
R
V
A
Figura 4.4: Voltmetro magnetoelettrico
dove α è l’angolo di rotazione della bobina e a è la costante della molla. In condizioni di
equilibrio, deve valere
Cm = Cr ,
(4.11)
da cui
Bn s dl
I = ka I,
(4.12)
a
in cui ka è detta costante amperometrica dello strumento. Come si vede, il legame fra α
ed I è lineare, per cui lineare è anche la scala di lettura. Lo strumento magnetoelettrico
fornisce, quindi, una indicazione quando il valore medio delle grandezze non è nullo e,
quindi, è tipicamente utilizzato per le misure in corrente continua.
Nella fase transitoria del passaggio della posizione α = 0, alla posizione α = ka I, la
bobina si muove con velocità angolare dα/dt. Poiché i lati attivi della bobina si muovono
con velocità (d/2) (dα/dt), entro il campo magnetico costante descritto dal vettore B, nella
bobina viene indotta una forza elettromotrice
α=
E = Bldn s
dα
.
dt
(4.13)
Se la bobina possiede una resistenza propria Rg ed è chiusa su un circuito di resistenza R,
si determina una corrente
E
Is =
,
(4.14)
Rg + R
che si sovrappone a quella applicata e che dà luogo ad una coppia smorzante, data da
B2 l2 d2 n2s dα
dα
C s = Bldn s I s =
=N .
Rg + R dt
dt
(4.15)
Tale coppia smorzante è nulla per R = ∞ (strumento a circuito aperto) e massima per
R = 0 (strumento in corto circuito). Essa è nulla anche ad indice fermo.
Come esempio, consideriamo un voltmetro magnetoelettrico. Esso è costituito da
una struttura del tipo di quella illustrata in Figura 4.3, ma in serie alla bobina mobile
viene posta una resistenza R, come mostrato in Figura 4.4. La deviazione dell’indice è
proporzionale alla corrente che circola nella bobina ed è, quindi, data da
α = ka I = ka
94
V
= kv V,
R
(4.16)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.5. Strumenti a Conversione Elettromagnetica
Figura 4.5: Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettromagnetica
dove kv è la costante voltmentrica dello strumento. Variando il valore della resistenza R,
è possibile ottenere, con lo stesso strumento, diverse portate e diverse costanti kv .
4.5
Strumenti a Conversione Elettromagnetica
Negli strumenti a conversione elettromagnetica, detti anche a ferro mobile, il campo magnetico è generato da una bobina fissa, entro la quale si muove un pezzo di ferro dolce,
variamente sagomato, che determina la deviazione di un indice su una scala, come illustrato in Figura 4.5. L’energia magnetica in gioco, nel sistema fisico chiuso definito dai
confini dello strumento, è data da
W=
1
L (α) I 2 ,
2
(4.17)
dove L (α) è l’induttanza della bobina, che dipende dalla posizione del nucleo, cioè, della
deviazione α. Il nucleo viene attirato entro la bobina e, in assenza di coppia antagonista,
raggiungerebbe la posizione per cui è massima l’energia magnetica immagazzinata del
sistema.
La coppia motrice che insorge è data da
Cm =
1 dL (α) 2
I .
2 dα
(4.18)
Poiché il fenomeno descritto avviene indipendentemente dalla legge di variazione nel
tempo della corrente, questi strumenti possono funzionare sia in corrente continua, sia
in corrente alternata (entro certi limiti di frequenza), sia come voltmetri, sia come amperometri. La legge di variazione di L con α può essere predeterminata, modellando
opportunamente il pezzo di ferro dolce, per cui si può ottenere una scala di lettura prossima alla lineare, anche se nella formula la corrente compare al quadrato. Se la bobina
è eccitata con corrente alternata, la coppia motrice risulta proporzionale al valore efficace, sia pure non rigorosamente. Le parti mobili non sono interessate da corrente, per cui
questi strumenti sono semplici e robusti. La precisione conseguibile è confrontabile con
quella degli strumenti magnetoelettrici.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
95
4. Strumenti Analogici
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Bobina
Nucleo Fisso
Nucleo Mobile
Molla Antagonista
Dispositivo di Messa a Zero
Smorzatore ad Aria
Figura 4.6: Strumento a conversione elettromagnetica
Una variante costruttiva di rilievo, praticamente la più usata, consiste nell’utilizzare
come fonte di coppia motrice, non più l’attrazione, bensı̀ la repulsione tra corpi magnetizzati per induzione, come illustrato in Figura 4.6. La massima induttanza si ha quando le
due lamine (una mobile e l’altra fissa), magneticamente polarizzate in maniera omologa,
si trovano alla massima distanza.
4.6
Strumenti a Conversione Elettrodinamica
Gli strumenti a conversione elettrodinamica sono costituiti da due bobine, l’una fissa,
di solito sdoppiata, e l’altra mobile, collegata all’indice, come illustrato in Figura 4.7.
L’energia magnetica in gioco vale
W=
1
1
L f I 2f + Lm Im2 + M (α) I f Im ,
2
2
(4.19)
dove L f , Lm e M (α) sono, rispettivamente, i coefficienti di autoinduzione e mutua induzione delle bobine. Derivando rispetto ad α, si ottiene l’espressione della coppia motrice,
data da
dM (α)
Cm (α) = I f Im
.
(4.20)
dα
L’andamento di M (α) in funzione di α è sinusoidale, ma, se le deviazioni non eccedono i
45◦ intorno alla posizione ove la coppia è massima (assi delle bobine ortogonali), si può
ritenere che M vari linearmente con α, per cui,
dM (α)
= k,
dα
(4.21)
e, pertanto,
96
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.6. Strumenti a Conversione Elettrodinamica
Figura 4.7: Strumento a conversione elettrodinamica
Cm = kI f Im .
(4.22)
Se la coppia antagonista è di natura elastica (Cr = aα), all’equilibrio sarà Cm = Cr ,
cioè, kI f Im = aα, da cui
k
(4.23)
α = I f Im .
a
Questa espressione è valida per i valori istantanei e, se le correnti sono continue, la
deviazione risulta costante.
In regime sinusoidale, se I f e Im sono isofrequenziali e sfasate dell’angolo ϕ, risulta



 I f = IC, f sin (ωt)
.
(4.24)


 Im = IC,m sin (ωt + ϕ)
La coppia motrice è, quindi, data da
IC, f IC,m Cm (t) = k
cos (ϕ) − cos (2ωt + ϕ) ,
(4.25)
2
che nel tempo assume l’andamento indicato in Figura 4.8. La (4.25) può essere dimostrata
agevolmente procedendo a ritroso. Infatti,
1
1
[cos (b) − cos (2a + b)] = [cos (b) − cos (2a) cos (b) + sin (2a) sin (b)] =
2
2
1
= {[1 − cos (2a)] cos (b) + sin (2a) sin (b)} =
2
o
i
1 nh
=
1 − cos2 (a) + sin2 (a) cos (b) + 2 sin (a) sin (b) cos (a) = (4.26)
2
i
1h
= 2 cos (b) sin2 (a) + 2 sin (b) sin (a) cos (a) =
2
= sin (a) [cos (b) sin (a) + sin (b) cos (a)] = sin (a) sin (a + b) .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
97
4. Strumenti Analogici
Cm(t)
I(t)
Ampiezza
V(t)
Tempo
Figura 4.8: Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conversione
elettrodinamica
98
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.6. Strumenti a Conversione Elettrodinamica
Dalla (4.25) risulta che la coppia istantanea è costituita da un termine costante e da
un termine sinusoidale, di pulsazione doppia, rispetto quella delle grandezze impresse.
Introducendo per le correnti i valori efficaci al posto dei valori massimi, si ottiene
Cm (t) = kI f Im cos (ϕ) − cos (2ωt + ϕ) .
(4.27)
Si può osservare che il valore medio di questa funzione è proporzionale al prodotto scalare
delle due grandezze vettoriali, ~I f e ~Im ,
Cm (t) = k~I f ~Im .
(4.28)
Si può agevolmente dimostrare che, nel caso di correnti di frequenza diversa, il valore
medio risulta nullo. Per grandezze periodiche non sinusoidali, il valore medio della coppia
corrisponde alla somma dei valori medi dei prodotti relativi ad armoniche corrispondenti.
Uno strumento del tipo descritto è detto elettrodinamometro e deve considerarsi uno
strumento per corrente alternata, adatto per diverse applicazioni. Si deve osservare che, in
base a quanto è stato esposto nel Paragrafo 3.3.2, le caratteristiche dell’equipaggio mobile,
in relazione alla frequenza delle correnti, determinano il comportamento dello strumento in transitorio. Se la pulsazione della grandezza da misurare è molto piccola rispetto
alla pulsazione caratteristica propria dell’equipaggio, quest’ultimo è in grado di seguire
l’andamento della coppia istantanea e, potendosi ritenere la deviazione proporzionale alla
coppia, la deviazione dell’indice risulta di tipo oscillatorio, con asse di oscillazione sul
valore medio. In caso contrario, la deviazione dell’indice risulta stabilmente posizionata
sul valore medio.
Se si fa in modo che I f corrisponda alla corrente I di un circuito e Im sia proporzionale
e in fase con la tensione V del circuito stesso, la coppia media risulta
Cm = kV I cos (ϕ) .
(4.29)
La proporzionalità tra tensione V e Im può essere, molto semplicemente, ottenuta ponendo, in serie alla bobina mobile, una resistenza di adeguato valore di tipo antiinduttivo
(Paragrafo 2.4). Lo strumento assume, allora, il nome di wattmetro e lo schema di principio è quello riportato in Figura 4.9. In tale applicazione, la bobina fissa è costituita da
poche spire di grande sezione, mentre la bobina mobile è realizzata con molte spire di filo
sottile.
In linea di principio, qualunque wattmetro può essere trasformato in varmetro: basta
che Im sia in quadratura con V. In queste condizioni, si ha, infatti, una coppia motrice
media, data da
Cm = kV I cos (ϕ − 90◦ ) = kV I sin (ϕ) .
(4.30)
Si può adottare lo schema indicato in Figura 4.10, per il quale

V



IV =


R


Z + ZZmm+R

.




R
R



=V
 Im = IV
Zm + R
ZZm + Zm R + ZR
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(4.31)
99
4. Strumenti Analogici
I
V
R
Figura 4.9: Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro
Zm
If
R
Im
V
Z
Figura 4.10: Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro
100
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.6. Strumenti a Conversione Elettrodinamica
If
I
Im
Figura 4.11: Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro
Perché Im sia in quadratura con V, basta che sia nulla la parte reale del coefficiente di V
nella (4.31), cioè,
= (Z) = (Zm ) − < (Z) < (Zm )
R=
.
(4.32)
< (Z) < (Zm )
È stabilito, cosı̀, un legame che, se rispettato, rende possibile la misura diretta di
~ × ~I.
Q = k~Im ~I f = V
(4.33)
Si osserva che il comportamento di un varmetro cosı̀ realizzato è corretto solo per una ben
determinata frequenza.
Attualmente, meno frequente è l’impiego di uno strumento elettrodinamico come amperometro, potendo la bobina fissa fungere da derivatore per la bobina mobile, come
illustrato in Figura 4.11. Sarà, dunque,

Zf



Im = I



Z f + Zm








 I f = I Zm
.
(4.34)

Z f + Zm







Z f Zm

2
2


α = kIm I f = k 
2 I = ka I



Z f + Zm
La scala di lettura risulta, in questo caso, quadratica. Ancora da rilevare, è l’influenza
che può avere la frequenza sulla precisione dell’indicazione, in quanto essa influisce sul
valore delle impedenze.
Lo strumento elettrodinamico può anche essere usato come voltmetro, come illustrato
in Figura 4.12. Detta Z l’impedenza equivalente della serie tra bobina fissa, bobina mobile
e resistore addizionale, si ottiene
α=k
1 2
V = kv V 2 .
Z2
(4.35)
Se l’impedenza Z è sostanzialmente resistiva, l’indicazione è, entro certi limiti, indipendente dalla frequenza. In questo caso, anche la bobina fissa è realizzata con molte spire
di filo sottile. La scala dello strumento è quadratica.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
101
4. Strumenti Analogici
V
R
Im = If
Figura 4.12: Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro
Figura 4.13: Strumento a induzione
4.7
Strumenti ad Induzione
Gli strumenti ad induzione funzionano in base al fenomeno dell’induzione elettromagnetica e, per questo motivo, possono essere utilizzati esclusivamente per misure in corrente
alternata. Anche se, in linea di principio, si possono realizzare voltmetri e amperometri,
la tipica applicazione degli strumenti a induzione è quella del contatore di energia, che è
un wattmetro integratore.
Il wattmetro ad induzione è costituito da un disco di rame o di alluminio, imperniato
su due pietre dure, che porta la molla antagonista e l’indice. Il disco può ruotare fra le
espansioni polari di due elettromagneti, i cui avvolgimenti sono percorsi, rispettivamente,
dalla corrente di misura e da una corrente proporzionale alla tensione del circuito, come
illustrato in Figura 4.13. La corrente Iv , che fluisce nell’elettromagnete 1, produce un flusso Φv , che attraversa il disco e vi genera una forza elettromotrice indotta, che dà luogo,
a sua volta, alle correnti parassite I1 , cosı̀ come la corrente Ia , che fluisce nell’elettromagnete 2, produce un flusso Φa , dando luogo a una forza elettromotrice indotta nel disco e
alle relative correnti parassite I2 . Come è noto, fra un flusso magnetico ed una corrente
elettrica, si esercita una azione meccanica, ossia, si generano delle forze. L’azione sul
disco si esercita per effetto del flusso Φv sulla corrente I2 e del flusso Φa sulla corrente I1 .
Poiché le correnti circolano nel disco ed i flussi fuoriescono dai magneti, che sono fissi, le
102
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.7. Strumenti ad Induzione
Figura 4.14: Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione
forze che si generano sulle correnti agiscono anche sul disco, che è sollecitato a muoversi,
contrastato dalla molla antagonista. Lo schema di distribuzione dei flussi e delle correnti
è indicato in Figura 4.14, dove ai flussi perpendicolari al piano del disco corrispondono le
correnti con andamento circolare intorno all’asse dei circuiti magnetici.
Per rendersi più chiaramente conto del funzionamento del wattmetro ad induzione,
conviene esaminare le grandezze in gioco in un istante qualsiasi, ad esempio, quando la
corrente Iv è positiva e sta diminuendo, mentre la corrente Ia è pure positiva, ma sta aumentando. La corrente Iv , che sta diminuendo, induce sul disco una corrente I1 , diretta
nello stesso senso (per la legge di Lenz tende ad opporsi alla diminuzione del flusso). La
corrente Ia , che sta aumentando, induce invece sul disco una corrente I2 , diretta in senso
contrario (che si oppone all’aumento del flusso). In base alle leggi delle azioni elettromeccaniche, la I2 reagisce con il flusso Φv e dà luogo ad una forza F1 , che si può scindere
in due componenti: una perpendicolare ed una tangente al disco. La componente tangente
al disco di F1 tende a far ruotare il disco stesso e altrettanto fa la componente tangente
al disco della forza F2 , prodotta dall’interazione tra la corrente indotta I1 ed il flusso Φa .
Facendo riferimento alla Figura 4.15, l’azione combinata delle due forze produce la rotazione del disco, come indicato dalla freccia, se le due correnti hanno andamento diverso
(una crescente e l’altra decrescente). Se entrambe le correnti, invece, sono crescenti o
decrescenti, ovvero, in fase, le due forze generate risultano uguali e contrarie ed il disco
non si muove.
Si può quindi riassumere dicendo che la coppia Cm , che si genera nel disco, per effetto
dell’interazione fra le correnti Ia e Iv , che percorrono gli elettromagneti, e le componenti in quadratura delle correnti indotte I1 ed I2 sul disco stesso, è proporzionale al seno
dell’angolo di sfasamento fra le correnti,
Cm = k1 Φv Φa sin (ζ) = k2 Iv Ia sin (ζ) .
(4.36)
In uno dei due avvolgimenti, collegato in serie, può essere inviata direttamente la corrente
I del circuito (Ia = I), mentre l’altro, posto in parallelo, può essere sottoposto alla tensione
Piero Malcovati, Misure Elettriche
103
4. Strumenti Analogici
Figura 4.15: Rotazione del disco di uno strumento a induzione
V
Ia
ϕ
Φa
ζ
Φv
ζ
β
Iv
ε
Figura 4.16: Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione
del circuito, attraverso un’impedenza Z (il valore della corrente Iv sarà, perciò, Iv = V/Z).
Poiché il circuito voltmetrico presenta induttanza elevata, la corrente Iv è sfasata rispetto
alla tensione V applicata di un angolo assai prossimo a 90◦ . Facendo riferimento al diagramma vettoriale di Figura 4.16, se si indica con ϕ lo sfasamento tra la tensione V e la
corrente I impresse, si ottiene
ζ = β − ϕ.
(4.37)
La (4.37) si può, quindi, scrivere come
V
Cm = k2 I sin (β − ϕ) .
Z
(4.38)
Se si fa in modo che sia β = 90◦ , si ottiene
Cm = k3 Ia V sin (90◦ − ϕ) = k3 Ia V cos (ϕ) = k3 P.
(4.39)
Uno strumento ad induzione del tipo descritto può, quindi, fornire una deviazione
(angolo di rotazione del disco) proporzionale alla potenza attiva che transita nel circuito.
104
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.7. Strumenti ad Induzione
⎧
⎨
⎩
Φ
Φ1
Φ2
A
D
Figura 4.17: Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione
Non potendo essere la resistenza del circuito voltmetrico nulla, per ottenere lo sfasamento richiesto tra tensione e corrente nella bobina voltmetrica, si deve ricorrere ad artifici
circuitali. Il sistema più usato è quello di collocare un anellino metallico in corto circuito
attorno al magnete, come illustrato in Figura 4.17, ed, inoltre, di fare sporgere il nucleo
dell’elettromagnete rispetto al disco, in modo che una parte del flusso si chiuda senza
interessare il disco rotante. Per effetto delle correnti indotte in questo anellino, è possibile avere uno sfasamento, tra flusso e corrente, anche superiore a 90◦ . Ciò permette, fra
l’altro, di compensare anche lo sfasamento che si produce nell’avvolgimento amperometrico per effetto della sua induttanza e che, altrimenti, darebbe luogo ad un errore di fase.
Negli strumenti più semplici, l’anello viene sostituito da un dischetto metallico, che viene
applicato in posizione eccentrica al di sotto di una espansione polare: il comportamento è
analogo a quello visto per l’anello.
Caratteristica peculiare degli strumenti a induzione è la stretta dipendenza dalla frequenza, in quanto dalla frequenza dipendono sia i valori delle forze elettromotrici indotte,
sia quelli delle impedenze. Si tratta, tuttavia, di strumenti assai robusti, che possono sopportare forti sovraccarichi momentanei (la molla antagonista non è percorsa da corrente)
e la loro scala si può sviluppare, a piacere, per quasi tutta la circonferenza. Essi non sono caratterizzati da autosmorzamento delle oscillazioni, per cui, sulla periferia del disco,
viene applicato anche un magnete permanente, come illustrato in Figura 4.13, che genera,
durante il movimento, delle correnti indotte, le quali hanno l’effetto smorzante desiderato.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
105
4. Strumenti Analogici
Figura 4.18: Contatore a induzione
4.8
Contatori ad Induzione
Il contatore ad induzione deriva direttamente dal wattmetro ad induzione, ma esso è privo
della molla antagonista, per cui il disco è libero di ruotare, trascinando il numeratore,
come illustrato in Figura 4.18. Con il disco in rotazione, il magnete permanente provoca
una coppia frenante, proporzionale alla velocità angolare, in quanto le correnti, da esso
indotte nel disco, sono proporzionali alla velocità di rotazione del disco stesso. Poiché
la potenza è proporzionale alla velocità angolare del disco, il numero di giri compiuti dal
disco stesso risulta proporzionale all’energia transitata.
Il diagramma vettoriale completo delle grandezze in gioco nel contatore è rappresentato in Figura 4.19. Nel circuito voltmetrico, la corrente Iv è sfasata in ritardo rispetto alla
tensione V di quasi un quarto di periodo. Questa corrente produce, nel circuito magnetico
di tensione, un flusso Φv , ad essa proporzionale, e sfasato in ritardo di un piccolo angolo
δv , a causa delle perdite nel circuito magnetico,
Φv = k1 V.
(4.40)
Il flusso Φv induce nel disco forze elettromotrici Ev , proporzionali ad esso ed alla pulsazione ω, e, quindi, delle correnti indotte.
La corrente I del circuito di corrente, che supponiamo sfasata di un angolo ϕ rispetto
alla tensione V, percorre la bobina amperometrica e genera un flusso Φi , pari a
Φi = k2 I,
(4.41)
sfasato in ritardo rispetto a I di un piccolo angolo δi , a causa le perdite nel circuito magnetico. Questo flusso induce nel disco delle forze elettromotrici, che, a loro volta, generano
delle correnti.
La coppia motrice, risultante delle due coppie parziali prodotte dai due avvolgimenti,
trascurando δv e δi , può essere espressa come
Cm = K1 Φv Φi sin (β − ϕ) .
106
(4.42)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.8. Contatori ad Induzione
V
I
Φi
δi
Iv
δv
ϕ
Φv
β
90˚
90˚
Ei
Ev
Figura 4.19: Diagramma vettoriale in un contatore a induzione
Piero Malcovati, Misure Elettriche
107
4. Strumenti Analogici
Infine, facendo in modo che l’angolo a fra la tensione V applicata alla bobina voltmetrica
e la corrente Iv che la percorre sia di β = 90◦ , la (4.42) si trasforma in
Cm = K1 Φv Φi sin (90◦ − ϕ) = K1 Φv Φi cos (ϕ) .
(4.43)
La coppia motrice agente sull’equipaggio mobile del contatore è, quindi, proporzionale
al prodotto dei flussi voltmetrico e amperometrico, secondo una costante empirica K1 .
Alla formazione della coppia antagonista concorrono più fenomeni. Il disco in rotazione taglia il flusso ΦF costante, esistente nel traferro del magnete permanente (magnete
freno). Nel disco si inducono, quindi, delle forze elettromotrici, proporzionali al valore
del flusso ΦF ed alla velocità angolare ωd del disco. Proporzionali alla forza elettromotrice e alla velocità angolare, sono anche le correnti indotte che, reagendo col flusso, danno
luogo ad una coppia frenante del tipo
C F = k3 ωd Φ2F .
(4.44)
Le correnti indotte nel rotore dal flusso voltmetrico e dal flusso amperometrico danno
luogo alla coppia motrice, ma, reagendo coi flussi che le hanno provocate, danno anche
origine a due coppie frenanti, date da
C Fv = k4 ωd Φ2v ,
(4.45)
C Fi = k5 ωd Φ2i .
(4.46)
Non si deve poi dimenticare la presenza di una coppia di attrito meccanico (C A ), che,
salvo allo spunto, in prima approssimazione, può essere considerata proporzionale alla
velocità angolare del rotore,
C A = k6 ωd .
(4.47)
La coppia antagonista globale è formata dalla somma di tutti i contributi parziali e, cioè,
Cr = C F + C Fv + C Fi + C A .
(4.48)
All’equilibrio fra coppia motrice e coppia antagoniste Cm = Cr , la velocità angolare
dell’equipaggio mobile è data da
ωd = K2 Φv Φi cos (ϕ) ,
(4.49)
ωd = Nc V I cos (ϕ) = Nc P,
(4.50)
ovvero,
nella quale Nc è una costante e P è la potenza attiva. Introducendo il tempo t nei due
termini della (4.50), si ottiene
ωd t = Nc Pt.
(4.51)
Risolvendo rispetto a W = Pt, che è l’energia del circuito, si ottiene
W=
108
ng
.
Nc
(4.52)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4.8. Contatori ad Induzione
V = 220 V
f = 50 Hz
T = 20˚ C
cosϕ = 1
cosϕ = 0.5 ritardo
3
ε [%]
2
1
0
50
100
150
200
250
300
350
I/In [%]
400
–1
Figura 4.20: Curva di errore di un contatore a induzione
L’energia misurata da un contatore è, quindi, uguale al numero ng di giri del disco, diviso
per la sua costante Nc , quest’ultima solitamente espressa in giri/kWh.
Le principali cause di errore nei contatori a induzione sono:
• la non-linearità dei circuiti voltmetrico e amperometrico;
• la coppia frenante dovuta ai flussi voltmetrico e amperometrico;
• la coppia di attrito;
• il fattore di potenza del circuito;
• la frequenza;
• la forma d’onda della tensione e corrente;
• la temperatura.
L’errore globale di un contatore, in funzione del carico, a tensione, frequenza e fattore
di potenza costanti, assume l’andamento indicato in Figura 4.20. Per correggere la curva
d’errore e avvicinarla, nel miglior modo possibile, all’asse di zero, il contatore, dispone
di particolari dispositivi, indicati in Figura 4.21.
L’aggiustamento delle velocità a pieno carico si effettua variando il flusso del magnete
freno che attraversa il disco, per mezzo di un sistema meccanico a vite (a). In alternativa,
si può anche ricorrere ad uno shunt magnetico.
Il dispositivo per la regolazione di fase può essere previsto sul circuito magnetico di
corrente o sul circuito magnetico di tensione. Il dispositivo di regolazione posto sul circuito magnetico di corrente è costituito da un piccolo avvolgimento, disposto sul nucleo
dell’avvolgimento amperometrico, chiuso su una resistenza variabile, generalmente, un
filo doppio di nichel-cromo, munito di un cursore (b). In questo avvolgimento si induce una corrente, che tende a modificare la fase del flusso amperometrico risultante. Il
Piero Malcovati, Misure Elettriche
109
4. Strumenti Analogici
a)
b)
c)
d)
e)
Regolazione Velocità Pieno Carico
Regolazione di Fase
Regolazione Velocità Piccolo Carico
Regolazione Velocità Sovraccarico
Fermo di Tensione
Figura 4.21: Dispositivi di taratura in un contatore a induzione
dispositivo di regolazione posto sul circuito magnetico di tensione può essere costituito
da:
• un avvolgimento, attraversato da tutto il flusso voltmetrico e funzionante in modo
perfettamente analogo a quello descritto per il circuito di corrente;
• lamine metalliche, introdotte in traferri presenti sul circuito magnetico (c).
Il dispositivo di regolazione di velocità al piccolo carico è necessario per compensare
la coppia di attrito, che, per basse velocità di rotazione, non è più trascurabile rispetto
alla coppia motrice. Il dispositivo di regolazione produce, in effetti, una piccola coppia
motrice supplementare, facendo reagire col flusso voltmetrico le correnti indotte nel disco
da un piccolo flusso voltmetrico, derivato dal principale e sfasato rispetto ad esso, come
illustrato in Figura 4.22.
Il dispositivo per la regolazione di velocità in sovraccarico è necessario, in quanto
i moderni contatori sono sovraccaricabili sino a 3 ÷ 4 volte il valore nominale di targa.
Esso è, generalmente, costituito da uno shunt magnetico saturabile, derivato sul circuito
magnetico della bobina di corrente e formato da due parti, una fissa ed una mobile (d). Le
variazioni della posizione reciproca fra parte fissa e parte mobile regolano l’intensità del
flusso derivato e, quindi, la coppia del contatore nella zona di sovraccarico.
Il dispositivo di regolazione di velocità al piccolo carico serve anche per vincere la
coppia d’attrito di primo distacco. Poiché il dispositivo di avviamento agisce sul flusso
voltmetrico, anche con carico nullo, e, quindi, il disco si metterebbe in rotazione anche in
assenza di energia, i contatori sono muniti di un fermo di tensione, costituito da due sottili
linguette sporgenti, una dall’albero del disco e una dal magnete voltmetrico, che, quando
vengono a trovarsi a distanza ravvicinata, costituiscono un blocco (e).
110
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Figura 4.22: Compensazione della regolazione di velocità al piccolo carico in un
contatore a induzione
4. Strumenti Analogici
112
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 5
Misure Industriali con Strumenti
Analogici
5.1
Generalità
Le misure di tipo industriale sono quelle che si effettuano per il rilievo di grandezze su
apparati, macchine ed impianti, al fine di verificarne le condizioni di funzionamento o la
rispondenza a specifiche tecniche. Le misure di tipo industriale consentono, in genere, incertezze relativamente più elevate di quelle che si ammettono nelle misure di laboratorio.
Gran parte delle misure sono indirette, in quanto la stima del misurando viene ottenuta
dalla elaborazione delle indicazioni di due o più strumenti. Le misure industriali possono essere effettuate con strumenti elettromeccanici analogici o con strumenti elettronici
analogici e digitali, con numerose possibili alternative.
Al giorno d’oggi gli strumenti elettromeccanici analogici tendono a essere rimpiazzati
da strumenti digitali. Tuttavia, le problematiche legate all’uso degli strumenti analogici
sono utili per evidenziare aspetti che, con l’uso di strumenti digitali, si tende a trascurare.
Pertanto, conviene fare riferimento a misure effettuate con strumenti elettromeccanici analogici, considerando che le argomentazioni e i metodi trattati valgono anche per le misure
effettuate con strumenti digitali, benché alcuni aspetti diventino di secondaria importanza.
5.2
Misure in Corrente Continua
Le misure in corrente continua possono riguardare tensioni, correnti, resistenze e potenze.
Le misure di resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla elaborazione delle
indicazioni di più strumenti. Nella misure di tensione, corrente, resistenza e potenza in
regime permanente (corrente continua), eseguite utilizzando strumenti magnetoelettrici
(Paragrafo 4.4), si presuppone che l’oggetto sottoposto a misura sia lineare (indipendente
dal valore delle grandezze in gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure
su semiconduttori e liquidi).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
113
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
I
V
R
VR
r
V
V0
Figura 5.1: Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale
5.2.1
Misure di Tensione
Per la misura di tensioni continue si può ricorrere all’uso di un voltmetro indicatore di tipo
magnetoelettrico (Paragrafo 4.4). Poiché la bobina mobile dello strumento è realizzata
con filo sottile di rame, la cui resistività è funzione della temperatura, in serie alla bobina
viene sempre montato un resistore a filo (Paragrafo 2.4) di materiale avente coefficiente di
temperatura trascurabile (manganina) e di valore più elevato di quello della bobina stessa,
in modo che il valore di fondo scala venga raggiunto con un ben definito valore di tensione
(per esempio 50 mV). La bobina con in serie il resistore in manganina presenta, allora,
una resistenza globale r, che prende il nome di resistenza interna dello strumento ed è
dell’ordine delle decine di ohm.
Se lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni più elevate di quella determinata da r, si pone in serie ad r una ulteriore resistenza R, detta resistenza addizionale,
secondo lo schema rappresentato in Figura 5.1. Si può allora scrivere la relazione
V = V0 + VR = (R + r) I0 =
r+R
V0 .
r
(5.1)
La tensione applicata V è legata alla tensione V0 letta dallo strumento dal coefficiente
kV =
r+R
,
r
(5.2)
che è detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale.
Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono, spesso, montate
più resistenze addizionali in serie commutabili, in modo da poter disporre di più portate
(più poteri moltiplicatori), come illustrato in Figura 5.2. Normalmente non si superano
per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4 portate. Ad ogni portata è associata la costante
strumentale k per la quale si deve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata,
data da
Portata
k=
(5.3)
Numero di Divisioni
e, quindi,
V M = kVdiv ,
(5.4)
dove Vdiv denota la lettura in divisioni dello strumento.
114
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.2. Misure in Corrente Continua
P2
I
R1
P3
R2
R3
P1
V
*
Figura 5.2: Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate
I voltmetri magnetoelettrici possono appartenere a classi di precisione anche fino a
0.1. Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza tipo che grava
sulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,
u (V M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3
(5.5)
L’incertezza tipo relativa, ricavata dalla (4.5), è, invece, data da
u̇ (V M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3V M
(5.6)
Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
V = V M ± U (V M ) ,
(5.7)
dove V M è dato dalla (5.4). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.2.2
Misure di Corrente
Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti magnetoelettrici (Paragrafo 4.4), ma poiché la corrente che può essere sopportata dalla bobina mobile è molto
piccola (qualche milliampere), è solitamente necessario ricorrere all’impiego di derivatori
(shunt), secondo lo schema di principio di Figura 5.3. La resistenza interna dello strumento r è costituita dalla serie della resistenza propria della bobina e di una resistenza a filo
in manganina (Paragrafo 2.4), in modo da rendere r il più possibile indipendente dalla
temperatura. Si possono scrivere le relazioni



 S IS = rI0
,
(5.8)


 I = IS + I0
Piero Malcovati, Misure Elettriche
115
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
I
I0
IS
S r
A
Figura 5.3: Amperometro con derivatore (shunt)
da cui si ricava
r+S
I0 .
(5.9)
S
La corrente da misurare I è legata alla corrente I0 che attraversa lo strumento dal coefficiente
r+S
,
(5.10)
kA =
S
detto potere moltiplicatore dello shunt.
Con l’artificio descritto, uno stesso strumento può essere impiegato per misurare correnti da pochi milliampere fino a diverse migliaia di ampere, precisando che esso deve
essere tarato assieme ai propri shunt. Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso shunt sono, spesso, montate più resistenze in serie commutabili, in modo
da poter disporre di più portate (più poteri moltiplicatori), come illustrato in Figura 5.4.
Ad ogni portata è associata la costante strumentale k, per la quale si deve moltiplicare la
lettura per ottenere la grandezza cercata, data da
I=
k=
Portata
Numero di Divisioni
(5.11)
e, quindi,
I M = kIdiv ,
(5.12)
dove Idiv denota la lettura in divisioni dello strumento.
La classe di precisione di un amperometro magnetoelettrico può essere elevata (classe
0.1 o 0.2). Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza tipo che
grava sulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,
u (I M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3
(5.13)
L’incertezza tipo relativa, ricavata dalla (4.5), è, invece, data da
u̇ (I M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3I M
(5.14)
Per determinare l’incertezza estesa U (I M ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Bisogna porre attenzione agli
116
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.2. Misure in Corrente Continua
*
S3
P3
S2
A
P2
S1
I
P1
Figura 5.4: Amperometro magnetoelettrico con derivatore (shunt) a più portate
effetti delle connessioni tra shunt e strumento, che possono incidere sulla accuratezza
della misura, se la loro resistenza non è trascurabile rispetto a quella interna dello strumento (che è solitamente dell’ordine di qualche ohm). In tal caso, la misura risulta affetta
da errore sistematico (di segno noto, si misura in meno), ma non definito in ampiezza.
Di conseguenza, risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura. Il risultato della
misurazione sarà, quindi,
I = I M ± U (I M ) ,
(5.15)
dove I M è dato dalla (5.12). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.2.3
Misure di Resistenza
Uno dei metodi più semplici per effettuare misure di resistenza è il metodo voltamperometrico, che prevede l’impiego di due strumenti magnetoelettrici (Paragrafo 4.4), un voltmetro e un amperometro. Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati
in Figura 5.5.
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro. Risulta immediato constatare che, mentre il voltmetro è alimentato esattamente dalla tensione ai capi dell’oggetto RU , del quale si vuole determinare il valore di
resistenza, la corrente misurata dall’amperometro è la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di quella assorbita dal voltmetro (autoconsumo). Nella misura di corrente si
commette, quindi, un errore di tipo sistematico dovuto all’autoconsumo del voltmetro. Si
possono, infatti, scrivere le relazioni



 V M = VU
.


 I M = IU + IV
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(5.16)
117
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
IM
VA
IU
IM
A
V
RA
A
IV
RA
V
VU
RU
V RV
V
VM
VM
RU
VU
RV
Figura 5.5: Misura di resistenza con metodo voltamperometrico
La resistenza incognita RU è data da
RU =
VU
,
IU
(5.17)
mentre, invece, si misura la resistenza R M data da
RM =
VU
VU
=
.
IM
IU + IV
(5.18)
IU < I M ,
(5.19)
Quindi, essendo
appare evidente che si commette un errore sistematico di segno negativo (si misura in
meno). L’errore è tanto minore, quanto minore è il valore di IV . In pratica, invece di RU ,
si misura il parallelo tra RV (resistenza interna del voltmetro, RV = VU /IV ) e RU , per cui
il valore di resistenza incognito risulta
RU =
RV R M
.
RV − R M
(5.20)
Si osservi che, se RV → ∞, si ottiene RU = R M .
In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Risulta immediato constatare che, mentre l’amperometro è percorso esattamente
dalla corrente che fluisce nell’oggetto RU , del quale si vuole determinare il valore di resistenza, la tensione ai capi del voltmetro è la somma di quella ai capi dell’utilizzatore e della caduta di tensione sull’amperometro (autoconsumo). Nella misura di tensione si commette, quindi, un errore di tipo sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro. Si
possono scrivere le relazioni



 V M = VU + V A
.
(5.21)


 I M = IU
118
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.2. Misure in Corrente Continua
La resistenza misurata risulta, quindi,
RM =
V M VU + V A
=
= RU + R A ,
IU
IU
(5.22)
dove RA = VA /IU è la resistenza interna dell’amperometro. Si osservi che, se RA → 0, si
ottiene RU = R M . Il valore della resistenza incognita è dato da
RU = R M − RA .
(5.23)
L’errore sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro è positivo (si misura in
più). Esso è tanto minore, quanto più piccolo è il valore di RA rispetto a quello della
resistenza da misurare.
La scelta dello schema da utilizzare non è arbitraria e ci si deve orientare verso lo schema con voltmetro a valle per la misura delle resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo
schema con amperometro a valle per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω). Nel
campo intermedio, possono essere valide entrambe le alternative. Si osserva, infine, che,
se si effettua la misura senza correggere l’errore sistematico, è come se si operasse con
strumenti di classe inferiore, in quanto l’errore sistematico viene, in pratica, inglobato in
quello attribuito al caso, aumentando quindi l’incertezza. In ogni occasione, è necessario
valutare l’opportunità o meno di effettuare la correzione dell’errore sistematico. L’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deve essere valutata in base alle
incertezze tipo relative a tensione e corrente, determinando, quindi, l’incertezza composta
con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.
In particolare, assumendo come modello del misurando
RU =
VM
,
IM
(5.24)
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, il
termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura di
resistenza risulta
q
u̇ (RU ) =
u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 ,
(5.25)
dove u̇ (V M ) e u̇ (I M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.6) e dalla (5.14). L’incertezza
tipo assoluta risulta, quindi,
u (RU ) = u̇ (RU ) RU .
(5.26)
Per determinare l’incertezza estesa U (RU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
R = RU ± U (RU ) ,
(5.27)
dove RU è dato dalla (5.20) o dalla (5.23), a seconda dello schema utilizzato. Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre
seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
119
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
I
Vx
Vk
V
V
Rx
Rk
I
Figura 5.6: Misura di resistenza con metodo del confronto
Una variante del metodo voltamperometrico, particolarmente adatta per la misura di
resistenze di valore ridotto, è il cosiddetto metodo del confronto, basato sullo schema
riportato in Figura 5.6. Questo metodo si basa sul confronto tra le cadute di tensione provocate dal resistore incognito R x e da un resistore campione Rk , dotati di quattro terminali
(due di tensione e due di corrente), collegati in serie fra loro attraverso i terminali di corrente e facenti capo alla sorgente di alimentazione. Ai terminali di tensione di questi due
resistori sono connessi due voltmetri, che misurano le cadute di tensione V x e Vk ai capi,
rispettivamente, di R x e Rk . Considerando che le resistenze sono connesse in serie, vale la
relazione
V x Vk
= ,
(5.28)
R x Rk
da cui si ricava
Vx
R x = Rk .
(5.29)
Vk
Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito in serie alla sorgente di
alimentazione: esso funge da regolatore della corrente che circola attraverso R x e Rk , dato
che si tratta, in genere, di resistenze molto basse. Compatibilmente con l’esigenza di non
provocare un riscaldamento di questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta al
valore più elevato possibile, poiché in tal modo sono maggiori le cadute di tensione su
R x e Rk , che, come si è visto, sono le grandezze che vengono valutate dai voltmetri. Si
noti che V x e Vk e, quindi, la misura di resistenza risultano, in prima approssimazione,
indipendenti dalle resistenze di contatto, in quanto attraverso i terminali di tensione di
R x e Rk fluiscono correnti estremamente ridotte (molto minori della corrente I che fluisce
attraverso i terminali di corrente).
L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta
q
u̇ (R x ) = u̇ (V x )2 + u̇ (Vk )2 + u̇ (Rk )2 ,
(5.30)
dove u̇ (V x ) e u̇ (Vk ) sono date dalla (5.6), mentre u̇ (Rk ) è l’incertezza tipo relativa della resistenza campione. L’accuratezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe
120
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.2. Misure in Corrente Continua
di precisione (data in percentuale) con distribuzione rettangolare. Pertanto, l’incertezza
tipo di Rk è data da
Classe
(5.31)
u̇ (Rk ) =
√ .
100 3
L’incertezza tipo assoluta sulla misura di resistenza risulta, quindi,
u (R x ) = u̇ (R x ) R x .
(5.32)
Per determinare l’incertezza estesa U (R x ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
R = R x ± U (R x ) ,
(5.33)
dove R x è dato dalla (5.29). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.2.4
Misure di Potenza
Uno dei metodi più comuni per effettuare misure di potenza in circuiti in corrente continua
prevede l’impiego di un voltmetro e di un amperometro magnetoelettrici (Paragrafo 4.4).
Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati in Figura 5.5.
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperometro. La potenza da misurare è data da
PU = VU IU .
(5.34)
Considerando che valgono la (5.16) e la (5.34), la potenza misurata risulta
VU2
P M = VU I M = VU (IU + IV ) = PU +
,
RV
(5.35)
nella quale RV denota la resistenza interna del voltmetro. Appare evidente che l’errore
sistematico è positivo (si misura in più) ed è tanto minore, quanto più elevato è il valore
di RV (il voltmetro ideale è quello con RV → ∞). L’errore sistematico può essere corretto,
se è nota RV , tramite la relazione
VU2
PU = P M −
.
RV
(5.36)
In modo analogo, si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Considerando che valgono la (5.21) e la (5.34), la potenza misurata è data da
P M = V M IU = (VU + VA ) IU = PU + IU2 RA ,
(5.37)
nella quale RA denota la resistenza interna dell’amperometro. L’errore sistematico che si
commette è positivo (si misura in più) ed è tanto minore, quanto più piccolo è il valore
Piero Malcovati, Misure Elettriche
121
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
di RA (l’amperometro ideale è quello con RA → 0). Il valore della potenza misurata può
essere corretto, se è nota RA , tramite la relazione
PU = P M − IU2 RA .
(5.38)
L’incertezza che grava sulla stima della potenza deve essere valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente, determinando, quindi, l’incertezza composta
con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.
In particolare, assumendo come modello del misurando
PU = V M I M ,
(5.39)
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, il
termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura di
potenza risulta
q
u̇ (PU ) =
u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 ,
(5.40)
dove u̇ (V M ) e u̇ (I M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.6) e dalla (5.14). L’incertezza
tipo assoluta risulta, quindi,
u (PU ) = u̇ (PU ) PU .
(5.41)
Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
P = PU ± U (PU ) ,
(5.42)
dove PU è dato dalla (5.36) o dalla (5.38), a seconda dello schema utilizzato. Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre
seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.3
Misure di Tensione in Corrente Alternata
Di una tensione alternata presentano significato tre valori: il valore efficace, il valore
medio sul semiperiodo e il valore di cresta (o valore massimo), la cui importanza varia a
seconda del fenomeno in esame. I rapporti tra i tre valori citati, se la forma d’onda della
tensione è sinusoidale, assumono valori costanti e definiti. Infatti, valgono le relazioni
√
√
2 2
V,
(5.43)
VC = 2V e Vm =
π
essendo
• V il valore efficace;
√
• VC il valore di cresta o valore massimo, V/VC = 1/ 2 0.707 è detto fattore di
cresta;
√ • Vm il valore medio sul semiperiodo, V/Vm = π/ 2 2 1.11 è detto fattore di
forma.
122
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.3. Misure di Tensione in Corrente Alternata
V
Vi
Vu
Tensione
Vu
Vi
Tempo
Figura 5.7: Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione
alternata
Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno) si può ricorrere a strumenti indicatori di tipo elettromagnetico (Paragrafo 4.5). Analogamente a quanto
esposto per le misure in corrente continua (Paragrafo 5.2.1), alla parte fondamentale dello
strumento vengono aggiunte resistenze addizionali per ottenere più portate (e quindi più
costanti). Lo schema che si impiega è lo stesso di Figura 5.2. Le portate tipiche variano
da alcune decine ad alcune centinaia di volt. Per misurare tensioni più elevate si può ricorrere alla interposizione di un TVI o di un TVC (descritti nel Capitolo 9). Le tipiche
classi di precisione sono 0.2 e 0.5.
Per misurare il valore medio sul semiperiodo di tensioni alternate (il valore medio di
una grandezza alternata esteso ad un intero periodo è nullo per definizione), si può ricorrere all’uso di uno strumento magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), preceduto da un raddrizzatore. Lo schema di principio è illustrato in Figura 5.7. Per effetto del raddrizzatore, nella
bobina mobile dello strumento magnetoelettrico fluisce una corrente unidirezionale periodica, per cui, se la pulsazione di risonanza dell’equipaggio mobile ω0 , definita dalla (4.7),
è notevolmente più bassa della pulsazione della tensione da misurare (ω = 2π f ), la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensione in
ingresso (Vm ). Infatti,
Z
2 T/2
VC sin (ωt) dt,
(5.44)
Vm =
T 0
dove VC è il valore di cresta della tensione, T = 2π/ω il periodo e t il tempo. Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio sul semiperiodo
√ della tensione, la scala è di
solito tracciata tenendo conto del fattore di forma π/ 2 2 relativo ad un’onda sinusoidale, in modo che la lettura dello strumento corrisponda al valore efficace della tensione
sinusoidale che ha valore medio sul semiperiodo uguale a quello della tensione misurata (taratura in valore efficace). La presenza dei raddrizzatori fa sı̀ che questi strumenti
abbiano classe di precisione non migliore di 0.5.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
123
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Vd
V i I i = Id
C
V Vu
Figura 5.8: Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata
Il valore di cresta di una tensione alternata può essere misurato, sotto certe condizioni, ancora con uno strumento magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), utilizzando lo schema di
Figura 5.8. Un condensatore, connesso alla tensione di ingresso Vi attraverso un diodo,
tende a caricarsi al valore di cresta di Vi (a meno della caduta di tensione Vd dul diodo). Considerando la resistenza interna R dello strumento magnetoelettrico e la capacità
C del condensatore, se il prodotto RC risulta notevolmente superiore alla durata del periodo T = 1/ f = 2π/ω di Vi , il condensatore si scarica poco durante il tempo in cui la
tensione non è al valore di cresta. Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta
praticamente proporzionale al valore di cresta stesso.
Per la determinazione dell’incertezza tipo che grava su una misura di tensione in corrente alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, valgono la (5.5) e la
(5.6). Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
V = V M ± U (V M ) .
(5.45)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.4
Misure di Corrente in Corrente Alternata
Per la misura delle correnti alternate è, in generale, richiesto il valore efficace I, per cui si
può ricorrere all’impiego di strumenti elettromagnetici (Paragrafo 4.5). Negli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con poche spire di sezione relativamente
elevata. Molte volte la bobina è suddivisa in due parti uguali che possono essere collegate
in serie o in parallelo, per ottenere cosı̀ uno strumento con due portate, come schematicamente indicato in Figura 5.9. Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente
portate non superiori a 10 A. Per misurare correnti più elevate si può ricorrere alla interposizione di un TA (descritto nel Capitolo 9), in quanto l’uso di shunt non è possibile per
la presenza di parametri non puramente ohmici. Per misure di laboratorio fino a 500 Hz,
sono abbastanza diffusi amperometri elettromagnetici in classe 0.2 e 0.5.
Per la determinazione dell’incertezza tipo che grava su una misura di corrente in corrente alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, valgono la (5.13)
124
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
I
I/2
I
I
I
Connessione in Serie
I
I
I/2
Connessione in Parallelo
Figura 5.9: Amperometro elettromagnetico con due portate
e la (5.14). Per determinare l’incertezza estesa U (I M ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della
misurazione sarà, quindi,
I = I M ± U (I M ) .
(5.46)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.5
Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime
Sinusoidale
In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea (p) è uguale al
prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente (i),
p = vi = VC sin (ωt) IC sin (ωt + ϕ) ,
(5.47)
nella quale VC e IC sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la pulsazione, ϕ
l’angolo di sfasamento esistente tra le due grandezze (ritardo della corrente sulla tensione)
e t il tempo. Sviluppando il prodotto, si ottiene la relazione
p = V I cos (ϕ) + V I sin (2ωt + ϕ) ,
(5.48)
nella quale V e I rappresentano, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente.
Dalla (5.48) si rileva che la potenza istantanea è formata da un termine costante
V I cos (ϕ) e da un termine sinusoidale con pulsazione doppia V I sin (2ωt + ϕ). La potenza attiva P è, per definizione, il valore medio di p sul periodo, ovvero il primo termine
della (5.48), in quanto il secondo termine ha valore medio sul periodo nullo. Risulta,
pertanto,
P = V I cos (ϕ) .
(5.49)
Gli andamenti nel tempo della potenza istantanea e della potenza media sono rappresentati
Figura 5.10.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
125
Tensione, Corrente, Potenza
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
v
p
i
P
Tv = Ti = 2 Tp
Tempo
Figura 5.10: Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione del
tempo
5.5.1
Misure di Potenza Attiva
Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva è il wattmetro elettrodinamico, che fornisce una indicazione proporzionale al valore medio della potenza
istantanea (Paragrafo 4.6). Alla bobina fissa viene inviata la corrente (amperometrica),
mentre la bobina mobile è sottoposta alla tensione (voltmetrica). La Figura 5.11 illustra
le due possibili inserzioni. I wattmetri da laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata, suddivisa in due
parti uguali, che possono essere messe in serie o parallelo (due portate amperometriche).
La bobina voltmetrica è invece costituita da molte spire di sezione ridotta, associate alla
I
IU
I
W
W
RA
V
IU
RV
RA
U
VU
V
RV
U
VU
Figura 5.11: Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi
monofase
126
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
quale vi sono più resistenze addizionali (più portate voltmetriche). Ad ogni combinazione tra le portate amperometrica e voltmetrica corrisponde una portata wattmetrica, data
dal prodotto tra la portata amperometrica e la portata voltmetrica. La costante (k) dello
strumento è determinata dal rapporto tra la portata wattmetrica e il numero delle divisioni
della scala
Portata
.
(5.50)
k=
Numero di Divisioni
La potenza attiva misurata è, quindi, data da
P M = kPdiv ,
(5.51)
dove Pdiv denota la lettura in divisioni dello strumento.
La misura effettuata con il wattmetro è affetta da errore sistematico, la cui entità dipende dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno è sempre positivo (si misura sempre
in più). Con riferimento alla Figura 5.11, nel caso in cui la voltmetrica è derivata a valle
dell’amperometrica, si può osservare, in analogia con quanto esposto a proposito delle
misure in corrente continua (Paragrafo 5.2.4), che la tensione applicata allo strumento
è esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore, mentre la corrente che fluisce nello strumento comprende anche la quota parte assorbita dalla bobina voltmetrica.
Il wattmetro misura, quindi, una potenza (P M ) più grande di quella realmente assorbita
dall’utilizzatore (PU ), secondo la relazione
VU2
,
RV
(5.52)
VU2 /RV
.
PU
(5.53)
P M = PU +
con un errore sistematico relativo dato da
% = 100
Il valore di PU si può trovare immediatamente, se è noto il valore di RV (correzione
dell’errore sistematico), utilizzando la relazione
VU2
.
(5.54)
RV
Analogamente, si può trattare lo schema che prevede l’amperometrica inserita a valle
della voltmetrica. Anche in questo caso il wattmetro misura in più, secondo la relazione
PU = P M −
P M = PU + IU2 RA ,
(5.55)
con un errore sistematico relativo dato da
% = 100
IU2 RA
.
PU
(5.56)
L’errore sistematico può essere corretto, se si conosce il valore di RA , utilizzando la
relazione
PU = P M − IU2 RA .
(5.57)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
127
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
V
IV
ϕ
θ
I
Figura 5.12: Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi
monofase
Si noti che, a differenza di RV , la resistenza RA non è indipendente dalla temperatura,
in quanto la bobina amperometrica è realizzata in rame. Si deve, infine, osservare che
la (5.54) e la (5.57) sono sempre valide anche quando, ad esempio, nel circuito sono in
gioco potenze reattive.
Un’altra causa di errore sistematico, che è però di difficile valutazione, è dovuta al
fatto che il circuito voltmetrico non è puramente resistivo (prevale in genere l’effetto induttivo della bobina voltmetrica), per cui la corrente nello stesso non è perfettamente in
fase con la tensione. Un altro parametro, che può portare a errori dello stesso tipo, è la
mutua induttanza esistente tra le due bobine. Anche se nella costruzione degli strumenti si
fa in modo di ridurre al minimo queste sorgenti di errore, si deve considerare, in linea generale, la situazione rappresentata dal diagramma vettoriale di Figura 5.12. Prescindendo
dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta
P M = V I cos (ϕ − θ) ,
(5.58)
essendo θ l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa corrente. Sviluppando, si ottiene
P M = V I cos (ϕ) cos (θ) + V I sin (ϕ) sin (θ) .
(5.59)
Essendo l’angolo θ molto piccolo, si può assumere cos (θ) = 1, per cui, semplificando, si
ricava
P M = V I cos (ϕ) + V I sin (ϕ) sin (θ) = PU 1 + tan (ϕ) sin (θ) .
(5.60)
L’errore sistematico percentuale risulta, quindi,
% = 100
128
P M − PU
= 100 tan (ϕ) sin (θ) .
PU
(5.61)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
L’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento ma anche dalle
caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e infinito per ϕ = 90◦ ). Risulta,
pertanto, che le misure a basso fattore di potenza possono risultare critiche per quanto
riguarda l’accuratezza raggiungibile. Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha
tan (ϕ) 1
= 20.
cos (ϕ)
(5.62)
Se l’errore proprio di fase θ del wattmetro fosse pari a 0.002 rad (0.2 crad), l’errore sistematico sulla misura di potenza sarebbe pari al 4% (di valore positivo se il misurando
è induttivo, negativo se è capacitivo). Poiché il valore di θ non è noto e non è neppure
costante, è impossibile procedere alla correzione dei risultati, per cui il problema finisce
per ricadere nella valutazione dell’incertezza da associare al risultato della misurazione.
Si deve anche rilevare che per bassi valori di cos (ϕ), la deviazione dell’indice dello
strumento, date le portate voltmetrica e amperometrica, risulta molto ridotta, per cui l’errore relativo dello strumento, ˙ , dato dalla (4.3), risulta elevato. Assumendo di avere valori di tensione e corrente pari, rispettivamente, alle portate voltmentrica e amperometrica,
risulta
Classe
.
(5.63)
˙ =
100 cos (ϕ)
Per ovviare a questo inconveniente, si può ricorrere all’uso di wattmetri per basso cos (ϕ),
che sono strumenti più pregiati, nei quali la coppia antagonista è ridotta, in modo che
la portata wattmetrica dello strumento sia pure ridotta, mantenendo inalterate le portate
voltmetrica e amperometrica. Ad esempio, un wattmetro per cos (ϕ) = 0.2 si porta a
fondo scala con una potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto V I,
essendo V la portata voltmetrica e I quella amperometrica. La portata wattmetrica di un
wattmetro per un dato cos (ϕ) risulta, quindi, V I cos (ϕ). Il valore di cos (ϕ), se diverso da
1, è normalmente indicato sullo strumento.
I wattmetri elettrodinamici possono appartenere a classi di precisione anche fino a
0.1. Date la classe di precisione dello strumento e la portata, trascurando, in quanto
praticamente ininuente, il termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo
che grava sulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,
u (PU ) = u (P M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3
(5.64)
L’incertezza tipo relativa, ricavata dalla (4.5), è, invece, data da
u̇ (PU ) = u̇ (P M ) =
Classe · Portata
.
√
100 3PU
(5.65)
Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
P = PU ± U (PU ) ,
(5.66)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
129
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
I
I
var
var
V
U
V
U
Figura 5.13: Schema di inserzione di un varmetro monofase
IM
A
V
IM
IU
W
W
RV,W
U
RV
V
V
VM
VM
VU
A
RA,W RA
V
IU
U
VU
Figura 5.14: Schemi per la misura della potenza reattiva in sistemi monofase in regime
sinusoidale
dove PU è dato dalla (5.54) o dalla (5.57), a seconda dello schema di inserzione utilizzato.
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.5.2
Misure di Potenza Reattiva
Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza reattiva potrebbe
essere, in linea di principio, effettuata ricorrendo ad un varmetro (Paragrafo 4.6), inserito
secondo uno degli schemi illustrati in Figura 5.13. Tuttavia, gli artifici circuitali utilizzati
per realizzare un varmetro di questo tipo garantiscono una misura corretta solo per una
ben determinata frequenza.
Pertanto, generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q viene effettuata
per via indiretta, utilizzando uno degli schemi indicati in Figura 5.14, ed elaborando le
indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari tre strumenti).
Con entrambi gli schemi, la potenza reattiva risulta data da
q
QU = (V M I M )2 − P2M ,
(5.67)
130
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
IM
IM
IU
A
IU
A
V
U
VU
RA
V
V
V
VM
VM
U
VU
Figura 5.15: Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in
regime sinusoidale
dove P M è la potenza attiva fornita dal wattmetro, mentre V M e I M sono, rispettivamente, la tensione misurata dal voltmetro e la corrente misurata dall’amperometro. Questa
misurazione non è affetta da errori sistematici dovuti agli autoconsumi, in quanto essi
contribuiscono solo alla potenza attiva.
L’incertezza che grava sulla misura della potenza reattiva deve essere valutata in
base alle incertezze tipo relative a tensione, corrente e potenza, determinando, quindi,
l’incertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.
In particolare, assumendo come modello del misurando la (5.67) l’incertezza tipo
assoluta sulla misura di potenza reattiva risulta
s
4 2
4 2
P2M u (P M )2
IM
V M u (V M )2 V M
I M u (I M )2
+ 2 2
+ 2 2
,
(5.68)
u (QU ) =
2 2
VM
V M I M − P2M
V M I M − P2M
I M − P2M
dove u (V M ), u (I M ) e u (P M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla
(5.64). Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della
misurazione sarà, quindi,
Q = QU ± U (QU ) .
(5.69)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.5.3
Misure di Potenza Apparente
Poiché non esiste uno strumento analogico capace di fornire direttamente la potenza apparente S , occorre utilizzare uno degli schemi indicati in Figura 5.15. La grandezza da
misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni di voltmetro (V M ) e amperometro
(I M ),
S M = VM IM .
(5.70)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
131
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
In linea di principio, questa misurazione è affetta da errore sistematico. In molti casi,
tuttavia, l’errore sistematico non viene corretto, in quanto la potenza apparente presenta
importanza notevolmente ridotta rispetto alla potenza attiva.
Per poter correggere l’errore sistematico nella misura di potenza apparente, occorre
conoscere l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente dell’oggetto sotto misura, ovvero,
occorre misurare anche la potenza attiva e la potenza reattiva, ricorrendo a uno degli
schemi indicati in Figura 5.14. La potenza attiva corretta, in questo caso, a seconda dello
schema di inserzione utilizzato, è data da
PU = P M −
V2
VU2
− U ,
RV RV,W
(5.71)
dove RV e RV,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del voltmetro e delle voltmetriche del wattmetro, oppure
PU = P M − IU2 RA − IU2 RA,W ,
(5.72)
dove RA e RA,W sono, rispettivamente, le resistenze interne dell’amperometro e delle
amperometriche del wattmetro. La potenza apparente corretta è, quindi, data da
q
(5.73)
S U = P2U + Q2U ,
dove QU è la potenza reattiva data dalla (5.67). Nel caso in cui si utilizzi l’inserzione
con le voltmetriche del wattmetro e il voltmetro inseriti a valle dell’amperometro e delle
amperometriche del wattmetro, la tensione misurata è effettivamente la tensione ai capi
dell’utilizzatore (VU = V M ), mentre la corrente che fluisce nell’utilizzatore è data da
IU =
SU
,
VM
(5.74)
dove S U è data dalla (5.73). Invece, nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le voltmetriche del wattmetro e il voltmetro inseriti a monte dell’amperometro e delle amperometriche del wattmetro, la corrente misurata è effettivamente la corrente che fluisce
nell’utilizzatore (IU = I M ), mentre la tensione ai capi dell’utilizzatore è data da
VU =
SU
,
IM
(5.75)
dove S U è ancora data dalla (5.73).
L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere valutata come
incertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendo
come modello del misurando
S U = VM IM ,
(5.76)
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, il
termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura di
potenza apparente risulta
q
(S
)
u̇ U = u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 ,
(5.77)
132
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
dove u̇ (V M ) e u̇ (I M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.6) e dalla (5.14). L’incertezza
tipo assoluta risulta, quindi,
u (S U ) = u̇ (S U ) S U .
(5.78)
Per determinare l’incertezza estesa U (S U ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
S = S U ± U (S U ) ,
(5.79)
dove S U è dato dalla (5.73). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.5.4
Misure di Fattore di Potenza
Per la misura del fattore di potenza, occorre utilizzare uno degli schemi di Figura 5.14,
utilizzando le indicazioni di wattmetro (P M ), amperometro (I M ) e voltmetro (V M ). In
questo caso, il fattore di potenza è dato da
PM
PM
=
.
(5.80)
cos (ϕ M ) =
S M VM IM
Questa misura è affetta da errore sistematico, per via degli autoconsumi degli strumenti.
Il fattore di potenza corretto, utilizzando la (5.73) e la (5.71) o la (5.72), a seconda dello
schema di inserzione utilizzato, risulta dato da
PU
.
(5.81)
SU
L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere valutata come
incertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendo
come modello del misurando
PM
,
(5.82)
cos (ϕU ) =
VM IM
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, il
termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura di
fattore di potenza risulta
q
u̇ cos (ϕU ) = u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 + u̇ (P M )2 ,
(5.83)
cos (ϕU ) =
dove u̇ (V M ), u̇ (I M ) e u̇ (P M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla
(5.65). L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,
u cos (ϕU ) = u̇ cos (ϕU ) cos (ϕU ) .
(5.84)
Per determinare l’incertezza estesa U cos (ϕU ) , si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
cos (ϕ) = cos (ϕU ) ± U cos (ϕU ) ,
(5.85)
dove cos (ϕU ) è dato dalla (5.81). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
133
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
5.5.5
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della Corrente
Le misure di potenza, soprattutto in ambito industriale, vengono spesso richieste in funzione della tensione (più frequentemente) o della corrente (più raramente), ovvero, si richiede di misurare le potenze (attiva, reattiva e apparente) assorbite da un utilizzatore per
un certo valore di tensione o di corrente. In questo caso, la misura può essere comunque
effettuata utilizzando uno degli schemi di inserzione riportati in Figura 5.14, ma i risultati
devono poi essere riportati al valore di tensione (VR ) o di corrente (IR ) di riferimento.
Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la tensione, i valori della potenza attiva,
apparente e reattiva, riportati alla tensione VR , sono, rispettivamente, dati da
VR2
,
VU2
(5.86)
VR2
SR = SU 2 ,
VU
(5.87)
VR2
,
VU2
(5.88)
PR = PU
QR = QU
dove VU è la tensione misurata dal voltmetro oppure la tensione corretta, data dalla (5.75),
a seconda dello schema di inserzione utilizzato, PU è la potenza attiva corretta, data dalla
(5.71) o dalla (5.72), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, S U è la potenza apparente corretta, data dalla (5.73) e QU è la potenza reattiva, data dalla (5.67). Utilizzando
le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3 e assumendo come modelli del misurandi
VR2
,
2
VM
(5.89)
VR2
SR = SM 2 ,
VM
(5.90)
VR2
,
2
VM
(5.91)
PR = P M
QR = QU
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa che grava sulle misure
di potenza attiva e apparente risulta, rispettivamente,
q
u̇ (PR ) = u̇ (P M )2 + 4u̇ (V M )2 ,
(5.92)
q
u̇ (S R ) = u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 ,
(5.93)
dove u̇ (V M ), u̇ (I M ) e u̇ (P M ) sono date dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla (5.65). L’incertezza
tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente risulta, quindi, rispettivamente,
pari a
u (PR ) = u̇ (PR ) PR ,
(5.94)
134
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
u (S R ) = u̇ (S R ) S R ,
(5.95)
mentre l’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva è data da
v
u
2 4
u
u
2 V4 2
t
4P M VR
2I M
R
2
2
−
u (V M )2
8
2 8
2
3
5
VM
I M VR u (I M )
P M VR u (P M )
VM
+
+
,
(5.96)
u (QR ) =
8 2
4 2
VM
QR
4Q2R
VM
QR
dove u (V M ), u (I M ) e u (P M ) sono date dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla (5.64). Per determinare le incertezze estese U (PR ), U (S R ) e U (QR ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
P = PR ± U (PR ) ,
(5.97)
S = S R ± U (S R ) ,
(5.98)
Q = QR ± U (QR ) ,
(5.99)
dove PR , S R e QR sono dati, rispettivamente, dalla (5.86), dalla (5.87) e dalla (5.88). Per
determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la corrente, i valori della potenza attiva,
apparente e reattiva, riportati alla corrente IR , sono, rispettivamente, dati da
PR = PU
IR2
,
IU2
(5.100)
SR = SU
IR2
,
IU2
(5.101)
QR = QU
IR2
,
IU2
(5.102)
dove IU è la corrente misurata dall’amperometro oppure la corrente corretta, data dalla
(5.74), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, PU è la potenza attiva corretta,
data dalla (5.71) o dalla (5.72), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, S U è
la potenza apparente corretta, data dalla (5.73) e QU è la potenza reattiva, data dalla
(5.67). Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3 e assumendo come modelli del
misurandi
I2
PR = P M 2R ,
(5.103)
IM
Piero Malcovati, Misure Elettriche
SR = SM
IR2
,
2
IM
(5.104)
QR = QU
IR2
,
2
IM
(5.105)
135
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa che grava sulle misure
di potenza attiva e apparente risulta, rispettivamente,
q
u̇ (PR ) = u̇ (P M )2 + 4u̇ (I M )2 ,
(5.106)
q
u̇ (S R ) = u̇ (V M )2 + u̇ (I M )2 ,
(5.107)
dove u̇ (V M ), u̇ (I M ) e u̇ (P M ) sono date dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla (5.65). L’incertezza
tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente risulta, quindi, rispettivamente,
pari a
u (PR ) = u̇ (PR ) PR ,
(5.108)
u (S R ) = u̇ (S R ) S R ,
(5.109)
mentre l’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva è data da
v
u
2 4
u
u
2 I4 2
t
4P M IR
2V M
R
u (I M )2
− I3
2 8
5
P2M IR8 u (P M )2 V M
IR u (V M )2
IM
M
+
,
(5.110)
u (QR ) =
+
4
8
IM
Q2R
4Q2R
IM
Q2R
dove u (V M ), u (I M ) e u (P M ) sono date dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla (5.64). Per determinare le incertezze estese U (PR ), U (S R ) e U (QR ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
P = PR ± U (PR ) ,
(5.111)
S = S R ± U (S R ) ,
(5.112)
Q = QR ± U (QR ) .
(5.113)
dove PR , S R e QR sono dati, rispettivamente, dalla (5.100), dalla (5.101) e dalla (5.102).
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.6
Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
Per trattare le misure di potenza in sistemi polifase, conviene, per semplicità, fare riferimento a sistemi trifase, che peraltro sono i più diffusi, per poi generalizzare i risultati
ottenuti, estendendoli a sistemi aventi un numero di fasi qualunque. In un sistema trifase,
l’oggetto sotto misura può essere collegato a triangolo o a stella, oppure essere costituito
da più carichi misti in parallelo (anche monofase), mentre il sistema di alimentazione può
essere a tre o quattro fili.
136
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
1
I1
Z1
I2
Z2
W1
R1
2
W2
R2
O
I3
3
Z3
W3
R3
N
Figura 5.16: Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili
5.6.1
Misure di Potenza Attiva
Un sistema trifase è a quattro fili quando si è in presenza di neutro attivo, come illustrato
in Figura 5.16. In questo caso, la potenza attiva si ottiene come somma delle potenze
relative a ciascuna delle fasi. Dette E1 , E2 ed E3 le tensioni di fase e I1 , I2 e I3 le correnti
di linea, sfasate rispetto alle tensioni di fase degli angoli ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 , la potenza attiva è
data da
P = E1 I1 cos (ϕ1 ) + E2 I2 cos (ϕ2 ) + E3 I3 cos (ϕ3 ) .
(5.114)
Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a stella, la potenza attiva si ottiene
sempre come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi, come indicato per i
sistemi a quattro fili, utilizzando la (5.114). Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento
a triangolo, invece, la potenza attiva è data da
P = V1 I1 cos (ϕ1 ) + V2 I2 cos (ϕ2 ) + V3 I3 cos (ϕ3 ) ,
(5.115)
dove V1 , V2 e V3 sono le tensioni concatenate e I1 , I2 e I3 le correnti di fase, sfasate rispetto
alle tensioni concatenate degli angoli ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 .
Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva nei sistemi trifase a tre fili può essere
misurata con solo due wattmetri. Per semplicità, si fa riferimento ad un circuito collegato
Piero Malcovati, Misure Elettriche
137
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
I1
1
Z1
W1
1
I2
Z2
R1
I2
Z2
W2
2
R2
W2
O
I3
3
Z1
W1
R1
2
I1
W3
R2
I3
Z3
3
R3
O´
O
Z3
W3
R3
(a)
(b)
Figura 5.17: Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili
a stella, anche se la dimostrazione e i risultati hanno validità generale. Se si modifica
lo schema di Figura 5.17a in quello di Figura 5.17b, separando cioè il centro stella delle
voltmetriche da quello del carico, si ha, in generale, che i due centri stella non coincidono elettricamente. Ciò può essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle della
sezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetri. Facendo riferimento al diagramma vettoriale di Figura 5.18, la somma delle indicazioni dei tre wattmetri può essere
scritta come
~ · ~I1 + E~ 2 − H
~ · ~I2 + E~ 3 − H
~ · ~I3 ,
P = E~ 1 − H
(5.116)
~ il vettore di tensione esistente tra i due centri stella. Sviluppando
avendo indicato con H
si ottiene
~ · ~I1 + ~I2 + ~I3 .
P = E~ 1 · ~I1 + E~ 2 · ~I2 + E~ 3 · ~I3 − H
(5.117)
Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti è per definizione nulla,
ovvero
~I1 + ~I2 + ~I3 = 0,
(5.118)
per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico, data dalla (5.114).
A questo punto, è possibile collegare il centro stella delle voltmetriche dei tre wattmetri ad una delle fasi, per esempio la fase 3. La tensione applicata alle voltmentriche
138
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
E1´
O´
1
E 2´
E3´
H
E1
V31
ϕ1
V12
O
I3
E2
ϕ3
I2 ϕ2
E3
3
I1
V23
2
Figura 5.18: Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della
potenza attiva in un sistema trifase a tre fili
del wattmetro W3 , quindi, diverrà nulla, mentre alle voltmetriche dei wattmetri W1 e W2
sarà applicata la tensione concatenata, invece della tensione di fase. Si otterrà, allora, lo
schema di Figura 5.19, che prende il nome di inserzione di Aron. In questo caso, si può
scrivere
P = E~ 1 − E~ 3 · ~I1 + E~ 2 − E~ 3 · ~I2 + E~ 3 − E~ 3 · ~I3 .
(5.119)
L’ultimo termine della (5.119) è evidentemente nullo e, pertanto, si ottiene
P = E~ 1 · ~I1 + E~ 2 · ~I2 + E~ 3 · −~I1 − ~I2 ,
che, essendo
diventa
(5.120)
~I3 = −~I1 − ~I2 ,
(5.121)
P = E~ 1 · ~I1 + E~ 2 · ~I2 + E~ 3 · ~I3 ,
(5.122)
P = P1 + P2 ,
(5.123)
ovvero,
dove P1 e P2 sono rispettivamente le letture dei wattmetri W1 e W2 , come volevasi dimostrare.
Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validità generale: la
potenza attiva in un circuito ad N fili può essere misurata con N − 1 wattmetri. Questa
conclusione è valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il monofase che ha due fili e
per il quale la misura di potenza si effettua con un wattmetro), anche se non simmetrico
nelle tensioni e non equilibrato nelle correnti.
La misura effettuata con l’inserzione di Aron può comportare che un wattmetro fornisca indicazione negativa, per cui essa deve essere sottratta dall’indicazione dell’altro
Piero Malcovati, Misure Elettriche
139
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
1
I1
Z1
I2
Z2
W1
R1
2
W2
R2
O
I3
Z3
3
Figura 5.19: Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase a
tre fili
wattmetro. Infatti, per un sistema simmetrico ed equilibrato, facendo riferimento al
diagramma vettoriale di Figura 5.18, si può scrivere
(
P1 = V31 I1 cos (ϕ1 − 30◦ ) = V I cos (ϕ − 30◦ )
.
(5.124)
P2 = V32 I2 cos (ϕ2 + 30◦ ) = V I cos (ϕ + 30◦ )
Sviluppando, si ottiene
(
P1 = V I cos (ϕ) cos (30◦ ) + V I sin (ϕ) sin (30◦ )
.
P2 = V I cos (ϕ) cos (30◦ ) − V I sin (ϕ) sin (30◦ )
(5.125)
Imponendo P2 = 0, si ricava
tan (ϕ) =
√
1
=
3,
tan (30◦ )
(5.126)
e, quindi, si ottiene cos (ϕ) = 0.5. Utilizzando la (5.125), per un sistema simmetrico ed
equilibrato è possibile ricavare cos (ϕ) da P1 e P2 . Infatti, dividendo membro a membro
la (5.125), si ottiene
P1 cos (ϕ) cos (30◦ ) + sin (ϕ) sin (30◦ )
=
,
P2 cos (ϕ) cos (30◦ ) − sin (ϕ) sin (30◦ )
(5.127)
cos (ϕ) cos (30◦ ) (P1 − P2 ) = sin (ϕ) sin (30◦ ) (P1 + P2 ) ,
(5.128)
ovvero,
140
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
da cui
tan (ϕ) =
√ P1 − P2
,
3
P1 + P2
(5.129)
e, quindi,
√ P1 − P2
cos (ϕ) = cos arctan 3
P1 + P2
"
!#
.
(5.130)
In un sistema polifase, quindi, la potenza attiva assorbita dal carico U è data da
PU =
M
X
PU,i ,
(5.131)
i=1
dove PU,i è la lettura di ciascuno degli M wattmetri utilizzati (normalmente M = N − 1,
dove N è il numero di fili), su cui è stata effettuata la correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi, utilizzando la (5.54) o la (5.57), a seconda dell’inserzione
utilizzata per i wattmetri stessi.
Per il calcolo dell’incertezza, si utilizzano le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3,
assumendo come modello del misurando
PU =
M
X
P M,i ,
(5.132)
i=1
dove P M,i sono le letture dei wattmetri, ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico. L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza attiva risulta
v
tM
X
(5.133)
u (PU ) =
u P M,i 2 ,
i=1
dove ciascun termine u P M,i è dato dalla (5.64). Per determinare l’incertezza estesa
U (PU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il
fattore di copertura. Il risultato della misurazione sarà, quindi,
P = PU ± U (PU ) ,
(5.134)
dove PU è dato dalla (5.131). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Nel caso in cui il circuito abbia un fattore di potenza molto basso, l’inserzione di Aron
cade in difetto, in quanto dalla (5.125) si evince che le letture dei due wattmetri sono poco
diverse tra loro, prossime alla metà del fondo scala e di segno opposto. Considerando la
(5.133), quindi, l’incertezza tipo relativa, u̇ (PU ) = u (PU ) /PU , risulta molto elevata, in
quanto PU = P M,1 + P M,2 → 0. Poiché l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) non è adatto
per lo schema di Figura 5.19, in quanto entrambi i wattmetri vedono cos (ϕ) 0.5, per la
misura si deve ricorrere a tre wattmetri (o in generale a N wattmetri per un sistema a N
Piero Malcovati, Misure Elettriche
141
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Z1
1
W1
V1
V3
Z2
2
W2
O
V2
Z3
3
Figura 5.20: Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase a
tre fili in funzione della tensione
fili), misurando le potenze di ogni fase e sommandole. In questo caso l’uso di wattmetri
a basso cos (ϕ) è possibile, poiché i wattmetri vedono il cos (ϕ) effettivo del carico.
Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza in funzione della tensione (in
sistemi polifase, normalmente, non si eseguono misure in funzione della corrente), utilizzando lo schema di Figura 5.20, la potenza attiva, riportata alla tensione di riferimento
VR , risulta
V2
PR = PU 2R ,
(5.135)
VM
dove PU è dato dalla (5.131). Siccome viene fornito un solo valore di VR , si assume
implicitamente che il sistema sia simmetrico e, pertanto, il valore di V M nella (5.135)
deve essere calcolato come valore medio delle tre letture dei voltmetri, ovvero,
V M,1 + V M,2 + V M,3
.
(5.136)
3
Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3, l’incertezza tipo relativa che grava
sulla potenza attiva riportata alla tensione VR risulta
q
(P
)
u̇ R = u̇ (PU )2 + 4u̇ (V M )2 ,
(5.137)
VM =
dove u̇ (PU ) = u (PU ) /PU , con u (PU ) data dalla (5.133). Considerando che le letture
dei voltmetri saranno, inevitabilmente, diverse tra loro, per determinare u̇ (V M ) occorre,
innanzitutto, determinare lo scarto tipo delle tre misure, s V M,i , utilizzando la (1.18),
142
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
e l’incertezza tipo assoluta dei voltmetri, u V M,i , utilizzando la (5.5), assumendo per
semplicità i tre voltmetri uguali. Se risulta che s V M,i > u V M,i , allora
s V M,i
(5.138)
u (V M ) = √ ,
3
ovvero, benché il sistema non risulti effettivamente simmetrico, in quanto lo scarto tra
le tre tensioni misurate dai voltmetri eccede i limiti definiti dall’incertezza di misura dei
voltmetri stessi, si assume comunque il sistema simmetrico (non si può fare altrimenti), ma si ricava l’incertezza di V M dallo scarto tipo delle tensioni misurate, che risulta
maggiore dell’incertezza di misura dei voltmetri (in sostanza si assume che vi siano altri
fattori, oltre all’incertezza dei voltmetri, che determinano lo scarto tra le tensioni). Se,
invece, risulta che s V M,i ≤ u V M,i , allora
q
3u V M,i 2 u V M,i = √ ,
(5.139)
u (V M ) =
3
3
in quanto il sistema è effettivamente simmetrico. L’incertezza tipo relativa u̇ (V M ) risulta,
quindi,
u (V M )
u̇ (V M ) =
,
(5.140)
VM
dove V M è dato dalla (5.136). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza attiva
risulta pari a
u (PR ) = u̇ (PR ) PR .
(5.141)
Per determinare l’incertezza estesa U (PR ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
P = PR ± U (PR ) ,
(5.142)
dove PR è dato dalla (5.135). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.6.2
Misure di Potenza Reattiva
Per misurare la potenza reattiva in un generico sistema trifase a tre fili, occorre inserire un
voltmetro, un amperometro e un wattmetro su ciascun ramo del carico, procedendo poi,
per ciascun ramo, come indicato nel Paragrafo 5.5.2 per i sistemi monofase. La potenza
reattiva complessiva sarà, quindi, data da
QU =
M
X
QU,i ,
(5.143)
i=1
dove M è il numero di rami del carico considerati, mentre ciascun termine QU,i è dato
dalla (5.67). Per esempio, se il carico è connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche
Piero Malcovati, Misure Elettriche
143
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Z1
1
Wc
1
E1
Z2
2
O
ϕ I
O
90˚ – ϕ
V = V23
E3
E2
3
Z3
2
3
Figura 5.21: Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi
trifase simmetrici ed equilibrati
dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei wattmetri e gli
amperometri sulle correnti di linea, mentre, se il carico è connesso a triangolo, occorre
inserire le voltmetriche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase (in questi casi M = 3 per
un sistema trifase a tre fili).
L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza reattiva, in questo caso,
risulta
v
tM
X
u QU,i 2 ,
(5.144)
u (QU ) =
i=1
dove i vari termini u QU,i sono dati dalla (5.68). Per determinare l’incertezza estesa
U (QU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il
fattore di copertura. Il risultato della misurazione sarà, quindi,
Q = QU ± U (QU ) .
(5.145)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
In sistemi simmetrici ed equilibrati, è possibile misurare la potenza reattiva utilizzando un solo wattmetro, inserito come indicato in Figura 5.21. La potenza misurata dal
wattmetro risulta, infatti,
P = V I cos (90◦ − ϕ) = V I sin (ϕ) ,
144
(5.146)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
dove V è la tensione concatenata e I la corrente di linea. Conseguentemente,
considerando
√
che, per definizione, la potenza reattiva Q = 3EI sin (ϕ) e che E = V/ 3, si ricava
√
QU = 3P M ,
(5.147)
dove P M è la potenza letta sul wattmetro. Questo metodo, che presuppone le condizioni di
simmetria ed equilibrio del sistema, può essere utilizzato solamente per misure indicative
(ad esempio sui quadri di centrale). Per misure di precisione, non si può infatti presumere
che le condizioni richieste siano verificate.
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in questo caso,
utilizzando come modello del misurando la (5.147), risulta
√
(5.148)
u (QU ) = 3u (P M ) ,
dove u (P M ) è data dalla (5.64). Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si ricorre poi
alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il
risultato della misurazione sarà, quindi,
Q = QU ± U (QU ) ,
(5.149)
dove QU è dato dalla (5.147). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
In un sistema trifase a tre fili, nel caso di carico arbitrario ma tensioni simmetriche, per
la misura della potenza reattiva si può ricorrere alla inserzione di Righi o dei tre wattmetri,
illustrata in Figura 5.22. Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema
di Aron (Figura 5.19) ed il terzo con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e
la voltmetrica derivata fra le due altre fasi. In un sistema trifase simmetrico si ha che
P = E~ 1 · ~I1 + E~ 2 · ~I2 + E~ 3 · ~I3 =
= E~ 1 · ~I1 + E~ 2 · −~I1 − ~I3 + E~ 3 · ~I3 =
(5.150)
= E~ 1 − E~ 2 · ~I1 + E~ 2 − E~ 2 · ~I2 + E~ 3 − E~ 2 · ~I3 =
~ 12 · ~I1 + V
~ 32 · ~I3 =
= V
= V I1 cos (ϕ1 + 30◦ ) + V I3 cos (ϕ3 − 30◦ ) ,
mentre
Q =
=
=
=
=
E~ 1 × ~I1 + E~ 2 × ~I2 + E~ 3 × ~I3 =
E~ × ~I + E~ × −~I1 − ~I3 + E~ 3 × ~I3 =
1 1 2
E~ 1 − E~ 2 × ~I1 + E~ 2 − E~ 2 × ~I2 + E~ 3 − E~ 2 × ~I3 =
~ 12 × ~I1 + V
~ 32 × ~I3 =
V
V I1 sin (ϕ1 + 30◦ ) + V I3 sin (ϕ3 − 30◦ ) ,
(5.151)
dove V12 = V32 = V13 = V sono le tensioni concatenate, I1 , I2 e I3 sono le correnti di linea
e ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 gli sfasamenti tra le tensioni di fase E1 = E2 = E3 = E e le correnti di linea.
Pertanto, indicando con Pa , Pb e Pc le indicazioni dei tre wattmetri, si ottiene


P = V I1 cos (ϕ1 − 30◦ )


 a
Pb = V I2 cos (ϕ2 + 30◦ ) .
(5.152)



 P = V I cos (ϕ − 90◦ )
c
Piero Malcovati, Misure Elettriche
3
3
145
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Z1
1
Wa
Z2
2
Wb
O
Z3
3
Wc
Figura 5.22: Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase
simmetrici
Sommando Pa e Pc , si ricava
Pa + Pc = V I1 cos (ϕ1 − 30◦ ) + V I3 cos (ϕ3 − 90◦ ) .
(5.153)
Sostituendo
cos (ϕ1 − 30◦ ) = cos (ϕ1 + 30◦ − 60◦ ) =
◦
◦
◦
= cos (ϕ1 + 30◦ ) cos (60
√ ) + sin (ϕ1 + 30 ) sin (60 ) =
1
3
=
cos (ϕ1 + 30◦ ) +
sin (ϕ1 + 30◦ ) ,
2
2
(5.154)
cos (ϕ3 − 90◦ ) = cos (ϕ3 − 30◦ − 60◦ ) =
◦
◦
◦
= cos (ϕ3 − 30◦ ) cos (60
√ ) + sin (ϕ3 − 30 ) sin (60 ) =
1
3
=
cos (ϕ3 − 30◦ ) +
sin (ϕ3 − 30◦ ) ,
2
2
(5.155)
e
146
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
si ottiene
Pa + Pc
√


 1

3
◦
◦
= V I1  cos (ϕ1 + 30 ) +
sin (ϕ1 + 30 ) +
2
2√


 1
3
◦
◦
sin (ϕ3 − 30 ) =
+V I3  cos (ϕ3 − 30 ) +
2
2
1
◦
V I1 cos (ϕ1 + 30 ) + V I3 cos (ϕ3 − 30◦ ) +
=
2√
3
+
V I1 sin (ϕ1 + 30◦ ) + V I3 sin (ϕ3 − 30◦ ) .
2
Sostituendo la (5.150) e la (5.151) nella (5.156), si ottiene
√
3
1
Q.
Pa + Pc = P +
2
2
Ricordando che, secondo la (5.123), P = Pa + Pb , si può scrivere
√
1
3
Pa + Pc = (Pa + Pb ) +
Q,
2
2
(5.156)
(5.157)
(5.158)
e, quindi, la potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore U risulta
Q=
Pa − Pb + 2Pc
.
√
3
(5.159)
La misura non risulta affetta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi dei wattmetri.
La potenza reattiva corretta risulta, quindi,
QU =
P M,a − P M,b + 2P M,c
,
√
3
(5.160)
dove P M,a , P M,b e P M,c sono le potenza lette sui wattmetri.
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in questo caso,
utilizzando come modello del misurando la (5.160), risulta
q
1
u P M,a 2 + u P M,b 2 + 4u P M,c 2 ,
u (QU ) = √
(5.161)
3
dove u P M,a , u P M,b e u P M,c sono date dalla (5.64). Per determinare l’incertezza
estesa U (QU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza
e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sarà, quindi,
Q = QU ± U (QU ) ,
(5.162)
dove QU è dato dalla (5.160). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
147
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Lettura 1
1
I1
Z1
I2
Z2
W1
P1
R1
2
W2
P2
R2
O
I3
Z3
I1
Z1
I2
Z2
3
Lettura 2
1
W1
P 1’
R1
2
W2
P 2’
R2
O
I3
Z3
3
Figura 5.23: Inserzione di Barbagelata per la misura della potenza reattiva in sistemi
trifase simmetrici
148
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
Una variante dell’inserzione Righi è la cosiddetta inserzione Barbagelata, tramite la
quale è possibile determinare la potenza reattiva in un sistema trifase a tre fili simmetrico,
utilizzando due coppie di letture successive di due wattmetri (quattro misure di potenza),
inseriti come indicato in Figura 5.23. La prima coppia di letture viene ottenuta dai due
Wattmetri inseriti secondo Aron, mentre la seconda coppia di letture viene ottenuta dagli
stessi due wattmetri in inserzione simmetrica. È facile dimostrare, facendo riferimento
alla Figura 5.22, che
Pc = P02 − P01 .
(5.163)
Infatti, si può scrivere
~ 21 · ~I2 − V
~ 12 · ~I1 = −V
~ 12 · ~I2 − V
~ 12 · ~I1 = V
~ 12 · −~I1 − ~I2 = V
~ 12 · ~I3 = Pc . (5.164)
P02 − P01 = V
Quindi, ponendo Pa = P1 , Pb = P2 e Pc = P02 − P01 , si può utilizzare la (5.159) per
determinare la potenza reattiva Q.
La misura non risulta affetta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi dei wattmetri. La potenza reattiva corretta risulta, quindi, data da
P M,1 − P M,2 + 2 P0M,2 − P0M,1
,
(5.165)
QU =
√
3
dove P M,1 , P M,2 e P0M,1 e P0M,2 sono le potenze lette sui wattmetri.
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in questo caso,
utilizzando come modello del misurando la (5.165), risulta
r
2
2
1
(5.166)
u P M,1 2 + u P M,2 2 + 4u P0M,2 + 4u P0M,1 ,
u (QU ) = √
3
dove u P M,1 , u P M,2 , u P0M,1 e u P0M,2 sono date dalla (5.64). Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di
confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sarà, quindi,
Q = QU ± U (QU ) ,
(5.167)
dove QU è dato dalla (5.165). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza reattiva in funzione della tensione, utilizzando lo schema di Figura 5.24, la potenza reattiva, riportata alla tensione di
riferimento VR , risulta
V2
QR = QU 2R ,
(5.168)
VM
dove QU è dato dalla (5.160) o dalla (5.165). Il valore di V M nella (5.168) deve essere calcolato tramite la (5.136). Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3, l’incertezza
tipo relativa che grava sulla potenza reattiva riportata alla tensione VR risulta
q
(Q
)
u̇ R = u̇ (QU )2 + 4u̇ (V M )2 ,
(5.169)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
149
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Z1
1
Wa
V1
V3
Z2
2
Wb
O
V2
Z3
Wc
3
Figura 5.24: Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase
simmetrici in funzione della tensione
dove u̇ (QU ) = u (QU ) /QU , con u (QU ) data dalla (5.161), mentre u̇ (V M ) è data dalla
(5.140). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza reattiva risulta pari a
u (QR ) = u̇ (QR ) QR .
(5.170)
Per determinare l’incertezza estesa U (QR ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
Q = QR ± U (QR ) ,
(5.171)
dove QR è dato dalla (5.168). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.6.3
Misure di Potenza Apparente
Per misurare la potenza apparente in un generico sistema trifase a tre fili, occorre inserire
un voltmetro, un amperometro e un wattmetro su ciascun ramo del carico, procedendo poi,
per ciascun ramo, come indicato nel Paragrafo 5.5.3 per i sistemi monofase. La potenza
apparente complessiva sarà, quindi, data da
v
u
t M
2  M
2
X
 X

PU,i  + 
QU,i  ,
(5.172)
S U = 
i=1
150
i=1
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
dove M è il numero di rami del carico considerati, ciascun termine PU,i è dato dalla (5.54)
o dalla (5.57), a seconda dell’inserzione utilizzata per i wattmetri, e ciascun termine QU,i è
dato dalla (5.67). Per esempio, se il carico è connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei wattmetri e
gli amperometri sulle correnti di linea, mentre, se il carico è connesso a triangolo, occorre
inserire le voltmetriche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase (in questi casi M = 3 per
un sistema trifase a tre fili).
Se il sistema è simmetrico, è possibile misurare la potenza apparente utilizzando l’inserzione di Righi, illustrata in Figura 5.24, o analogamente l’inserzione di Barbagelata.
In questo caso, la potenza apparente è data da
q
(5.173)
S U = P2U + Q2U ,
dove PU è dato dalla (5.131), considerando P1 = Pa e P2 = Pb , mentre QU è dato dalla
(5.160).
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza apparente, in questo caso,
risulta
v
u
2
2
t
PU + Q√U3 u P M,a 2
PU − Q√U3 u P M,b 2 4Q2 u P M,c 2
U
+
+
,
(5.174)
u (S U ) =
S U2
S U2
3S U2
dove u P M,a , u P M,b e u P M,c sono date dalla (5.64). Per determinare l’incertezza
estesa U (S U ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza
e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sarà, quindi,
S = S U ± U (S U ) ,
(5.175)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Qualora sia richiesta una misura di potenza apparente in funzione della tensione VR ,
risulta
V2
(5.176)
S R = S U 2R ,
VM
dove S U è dato dalla (5.173), mentre V M è dato dalla (5.136). L’incertezza tipo relativa
che grava sulla misura di potenza apparente, in questo caso, risulta
q
u̇ (S R ) = u̇ (S U )2 + 4u̇ (V M )2 ,
(5.177)
dove u̇ (S U ) = u (S U ) /S U , con u (S U ) data dalla (5.174), mentre u̇ (V M ) è data dalla
(5.140). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza apparente risulta pari a
u (S R ) = u̇ (S R ) S R .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(5.178)
151
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Per determinare l’incertezza estesa U (S R ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
S = S R ± U (S R ) ,
(5.179)
Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.7
Misure in Regime Non-Sinusoidale
Si consideri un circuito in cui la tensione o la corrente o entrambe le grandezze siano
periodiche con frequenza f , ma non siano sinusoidali. Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, si ottengono tanti termini di tipo sinusoidale, detti armoniche, con
frequenza pari ai multipli interi di f , ma ampiezza e fase diverse. Non necessariamente
tutte le armoniche sono presenti, anzi nella maggioranza dei casi avviene esattamente il
contrario. La potenza istantanea (p) è sempre uguale al prodotto dei valori istantanei di
tensione (v) e corrente (i), qualunque sia la forma dei segnali
∞
 ∞

X
 X

p = vi =  VC,k sin (kωt) 
IC,k sin (kωt + ϕk ) ,
k=0
(5.180)
k=0
dove ω = 2π f , mentre VC,k e IC,k sono, rispettivamente, i valori di cresta delle armoniche
di tensione e corrente, mentre ϕk è lo sfasamento tra le armoniche di indice k di tensione
e corrente. Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato (a
causa dei prodotti incrociati). A titolo d’esempio, in Figura 5.25 sono stati tracciati i
diagrammi di tensione, corrente e potenza istantanee per casi di tensione sinusoidale e
di corrente distorta. In Figura 5.25a la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre
in Figura 5.25b la corrente ha un’armonica di quinto ordine. In entrambi i casi, il valore
medio della potenza istantanea è nullo, stando a significare che non transita potenza attiva.
Il fatto che siano in gioco correnti e tensioni, però, implica che nel sistema è in gioco
potenza reattiva.
5.7.1
Misure di Tensione e Corrente
Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali. Entrambe le grandezze possono essere espresse tramite sviluppo in serie di Fourier, come
evidenziato nella (5.180). Il valore efficace della tensione viene definito come
v
t
V=
∞
X
Vi2 ,
(5.181)
i=0
152
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.7. Misure in Regime Non-Sinusoidale
Tensione, Corrente, Potenza
v
p
i
P
Tempo
(a)
Tensione, Corrente, Potenza
v
i
p
P
Tempo
(b)
Figura 5.25: Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensione
sinusoidale e forma d’onda di corrente non-sinusoidale
Piero Malcovati, Misure Elettriche
153
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
dove Vi sono i valori efficaci delle singole armoniche di tensione, mentre il valore efficace
della corrente viene definito come
v
t∞
X
Ii2 ,
(5.182)
I=
i=0
dove Ii sono i valori efficaci delle singole armoniche di corrente.
Nei voltmetri o negli amperometri elettromagnetici (Paragrafo 4.5), ogni armonica
di tensione o di corrente produce una coppia motrice Cm,i proporzionale al quadrato del
valore efficace dell’armonica stessa e l’equipaggio mobile è globalmente sollecitato dalla
somma delle singole coppie Cm,i . Ne consegue che il voltmetro o l’amperometro sono
sempre in grado di fornire l’indicazione corretta del valore efficace di tensione o corrente
(almeno nel campo delle frequenze industriali).
5.7.2
Misure di Potenza Attiva
Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali. La
potenza attiva, facendo riferimento alla (5.180), viene definita come
P=
∞
X
Vi Ii cos (ϕi ) ,
(5.183)
i=0
dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.
La potenza attiva è quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza
e secondo il relativo angolo di sfasamento, considerando anche eventuali componenti
costanti (in questo caso ϕ0 = 0).
Nei wattmetri elettrodinamici (Paragrafo 4.6), ogni contributo Vi Ii cos (ϕi ) produce
una coppia motrice Cm,i e l’equipaggio mobile è globalmente sollecitato dalla somma
delle singole coppie Cm,i . Ne consegue che il wattmetro è sempre in grado di fornire
l’indicazione corretta della potenza attiva in gioco nel circuito su cui si effettua la misura
(almeno nel campo delle frequenze industriali). In un sistema polifase a N fili, la misura
di potenza attiva può sempre essere effettuata con N − 1 wattmetri.
5.7.3
Misure di Potenza Reattiva
Si consideri ancora un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali. Anche per la potenza reattiva si possono definire i contributi delle diverse coppie di
armoniche isofrequenziali di tensione e corrente,
Q=
∞
X
Vi Ii sin (ϕi ) ,
(5.184)
i=0
dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.
La potenza reattiva Q è, quindi, costituita dalla sommatoria dei prodotti vettoriali di tutte
154
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.7. Misure in Regime Non-Sinusoidale
le combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il
relativo angolo di sfasamento (eventuali componenti costanti danno contributo nullo in
quanto ϕ0 = 0).
5.7.4
Misure di Potenza Apparente
È generalmente accettato considerare, convenzionalmente, come potenza apparente, anche in un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali, il prodotto
dei valori efficaci di tensione V e corrente I
v
t∞
∞
X X
2
Ii2 ,
(5.185)
Vi
S = VI =
i=0
i=0
dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.
Tale definizione non ha un chiaro significato fisico. Infatti, confrontando la (5.185) con la
(5.183) e la (5.184), si può verificare che
S 2 > P2 + Q 2 ,
(5.186)
in quanto, né la (5.183), né la (5.184) tengono conto dei prodotti tra i termini non isofrequenziali della (5.180),
Dik = VC,i sin (iωt) IC,k sin (kωt + ϕk ) ,
(5.187)
con i , k, che, invece, sono presenti nella (5.185). Esistono diverse teorie per interpretare
i termini aggiuntivi presenti nel bilancio delle potenze in regime non-sinusoidale, tra le
quali vale le pena di citare, oltre alla teoria di Budeanu, che è la più diffusa, anche la teoria
di Shepherd e Zakikhani, la teoria di Sharon e la teoria di Czarnescki.
5.7.5
Teoria di Budeanu
Budeanu esprime la potenza apparente S , data dalla (5.185), mediante tre componenti
mutuamente ortogonali: la potenza attiva P, data dalla (5.183), la potenza reattiva Q, data
dalla (5.184) e la potenza reattiva deformante D, definita come
v
t∞ ∞
XXh
i
Vk2 Im2 + Vm2 Ik2 − 2Vk Vm Ik Im cos (ϕk − ϕm ) con m , k,
(5.188)
D=
m=0 k=0
dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente,
mentre ϕi sono gli sfasamenti tra le armoniche di indice i di tensione e corrente. La
potenza reattiva deformante D assume valore nullo quando tutte le armoniche di corrente
sono proporzionali a quelle di tensione e quando tutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali.
Si può dimostrare che
S 2 = (V I)2 = P2 + Q2 + D2 ,
(5.189)
dove V e I sono, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente. La potenza
reattiva deformante non ha alcun significato fisico, anche se viene associata alla potenza
reattiva.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
155
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Figura 5.26: Ciclo di isteresi di un materiale magnetico
Figura 5.27: Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel
materiale magnetico
5.8
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Quando le misure di potenza devono essere effettuate su circuiti non-lineari, si deve porre
particolare attenzione alla interpretazione dei risultati ottenuti, come discusso nel Paragrafo 5.7. Per chiarire i concetti, conviene fare riferimento ad una classica misurazione
che viene effettuata per determinare la cifra di perdita dei lamierini magnetici utilizzati
nelle macchine elettriche, nelle quali essi sono sottoposti a magnetizzazione alternata. I
suddetti lamierini presentano una caratteristica B = f (H) non-lineare e dipendente dalle
vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli di isteresi), come si può notare in
Figura 5.26. Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta
che se B è sinusoidale non lo può essere H e viceversa. Il primo caso è il più comune e
corrisponde, ad esempio, all’alimentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale
impressa, per cui anche l’induzione magnetica B risulta sinusoidale, mentre la forma del
campo H (che è poi quella della corrente nel circuito) è appuntita. Se è, invece, sinusoidale H (corrente sinusoidale impressa), la forma di B risulta appiattita, come illustrato in
Figura 5.27.
La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso, appunto perché
B ed H non sono entrambe sinusoidali. In tal caso, considerando B sinusoidale, si può,
156
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
convenzionalmente, fare riferimento al valore efficace HE ed assumere come potenza
magnetizzante specifica per unità di volume
√
(5.190)
QV = 2π f BHE ,
e per unità di massa
√
2π
QM =
f BHE ,
(5.191)
η
dove η è la densità di massa (o peso specifico) e f è la frequenza.
Un secondo importante problema riguarda le perdite nel materiale magnetico, che
sono da attribuire a due fenomeni distinti: l’isteresi e le correnti parassite. A causa del
fenomeno di isteresi, durante la magnetizzazione viene fornita al materiale una energia,
che non è poi interamente restituita durante la smagnetizzazione. L’energia perduta, che
si trasforma in calore, è rappresentata, in una certa scala e per unità di volume, dall’area
del ciclo di isteresi. Si può, perciò, scrivere
Z Bmax
W=
HdB,
(5.192)
Bmin
dove Bmin e Bmax sono, rispettivamente il valore minimo e massimo dell’induzione magnetica. Poiché W è l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare alla potenza basta tenere
conto della frequenza. Si è soliti esprimere le perdite per isteresi PI con una relazione del
tipo
PI = kI f Bn ,
(5.193)
dove kI è una costante e n un parametro, detto coefficiente di Steinmetz, che varia tra 1.5 e
2.5 con l’induzione magnetica stessa. Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene
ottenuto da una lega ferro-silicio, con silicio intorno al 3.5%.
Un’altra sorgente di perdite è dovuta al fatto che, per la presenza di un flusso dell’induzione magnetica alternato, nello stesso materiale magnetico si inducono forze elettromotrici. Essendo poi il materiale un buon conduttore elettrico, si ha la circolazione di
correnti parassite. Le perdite per correnti parassite sono proporzionali ai quadrati di induzione magnetica, frequenza e spessore del lamierino, nonché inversamente proporzionali
alla resistività del materiale. Per limitare le perdite per correnti parassite, i circuiti magnetici vengono laminati e si ricorre a leghe che permettono di aumentare la resistività.
L’isolamento superficiale dei lamierini è oggi ottenuto per ossidazione diretta, durante il
processo produttivo. Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi, si può usare,
per le perdite per correnti parassite PP , una espressione del tipo
PP = kP f 2 B2 ,
(5.194)
dove kP è una costante.
Le perdite totali nel circuito magnetico possono, quindi, essere espresse come
PU = kI f Bn + kP f 2 B2 .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(5.195)
157
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
Figura 5.28: Apparecchio di Epstein
Normalmente, per quantificare le perdite in un materiale magnetico, viene utilizzata la
cifra di perdita, data da
PU
,
(5.196)
CP =
m
che rappresenta la potenza dissipata per unità di massa m da un materiale magnetico,
quando uniformemente eccitato a prefissati valori di induzione magnetica (B) e di frequenza ( f ). A titolo indicativo si può ricordare che, per f = 50 Hz e B = 1.5 T, la cifra di
perdita può variare da 0.8 W/kg a 2.0 W/kg. I valori più bassi sono quelli dei lamierini a
cristalli orientati, usati nei trasformatori di potenza.
5.8.1
Apparecchio di Epstein
L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di perdita dei lamierini
magnetici. L’apparecchio si presenta come indicato in Figura 5.28. Lungo i tubi esterni
sono avvolti, insieme ed uniformemente, in modo da simulare un solenoide, due avvolgimenti detti, rispettivamente, primario e secondario. Ciascun avvolgimento è costituito da
un predeterminato numero di spire (normalmente 600 spire).
Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente 10 kg), tagliati
in strisce di lunghezza e larghezza pure prefissate (500 mm e 30 mm, rispettivamente).
Le strisce cosı̀ ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i giunti che si formano all’esterno siano alternati e stretti, cosı̀ da ridurre l’effetto dei traferri. Il circuito
utilizzato per la misura è rappresentato in Figura 5.29. Esso è caratterizzato dal fatto che
il voltmetro e la voltmetrica del wattmetro sono connessi all’avvolgimento secondario
dell’apparecchio di Epstein, ottenendo cosı̀ due importanti vantaggi:
158
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
A
~
W
f
V
Figura 5.29: Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein
• si escludono dalla misura della potenza le perdite dovute alla resistenza dell’avvolgimento alimentato (primario);
• la forza elettromotrice indotta al secondario è direttamente legata all’induzione
magnetica nel materiale, che è la grandezza che interessa.
Per la misura, si devono utilizzare strumenti di buona qualità, che consentano di misurare
la tensione, la potenza, la corrente e la frequenza, preferibilmente di tipo digitale, in
quanto caratterizzati da autoconsumo trascurabile. Si deve anche tenere conto del fatto
che il circuito risulta fortemente induttivo, per cui è necessario l’impiego di un wattmetro
adatto per basso fattore di potenza.
Per l’alimentazione del circuito, occorre una sorgente che, per il momento, si considera in grado di fornire una tensione perfettamente sinusoidale.
5.8.2
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale
Per determinare la cifra di perdita, si deve, innanzitutto, determinare la sezione A del
pacco di lamierini, per cui, detti m la massa dei lamierini, η il peso specifico del materiale
magnetico ed l la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene
A=
m
,
ηl
(5.197)
nella quale si può assumere m = 10 kg, η = 7.6 kg/dm3 e l = 2.0 m.
Poiché lo scopo della misura è di determinare la cifra di perdita all’induzione magnetica BR e alla frequenza fR , occorre calcolare la tensione VR che deve apparire ai terminali
del secondario per i valori prescelti di BR ed fR , che risulta
√
VR = 2πn s fR BR A,
(5.198)
nella quale n s = 600 è il numero delle spire dell’apparecchio. Le misure vengono, quindi, condotte rilevando un certo numero di valori di potenza assorbita, in funzione della
Piero Malcovati, Misure Elettriche
159
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
tensione a frequenza costante, ed effettuando l’interpolazione grafica dei punti risultanti,
in modo da escludere eventuali letture affette da errori grossolani. Al valore di tensione
dato dalla (5.198), si determina, quindi, la potenza misurata P M . Se l’autoconsumo delle
voltmetriche del wattmetro e del voltmetro non è trascurabile, si deve utilizzare la (5.71)
per ottenere il valore della potenza corretta PU . Il valore della cifra di perdita C P,U è dato,
infine, da
PU
.
(5.199)
m
L’incertezza che grava sulla misura di cifra di perdita deve essere valutata come incertezza composta, con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendo
come modello del misurando
C P,U =
C P,U =
P M VR2
2m (πn s fR BR )2
=
P
,
M
2
m VM
(ηlV M )2
(5.200)
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, il
termine di correzione dell’errore sistematico, assumendo una dipendenza quadratica della potenza dissipata dall’induzione magnetica e, quindi, dalla tensione V M (si assume il
coefficiente di Steinmetz n = 2) e trascurando la dipendenza della cifra di perdita dalla
frequenza (si assume f = fR ), l’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita
risulta
q
(5.201)
u̇ C P,U = u̇ (P M )2 + u̇ (m)2 + 4u̇ (η)2 + 4u̇ (l)2 + 4u̇ (V M )2 ,
dove u̇ (P M ) e u̇ (V M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.65) e dalla (5.6). Le incertezze
sulla massa u̇ (m), sulla lunghezza u̇ (l) e sul peso specifico u̇ (η) possono, generalmente,
essere trascurate. L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,
u C P,U = u̇ C P,U C P,U .
(5.202)
Per determinare l’incertezza estesa U C P,U , si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
C P = C P,U ± U C P,U ,
(5.203)
dove C P,U è dato dalla (5.199). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.8.3
Separazione delle Perdite
Se si desidera effettuare la separazione delle perdite tra perdite per isteresi e perdite
per correnti parassite, partendo dalla (5.195), si possono esprimere le perdite per ciclo
(energia)
PU
= kI Bn + kP f B2 .
(5.204)
WU =
f
160
Piero Malcovati, Misure Elettriche
WU
5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
kPfB2
kIBn
f
Figura 5.30: Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico
La (5.204) rappresenta una retta in funzione della frequenza, per cui, con misure in funzione di f , a induzione magnetica costante B = BR , si può ottenere la ripartizione desiderata,
come illustrato in Figura 5.30. Il valore di PU corrispondente all’induzione magnetica BR ,
per ogni valore di f , deve essere determinato secondo le modalità indicate nel Paragrafo 5.8.2 (interpolazione grafica e correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi degli strumenti). Sono necessarie almeno due misure a diversi valori di frequenza
per poter operare la ripartizione delle perdite. I valori dei coefficienti kI e kP risultano
kI =
kP =
WU | f =0
,
BnR
WU | f = fR − WU | f =0
B2R fR
(5.205)
,
(5.206)
dove BR è il valore di induzione magnetica di riferimento e fR è il valore della frequenza di
riferimento. Alternativamente, considerando che il valore di n non è tipicamente noto, si
possono determinare i coefficienti αI e αP , che esprimono, rispettivamente, la frazione di
perdite da attribuire all’isteresi e la frazione di perdite da attribuire alle correnti parassite,
dati da
αI =
αP =
WU | f =0 fR
,
PU
WU | f = fR − WU | f =0 fR
PU
(5.207)
.
(5.208)
A questo punto, noti i coefficienti αI e αP , è possibile tenere conto anche della dipendenza della cifra di perdita dalla frequenza nel calcolo dell’incertezza. Il modello del
misurando da utilizzare per il calcolo dell’incertezza che grava sulla misura della cifra di
Piero Malcovati, Misure Elettriche
161
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
perdita, dato dalla (5.200), infatti, può essere modificato in
C P,U = P M
!
fR2 2m (πn s fR BR )2
fR
,
αI
+ αP 2
fM
fM
(ηlV M )2
(5.209)
dove f M è la frequenza misurata. L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita,
assumendo f M = fR , ma considerando l’incertezza tipo relativa sulla misura di frequenza
u̇ ( f M ), sapendo che αI + αP = 1 e trascurando le incertezze sulla massa u̇ (m), sulla
lunghezza u̇ (l) e sul peso specifico u̇ (η), risulta
u̇ C P,U
q
= u̇ (P M )2 + 4u̇ (V M )2 + (αI + 2αP )2 u̇ ( f M )2 ,
(5.210)
dove u̇ (P M ) e u̇ (V M ) sono date, rispettivamente, dalla (5.65) e dalla (5.6). L’incertezza
tipo assoluta risulta, quindi,
u C P,U = u̇ C P,U C P,U .
(5.211)
Per determinare l’incertezza estesa U C P,U , si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
C P = C P,U ± U C P,U ,
(5.212)
dove C P,U è dato dalla (5.199). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.8.4
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
In laboratorio ci si trova, a volte, a dover effettuare la misura della cifra di perdita con
una sorgente di tensione che presenta una forma d’onda non perfettamente sinusoidale.
Questo è dovuto, nella maggior parte dei casi, al fatto che, a causa della non-linearità della
relazione B = f (H) nel materiale, la corrente che circola nell’avvolgimento primario
dell’apparecchio di Epstein non è sinusoidale. Pertanto, in presenza di una resistenza non
nulla in serie alla sorgente di tensione (resistenza interna della sorgente e resistenza dei
cavi), la tensione effettivamente applicata all’avvolgimento primario dell’apparecchio di
Epstein risulta essere, a sua volta, non-sinusoidale.
Le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano nel materiale, seguono leggi diverse:
• le perdite per isteresi sono funzione del valore di cresta dell’induzione magnetica
BC , in conseguenza del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi e, in aggiunta,
l’esponente di Steinmetz è variabile con l’induzione magnetica stessa;
• le perdite per correnti parassite sono, per la legge di Joule, proporzionali al quadrato del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e dipendono, quindi, dal
valore efficace dell’induzione magnetica BE .
162
Piero Malcovati, Misure Elettriche
5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
A
~
W
f
VE
Vm
Figura 5.31: Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein
con tensione non-sinusoidale
Ne consegue che, se la tensione non è sinusoidale, non è più possibile effettuare direttamente l’interpolazione grafica delle misure effettuate, per determinare le perdite in
corrispondenza del valore di induzione magnetica
di riferimento BR . Con tensione non√
sunusoidale, infatti, risulta che BE , BC / 2 e, quindi, utilizzando lo schema di Figura 5.29, in cui si misura il valore efficace della tensione, legato al valore efficace
dell’induzione magnetica BE , il valore di BC non è determinabile.
Sarebbe, quindi, necessario disporre di uno strumento in grado di misurare il valore
massimo dell’induzione magnetica (o una grandezza proporzionale a questa), in aggiunta
al voltmetro a valore efficace. Nel Paragrafo 5.8.5, si dimostrerà che il valore massimo
dell’induzione magnetica è proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensione
indotta (Vm ). Pertanto, occorre inserire nel circuito anche un voltmetro a valore medio,
come indicato in Figura 5.31. Il voltmetro
√a valore medio è generalmente tarato in valore
efficace e fornisce, quindi, il valore π/ 2 2 Vm 1.11Vm . Per l’esecuzione delle misure
si procede come indicato nel Paragrafo 5.8.2, prendendo come riferimento le indicazioni
del voltmetro a valore medio.
√ In questo modo, si riportano correttamente per √via grafica
alla tensione VR = π/ 2 2 Vm , ovvero all’induzione magnetica BR = BC / 2, le perdite per isteresi, ma non quelle per
√ correnti parassite, che sono proporzionali al valore
efficace della tensione V , π/ 2 2 Vm . Il contrario avverrebbe se si prendessero come
riferimento le indicazione del voltmetro a valore efficace. Conviene esprimere i risultati
in funzione della tensione fornita dal voltmetro a valore medio, in quanto l’esponente di
Steinmetz non è costante (si opera ad induzione magnetica √
massima costante). Dalla interpolazione grafica si ottiene il valore, riportato a BR = BC / 2, delle perdite complessive
P M , come illustrato in Figura 5.32. Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetro
e dei voltmetri non è trascurabile, si deve utilizzare la (5.71) per ottenere il valore della
potenza corretta PU .
Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di onda sinusoidale,
è necessario procedere alla suddivisione delle perdite, come illustrato nel Paragrafo 5.8.3.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
163
PM
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
PM
VR
1.11 Vm
Figura 5.32: Interpolazione grafica per la determinazione del valore delle perdite alla
induzione magnetica di riferimento
Una volta determinati i coefficienti αI e αP , è possibile riportare le perdite per correnti
parassite al valore corretto di tensione e, quindi, di induzione magnetica, tenendo conto
del fatto che le perdite per correnti parassite dipendono dal quadrato del valore efficace
dell’induzione magnetica stessa. Le perdite corrette sono date da
VR2
PC = αI PU + αP PU 2 ,
VR,E
(5.213)
√ dove VR,E è il valore efficace della tensione che corrisponde a VR = π/ 2 2 Vm , ricavato per via grafica, come illustrato in Figura 5.33 (in regime sinusoidale VR,E = VR ).
Nel caso in cui non sia possibile determinare sperimentalmente αI e αP , per esempio
perché non è possibile effettuare misure in funzione della frequenza, si usa assumere,
convenzionalmente, αI = αP = 0.5. La cifra di perdita corretta risulta, quindi,
PC
.
(5.214)
m
Per il calcolo dell’incertezza di misura si assume come modello del misurando la
(5.209), trascurando, in quanto ininfluente per il calcolo dell’incertezza, anche la correzione dell’errore dovuto alla tensione non-sinusoidale. L’incertezza tipo relativa sulla
misura di cifra di perdita u̇ C P,U è data, quindi, dalla (5.210). Anche in questo caso,
le incertezze sulla massa u̇ (m), sulla lunghezza u̇ (l) e sul peso specifico u̇ (η) possono,
generalmente, essere trascurate. L’incertezza tipo assoluta risulta, pertanto,
u C P,U = u̇ C P,U C P,U .
(5.215)
C P,U =
164
Piero Malcovati, Misure Elettriche
V
5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
VR,E
VR
1.11 Vm
Figura 5.33: Interpolazione grafica per la determinazione del valore efficace della
tensione corrispondente alla induzione magnetica di riferimento
Per determinare l’incertezza estesa U C P,U , si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
C P = C P,U ± U C P,U ,
(5.216)
dove C P,U è dato dalla (5.214). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
5.8.5
Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica
In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze magnetiche, come per
esempio nella misura della cifra di perdita di un materiale magnetico tramite l’apparecchio di Epstein (Paragrafo 5.8.1 e Paragrafo 5.8.4), si rende necessario determinare il
valore di cresta dell’induzione magnetica BC . Si può dimostrare che BC è proporzionale
al valore medio della tensione indotta Vm , purché la forma d’onda della induzione magnetica passi per lo zero due volte per periodo. Si considerino le forme d’onda riportate in
Figura 5.34, che rappresentano i valori istantanei dell’induzione magnetica b e della forza
elettromotrice di autoinduzione o indotta e. Si può allora scrivere
e = −n s
db
dφ
= −n s A,
dt
dt
(5.217)
dove φ = bA è il valore istantaneo del flusso dell’induzione magnetica, n s è il numero di
spire considerato e A è la sezione dei circuito magnetico, da cui si ricava
Piero Malcovati, Misure Elettriche
165
5. Misure Industriali con Strumenti Analogici
BC
b
e T/2
Tensione, Corrente
Vm
–BC
Tempo
Figura 5.34: Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura del
valore massimo dell’induzione magnetica
edt = −n s Adb.
(5.218)
Il valore medio della tensione Vm riferito al semiperiodo, misurato ad esempio con un
voltmetro magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), collegato come indicato in Figura 5.7, è dato
da
Z
Z
2 T/2
2 BC
2n s A
2BC = −4n s A f BC ,
(5.219)
Vm =
edt =
−n s Adb = −
T 0
T −BC
T
avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BC il valore di cresta dell’induzione magnetica. Questa relazione è valida in quanto la forza elettromotrice indotta è
nulla quando è nulla la derivata dell’induzione magnetica, ovvero, quando quest’ultima è
massima.
Si tenga presente che, se il voltmetro a valore medio è tarato in valore efficace per
forma d’onda sinusoidale, la lettura del voltmetro sarà
V = 1.11Vm = −4.44n s A f BC .
166
(5.220)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 6
Metodi di Ponte
6.1
Generalità
Prendono il nome di metodi di ponte alcuni metodi di misura basati su reti di resistori,
induttori e condensatori, in cui il componente da misurare rappresenta il componente incognito, mentre gli altri elementi sono noti. Per il funzionamento dei ponti sono necessari
una sorgente di alimentazione (in corrente continua o in corrente alternata) e uno strumento di zero. Quando il ponte è in equilibrio, ossia quando due punti della rete sono allo
stesso potenziale, si può calcolare il valore dell’elemento incognito, applicando semplici
relazioni matematiche che legano i valori degli elementi noti della rete.
6.2
Ponte di Wheatstone
Il ponte di Wheatstone è costituito da quattro resistori, disposti come i lati di un quadrilatero (Figura 6.1), le cui diagonali sono costituite rispettivamente da una sorgente di forza
elettromotrice (sorgente di alimentazione) e da uno strumento di zero (galvanometro, G).
Le resistenze Ra , Rb ed Rc hanno valore noto, mentre R x è la resistenza in esame. In base
alla polarità della sorgente di alimentazione, si può sapere a priori il verso di circolazione
della corrente nei due rami A-B-C e A-D-C; non è, invece, noto a priori il senso della
corrente che attraversa il galvanometro, percorrendo la diagonale B-D, poiché esso dipende dalla differenza di potenziale fra i due nodi B e D. In particolare, la corrente sarà
nulla se B e D si trovano al medesimo potenziale: questa è la condizione di equilibrio del
ponte che si deve ricercare. L’assenza di corrente sul lato B-D si verifica per mezzo del
galvanometro G. Il ponte di Wheatstone è, infatti, un metodo di riduzione a zero.
In condizioni di equilibrio, con B e D allo stesso potenziale, senza passaggio di corrente nel galvanometro, se si applica il primo principio di Kirchhoff ai nodi B e D, si
ottiene



 Ia = I x
.
(6.1)


 Ib = Ic
Piero Malcovati, Misure Elettriche
167
6. Metodi di Ponte
B
Rc
Rb
Rg
C
A
G
Rx
Ra
D
E
Figura 6.1: Ponte di Wheatstone
Se si applica ora il secondo principio di Kirchhoff alle maglie A-B-D e B-C-D, si ottiene



 Ra Ia = Rb Ib
.
(6.2)


 R x I x = Rc Ic
Si può, quindi, scrivere

Ra Ib



=



 Rb Ia
.



R x Ic



=

Rc I x
Dividendo membro a membro la (6.1), si ottiene
Ib Ic
= .
Ia I x
(6.3)
(6.4)
Combinando la (6.3) con la (6.4), si ricava
Ra R x
= .
Rb Rc
(6.5)
La resistenza incognita risulta, quindi, data da
R x = Rc
Ra
.
Rb
(6.6)
Questa espressione, quando il ponte è in equilibrio, permette di conoscere il valore della resistenza incognita una volta noti i valori delle altre tre resistenze inserite nel ponte.
168
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.3. Doppio Ponte di Thomson
Si noti che nella (6.6) non compaiono né le correnti circolanti, né la forza elettromotrice (che non occorre quindi conoscere), né la resistenza della diagonale comprendente il
galvanometro (Rg ).
I lati A-B e A-D vengono chiamati bracci del ponte (resistori Ra ed Rb ), mentre il
lato B-C è chiamato lato di paragone (resistore Rc ). La misura si effettua collegando il
resistore incognito al ponte e regolando i bracci ed il lato di paragone, costituiti da resistori
variabili, fino al raggiungimento della condizione di equilibrio.
La condizione di maggior sensibilità del ponte si ottiene facendo in modo che Ra ed
R x , cosı̀ come Rb ed Rc , abbiano all’incirca il medesimo valore. La condizione ideale
sarebbe che tutte e quattro le resistenze avessero valori uguali o perlomeno molto vicini.
L’incertezza di misura di questi ponti è minima, quando si misurano resistenze di valore
medio, comprese fra qualche ohm e qualche decina di kiloohm. Utilizzando la (6.6) come
modello del misurando e date le incertezze tipo relative delle resistenze note del ponte
u̇ (Ra ), u̇ (Rb ) e u̇ (Rc ), l’incertezza tipo composta relativa (Paragrafo 1.5.3) della resistenza
incognita R x risulta
q
u̇ (R x ) =
u̇ (Ra )2 + u̇ (Rb )2 + u̇ (Rc )2 .
(6.7)
Alternativamente, quando si utilizzano ponti di Wheatston commerciali, di cui il costruttore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa è data da
Classe
√ .
100 3
(6.8)
u (R x ) = u̇ (R x ) R x .
(6.9)
u̇ (R x ) =
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,
Per determinare l’incertezza estesa U (R x ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione
sarà, quindi,
R = R x ± U (R x ) ,
(6.10)
dove R x è dato dalla (6.6). Per determinare il numero cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
6.3
Doppio Ponte di Thomson
Il ponte di Wheatstone non si presta alla misura di resistenze molto piccole, poiché la
presenza delle resistenze di contatto, con valori dello stesso ordine di grandezza delle resistenze da misurare, sarebbe fonte di errori sistemativi non noti di entità troppo elevata.
Per queste resistenze viene, invece, impiegato, spesso, il doppio ponte di Thomson, il quale ha la caratteristica fondamentale di fornire una indicazione indipendente da eventuali
variazioni di corrente nel circuito sul quale è inserita la resistenza in prova (Figura 6.2) e
pure indipendente, entro certi limiti, dalle resistenze di collegamento e di contatto.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
169
6. Metodi di Ponte
Ia
Ib
B
Rg
G
Ia´
Ib´
A
Ra
Ra´
Rb´
Rx
Rb
Rk
D
E
F
I
I
Figura 6.2: Doppio ponte di Thomson
Il metodo del doppio ponte di Thomson si basa sul confronto tra le cadute di tensione
provocate dal resistore incognito R x e da un resistore campione Rk , dotati di quattro terminali (due di tensione e due di corrente), collegati in serie fra loro attraverso i terminali
di corrente e facenti capo alla sorgente di alimentazione del ponte. Ai terminali di tensione di questi due resistori sono collegati i fili che portano ai resistori Ra , R0a , Rb ed R0b
del ponte, fra i quali è inserito lo strumento di zero (galvanometro, G). I resistori Ra , R0a ,
Rb ed R0b hanno generalmente un valore superiore a quello di R x e di Rk e sono di valore
variabile (tipicamente tra 0.1 Ω e 10 kΩ). Poiché normalmente Ra = R0a e Rb = R0b , i
comandi di Ra ed R0a , a regolazione continua, sono abbinati meccanicamente in modo che
le due resistenze abbiano sempre il medesimo valore. Lo stesso vale per Rb ed R0b , la cui
regolazione è, tipicamente, a scatti.
Per l’azzeramento del ponte si procede scegliendo un valore opportuno per le due resistenze Rb e R0b (tipicamente, se Rk ed R x sono dello stesso ordine di grandezza, si sceglie
Rb = R0b = Ra,max , dove Ra,max è il massimo valore possibile per Ra e R0a ), dopo di che si
regolano Ra ed R0a . Se non si raggiunge l’azzeramento, oppure se si ottengono poche cifre
significative per il valore di R x , si variano i valori di Rb ed R0b . Quando il galvanometro
segna zero (ponte in equilibrio), in esso non circola corrente e, quindi, attraverso Ra e
Rb circola la medesima corrente, come pure attraverso R0a ed R0b . Applicando il secondo
principio di Kirchhoff alle maglie A-B-C-D ed A-B-E-F e tenendo conto del senso delle
170
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.3. Doppio Ponte di Thomson
correnti su ciascun lato, si può scrivere

0 0


 Ra Ia − Ra Ia − R x I = 0
,


 Rb Ib − R0 I 0 − Rk I = 0
b b
ossia

0 0


 R x I = Ra Ia − Ra Ia
.


 Rk I = Rb Ib − R0 I 0
b b
(6.11)
(6.12)
Dividendo membro a membro la (6.12), si ottiene
R x Ra Ia − R0a Ia0
=
.
Rk Rb Ib − R0b Ib0
(6.13)
Ricordando ora che si era posta come condizione di funzionamento del ponte Ra = R0a ed
Rb = R0b , la (6.13) diventa
R x Ra Ia − Ia0
.
(6.14)
=
Rk Rb Ib − I 0
b
Quando il ponte è in equilibrio, Ia = Ib e Ia0 = Ib0 , per cui, si ottiene
R x = Rk
Ra
.
Rb
(6.15)
Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito, in serie alla sorgente di
alimentazione: esso funge da regolatore della corrente che circola attraverso R x e Rk , dato
che si tratta, in genere, di resistenze molto basse. Compatibilmente con l’esigenza di non
provocare un riscaldamento di questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta al
valore più elevato possibile, poiché in tal modo sono maggiori le cadute di tensione su R x
e Rk , che, come si è visto, sono le grandezze che vengono valutate dal ponte per eseguire
la misura. Inoltre è opportuno cercare di mantenere elevato il valore della resistenza
dei quattro lati del ponte, poiché in tal modo si riduce l’errore dovuto alle resistenze di
contatto.
Utilizzando la (6.13) come modello del misurando e date le incertezze tipo relative delle resistenze note del ponte e della resistenza campione u̇ (Ra ), u̇ (Rb ) e u̇ (Rk ),
l’incertezza tipo composta relativa (Paragrafo 1.5.3) della resistenza incognita R x risulta
q
(6.16)
u̇ (R x ) = u̇ (Ra )2 + u̇ (Rb )2 + u̇ (Rk )2 .
Alternativamente, quando si utilizza un doppio ponte di Thomson commerciale, di cui il
costruttore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa è data da
s
!2
Classe
+ u̇ (Rk )2 ,
(6.17)
u̇ (R x ) =
√
100 3
Piero Malcovati, Misure Elettriche
171
6. Metodi di Ponte
in cui u̇ (Rk ) è la incertezza tipo relativa della resistenza campione esterna al ponte. L’accuratezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe di precisione (data in
percentuale) con distribuzione rettangolare. Pertanto, l’incertezza tipo di Rk è data da
u̇ (Rk ) =
Classe
√ .
100 3
(6.18)
L’incertezza tipo assoluta della resistenza incognita risulta, quindi,
u (R x ) = u̇ (R x ) R x .
(6.19)
Qualora si misurino resistori realizzati con materiali, come il rame, caratterizzati da un
elevato coefficiente di temperatura κ, occorre specificare la temperatura T per cui è determinato il valore di resistenza. Qualora la misura sia effettuata a una temperatura T M ,
diversa da T , inoltre, occorre correggere il valore misurato in modo da riportarlo alla
temperatura desiderata. Il valore di resistenza corretta risulta, quindi, dato da
R x |T = R x [1 + κ (T − T M )] .
(6.20)
Ovviamente, anche nel calcolo dell’incertezza occorre tener conto della dipendenza della
resistenza dalla temperatura. Quindi, utilizzando la (6.20) come modello del misurando,
l’incertezza tipo relativa risulta
q
(6.21)
u̇ ( R x |T ) = u̇ (R x )2 + u̇ [1 + κ (T − T M )]2 ,
in cui u̇ (R x ) è dato dalla (6.16) o dalla (6.17), mentre
u̇ [1 + κ (T − T M )] =
u [1 + κ (T − T M )]
κu (T M )
=
,
1 + κ (T − T M )
1 + κ (T − T M )
(6.22)
dove u (T M ) è l’incertezza tipo assoluta associata alla temperatura misurata. Pertanto, si
ottiene
s
"
#2
κu (T M )
2
u̇ (R x |T ) = u̇ (R x ) +
.
(6.23)
1 + κ (T − T M )
Per determinare l’incertezza estesa U (R x ) o U (R x |T ), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della
misurazione sarà, quindi,
R = R x ± U (R x ) ,
(6.24)
oppure
R|T = R x |T ± U ( R x |T ) ,
(6.25)
dove R x o R x |T sono dati dalla (6.13) o dalla (6.20). Per determinare il numero cifre
significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate
nel Paragrafo 1.5.5.
172
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
6.4
Metodi di Ponte in Corrente Alternata
Le misure di capacità e fattore di perdita tan (δ), definito nel Paragrafo 2.5, sono estremamente importanti per determinare la qualità dei materiali isolanti utilizzati in corrente
alternata. La determinazione di tan (δ), generalmente in funzione della tensione e a frequenza costante, può in linea di principio essere effettuata con metodi di ponte o con
metodi wattmetrici. Quando la tensione di prova è elevata e tan (δ) piuttosto piccolo,
normalmente, si utilizzano metodi di ponte in corrente alternata. È tuttavia importante
ricordare che, almeno in linea di principio, la potenza dissipata in un materiale isolante
sottoposto a campo alternato può essere determinata anche con altri metodi.
Come già precisato nel Paragrafo 2.5, il fattore di perdita dipende dalla tensione, dalla
frequenza e, in misura a volte molto rilevante, dalla temperatura. Si tenga presente che
il tempo di applicazione della tensione di prova può pure influire sul valore di tan (δ).
Nella conduzione delle misure è, quindi, necessario fare molta attenzione a queste grandezze che devono essere scrupolosamente annotate. Per quanto riguarda la temperatura, è
necessario ricordare che la massa dell’oggetto in prova può richiedere un tempo considerevole per raggiungere il regime termico (anche alcune ore). È, quindi, opportuno seguire
con molta cura quanto prescritto in proposito.
Un altro aspetto, che può rivestire una certa importanza in questo tipo di misura, è
l’effetto dei bordi delle armature del condensatore da misurare. Esso si manifesta con un
aumento di tan (δ), per effetto delle correnti superficiali e della deformazione del campo
elettrico, con la formazione di piccoli volumi in cui la forza elettrica (gradiente) è molto
intensa. In certi casi (ad esempio prove su brevi spezzoni di cavo, giunti e terminali), può
essere necessario predisporre anelli di guardia, come si fa per i condensatori campione
(Figura 2.13).
6.4.1
Principio dei Ponti in Corrente Alternata
Si consideri lo schema di Figura 6.3 e si supponga di alimentare il sistema con una tensione sinusoidale di ampiezza e frequenza costanti. I rami del ponte sono costituiti da
impedenze generiche, al limite pure resistenze, capacità o induttanze. Lo strumento di
zero G è sensibile alla corrente alternata e dà indicazione nulla quando il ponte è in equilibrio, cioè quando i punti B e C sono allo stesso potenziale e, quindi, lo strumento non è
attraversato da corrente.
Delle quattro impedenze, che costituiscono i bracci del ponte, se ne consideri una
incognita e le altre note e, in parte, regolabili. Variando il valore di queste impedenze,
è possibile ottenere le condizioni di equilibrio sopra menzionate. Sempre esaminando la
Figura 6.3, si può dedurre che, in equilibrio, le correnti nelle impedenze Z x e Z3 sono
uguali tra loro (I x,3 ) e cosı̀ pure le correnti nelle impedenze Z2 e Z4 (I2,4 ). Si può, allora,
scrivere


~~
~~


 Z x I x,3 = Z2 I2,4
.
(6.26)



 Z~ ~I = Z~ ~I
3 x,3
Piero Malcovati, Misure Elettriche
4 2,4
173
6. Metodi di Ponte
A
Z2
Zx
~
C
B
G
Z3
Z4
D
Figura 6.3: Schema di principio di un ponte in corrente alternata
Dividendo membro a membro, si ottiene
Z~ x Z~2
= .
(6.27)
Z~3 Z~4
Nella (6.26) e nella (6.27) le frecce sopra i simboli stanno ad indicare che si parla di grandezze vettoriali e non scalari. Le grandezze diverrebbero scalari solo se i quattro bracci
del ponte fossero costituiti da un solo tipo di componente (sole resistenze, sole capacità o
sole induttanze). Si può osservare che entrambi i rapporti Z~ x /Z~3 e Z~2 /Z~4 sono, in generale,
rappresentabili con numeri complessi, costituiti da parte reale e parte immaginaria. Ne
consegue che, per essere uguali, i due membri della (6.27) devono avere uguali le parti
reali e le parti immaginarie, ovvero,
 
  

 Z~2 
 Z~ x 




 

=
<
<





~

Z
Z~4

3
(6.28)



 .



~
~





Z
Z

 x 
 2 



 =  ~  = =  ~ 
Z3
Z4
Conseguentemente, per permettere di determinare agevolmente la condizione di equilibrio
del ponte, è preferibile che lo strumento di zero G sia in grado di misurare separatamente
la parte reale e la parte immaginaria della corrente che fluisce tra i nodi C e B.
6.4.2
Ponte di Schering
Il ponte di Schering viene impiegato in corrente alternata per misure di capacità e tan (δ).
Esso è adatto anche per misure in alta tensione. Lo schema di principio del ponte di
174
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
A
Rx
CN
Cx
~
C
B
G
R4
R3
C4
D
Figura 6.4: Ponte di Schering
Schering è rappresentato in Figura 6.4. Il ramo contenente R x e C x rappresenta l’impedenza incognita, espressa tramite il circuito equivalente serie. Questa scelta è arbitraria,
in quanto si sarebbe potuto utilizzare indifferentemente il circuito equivalente parallelo,
oppure altri schemi anche più complessi, purché equivalenti all’impedenza incognita. Il
ramo C N rappresenta una capacità pura di valore noto e fisso (condensatore campione).
Le resistenze R3 e R4 sono regolabili a gradini, cosı̀ come C4 . Agendo su questi parametri,
è possibile raggiungere la condizione di equilibrio del ponte, che è data da
!
!
1
1
1
1
Rx − j
= −j
+ jωC4 .
(6.29)
R3
ωC x
ωC N R4
Con alcune semplificazioni, si ottiene
1
C4
1
Rx
−j
=
−j
.
R3
ωR3C x C N
ωR4C N
(6.30)
La (6.30) è soddisfatta solo se sono uguali le parti reali,
R x C4
=
,
R3 C N
(6.31)
e le parti immaginarie,
1
1
=
,
(6.32)
R3 C x R4 C N
dei due membri. Si può osservare, innanzitutto, che l’equilibrio del ponte non dipende
dalla frequenza. Inoltre, la (6.31) non contiene R4 , mentre la (6.32) non contiene C4 .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
175
6. Metodi di Ponte
Scelto un valore di R3 , quindi, è possibile agire indipendentemente su R4 e C4 per azzerare
la parte reale e la parte immaginaria della corrente che fluisce nello strumento di zero, in
modo da trovare facilmente la condizione di equilibrio del ponte. Dalla (6.31) si ottiene
immediatamente
R4
(6.33)
C x = CN ,
R3
mentre dalla (6.32) si ricava
C4
Rx =
R3 .
(6.34)
CN
Si deve, però, osservare che si preferisce normalmente esprimere le perdite non con
R x , ma con tan (δ). Utilizzando la (2.7), si ottiene
tan (δ) = R x ωC x .
(6.35)
Se si sostituiscono ora nella (6.35) l’espressione di C x , data dalla (6.33), e l’espressione
di R x , data dalla (6.34), si ottiene
tan (δ) = ωR4C4 .
(6.36)
Le due espressioni risolutive del ponte in termini di C x e tan (δ) sono, quindi, date dalla
(6.33) e dalla (6.36). Si può osservare che il valore di tan (δ) è indipendente dal tipo di
schema equivalente assunto per Z x . Inoltre, normalmente, essendo tan (δ) molto piccolo,
anche il valore di C x risulta indipendente dallo schema equivalente scelto per Z x .
Nel ponte di Schering lo strumento di zero G gioca un ruolo importante. Nelle versioni
più moderne, esso è di tipo elettronico con indicazione analogica o digitale. Si tratta
di uno strumento selettivo in frequenza, accordato sulla frequenza della sorgente usata
per le prove, in grado di fornire separatamente il valore della parte reale e della parte
immaginaria della corrente che lo attraversa.
Utilizzando la (6.33) e la (6.36) come modelli del misurando e date le incertezze tipo
relative dei componenti noti del ponte e del condensatore campione u̇ (R3 ), u̇ (R4 ), u̇ (C4 )
e u̇ (C N ), nonché l’incertezza tipo relativa della frequenza u̇ ( f ) = u̇ (ω), l’incertezza tipo
composta relativa (Paragrafo 1.5.3) della capacità incognita C x risulta
q
u̇ (C x ) = u̇ (R4 )2 + u̇ (R3 )2 + u̇ (C N )2 ,
(6.37)
mentre l’incertezza tipo relativa di tan (δ) è data da
q
u̇ [tan (δ)] = u̇ (R4 )2 + u̇ (C4 )2 + u̇ (ω)2 .
(6.38)
Alternativamente, quando si utilizza un ponte di Schering commerciale, di cui il costruttore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa per C x e tan (δ) è data,
rispettivamente, da
s
!2
Classe
+ u̇ (C N )2 ,
(6.39)
u̇ (C x ) =
√
100 3
176
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
s
!2
Classe
u̇ [tan (δ)] =
+ u̇ (ω)2 ,
(6.40)
√
100 3
in cui u̇ (C N ) è la incertezza tipo relativa del condensatore campione esterno al ponte e
u̇ ( f ) = u̇ (ω) è l’incertezza tipo relativa della frequenza, che, peraltro, nella maggior
parte dei casi è trascurabile. L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,
per C x , e
u (C x ) = u̇ (C x ) C x ,
(6.41)
u [tan (δ)] = u̇ [tan (δ)] tan (δ) ,
(6.42)
per tan (δ). Per determinare le incertezze estese U (C x ) e U [tan (δ)], si ricorre poi alla
(1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il
risultato della misurazione sarà, quindi,
C = C x ± U (C x ) ,
(6.43)
tan (δ)| f = tan (δ) ± U [tan (δ)] ,
(6.44)
dove C x e tan (δ) sono dati, rispettivamente, dalla (6.33) e dalla (6.36), mentre f evidenzia la frequenza a cui è stata effettuata la misura. Per determinare il numero cifre
significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate
nel Paragrafo 1.5.5.
6.4.3
Misure su Condensatori di Capacità Elevata
Quando si effettuano misure su condensatori (ad esempio pezzature di cavi) di capacità
elevata in alta tensione, è necessario modificare lo schema originale del ponte di Schering
di Figura 6.4, in quanto la resistenza R3 non è in grado di portare la corrente che circola
in C x . Si deve allora inserire uno shunt, che derivi buona parte della corrente. In pratica,
si realizza lo schema di Figura 6.5, nel quale con s è indicata la resistenza letta su un
filo resistivo (normalmente da 1 Ω), sul quale il cursore si può spostare per ricercare la
condizione di equilibrio del ponte.
La soluzione del circuito è più complessa di quella descritta nel Paragrafo 6.4.2, in
quanto si deve trasformare la maglia B-G-T di Figura 6.5 da triangolo a stella, per ottenere
lo schema equivalente di Figura 6.6. In questo schema, è presente una resistenza r0 in serie
al galvanometro, che non influisce sulla misura, una resistenza r00 in serie al condensatore
C x , che teoricamente va ad influire sul valore di tan (δ) misurato dal ponte, e una resistenza
r000 , che è quella che interessa per determinare il valore di C x . All’atto pratico, dati i
valori delle resistenze in gioco, la situazione è meno critica di quanto teoricamente appaia.
Tralasciando le dimostrazioni, si arriva alle formule risolutive, tenendo conto che il ponte
è stato realizzato in modo tale che sia N + Rv + s = 100 Ω. Per il fattore di perdita, si
ottiene
!
100 − N − s
,
(6.45)
tan (δ) = ωR4 C4 − C N
R3 + s
Piero Malcovati, Misure Elettriche
177
6. Metodi di Ponte
CN
Cx
Rx
B
~
Rv
G
N
s
G
R3
T
R4
C4
Figura 6.5: Ponte di Schering per capacità elevate
CN
Cx
Rx
B
~
r´´
r´
r´´´
G G
R4
C4
T
Figura 6.6: Circuito equivalente del ponte di Schering per capacità elevate
178
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
CN
C0
Cx
Rx
C1
~
C2
G
R4
R3
C4
Figura 6.7: Ponte di Schering con capacità parassite
che senza errori sensibili si può ritenere ancora uguale a
tan (δ) ωR4C4 .
(6.46)
Per quanto riguarda la capacità C x si ha, invece,
Cx =
C4 R4 (100 + R3 )
,
N (R3 + s)
(6.47)
dove C x risulta espressa con la stessa unità di misura con cui è data C N , con tutte le
resistenze espresse in ohm.
6.4.4
Misure in Alta Tensione e Regolazione dei Potenziali
Quando si effettuano misure di capacità o tan (δ) in alta tensione, bisogna prendere qualche precauzione per tenere conto delle capacità parassite in gioco, che sono particolarmente significative a causa dei collegamenti, inevitabilmente lunghi, necessari per la realizzazione del ponte di Schering. Nello schema di Figura 6.7 sono state messe in evidenza
tre capacità parassite, e precisamente:
• la capacità tra il cavo di collegamento tra C x e R3 e la terra (C1 );
• la capacità tra il cavo di collegamento tra C N e R4 e la terra (C2 );
• la capacità tra l’armatura di bassa tensione del condensatore C N e gli anelli di
guardia (C0 ).
Durante la misura, è bene che dette capacità parassite abbiano un valore definito, per
cui è preferibile realizzare i collegamenti con cavetti schermati. La capacità C1 risulta
in parallelo a R3 , mentre C2 e C0 risultano in parallelo a C4 . Quindi, i valori di tan (δ)
dovrebbero essere corretti sommando a C4 i valori di C2 e C0 e poi detraendo il valore
R3C1 . Come si vede l’uso del ponte tende a complicarsi.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
179
6. Metodi di Ponte
CN
C0
Cx
Rx
~
C1
C2
G
R3
~
R4
C4
Figura 6.8: Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacità parassite
(metodo delle terre di Wagner)
Esiste, però, la possibilità di eliminare gli effetti di C1 , C2 e C0 , usando un cavo a
doppia schermatura, ponendo a terra la schermatura esterna e portando al potenziale dello
strumento di zero (G) quella interna. Ciò può essere fatto utilizzando una sorgente di
tensione ausiliaria, regolabile in ampiezza e fase (regolatore di potenziale), come schematizzato in Figura 6.8. Quando lo schermo intermedio è allo stesso potenziale dello
strumento di zero, la corrente assorbita delle capacità parassite non è più fornita del ponte, ma della sorgente di tensione ausiliaria utilizzata. In questo modo, le capacità parassite
non influenzano più la misura. Questa soluzione prende il nome di metodo delle terre di
Wagner. Nei ponti più moderni, la regolazione del potenziale viene fatta automaticamente
mediante un apposito dispositivo.
6.4.5
Ponti Automatici
Il principio di funzionamento di un ponte automatico è illustrato in Figura 6.9. Il condensatore da misurare C x (e quindi eventualmente anche un cavo) è comparato con un
condensatore campione C N , per mezzo di un TA differenziale (descritto nel Capitolo 9) di
elevata precisione. I due avvolgimenti primari N1 e N2 di questo TA costituiscono i rami
inferiori del ponte, rispettivamente, dal lato di C x e di C N . Sul lato secondario del TA, un
avvolgimento (NI ) è collegato allo strumento di zero, mentre gli avvolgimenti ausiliari N4
e N3 servono ad ottenere la condizione di equilibrio del ponte, rispettivamente, per C x e
tan (δ). La corrente che fluisce negli avvolgimenti N3 e N4 può essere variata in modulo e
fase a partire da una replica della corrente che fluisce in N2 , ottenuta tramite un altro TA
(TA).
I due avvolgimenti primari N1 ed N2 , nonché gli avvolgimenti ausiliari N3 e N4 inducono dei flussi magnetici nel nucleo. La combinazione tra questi flussi magnetici dà
180
Piero Malcovati, Misure Elettriche
6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata
Cx
CN
tan(δ)
N2
N1
NI
Strumento
di Zero
N4
TA
α
G1
90°
A
D
N3
β
G2
Microcomputer
Figura 6.9: Ponte automatico per la misura di capacità e fattore di perdita
Piero Malcovati, Misure Elettriche
181
6. Metodi di Ponte
luogo a un flusso di corrente nell’avvolgimento NI , connesso allo strumento di zero. Tale
corrente risulta nulla allorché il ponte è in equilibrio, vale a dire quando i flussi magnetici
prodotti da N1 , N2 , N3 e N4 si compensano in modulo e fase. In base alle informazioni
fornite dallo strumento di zero, per raggiungere la condizione di equilibrio del ponte, il
microcomputer agisce sul numero di spire di N2 e sullo sfasamento α per quanto riguarda
C x , nonché sullo sfasamento β e sul guadagno G2 , per quanto riguarda tan (δ). Il numero
di spire dell’avvolgimento N1 può essere variato dal microcomputer in base all’ordine di
grandezza della capacità C x .
I valori di C x e di tan (δ), nonché della tensione di prova, sono calcolati a partire dai
parametri di regolazione e vengono indicati su un monitor alla fine di ciascun ciclo di
equilibratura. Il metodo descritto, che facilita notevolmente il compito degli operatori, è
anche adatto per prove su cavi, o spezzoni di cavo. Per mezzo della tastiera e del monitor,
l’operatore può programmare l’apparecchio, introducendo i valori della capacità campione C N e l’ordine di grandezza della capacità C x (in modo da ridurre il tempo necessario
per raggiungere l’equilibrio). Normalmente, l’apparecchio viene inserito direttamente per
valori di corrente inferiori a 10 ÷ 15 A, altrimenti si utilizza un TA esterno, il cui rapporto
di trasformazione deve essere fornito in fase di programmazione.
182
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 7
Conversione Analogico-Digitale
7.1
Generalità
La conversione A/D è il processo di trasformazione di una grandezza analogica, continua
nel tempo e in ampiezza, in una grandezza digitale, discreta nel tempo e in ampiezza. Un
convertitore A/D richiede, quindi, due processi di discretizzazione: un processo di discretizzazione nel dominio del tempo, che prende il nome di campionamento, e un processo
di discretizzazione in ampiezza, che prende il nome di quantizzazione. La frequenza fS ,
con cui vengono prelevati i campioni del segnale di ingresso, prende il nome di frequenza
di campionamento, mentre il numero Nbit di bit, con cui viene rappresentata la grandezza
digitale di uscita dopo la quantizzazione, prende il nome di risoluzione ed è un indice
della precisione con cui viene effettuata la conversione A/D stessa. Maggiore è Nbit , più
preciso risulta, infatti, il convertitore A/D.
Esistono numerose tecniche circuitali per effettuare la conversione A/D. In generale,
le diverse tecniche permettono di ottenere un’elevata risoluzione, con bassa frequenza di
campionamento, oppure una bassa risoluzione, con una elevata frequenza di campionamento (il contenuto informativo per unità di tempo resta, grossomodo, costante), come
illustrato in Figura 7.1. A seconda dei casi, quindi, occorre scegliere la tecnica di conversione A/D, che garantisce il miglior compromesso tra frequenza di campionamento e
risoluzione.
7.2
Campionamento
Il campionamento trasforma una grandezza variabile nel tempo in modo continuo, in una
grandezza definita solo in ben determinati istanti di tempo, come illustrato in Figura 7.2.
Nel campionamento, un segnale analogico, che varia in funzione del tempo, viene moltiplicato per una sequenza di segnali di tipo impulsivo, di ampiezza costante (ad esempio,
unitaria), che si ripetono con frequenza costante fS . Il periodo T S = 1/ fS è detto intervallo di campionamento. Il risultato che si ottiene dal prodotto è rappresentato, ovviamente,
da una serie di impulsi, modulati in ampiezza. Dal punto di vista matematico, il segnale
Piero Malcovati, Misure Elettriche
183
7. Conversione Analogico-Digitale
Campionamento
100 kHz
10 kHz
1 kHz
100 Hz
8 bit
12 bit
16 bit
Risoluzione
Figura 7.1: Compromesso tra risoluzione e frequenza di campionamento
campionato x∗ (t) è dato da
x (t) =
∗
∞
X
x (t) δ (t − iT S ) ,
(7.1)
i=0
dove δ (t) è l’impulso di Dirac. Una sequenza infinita di impulsi di Dirac, essendo un
segnale periodico di frequenza fS , può essere sviluppato in serie di Fourier e, quindi,
∞
X
δ (t − iT S ) =
i=0
∞
1 X ji2π fS t
e
.
T S i=0
(7.2)
La trasformata di Laplace (Paragrafo 3.2) di una sequenza infinita di impulsi di Dirac
risulta, quindi,
 ∞

∞
∞
 X
 X
1 X
−isT S


L 
δ (s − ji2π fS ) .
(7.3)
δ (t − iT S ) =
e
=
T S i=−∞
i=−∞
i=−∞
Pertanto, la trasformata di Laplace X ∗ (s) di x∗ (t) risulta
X (s) = L [x (t)] =
∗
∗
∞
X
i=−∞
−isT S
x (iT S ) e
=
∞
X
X (s − ji2π fS ) ,
(7.4)
i=−∞
dove X (s) è la trasformata di Laplace di x (t). Dalla (7.4) si evince che lo spettro del
segnale campionato è costituito dalla sovrapposizione di infinite repliche dello spettro del
segnale tempo-continuo, come illustrato in Figura 7.3. Vale, quindi, il teorema di Shannon
o del campionamento, secondo il quale il campionamento di un segnale tempo-continuo,
184
Piero Malcovati, Misure Elettriche
X(t)
7.2. Campionamento
Segnale Analogico
Tempo Continuo
Impulsi di Campionamento
TS
XS(t)
S(t)
t
t
Segnale Analogico
Campionato
t
Figura 7.2: Campionamento ideale
Piero Malcovati, Misure Elettriche
185
7. Conversione Analogico-Digitale
Spettro del Segnale Tempo-Continuo
BS
f
fS
Spettro del Segnale Campionato
BS
fS
2 fS
3 fS
4 fS
5 fS
f
Figura 7.3: Spettro del segnale campionato
Spettro del Segnale Tempo-Continuo
f
BS fS
Spettro del Segnale Campionato
BS fS
2 fS
3 fS
4 fS
5 fS
f
Figura 7.4: Fenomeno dell’aliasing
con banda finita BS , non porta ad alcuna perdita di informazione, purché si utilizzi una
frequenza di campionamento fS ≥ 2BS . La massima banda di un segnale, che può essere
campionato a frequenza fS , senza perdita di informazione, BS = fS /2, prende il nome di
frequenza di Nyquist.
Qualora si campioni a frequenza fS un segnale con componenti spettrali a frequenza
f > fS /2, insorge il cosiddetto fenomeno di “aliasing”, per cui le componenti spettrali a
frequenza f > fS /2 vengono ripiegate nella banda da 0 a fS /2, andandosi a sovrapporre
alle componenti spettrali già presenti in questa banda, come illustrato in Figura 7.4. In
sostanza, le componenti spettrali del segnale tempo-continuo a frequenza f = i fS ± f0 ,
con f0 < fS /2, per effetto del campionamento, si sovrappongono alle componenti spettrali
a frequenza f0 , risultando indistinguibili e portando a un’inevitabile perdita di informazione. Per ovviare a questo inconveniente, generalmente, prima del campionamento un
segnale tempo-continuo viene filtrato, in modo da rimuovere tutte le componenti spettrali a frequenza f > fS /2. Il filtro utilizzato a questo scopo prende il nome di filtro
anti-aliasing.
186
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.3. Quantizzazione
VU
S1
Vi
S2
VU
C
TS
t
Figura 7.5: Principio di funzionamento del sample-and-hold
In pratica, non è possibile generare una funzione di Dirac, ma solo impulsi di durata
finita. Pertanto, normalmente, si usano sistemi di campionamento, detti “sample-andhold”, il cui principio di funzionamento è illustrato in Figura 7.5. In questo circuito, il
condensatore C viene caricato al valore del segnale di ingresso Vi , tramite l’interruttore S 1 (sample). Dopo un intervallo di tempo pari a T S /2, l’interruttore S 1 viene aperto
e il condensatore C mantiene (hold), per un tempo pari ancora a T S /2, il valore della
tensione di ingresso, presente all’apertura dell’interruttore S 1 . Prima di richiudere l’interruttore S 1 , per passare al campione successivo, il condensatore C viene scaricato tramite
l’interruttore S 2 .
7.3
Quantizzazione
Il processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, a differenza del campionamento, porta, inevitabilmente, ad una perdita di informazione. Il segnale quantizzato,
infatti, è, per definizione, rappresentato da un numero finito di bit (Nbit ), che identificano
2Nbit intervalli di quantizzazione δQ , ciascuno di ampiezza data da
δQ =
Piero Malcovati, Misure Elettriche
∆
,
2Nbit
(7.5)
187
Nout
7. Conversione Analogico-Digitale
2N – 1
i
0
Δ
Vin
Intervallo di Quantizzazione (δ Q)
Figura 7.6: Quantizzazione di un segnale analogico
dove ∆ denota l’ampiezza massima del segnale o fondo scala (tipicamente, il massimo segnale va da −∆/2 a +∆/2), come illustrato in Figura 7.6. Pertanto, tutti i livelli analogici
compresi in un particolare intervallo δQ , dopo la quantizzazione, risultano indistinguibili,
provocando la perdita di informazione. La differenza tra il segnale di ingresso e il segnale
quantizzato prende il nome di errore di quantizzazione Q . L’entità dell’errore di quantizzazione risulta tanto minore, quanto maggiore è la risoluzione del quantizzatore, definita
dal numero Nbit di bit in uscita. In particolare, si avrà −δQ /2 ≤ Q ≤ +δQ /2.
L’errore di quantizzazione può essere considerato una variabile casuale, sotto le seguenti ipotesi:
• l’errore di quantizzazione, entro ciascun intervallo di quantizzazione, ha funzione
densità di probabilità uniforme;
• tutti gli intervalli di quantizzazione hanno la medesima ampiezza, sufficientemente
ridotta;
• l’errore di quantizzazione non è correlato al segnale di ingresso.
Queste ipotesi, sono, generalmente, soddisfatte nella pratica, considerando che i segnali analogici sono, normalmente, affetti da altre forme di rumore elettronico, con andamento casuale. Sotto queste ipotesi, la funzione densità di probabilità dell’errore di
quantizzazione risulta

1



 f Q = , per − δQ /2 ≤ Q ≤ +δQ /2
.
(7.6)
δQ



 f Q = 0, altrimenti
L’incertezza dovuta all’errore di quantizzazione, data dalla deviazione standard di Q ,
utilizzando la (1.33), risulta, quindi,
δQ
u Q = √ .
12
188
(7.7)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.4. Blocchi Base
È possibile, a questo punto, definire il rapporto segnale-rumore (SNR), dato dal rapporto
tra il valore efficace di un segnale sinusoidale, con ampiezza pari a ∆/2, e l’incertezza
dovuta all’errore di quantizzazione,
√
√
∆ 3
2NBit 3
∆
(7.8)
SNR = √
√ = √ .
=
2 2u Q
δQ 2
2
Esprimendo la (7.8) in decibel, si ottiene
SNR|dB = 6.02NBit + 1.76.
(7.9)
Dalla (7.8) si evince che il SNR e la risoluzione sono legati e, quindi, rappresentano due
parametri alternativi per esprimere la precisione di un convertitore A/D. Qualora, oltre
all’errore di quantizzazione, vi siano altre fonti di incertezza nella conversione A/D, come, per esempio, altre sorgenti di rumore elettronico, risulta conveniente esprimere la
precisione effettiva del convertitore A/D tramite il SNR, introducendo, però, a denominatore della (7.8), l’incertezza composta, ottenuta combinando tutti i diversi contributi con
la (1.39). Dato il SNR cosı̀ ottenuto, si può definire la risoluzione effettiva, ovvero, il
numero di bit effettivi (ENOB) del convertitore A/D, come
ENOB =
SNR|dB
− 1.76.
6.02
(7.10)
Il ENOB rappresenta la risoluzione di un convertitore A/D ideale, affetto solo dall’incertezza dovuta all’errore di quantizzazione, avente lo stesso SNR del convertitore A/D
considerato.
7.4
Blocchi Base
Prima di considerare alcune tecniche di conversione A/D, particolarmente adatte per gli
strumenti di misura, è utile esaminare alcuni blocchi base di uso comune nei convertitori
A/D. La maggior parte delle tecniche di conversione A/D si basano, infatti, su diverse
combinazioni di questi blocchi base elementari.
7.4.1
Comparatore
In ogni convertitore A/D è presente almeno un comparatore. Per illustrare, a livello qualitativo, il principio di funzionamento di un comparatore, si supponga che la grandezza di
ingresso abbia l’andamento descritto nel diagramma di Figura 7.7. Un comparatore riceve
in ingresso un segnale analogico Vi (t) e fornisce in uscita un segnale digitale a singolo bit
VU (t) di livello logico “0”, se Vi (t) < VT , oppure di livello logico “1”, se Vi (t) ≥ VT . La
tensione di riferimento VT prende il nome di tensione di soglia. Il comparatore costituisce,
quindi, un quantizzatore con risoluzione di un bit.
L’incertezza legata all’operazione di comparazione dipende dalla sensibilità del comparatore, cioè, dalla minima differenza tra Vi (t) e VT , che determina la commutazione del
Piero Malcovati, Misure Elettriche
189
Vi(t)
7. Conversione Analogico-Digitale
VT
VU (t)
t
1
0
t
Figura 7.7: Principio di funzionamento di un comparatore
livello del segnale di uscita, dall’offset del comparatore, nonché dalla rapidità di risposta
del comparatore stesso. La tecnologia attuale impiega nei comparatori circuiti amplificatori ad alto guadagno, con ingresso differenziale, sotto forma di circuiti integrati e, quindi,
molto stabili e sensibili, con buona velocità di risposta.
7.4.2
Contatore
Nella conversione A/D, hanno un ruolo importante i sistemi di conteggio degli impulsi
(contatori di impulsi). Per questi sistemi si ricorre, solitamente, all’uso di catene di flipflop (FF), collegati in cascata. Per comprendere, qualitativamente, il funzionamento di
un contatore di impulsi, si può fare riferimento allo schema di Figura 7.8, nella quale, per
semplicità, vengono considerati solo tre flip-flop (contatore a 3 bit).
Il primo impulso, inviato in ingresso al primo flip-flop (IN), provoca la transizione di
Q1 , che passa dal livello logico “0” al livello logico “1”, mentre Q2 e Q3 restano invariati.
Quando un secondo impulso viene applicato in ingresso, Q1 passa dal livello logico “1” al
livello logico “0”, Q2 passa dal livello logico “0” al livello logico “1” e Q3 resta invariato.
Per ogni impulso successivo, applicato in ingresso, il primo flip-flop cambia la sua uscita,
mentre gli altri flip-flop cambiano la loro uscita solo in corrispondenza di una transizione
“1”-“0” dell’uscita del flip-flop precedente. Si può osservare che, in ragione del meccanismo descritto, la catena di flip-flop è in grado di contare fino a 23 = 8 impulsi e che la
parola digitale Q3 Q2 Q1 rappresenta la codifica binaria del numero di impulsi ricevuti.
190
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.4. Blocchi Base
D
IN
FF
Ck
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
Q
Reset
Q1
Q2
Q3
0
IN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q1
Q2
Q3
Figura 7.8: Contatore di impulsi asincrono
Piero Malcovati, Misure Elettriche
191
7. Conversione Analogico-Digitale
Più generalmente, un contatore con una cascata di N flip-flop può contare fino a 2N
impulsi. Un gruppo di flip-flop, collegati funzionalmente come in Figura 7.8, costituisce
un modulo del contatore. È evidente che più moduli possono essere posti in cascata,
per incrementare il fondo scala del contatore stesso. Se due moduli con N e M flipflop, rispettivamente, vengono posti in cascata, il contatore risultante può contare 2N+M
impulsi.
Il contatore di Figura 7.8 prende il nome di contatore asincrono, in quanto ciascun
flip-flop, a parte il primo, riceve come ingresso di clock (Ck) il bit di uscita negato del flipflop precedente. Conseguentemente, in presenza di ritardi di propagazione nei flip-flop,
le transizioni dei diversi bit di uscita Qi non avverranno contemporaneamente. Siccome
questi ritardi, soprattutto quando si devono contare impulsi a frequenza elevata, possono
portare a problemi di sincronizzazione, spesso, si ricorre al contatore sincrono, illustrato
in Figura 7.9, in cui gli impulsi da contare sono inviati, contemporaneamente, a tutti i flipflop, provocando, cosı̀, la commutazione contemporanea di tutti i bit di uscita. Dal punto
di vista funzionale, il contatore sincrono è del tutto equivalente al contatore asincrono.
Nel contatore sincrono sono, però, necessarie delle porte logiche per interconnettere tra
loro i flip-flop.
Nei contatori è, generalmente, previsto un dispositivo di azzeramento (Reset), che
consente, automaticamente o manualmente, di riportare ogni modulo alle condizioni iniziali.
7.4.3
Convertitore D/A
Per la realizzazione di convertitori A/D, sono, frequentemente, necessari dei convertitori
Digitale-Analogico (D/A). La conversione D/A rappresenta, ovviamente, l’operazione
inversa della conversione A/D. Per effettuare la conversione D/A di una parola digitale
D, rappresentata con Nbit bit (D = bNbit −1 · · · b0 ), occorre assegnare, a ciascuno dei 2Nbit
possibili valori di D, un valore analogico di tensione (VU ) o di corrente (IU ), secondo la
relazione
Nbit −1
Vr X
bi 2i ,
(7.11)
VU = N
2 bit i=0
oppure
Nbit −1
Ir X
IU = N
bi 2i ,
bit
2
i=0
(7.12)
dove Vr e Ir rappresentano, rispettivamente, i valori di fondo scala di tensione o di corrente.
Un esempio di convertitore D/A è illustrato nello schema a blocchi di Figura 7.10, nel
quale si riconoscono:
• una sorgente di tensione continua di riferimento Vr , fortemente stabilizzata;
• Nbit interruttori analogici;
• Nbit resistori di precisione, con valori pesati secondo le potenze di 2;
• un amplificatore operazionale, configurato come sommatore.
192
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.4. Blocchi Base
D
FF
Ck
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
D
Q
Ck
FF
nQ
Q
IN
Reset
Q1
Q2
Q3
0
IN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Q1
Q2
Q3
Figura 7.9: Contatore di impulsi sincrono
Piero Malcovati, Misure Elettriche
193
7. Conversione Analogico-Digitale
IN
Registro
20 R
R
2–1 R
2–2 R
Vr
VU
2–(N – 1) R
Figura 7.10: Convertitore D/A
Gli interruttori analogici devono essere comandati dai bit bi della parola digitale da convertire. Per effetto della massa virtuale dell’amplificatore operazionale, in ciascuno degli
Nbit resistori di precisione, fluisce una corrente
Ii =
Vr
,
2−i R
(7.13)
se il rispettivo interruttore è chiuso, oppure Ii = 0, se il rispettivo interruttore è aperto, con
i = 0, · · · , Nbit − 1. Sulla resistenza R, connessa in retroazione intorno all’amplificatore
operazionale, fluisce una corrente data dalla somma delle correnti Ii e, quindi, la tensione
di uscita del circuito VU , risulta data dalla (7.11).
7.5
Convertitori A/D
Per realizzare un convertitore A/D con Nbit bit di risoluzione, occorre in linea di principio,
confrontare il segnale di ingresso con 2Nbit valori di riferimento, uno per ogni intervallo di
quantizzazione. Questi confronti possono essere effettuati in parallelo, tutti contemporaneamente, o in serie, uno dopo l’altro, o, ancora, utilizzando combinazioni serie-parallelo.
Le diverse tecniche di conversione A/D si differenziano proprio in base al metodo utilizzato per effettuare i confronti necessari, che, tra l’altro, determina anche la risoluzione raggiungibile e la frequenza di campionamento utilizzabile, secondo l’andamento riportato
in Figura 7.1.
194
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.5. Convertitori A/D
7.5.1
Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare è illustrato
in Figura 7.11. La tensione di ingresso Vi viene confrontata, tramite un comparatore, con
una tensione a dente di sega VS = kt. La tensione di uscita del comparatore VC si trova
al livello logico “1”, fintanto che Vi > VS , mentre passa al livello logico “0”, non appena
Vi ≤ VS . Un contatore di impulsi determina il numero di impulsi di clock, di periodo T Ck ,
contenuti nell’intervallo di tempo ∆T , in cui la tensione VC si trova al livello logico “1”,
fornendo in uscita una parola digitale D a Nbit bit, data da
D=
Vi
∆T
=
.
T Ck kT Ck
(7.14)
La risoluzione del convertitore A/D è, essenzialmente, determinata dalla pendenza del
dente di sega k e dal periodo T Ck del clock utilizzato. In particolare, per aumentare la
risoluzione, occorre ridurre, il più possibile, sia k sia T Ck . Supponendo di utilizzare la
massima frequenza di clock possibile (T Ck minimo), quindi, il tempo massimo necessario
per effettuare una conversione A/D, dato da
∆T max =
Vi,max
= 2Nbit T Ck ,
k
(7.15)
cresce al crescere della risoluzione richiesta (k diminuisce).
La linearità e la precisione della conversione A/D dipendono dalla linearità del dente
di sega e dalla costanza del periodo del clock. Nella maggioranza dei casi, la pendenza
della rampa, prodotta dal generatore di dente di sega, rappresenta il contributo dominante
all’incertezza del convertitore A/D (oltre, ovviamente, all’errore di quantizzazione), in
quanto essa dipende, tipicamente, da una costante di tempo τ = RC, difficile da controllare
con precisione.
In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione
A/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.
7.5.2
Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a doppia rampa lineare è illustrato in Figura 7.12. Questo convertitore A/D è basato sullo stesso principio di funzionamento del
convertitore A/D a dente di sega, ma è in grado di raggiungere prestazioni nettamente migliori, in quanto il risultato della conversione A/D viene reso indipendente dalla costante
di tempo τ = RC, utilizzata per generare la rampa lineare.
Il ciclo di conversione di un convertitore A/D a doppia rampa lineare è diviso in due
fasi distinte. In una prima fase, tramite un integratore, viene generata una rampa, con
pendenza proporzionale al segnale di ingresso, data da
VR =
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Vi
t = k1 t.
RC
(7.16)
195
7. Conversione Analogico-Digitale
Vi
VC
Generatore di
Dente di Sega
VS
Ck Contatore
R
D
Comparatore
Clock
Reset
VS
A Vi
VC
t
ΔT
TCk
Ck
D
t
Figura 7.11: Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare
196
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.5. Convertitori A/D
S2
Vi
–Vr
C
R
Comparatore
Reset
S1
Switch
Logica di EOC
Controllo
VR
Enable
Clock
Vm1
Segnale di Ingresso Vi
Reset
R
Enable
Ck Contatore
D
Segnale di Riferimento Vr
Vm2
k2
k1
T1
ΔT1
t
ΔT2
TCk
Dmax
D1
t
D2
Figura 7.12: Convertitore A/D a doppia rampa
Piero Malcovati, Misure Elettriche
197
7. Conversione Analogico-Digitale
All’inizio della seconda fase, dopo un intervallo di tempo prefissato T 1 , l’interruttore
S 1 viene commutato, connettendo l’ingresso dell’integratore alla tensione −Vr . L’uscita
dell’integratore, che nel frattempo ha raggiunto il valore
Vi
T 1 = k1 T 1 ,
RC
(7.17)
Vr
t = Vm − k2 t.
RC
(7.18)
VR,max = Vm =
inizia, quindi, a scendere ed è data da
VR = Vm −
Contemporaneamente, viene abilitato, tramite il segnale Enable, un contatore di impulsi,
pilotato da un opportuno segnale di clock (Clock), di periodo T Ck . Quando la tensione VR
raggiunge lo zero, il comparatore cambia stato ed il conteggio viene fermato. L’intervallo
di tempo, necessario a scaricare completamente la capacità C, risulta pari a
Vm k1 T 1
=
=
∆T =
k2
k2
Vi
T
RC 1
Vr
RC
=
Vi
T1.
Vr
(7.19)
Dalla (7.19), si può notare come il valore di ∆T sia indipendente dalla costante di tempo
τ = RC. Scegliendo T 1 = 2Nbit T Ck , il codice digitale, che si ottiene in uscita al convertitore
A/D, risulta
D=
Vi T 1
Vi
∆T
=
= 2Nbit .
T Ck Vr T Ck Vr
(7.20)
La precisione del convertitore A/D, quindi, in questo caso, dipende solo dalla precisione con cui si realizza la tensione di riferimento Vr , mentre la dipendenza dal periodo
del clock T Ck e dalla costante di tempo τ = RC viene eliminata. Questo miglioramento
della precisione del convertitore A/D viene ottenuto a spese di un periodo di conversione
più lungo, che non in un convertitore A/D a dente di sega. Il tempo necessario per ottenere
il codice digitale in uscita risulta, infatti, pari a
∆T max = 2Nbit T Ck + 2Nbit T Ck = 2Nbit +1 T Ck .
(7.21)
L’interruttore S 2 , controllato dal segnale Reset, permette di azzerare l’uscita dell’integratore, prima di iniziare un ciclo di conversione. Contestualmente, viene azzerato anche
il contatore. Un’opportuna logica di controllo si occupa di generare tutti i segnali necessari al funzionamento del convertitore A/D (Reset, Enable, Switch). Il segnale EOC,
fornito dal contatore alla logica di controllo, viene utilizzato per identificate l’istante di
tempo T 1 .
Anche in questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione A/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.
198
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.5. Convertitori A/D
Ck
Reset
Vi
–
Q
U
∫
+
Integratore
Reset
Latch
Contatore
Comparatore
D
Nbit
+Vr
Vf
–Vr
Figura 7.13: Convertitore A/D incrementale
7.5.3
Convertitore A/D Incrementale
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D incrementale è illustrato in Figura 7.13. Gli
elementi costitutivi di questo tipo di convertitore A/D sono gli stessi presenti in un convertitore a doppia rampa lineare, ovvero, un integratore, un comparatore e un contatore.
Il principio di funzionamento è, tuttavia, diverso. In un convertitore A/D incrementale, la
grandezza in uscita all’integratore U (kT Ck ), al tempo kT Ck , dove T Ck = 1/ fCk è il periodo
del segnale di clock Ck, è data da


U (0) = Vi



 U (kT ) = U [(k − 1) T ] + hV − (−1)Q[(k−1)TCk ]+1 V i
,
r
Ck


Ck h
ii


 U 2Nbit T Ck = U 2Nbit − 1 T Ck − (−1)Q[(2Nbit −1)TCk ]+1 Vr
(7.22)
dove Vi è la tensione di ingresso e Q (kT Ck ) è il bit di uscita del comparatore, che può
assumere i valori “0” o “1”. In pratica, in ogni periodo di clock (indice k), il comparatore
verifica il segno del segnale di uscita dell’integratore U (kT Ck ), determinando se al colpo
di clock successivo la tensione di riferimento Vr deve essere sommata, per U (kT Ck ) < 0,
o sottratta, per U (kT Ck ) ≥ 0, al segnale di ingresso Vi . Durante il primo periodo di clock,
viene integrato solo il segnale di ingresso, mentre, durante l’ultimo periodo di clock, viene
integrato solo il segnale
Nbit
V f 2Nbit T Ck = (−1)Q[(2 −1)TCk ]+1 Vr .
(7.23)
Trattandosi di un anello di reazione negativa, con elevato guadagno per le basse frequenze,
per via dell’integratore, il segnale V f (kT Ck ) tende ad uguagliare, in media, il segnale di
ingresso Vi . Pertanto, il contatore di impulsi, accumulando il segnale digitale Q (kT Ck ),
legato a V f (kT Ck ), a meno della tensione Vr , dopo 2Nbit periodi di clock, fornisce in uscita
Piero Malcovati, Misure Elettriche
199
7. Conversione Analogico-Digitale
ΦS
Comparatore
Vi
S&H
Registro ad
Approssimazioni
Successive
+
–
Vr
ΦCk
Nbit
D
DAC
Figura 7.14: Convertitore A/D ad approssimazioni successive
una parola digitale D, data da
D=
bit −1
2NX
k=0
Q (kT Ck ) = 2Nbit Q = 2Nbit
Vf
Vi
= 2Nbit ,
Vr
Vr
(7.24)
dove Q denota il valore medio di Q (kT Ck ), mentre V f è il valore medio di V f (kT Ck ).
Ovviamente, il tempo di conversione risulta pari a 2Nbit T Ck . Il segnale Reset permette
di azzerare l’integratore e il contatore prima di ogni conversione. La precisione del convertitore A/D, in questo caso, dipende solo dalla precisione con cui si realizza la tensione
di riferimento Vr .
Anche in questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione A/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.
7.5.4
Convertitore A/D ad Approssimazioni Successive
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D ad approssimazioni successive è illustrato
in Figura 7.14. Il circuito è costituito da un sample-and-hold (S&H), un comparatore,
un convertitore D/A (DAC) e un blocco digitale, denominato registro ad approssimazioni successive (SAR). Il principio di funzionamento di questo convertitore A/D è basato
sul metodo delle bisezioni, che permette di determinare la parola digitale a Nbit bit, che
rappresenta il segnale di ingresso, in Nbit periodi di clock.
All’inizio di ogni ciclo di conversione, il segnale di ingresso Vi viene campionato dal
S&H. Successivamente, come illustrato in Figura 7.15, il segnale di ingresso viene confrontato con la tensione analogica fornita dal DAC, che corrisponde al bit più significativo.
Se il segnale di ingresso è di ampiezza inferiore rispetto al segnale fornito dal DAC, significa che il bit più significativo della parola digitale di uscita D deve essere posto a “0”,
altrimenti, significa che esso deve essere posto a “1”. Una volta stabilito il valore del
200
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.5. Convertitori A/D
Registro ad Approssimazioni Successive
MSB
LSB
Conferma?
CK 1
0
0
0
0
0
0
0
...
0
CK 2
1
0
0
0
0
0
0
...
0
S
Ipotizzato
CK 3
1
1
0
0
0
0
0
...
0
S
Confermato
CK 4
1
1
1
0
0
0
0
...
0
N
CK 5
1
1
0
1
0
0
0
...
0
S
CK 6
1
1
0
1
1
0
0
...
0
N
CK 7
1
1
0
1
0
1
0
...
0
?
Figura 7.15: Principio di funzionamento di un convertitore A/D ad approssimazioni
successive
bit più significativo, esso viene memorizzato dal SAR e mantenuto. Si passa, quindi, al
bit successivo, confrontando la tensione fornita dal DAC con il segnale di ingresso. In
base alla decisione del comparatore, si stabilisce se il bit in questione deve essere “0” o
“1”, memorizzando poi il risultato nel SAR. Si procede in questo modo per Nbit periodi di
clock, fino a che non vengono determinati tutti i bit. Ovviamente, il tempo di conversione
risulta pari a Nbit T Ck .
I convertitori A/D ad approssimazioni successive, a parità di frequenza di clock, sono
notevolmente più veloci, rispetto ai convertitori A/D a rampa lineare o incrementali. Tuttavia, essi presentano un’incertezza maggiore, legata alla precisione con cui si riescono
a realizzare le tensioni di uscita del DAC. In questo caso, infatti, invece di una sola tensione di riferimento Vr , devono essere generate Nbit tensioni di riferimento, che devono
essere in rapporto tra loro precisamente come le potenze di 2. Con i convertitori A/D ad
approssimazioni successive è, pertanto, molto difficile superare i 12 bit di precisione.
In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione
A/D a Nbit bit, sono effettuati utilizzando una combinazione serie-parallelo.
7.5.5
Convertitore A/D Flash
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D flash è illustrato in Figura 7.16. Il segnale
di ingresso, in un convertitore A/D flash a Nbit bit, viene confrontato con 2Nbit tensioni di
riferimento, tipicamente generate con una stringa resistiva, realizzata con 2Nbit resistori Rd ,
tramite 2Nbit − 1 comparatori. Le tensioni di riferimento corrispondono ai limiti dei singoli
intervalli di quantizzazione. In uscita ai comparatori, si ottengono 2Nbit − 1 segnali digitali
a singolo bit bi . Tutti i bi corrispondenti a comparatori, la cui tensione di riferimento è
Piero Malcovati, Misure Elettriche
201
7. Conversione Analogico-Digitale
Vr
Vi
Rd /2
Rd
+
bN
bit – 1
bN
bit – 2
bN
bit – 3
Rd
+
+
Rd
+
b1
Rd/2
+
Convertitore da Codice Termometrico a Codice Binario
-
D
Nbit
b0
Figura 7.16: Convertitore A/D flash
202
Piero Malcovati, Misure Elettriche
7.5. Convertitori A/D
1
Vi
ADC
+
Residuo
2
k
ADC
+
Residuo
Nbit,k
Nbit,2
Nbit,1
Campione n
ADC
+
Residuo
Residuo
Campione (n – 1)
Campione (n – k – 1)
Logica di Ricombinazione
Nbit
D
Figura 7.17: Convertitore A/D pipeline
inferiore al segnale di ingresso, saranno a “0”, mentre gli altri saranno a “1”. Si ottiene,
quindi, una rappresentazione digitale del segnale di ingresso, secondo un codice detto termometrico (per l’ovvia analogia con un termometro a mercurio). Il codice termometrico
può poi essere convertito, tramite un semplice circuito logico, in un codice binario, in
modo da ottenere la parola digitale di uscita D.
I convertitori A/D flash possono raggiungere velocità di conversione molto elevate, in
quanto richiedono un solo periodo di clock per fornire la parola digitale di uscita. Tuttavia,
per via della presenza di un numero elevato di componenti (2Nbit resistori Rd e 2Nbit − 1
comparatori), ciascuno con le sue tolleranze e non-idealità, l’incertezza associata a questi
convertitori risulta elevata. Inoltre, si può notare come la complessità del circuito cresca
esponenzialmente con la risoluzione. Pertanto, la risoluzione massima raggiungibile con
convertitori A/D flash risulta dell’ordine di 6 bit.
In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione
A/D a Nbit bit, sono effettuati in parallelo.
7.5.6
Convertitore A/D Pipeline
Lo schema a blocchi di un convertitore A/D pipeline è illustrato in Figura 7.17. Il convertitore A/D pipeline sfrutta il principio della catena di montaggio. In pratica, il segnale di
ingresso Vi viene convertito, in passi successivi, da k stadi posti in cascata. Mentre il primo stadio elabora il campione corrente del segnale di ingresso, il secondo stadio elabora
ulteriormente il campione, già elaborato dal primo stadio nel periodo di clock precedente,
e cosı̀ via, fino all’ultimo stadio. Ciascuno degli stadi produce un sottoinsieme Nbit,k degli
Nbit bit, che compongono la parola digitale di uscita D. Il convertitore pipeline, pertanto,
Piero Malcovati, Misure Elettriche
203
7. Conversione Analogico-Digitale
a parte una latenza iniziale di k periodi di clock (kT Ck ), fornisce in uscita una nuova parola
digitale per ogni periodo di clock (T Ck ), come il convertitore flash.
Ciascuno dei k stadi del convertitore A/D pipeline converte in digitale il proprio segnale di ingresso, con una data risoluzione (Nbit,k ), e fornisce in uscita la corrispondente
parola digitale a Nbit,k bit, nonché un residuo, che dovrà essere poi convertito dallo stadio successivo. Il residuo si ottiene moltiplicando per 2Nbit,k la differenza tra il segnale di
ingresso dello stadio e il segnale di uscita a Nbit,k bit, convertito in analogico da un convertitore D/A. Il residuo è, quindi, sostanzialmente, l’errore di quantizzazione introdotto da
ciascuno stadio nella conversione A/D a Nbit,k bit. I bit ottenuti in uscita dai diversi stadi
vengono poi riallineati tramite opportuni registri, in modo da costituire la parola digitale
di uscita D, corrispondente a ogni campione del segnale di ingresso. La risoluzione di
un convertitore pipeline risulta limitata dall’accuratezza con cui si riescono a realizzare
i fattori 2Nbit,k , necessari per generare il residuo, nonché dalla precisione dei convertitori
A/D e D/A, presenti nei singoli stadi. La massima risoluzione ottenibile si aggira intorno
a 12 bit.
In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversione
A/D a Nbit bit, sono effettuati utilizzando una combinazione serie-parallelo.
204
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 8
Strumenti Digitali
8.1
Generalità
Negli strumenti indicatori digitali, la lettura della grandezza da misurare è espressa in forma numerica, attraverso un certo numero di cifre (digit). Quanto sia più comodo leggere
direttamente il valore cercato, invece di ricavarlo dalla posizione di un indice su una scala,
come nel caso degli strumenti analogici, è sensazione comunemente acquisita.
L’indicazione sotto forma numerica permette sia di aumentare considerevolmente la
velocità di lettura, sia di eliminare l’errore umano nella valutazione del dato. Inoltre, con
gli strumenti digitali è possibile pilotare direttamente sistemi di memorizzazione, di stampa, di registrazione magnetica, o interfacciarsi direttamente con un personal computer, in
modo da realizzare sistemi di misura complessi.
Lo schema a blocchi di un generico strumento digitale è illustrato in Figura 8.1. Esso
è costituito dai seguenti blocchi funzionali:
• Condizionamento Analogico: elabora in modo analogico i segnali di ingresso, in
modo da renderli compatibili con i Convertitori A/D; può contenere amplificatori, filtri, convertitori corrente/tensione, convertitori da corrente alternata a corrente
continua;
• Convertitori A/D: convertono i segnali analogici in segnali digitali (Capitolo 7);
• Microprocessore: elabora l’informazione digitale, in modo da fornire l’informazione numerica corretta, con la opportuna unità di misura;
• Base dei Tempi (Clock): fornisce la corretta temporizzazione al Microprocessore e
ai Convertitori A/D;
• Memoria: memorizza i dati;
• Output: converte i risultati della misurazione in un formato leggibile per l’utente;
può essere un display numerico o un monitor.
Il numero dei blocchi e la loro interconnessione varia con la funzione dello strumento e
con la sua classe di precisione.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
205
8. Strumenti Digitali
Memoria
Ingressi
Analogici
Riferimento
Condizionamento
Analogico
Convertitori
A/D
Microprocessore
Output
Base dei Tempi
(Clock)
Figura 8.1: Schema a blocchi di un generico strumento digitale
8.2
Multimetri
I multimetri sono strumenti che, sfruttando i vantaggi della tecnologia digitale, permettono di misurare diverse grandezze, sia in corrente continua, sia in corrente alternata (tipicamente, tensione, corrente e resistenza). Essi sono realizzati secondo lo schema a blocchi
di Figura 8.1 e possono avere diverse forme e dimensioni, a seconda dell’uso a cui sono
destinati, come illustrato in Figura 8.2 (multimetro portatile “palmare”) e in in Figura 8.3
(multimetro da banco).
Per funzionare come voltmetro, il multimetro utilizza direttamente il convertitore A/D,
per tradurre la tensione di ingresso, eventualmente amplificata o attenuata dai circuiti analogici di condizionamento, in forma digitale. Quando opera come amperometro, invece,
il multimetro sfrutta un convertitore corrente/tensione, per trasformare la corrente di ingresso in una tensione di ampiezza adeguata per essere convertita in forma digitale dal
convertitore A/D. Il convertitore corrente/tensione può essere una semplice resistenza
(shunt) oppure un circuito più complesso, basato su amplificatori operazionali.
Per funzionare come ohmmetro, il multimetro dispone di una sorgente interna di corrente costante e tarata, che viene fatta fluire nel resistore da misurare, producendo, all’ingresso del convertitore A/D, una caduta di tensione proporzionale al valore di resistenza.
Il valore numerico in uscita al convertitore A/D viene elaborato dal microprocessore, in
modo da determinare il corretto valore di resistenza. Il multimetro, in questo caso, misura
la resistenza tramite il metodo voltamperometrico (Paragrafo 5.2.3).
Per le misure in corrente alternata, i multimetri più semplici dispongono di un circuito
raddrizzatore (eventualmente a valle del convertitore corrente/tensione, per le misure di
corrente) e misurano, tramite il convertitore A/D, il valore medio sul semiperiodo della
tensione (Paragrafo 5.3). Il dato di misura, in questo caso, viene espresso in valore efficace
moltiplicandolo automaticamente per il fattore di forma 1.11, supponendo la grandezza
sinusoidale. Il risultato è, perciò, corretto, solo se la forma d’onda della tensione o della
corrente non presenta distorsioni.
206
Piero Malcovati, Misure Elettriche
8.2. Multimetri
Figura 8.2: Multimetro digitale “palmare”
Figura 8.3: Multimetro digitale da banco
Piero Malcovati, Misure Elettriche
207
v(t)
8. Strumenti Digitali
Vn
V1V2
t
Figura 8.4: Calcolo del valore efficace nel dominio digitale
I multimetri più moderni, invece, calcolano il valore efficace della grandezza da misurare direttamente nel dominio digitale. Con il convertitore A/D si effettua il campionamento della forma d’onda di tensione (eventualmente ottenuta dal convertitore corrente/tensione, per le misure di corrente), ottenendo un certo numero di campioni della
tensione v (t), periodica con periodo T (V1 , V2 , · · · , Vn ), come illustrato in Figura 8.4. Il
microprocessore dello strumento viene, quindi, usato per eseguire il calcolo del valore
efficace V della tensione, in base alla definizione
s
Z
1 T
(8.1)
v (t)2 dt,
V=
T 0
che, considerando il segnale campionato risulta
s
Pn
2
i=1 Vi
V=
,
n
(8.2)
a condizione che gli n campioni considerati coprano un numero intero k di periodi T
della tensione v (t), ovvero nT S = kT . Se questa condizione non è verificata, il valore
ottenuto risulta errato. Per ovviare a questo inconveniente, in genere, la sequenza di
campioni viene pesata con una opportuna “finestra” w1 , w2 , · · · , wn (finestratura), in modo
da rendere trascurabile il contributo dei campioni all’inizio e alla fine della sequenza. Tra
le finestre più utilizzate vale la pena di citare la finestra di Hamming, la finestra di Hanning
e la finestra di Blackman-Harris, illustrate in Figura 8.5. Se si utilizza una finestra wi , la
(8.2) diviene
sP
n
2
i=1 Vi wi
Pn
V=
.
(8.3)
i=1 wi
208
Piero Malcovati, Misure Elettriche
8.3. Wattmetri
1
Hanning
Hamming
Blackman-Harris
0.9
0.8
0.7
wi
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
8
16
24
32
40
Campione (i)
48
56
64
Figura 8.5: Finestre di Hamming, Hanning e Blackman-Harris
8.3
Wattmetri
I wattmetri digitali o analizzatori di potenza sono strumenti che permettono di misurare
tutti i parametri legati alla potenza in gioco in un sistema monofase o trifase (potenza
attiva, potenza reattiva, potenza apparente, fattore di potenza, tensione e corrente). Essi
sono realizzati secondo lo schema a blocchi di Figura 8.1 e sfruttano due convertitori
A/D per acquisire simultaneamente un certo numero di campioni della tensione v (t) e,
tramite un convertitore corrente/tensione, della corrente i (t) del circuito (V1 , V2 , · · · , Vn
e I1 , I2 , · · · , In ). Il microprocessore effettua poi il calcolo della potenza istantanea nel
dominio del tempo e, quindi, della potenza attiva, che risulta data da
Pn
Vi Ii
.
(8.4)
P = i=1
n
Anche in questo caso, gli n campioni considerati devono coprire un numero intero di
periodi delle grandezze in gioco e, quindi, per evitare errori, si utilizza una finestra wi . La
potenza attiva risulta, quindi,
Pn
i=1 Vi Ii wi
P= P
.
(8.5)
n
i=1 wi
I valori efficaci della tensione V e della corrente I, determinati tramite la (8.2) o la (8.3),
vengono utilizzati per calcolare la potenza apparente
S = V I,
Piero Malcovati, Misure Elettriche
(8.6)
209
8. Strumenti Digitali
Figura 8.6: Wattmetro digitale
la potenza reattiva
Q=
√
S 2 − P2
(8.7)
e il fattore di potenza
P
.
(8.8)
S
Gli analizzatori di potenza più moderni permettono anche di effettuare un’analisi armonica delle grandezze in gioco, qualora si lavori in regime non-sinusoidale (Paragrafo 5.7). In questo caso, lo strumento fornisce i valori di potenza attiva, potenza reattiva,
potenza apparente, fattore di potenza, tensione e corrente per ogni armonica presente,
nonché i valori complessivi. In Figura 8.6 è riportato il pannello frontale di un tipico
wattmetro digitale.
cos (ϕ) =
8.4
Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza
Gli strumenti digitali per la misura di frequenze o intervalli di tempo confrontano una
frequenza o un intervallo di tempo incogniti con una frequenza o un intervallo di tempo
noti. L’accuratezza della misura dipende essenzialmente dalla stabilità della frequenza o
dell’intervallo di tempo noto, cioè dalla precisione e stabilità della base dei tempi dello
strumento.
8.4.1
Strumenti per la Misura di Frequenza e Periodo
Lo schema a blocchi di uno strumento per la misura di frequenza o periodo è illustrato
in Figura 8.7. Esso è costituito da una base dei tempi (Clock), un circuito di condizionamento del segnale di ingresso (Formatore), un interruttore (Gate), un contatore di impulsi
(Contatore) e un dispositivo di interfaccia col mondo esterno (Output). Il blocco Formatore ha il compito di trasformare il segnale di ingresso in un onda quadra adatta ad essere
utilizzata per comandare il Gate e il Contatore.
210
Piero Malcovati, Misure Elettriche
8.4. Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza
Ingresso
Misurazione di Frequenza
Gate
Formatore
A
Contatore
B
TB
B
Clock
Output
TA
A
Misurazione di Periodo
Gate
Clock
A
Contatore
Ingresso
B
TB
B
Formatore
Output
TA
A
Figura 8.7: Strumento digitale per misure di frequenza e periodo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
211
8. Strumenti Digitali
Nel caso di misurazione di frequenza, lo strumento conta il numero di periodi N del
segnale di ingresso (A, con periodo T A e frequenza fA ) compresi in un periodo del segnale
di riferimento (B, con periodo T B e frequenza fB ). Il numero N è dato da
N=
fA
TB
= .
TA
fB
(8.9)
Se T B = 1 s, N rappresenta direttamente la frequenza del segnale di ingresso. In questo
caso la risoluzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del
segnale di ingresso rispetto a quella del segnale di riferimento.
Nel caso di misurazione di periodo lo strumento conta il numero di periodi N del
segnale di riferimento (A, con periodo T A ) compresi in un periodo del segnale di ingresso
(B, con periodo T B ). Il numero N è dato da
N=
TB
.
TA
(8.10)
Se T A = 1 s, N rappresenta direttamente il periodo del segnale di ingresso. In questo
caso la risoluzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del
segnale di riferimento rispetto a quella del segnale di ingresso.
In generale, per ottenere una misurazione di frequenza con una buona risoluzione conviene adottare una misurazione di periodo per frequenze fino a 100 kHz e una misurazione
di frequenza per frequenze superiori. In aggiunta, va ricordato che in entrambi i casi esiste una ambiguità naturale di ±1 sull’ultima cifra significativa del conteggio, dovuta allo
sfasamento esistente fra segnale di ingresso e segnale di riferimento, come illustrato in
Figura 8.8. Altri elementi di incertezza nelle misurazioni di periodo e frequenza sono
l’incertezza della frequenza del segnale di riferimento e eventuali errori introdotti dal circuito Formatore nel condizionamento del segnale di ingresso. Se nello schema a blocchi
di Figura 8.7 si sostituisce alla base dei tempi (Clock) un secondo ingresso con un secondo circuito Formatore, si esegue la misura del rapporto esistente fra le frequenze dei due
segnali di ingresso.
8.4.2
Strumenti per la Misura di Intervalli di Tempo
La misurazione di intervalli di tempo è concettualmente simile alla misurazione di frequenza e periodo, come illustrato in Figura 8.9. Tuttavia, in una misurazione di intervallo
di tempo, il periodo T B viene definito dalla combinazione di due impulsi ottenuti tramite due circuiti Formatori (sostanzialmente dei comparatori) a partire da due segnali
di ingresso, che definiscono gli istanti di inizio (Start) e di fine (Stop) dell’intervallo di
tempo.
Il numero di periodi N del segnale di riferimento (A), compresi nell’intervallo di
tempo considerato (B), è dato da
N=
212
T B ∆t
=
.
TA TA
(8.11)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
8.4. Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza
B
N = 25
A1
N = 24
A2
t
VStop
Formatore
Stop
Formatore
Contatore
B
Gate
Start
VStart
Generatore di Δt
Figura 8.8: Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo
A
Start
Stop
B
Clock
Output
TB = Δt
TA
A
Figura 8.9: Strumento digitale per misure di intervalli di tempo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
213
Ampiezze
8. Strumenti Digitali
tp
A1
A2
t2
t1
Soglia
Area di Incertezza
t
Figura 8.10: Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo (“walk”)
In questo caso, oltre agli elementi di incertezza già citati per le misurazioni di frequenza
e periodo, occorre anche tener conto dell’incertezza con cui vengono generati dai circuiti
Formatore gli impulsi di Start e Stop, la quale, tra l’altro, dipende dall’ampiezza dei
segnali VStart e VStop , ovvero dall’entità degli eventi corrispondenti (fenomeno di “walk”),
come illustrato in Figura 8.10.
La risoluzione ottenibile in misurazioni di intervalli di tempo dipende ovviamente
dalla frequenza utilizzata per il conteggio ( fA = 1/T A ). Tanto più alta è fA , tanto maggiore
è la risoluzione. Risulta, pertanto, difficile effettuare misurazioni precise di intervalli di
tempo piccoli (inferiori al nanosecondo), in quanto non è possibile utilizzare frequenze
fA sufficientemente elevate. In questi casi, quindi, si ricorre al metodo del “verniero
temporale”, illustrato in Figura 8.11, in cui si utilizzano due contatori pilotati da segnali
di clock con frequenze leggermente diverse tra di loro ( f1 e f2 = f1 + ∆ f ). All’istante
tStart viene fatto partire il contatore a frequenza f1 (Contatore 1), mentre all’istante tStop
viene fatto partire il contatore a frequenza f2 (Contatore 2). Il conteggio di entrambi i
contatori viene poi fermato quando gli impulsi di entrambi i segnali di clock si verificano
contemporaneamente (tm ). Nell’intervallo di tempo ∆t = tStop − tStart , il Contatore 1 conta
n1 impulsi, mentre tra tStop e tm i due contatori contano, rispettivamente, n01 e n2 impulsi.
Pertanto, vale la relazione
n2
n1 n01
tStart +
+
= tStop + .
f1
f1
f2
(8.12)
Sviluppando, si ottiene
∆t = tStop − tStart =
214
n1 n01 n2
+
− .
f1
f1
f2
(8.13)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
8.5. Incertezza di Misura
T1 = 1/f1
n1
n1´
T2 = 1/f2
n2
Δt
tStart
tStop
tm
t
Figura 8.11: Metodo del verniero temporale
Se ∆ f f1 , n01 n2 e, quindi,
"
#
n1 n2
n2
n1
∆f
n1 n2 ∆ f
∆t =
+
−
=
+ n2
+ 2 .
f1
f1
f1 + ∆ f
f1
f1 ( f1 + ∆ f )
f1
f1
(8.14)
Il primo termine della (8.14) rappresenta una misura grossolana dell’intervallo di tempo
∆t, mentre il secondo temine rappresenta un raffinamento della misura. La risoluzione
complessiva che si ottiene è la stessa che si otterrebbe usando una frequenza circa pari
a f12 . L’incertezza misura in questo caso è determinata dagli stessi fattori citati in precedenza con, in aggiunta, l’incertezza sulla rilevazione dell’istante tm , in cui fermare il
conteggio.
8.5
Incertezza di Misura
I limiti di precisione (accuratezza) di uno strumento digitale vengono solitamente espressi
con due valori percentuali, uno riferito alla lettura (˙L ) e uno alla portata (˙P ). L’errore
assoluto dello strumento () viene, quindi, determinato come
= ± (˙L · Lettura + ˙P · Portata) .
(8.15)
Per i wattmetri digitali, oltre ai valori di ˙L e ˙P , viene generalmente fornito anche il
parametro ˙ϕ , che tiene conto dell’errore di fase tra tensione e corrente, introdotto dal
wattmetro stesso. Considerando la (5.61), l’errore assoluto dello strumento () diviene,
quindi,
h
i
= ± ˙L · Lettura + ˙P · Portata + ˙ϕ · Portata · tan (ϕ) ,
(8.16)
dove ϕ è l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente. I valori di ˙L , ˙P e ˙ϕ sono, generalmente, reperibili sul manuale dello strumento. L’incertezza tipo assoluta, assumendo
distribuzione rettangolare, risulta
(8.17)
u= √ ,
3
Piero Malcovati, Misure Elettriche
215
8. Strumenti Digitali
mentre l’incertezza tipo relativa è data da
(8.18)
√ .
Lettura · 3
Ad esempio, considerando un multimetro, utilizzato come voltmetro in corrente continua, con portata pari a 300 mV, lettura pari a 250.0000 mV, ˙L = 30 ppm e ˙P = 8 ppm,
risulta
= ± 30 × 10−6 · 250 mV + 8 × 10−6 · 300 mV = 7.5 µV.
(8.19)
u̇ =
L’incertezza tipo assoluta e relativa risultano, quindi, rispettivamente,
u=
u̇ =
216
7.5 µV
= 4.33 µV,
√
3
7.5 µV
250 mV ·
√ = 17.32 ppm.
3
(8.20)
(8.21)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 9
Trasformatori di Misura
9.1
Generalità
I trasformatori di misura sono condizionatori di segnale di tipo elettromagnetico che, inseriti su sistemi funzionanti in corrente alternata, permettono di riprodurre la grandezza
sotto misura (tensione o corrente), secondo uno determinato fattore di scala e senza apprezzabile scostamento di fase. I trasformatori di misura dispongono, perciò, di almeno
due avvolgimenti (primario e secondario), ciascuno dei quali con almeno due terminali.
La grandezza da misurare viene applicata ai terminali del primario, mentre ai terminali
del secondario vengono collegati gli strumenti di misura o gli apparati di protezione, che
costituiscono la prestazione dell’apparecchio.
I trasformatori di misura sono apparecchi che sui sistemi ad alta tensione assolvono
anche l’importante funzione di separare dielettricamente l’avvolgimento secondario da
quello primario, che può essere a tensione elevata. Principalmente concepiti per funzionare in regime semistazionario (cioè con grandezze alternate), essi possono assicurare
anche buoni requisiti in funzionamento transitorio, quando destinati ad alimentare apparecchi di protezione. Esistono diversi tipi di trasformatori di misura, a seconda della
funzione svolta e del principio di funzionamento:
• Trasformatore di Corrente (TA);
• Trasformatore di Tensione Induttivo (TVI);
• Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente (TVA);
• Trasformatore di Tensione Capacitivo (TVC).
Ciascun tipo di apparecchio può essere destinato ad alimentare strumenti di misura oppure
apparecchi di protezione, in quanto i requisiti richiesti nei due casi sono diversi. Sovente
si usano trasformatori di misura con più di due avvolgimenti, destinati a svolgere funzioni
diverse (misura o protezione), o che, pur avendo due soli avvolgimenti, possono svolgere
contemporaneamente, sia pure con qualche limitazione, le due funzioni.
Per regolamentare le caratteristiche e le prestazioni dei trasformatori di misura e i
rapporti tra costruttori e acquirenti, sono state messe a punto e sono disponibili diverse
norme della IEC e del Comité Européen de Normalisation Electrotechnique (CENELEC).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
217
9. Trasformatori di Misura
Le norme emesse dal CENELEC, Norme Europee (EN), sono automaticamente trasposte
in norme nazionali dal CEI.
9.2
Trasformatore di Corrente
Il TA, nella sua forma più semplice, è costituito da due avvolgimenti (primario e secondario), tra loro isolati, avvolti intorno a un nucleo magnetico. L’avvolgimento primario
deve essere attraversato dalla corrente da misurare e, quindi, collegato in serie nel circuito, mentre l’avvolgimento secondario deve alimentare gli strumenti di misura o le apparecchiature di protezione. I circuiti alimentati dal TA, inclusi i cavetti di collegamento,
costituiscono la “prestazione” del TA, che ne condiziona le prestazioni misuristiche.
Lo schema di inserzione del TA è rappresentato in Figura 9.1, assieme al modello
circuitale che ne descrive il funzionamento. In Figura 9.2 è invece riportato il diagramma
vettoriale delle grandezze elettriche in gioco. Con E2 è stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario, necessaria per far circolare la corrente I2 negli apparecchi
alimentati. Tale forza elettromotrice è prodotta dal flusso magnetico che si stabilisce nel
nucleo magnetico, a sua volta creato da una quota parte della corrente primaria I1 . La
componente magnetizzante I0 cambia di valore al variare della corrente primaria e della
prestazione collegata al secondario e non è sinusoidale, a causa della caratteristica di magnetizzazione del circuito magnetico. La somma vettoriale della corrente I2 rovesciata e
moltiplicata per il rapporto di trasformazione kTA,N e della componente magnetizzante I0
rappresenta la corrente primaria I1 . Più precisamente, in ogni istante deve essere verificata
la relazione
N1 ~I1 = N2 ~I2 + N1 ~I0 ,
(9.1)
dove N1 e N2 rappresentano, rispettivamente, il numero delle spire degli avvolgimenti
primario e secondario. Dividendo per N1 , si ottiene
~I1 = N2 ~I2 + ~I0 = kTA,S ~I2 + ~I0 ,
N1
(9.2)
avendo indicato con kTA,S il rapporto tra il numero delle spire del secondario e il numero
di spire del primario. Si tenga presente che nel diagramma vettoriale di Figura 9.2 non
sono rispettate le proporzioni reali tra i moduli dei vettori (I0 è molto più grande di quanto
si verifica in realtà). La corrente primaria I1 è impressa dal sistema (o può essere considerata tale), per cui il diagramma vettoriale di Figura 9.2 cambia al variare di I1 stessa. La
condizione di funzionamento ideale di un TA è quella con l’avvolgimento secondario in
cortocircuito. A secondario aperto, la corrente primaria diventa tutta magnetizzante, per
cui la tensione indotta nel secondario può assumere valori molto elevati (anche migliaia di
volt). La non-linearità della componente magnetizzante fa sı̀ che il rapporto tra i moduli
delle correnti primaria e secondaria, e quindi il rapporto di trasformazione reale del TA
(kTA ), non si mantenga costante. Inoltre, la corrente secondaria rovesciata non è esattamente in fase con la corrente primaria. Esaminando lo schema di Figura 9.1, si nota che,
218
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.2. Trasformatore di Corrente
A
A
A
Z2
Z1
I0
Y0
A
I2
I1
Primario
I1:
I2:
I0:
N 1:
N 2:
Z1:
Z2:
Y 0:
A:
N 1 N2
Secondario
Corrente primaria
Corrente secondaria
Quota della corrente primaria utilizzata per la
magnetizzazione del nucleo magnetico
Numero delle spire primarie
Numero delle spire secondarie
Impedenza di dispersione del primario
Impedenza di dispersione del secondario
Ammettenza equivalente
Prestazione alimentata
Figura 9.1: Schema di inserzione e circuito equivalente del TA
Piero Malcovati, Misure Elettriche
219
9. Trasformatori di Misura
I1
–k
TA
,
N
I2
ηTA
εTA
I0
0
Φ
ψ
E2
I2
I1:
I2:
I0:
kTA,N:
E2:
εTA:
Φ:
ηTA:
ψ:
Corrente primaria
Corrente secondaria
Corrente magnetizzante
Rapporto di trasformazione nominale
Forza elettromotrice indotta nel secondario
Errore d’angolo
Flusso magnetico nel nucleo
Errore di rapporto (valore assoluto)
Angolo di sfasamento della prestazione
Figura 9.2: Diagramma vettoriale di un TA
220
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.2. Trasformatore di Corrente
ai fini funzionali, la resistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento primario
sono prive di influenza (essendo la corrente primaria impressa).
L’errore di rapporto (o di corrente) di un TA è l’errore che il TA introduce nella misura
del modulo di una corrente sinusoidale, quando il rapporto di trasformazione si allontana
da quello nominale. Esso, definito in forma percentuale e in conformità con la normativa
vigente, risulta dato da
kTA,N I2 − I1 100
,
(9.3)
ηTA =
I1
dove kTA,N è il rapporto di trasformazione nominale, I1 la corrente primaria e I2 la corrente
secondaria. Per via dell’errore di rapporto, kTA risulta diverso dal rapporto di trasformazione nominale (kTA,N ), che a sua volta, generalmente, non coincide con il rapporto tra le
spire degli avvolgimenti (kTA,S ), come indicato dalla (9.2).
Si definisce errore d’angolo (o di fase) di un TA la differenza di fase tra la corrente
primaria e la corrente secondaria, assumendo il verso dei vettori in modo che l’angolo sia
nullo per un trasformatore ideale. Nel diagramma vettoriale di Figura 9.2, la differenza
di fase suddetta è rappresentata dall’angolo TA . L’errore d’angolo è convenzionalmente
considerato positivo allorché il vettore della corrente secondaria rovesciata risulta in anticipo rispetto a quello della corrente primaria. L’errore d’angolo è usualmente espresso in
centiradianti o in minuti. Tenendo presente che per angoli molto piccoli l’espressione di
TA in radianti può essere confusa con la corrispondente funzione sin (TA ), l’errore di fase
può anche essere indicato con 100 sin (TA ).
Le definizioni degli errori di rapporto e di fase valgono rigorosamente solo se le correnti primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti possibile tracciare il
diagramma vettoriale). Questa condizione è generalmente verificata, salvo nel caso di
misure di correnti fortemente distorte.
9.2.1
Caratteristiche Nominali
Ogni TA è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali, che ne definiscono la
funzionalità. La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sono
riferite e per la quale il TA è stato dimensionato. Essa viene considerata costante, salvo
casi eccezionali.
La corrente primaria nominale (I1,N ) è quella a cui sono riferiti gli errori di rapporto e
di fase e i limiti di sovratemperatura ammessi. Si assegnano normalmente valori interi (ad
esempio 10 A, 20 A, 100 A, 500 A, 1000 A, 5000 A). La corrente secondaria nominale
(I2,N ) viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare e
sono normalizzati i valori di 5 A, 2 A, 1 A (il valore più frequentemente usato è 5 A). Il
rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la corrente primaria nominale
e la corrente secondaria nominale (kTA,N = I1,N /I2,N ).
La prestazione nominale è il valore di prestazione a cui si fa riferimento per definire
i limiti della classe di precisione. Essa si esprime in siemens o in voltampere riferiti
alla corrente secondaria nominale. La classe di precisione, che definisce i limiti massimi
Piero Malcovati, Misure Elettriche
221
9. Trasformatori di Misura
dell’errore di rapporto e di fase, assume significato diverso a seconda se il TA è destinato
ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione.
I TA sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agli avvolgimenti
primario e secondario (il primo molto più importante del secondo), in relazione alle caratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento del
primario può imporre particolari soluzioni costruttive, che possono incidere in misura
notevole sulle prestazioni misuristiche. Infatti, al crescere della tensione del sistema sul
quale il TA deve essere installato, è necessario aumentare la distanza tra gli avvolgimenti
e verso massa, introducendo anche una maggior quantità di isolante. Il sistema isolante
principale tra primario e secondario può essere costituito da:
• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri per le basse
tensioni;
• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente
l’uso di carta impregnata di olio minerale);
• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esafluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TA è solitamente di
porcellana per consentire l’installazione all’esterno.
Ogni TA deve essere in grado di sopportare, sotto gli aspetti termico e dinamico,
correnti elevate per tempi brevi, in caso di guasto (cortocircuiti in rete). Si individuano
cosı̀ la corrente termica di breve durata nominale e la corrente dinamica nominale. La
corrente dinamica nominale, espressa con il valore di picco, corrisponde normalmente a
2.5 volte la corrente termica di breve durata nominale, espressa in valore efficace. Non
è raro che queste correnti siano dell’ordine di 100 volte la corrente nominale, mentre la
durata che si considera convenzionalmente è di 1 s.
Le principali caratteristiche del TA devono essere riportate sulla targa, applicata in
modo visibile su di esso, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati senza ambiguità. Sulla targa è anche indicata la norma secondo il quale il TA è stato
progettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni che, per ragioni di spazio,
non possono essere riportate. In Figura 9.3 sono rappresentati due diversi TA destinati ad
impianti a media e bassa tensione (le dimensioni non sono in proporzione reale).
9.2.2
TA per Misura
I TA per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzati
dalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di
rapporto che il TA non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della
prestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certe particolari
applicazioni il fattore di potenza della prestazione può essere unitario).
Le classi di precisione normalizzate per i TA sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti
di errore di rapporto e di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati in
Tabella 9.1 e Tabella 9.2. Si noti che gli errori relativi di rapporto e di fase tendono
a crescere con il diminuire della percentuale della corrente nominale. I limiti di errore
sono prescritti per un campo di corrente compreso tra il 5% e il 120% della corrente
222
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.2. Trasformatore di Corrente
(a)
(b)
Figura 9.3: TA utilizzati su reti a media (a) e bassa (b) tensione
Piero Malcovati, Misure Elettriche
223
9. Trasformatori di Misura
Classe
0.1
0.2
0.5
1.0
Errore di Corrente (Rapporto)
in Funzione della Percentuale
della Corrente Nominale [%]
5
20
100
120
±0.4 ±0.2 ±0.1
±0.1
±0.75 ±0.35 ±0.2
±0.2
±1.5 ±0.75 ±0.5
±0.5
±3.0 ±1.5 ±1.0
±1.0
Errore d’Angolo (Fase)
in Funzione della Percentuale
della Corrente Nominale [crad]
5
20
100
120
±0.45 ±0.24 ±0.15 ±0.15
±0.9 ±0.45 ±0.3
±0.3
±2.7 ±1.35 ±0.9
±0.9
±5.4 ±2.7 ±1.8
±1.8
Tabella 9.1: Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TA per misura
Classe
0.2S
0.5S
Errore di Corrente (Rapporto)
in Funzione della Percentuale
della Corrente Nominale [%]
1
5
20
100 120
±0.75 ±0.35 ±0.2 ±0.2 ±0.2
±1.5 ±0.75 ±0.5 ±0.5 ±0.5
Errore d’Angolo (Fase)
in Funzione della Percentuale
della Corrente Nominale [crad]
1
5
20
100 120
±0.9 ±0.45 ±0.3 ±0.3 ±0.3
±2.7 ±1.35 ±0.9 ±0.9 ±0.9
Tabella 9.2: Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TA per misura per applicazioni speciali
nominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale. Le
norme impongono ulteriori requisiti di precisione nel caso di particolari applicazioni (ad
esempio, misure di grandi quantità di energia scambiate tra società elettriche).
La prestazione nominale può essere compresa tra 5 VA e 30 VA, con fattore di potenza
pari a 0.8 ritardo, con tendenza verso i valori più bassi, essendo sempre più diffusa la
tendenza ad usare apparecchiature elettroniche, il cui autoconsumo è molto modesto (il
costo di un TA è fortemente influenzato, a parità di altre condizioni, dal valore della
prestazione nominale).
Al fine di garantire una certa protezione per gli strumenti alimentati in caso di elevate
sovracorrenti, è opportuno che il nucleo magnetico del TA entri in saturazione. Viene,
perciò, prescritto un coefficiente di sicurezza che limita il valore della corrente in caso
di guasto a 10 volte la corrente nominale. Per ottenere TA con elevate prestazioni misuristiche, sono importanti le caratteristiche del materiale magnetico utilizzato ed il suo
grado di sfruttamento (induzione di lavoro), nonché un buon accoppiamento tra primario
e secondario. Per ottenere i migliori risultati il prodotto N1 I1 alla corrente nominale deve
essere di almeno 800 A, mentre l’induzione di lavoro non deve superare 0.3 T. Per i TA
di precisione più elevata si utilizzano leghe ferromagnetiche speciali, che presentano caratteristiche B-H molto ripide con saturazione molto netta (caratteristica di forma quasi
rettangolare).
224
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.2. Trasformatore di Corrente
i1
i2
i0
Figura 9.4: Andamento delle correnti secondaria (i2 ), primaria (i1 ) e magnetizzante (i0 )
in un TA quando il nucleo è in saturazione
9.2.3
TA per Protezione
La funzione dei TA per protezione si differenzia sostanzialmente da quelli per misura,
in quanto per i TA per protezione è richiesto il rispetto dei limiti di errore fino a valori
di corrente pari a 10 volte la corrente nominale (corrente limite primaria nominale), allo
scopo di assicurare un minimo di precisione anche in presenza di correnti elevate, come
quelle di cortocircuito.
Per quanto riguarda il comportamento in transitorio alle correnti elevate, essendo la
componente magnetizzante della corrente fortemente distorta per effetto della saturazione,
per caratterizzare il comportamento del TA non è più possibile fare ricorso al diagramma
vettoriale di Figura 9.2 per definire gli errori di rapporto e di fase. Si definisce, quindi,
convenzionalmente l’errore composto c,T A , dato da
s
c,T A
100
=
I1
1
T
Z
T
kTA,N i2 − i1 2 dt,
(9.4)
0
dove kTA,N è il rapporto di trasformazione nominale, I1 è il valore efficace della corrente
primaria, i1 è il valore istantaneo della corrente primaria, i2 è il valore istantaneo della
corrente secondaria e T = 1/ f è il periodo. L’andamento delle correnti in presenza di
onde non sinusoidali è illustrato in Figura 9.4.
Nei TA per protezione viene richiesto il rispetto dei limiti di errore indicati in Tabella 9.3 che, come si vede, corrispondono a classi di precisione piuttosto scadenti. Nei TA
per protezione, il nucleo magnetico non è più realizzato con leghe speciali, ma con normali lamierini in lega ferro-silicio, la cui caratteristica di magnetizzazione presenta una
saturazione meno marcata e più progressiva. Esso deve essere dimensionato per consentire una buona risposta anche per correnti elevate (il nucleo non deve saturare). I limiti
dell’errore composto alla corrente limite nominale vengono generalmente verificati con
prove a prestazione aumentata, in modo da aumentare la forza elettromotrice indotta sul
secondario e simulare le condizioni di sovracorrente.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
225
9. Trasformatori di Misura
Classe
5P
10P
Errore di Corrente
(Rapporto)
alla Corrente
Nominale [%]
±1
±3
Errore d’Angolo
(Fase)
alla Corrente
Nominale [crad]
±1.8
–
Errore Composto
alla Corrente
Limite
Nominale [%]
5
10
Tabella 9.3: Limiti dell’errore di corrente (rapporto), dell’errore d’angolo (fase) e
dell’errore composto per i TA per protezione
I1
I1
A
A
(a)
(b)
Figura 9.5: TA con avvolgimento primario diviso in due sezioni connesse in serie (a) o
in parallelo (b)
9.2.4
TA a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego dei singoli TA, si ricorre sovente a TA a più rapporti.
Per mantenere le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nel
suddividere l’avvolgimento primario in due sezioni, che possono essere collegate in serie
o in parallelo, come illustrato in Figura 9.5. Il TA è in questo modo caratterizzato da
due correnti primarie nominali, una doppia dell’altra, per le quali si ha lo stesso valore di
forza magnetomotrice totale. In queste condizioni gli errori di rapporto e di fase restano
invariati, a parità di valore percentuale della corrente nominale.
In alcuni casi, peraltro piuttosto rari, le sezioni sono addirittura sei, con la possibilità
di ottenere tre rapporti di trasformazione nominali. Per ottenere TA a più rapporti, si può
anche agire sul numero di spire dell’avvolgimento primario. Tuttavia, questa soluzione
trova giustificazione solamente per TA con correnti primarie nominali modeste (non oltre
i 50 A) e viene a volte usata sui sistemi a bassa tensione.
La soluzione di agire sull’avvolgimento secondario, cambiandone il numero di spire e
facendo cosı̀ lavorare a differenti induzioni il nucleo magnetico, è pure a volte utilizzata,
226
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.3. Trasformatore di Tensione Induttivo
P
S1
S2
I1
S3
Figura 9.6: TA con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secondari (tre nuclei
magnetici distinti)
anche se sconsigliabile, in quanto le caratteristiche di precisione risultano compromesse
o penalizzate da una eccessiva riduzione della prestazione nominale.
Nei TA da utilizzare su reti ad alta tensione, per ragioni economiche, è possibile montare nello stesso involucro più nuclei magnetici con caratteristiche diverse, ad esempio
per misura e protezione. Questa soluzione prevede per il TA un solo avvolgimento primario che eccita tanti nuclei quanti sono gli avvolgimenti secondari, come illustrato in
Figura 9.6.
9.3
Trasformatore di Tensione Induttivo
Il TVI, nella sua forma più semplice, è dotato di due avvolgimenti (primario e secondario), tra loro isolati, e da un nucleo magnetico attorno al quale gli avvolgimenti sono
avvolti. La tensione da misurare deve essere applicata ai terminali dell’avvolgimento primario, che deve essere quindi collegato in derivazione nel circuito, mentre ai terminali
dell’avvolgimento secondario devono essere connessi gli strumenti di misura o le apparecchiature di protezione da alimentare. I circuiti alimentati dal secondario del trasformatore di tensione, costituiscono la prestazione del TVI. Lo schema tipico di inserzione del
TVI è illustrato in Figura 9.7, assieme al modello circuitale che può essere utilizzato per
discutere il funzionamento del TVI.
In Figura 9.8 è riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in gioco
in un TVI. Con E2 è stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario,
mentre I2 è la corrente assorbita dalla prestazione. La forza elettromotrice E2 è prodotta
dal flusso magnetico Φ che si stabilisce nel nucleo magnetico, a sua volta creato dalla
corrente magnetizzante I0 , fornita dalla rete di alimentazione. La corrente primaria complessiva I1 è rappresentata dalla somma vettoriale della corrente magnetizzante I0 e della
corrente secondaria I2 riportata a primario secondo il rapporto inverso delle spire dei due
avvolgimenti. Le correnti secondaria e primaria producono a loro volta cadute di tensione
sulle rispettive impedenze di dispersione, provocando variazioni del rapporto di trasformazione reale del TVI (kTV ), in funzione della tensione e della prestazione. Poiché nel
Piero Malcovati, Misure Elettriche
227
9. Trasformatori di Misura
V
Z1
Z2
Y0
V1
I1
V
I0
V2
I2
N1 N2
V1:
V2:
I 0:
I1:
I2:
N1:
N2:
Z1:
Z2:
Y0:
V:
Tensione primaria
Tensione secondaria
Corrente magnetizzante
Corrente primaria
Corrente secondaria
Numero delle spire primarie
Numero delle spire secondarie
Impedenza di dispersione del primario
Impedenza di dispersione del secondario
Ammettenza equivalente
Prestazione alimentata
Figura 9.7: Schema di inserzione e circuito equivalente dei TVI
228
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.3. Trasformatore di Tensione Induttivo
A
Z1 I1
ηTV
–ε TV
E1 = –E2 N1/N2
B
V1
–KTV,N V2
N
–I 2
I0
0
I2
I1
/N 1
2
Φ
ψ
V2
E2
Z2 I2
V1:
V2:
E1:
E2:
Z1:
Z2:
kTV,N:
Φ:
I1:
I2:
I0:
εTV:
ηTV:
ψ:
Tensione primaria
Tensione secondaria
Forza elettromotrice primaria
Forza elettromotrice secondaria
Impedenza primaria
Impedenza secondaria
Rapporto di trasformazione nominale
Flusso magnetico nel nucleo
Corrente primaria
Corrente secondaria
Corrente magnetizzante
Errore d’angolo
Errore di rapporto (valore assoluto)
Angolo di sfasamento della prestazione
Figura 9.8: Diagramma vettoriale di un TVI
Piero Malcovati, Misure Elettriche
229
9. Trasformatori di Misura
circuito la tensione primaria è impressa (o può essere considerata tale), la condizione di
funzionamento ideale di un TVI è quella con secondario aperto.
L’errore di rapporto (o di tensione) di un TVI è l’errore che il TVI introduce nella
misura del modulo di una tensione sinusoidale, quando il rapporto di trasformazione si
allontana da quello nominale. Esso, definito in forma percentuale e in conformità con la
normativa vigente, risulta dato da
ηTV
kTV,N V2 − V1 100
,
=
V1
(9.5)
dove kTV,N è il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la tensione secondaria. Per via dell’errore di rapporto, kTV risulta diverso dal rapporto di trasformazione nominale (kTV,N ), che a sua volta, generalmente, non coincide con il rapporto
tra le spire degli avvolgimenti (kTV,S = N1 /N2 )
Si definisce errore di angolo (o di fase) di un TVI la differenza di fase tra la tensioni
primaria e la tensione secondaria, assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sia
nullo per un trasformatore ideale. Nel diagramma vettoriale di Figura 9.8 la differenza
di fase suddetta è rappresentata dall’angolo TV . L’errore d’angolo è considerato positivo
allorché il vettore della tensione secondaria rovesciata risulta in anticipo rispetto a quello
della tensione primaria. L’errore d’angolo è usualmente espresso in centiradianti o in
minuti. Tenendo presente che per angoli molto piccoli l’espressione di TV in radianti può
essere confusa con la corrispondente funzione sin (TV ), l’errore di fase può anche essere
indicato con 100 sin (TV ).
Le definizioni degli errori di rapporto e di fase valgono rigorosamente solo se le tensioni primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti possibile tracciare il
diagramma vettoriale). Questa condizione è più facilmente verificata per i TVI che per i
TA, in quanto la componente magnetizzante della corrente primaria non è molto distorta (si lavora a induzione molto bassa, non oltre 0.5 T in corrispondenza della tensione
nominale).
9.3.1
Caratteristiche Nominali
Ogni TVI è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali, che ne definiscono
la funzionalità. La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali
sono riferite e per la quale il TVI è stato dimensionato. Essa viene considerata costante,
salvo casi eccezionali.
La tensione primaria nominale (V1,N ) è quella a cui sono riferiti gli errori di rapporto
e di fase e i limiti di sovratemperatura ammessi. Si assegnano
√ normalmente valori interi,
corrispondenti alle tensioni nominali delle reti, divisi per 3, quando i TVI sono√progettati per√ essere inseriti tra fase e terra (ad esempio, 1000 V, 20000 V, 100000/ 3 V,
400000/ 3 V). La tensione secondaria nominale (V2,N ) viene scelta in relazione alle caratteristiche
delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzati i valori di 100 V,
√
100/ 3 V, 100/3 V a seconda del tipo di applicazione (più raramente, in Nord-America,
230
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.3. Trasformatore di Tensione Induttivo
Fattore di Tensione
Nominale
1.2
Durata
∞
1.2
∞
1.2
1.5
1.2
1.9
∞
30 s
∞
30 s
1.2
1.9
∞
8h
Collegamento dell’Avvolgimento Primario e
Condizioni di Messa a Terra della Rete
Tra le fasi in qualsiasi rete
Tra il centro stella del trasformatore e la terra
in qualsiasi rete
Tra fase e terra in reti con neutro
effettivamente a terra
Tra fase e terra in reti con neutro non effettivamente
a terra e eliminazione automatica del guasto a terra
Tra fase e terra in reti con neutro isolato o
in reti collegate a terra mediante bobina
d’estinzione senza eliminazione
automatica del guasto a terra
Tabella 9.4: Valori normali del fattore di tensione
√
si hanno i valori 110 V, 110/ 3 V, 110/3 V, e qualche volta anche 200 V). Il rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale e la
tensione secondaria nominale (kTV,N = V1,N /V2,N ).
La prestazione nominale è il valore di prestazione a cui si fa riferimento per definire
i limiti della classe di precisione. Essa si esprime in ohm o in voltampere riferiti alla
tensione secondaria nominale. La classe di precisione, che definisce i limiti massimi
dell’errore di rapporto e di fase, assume significato diverso a seconda se il TVI è destinato
ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione.
I TVI sono caratterizzati anche dal fattore di tensione nominale, che rappresenta la
tensione che esso deve poter sopportare per un tempo definito, quando in servizio si verificano condizioni anormali di funzionamento (ad esempio, nel caso di guasto a terra di
una fase). I valori normali del fattore di tensione sono riportati in Tabella 9.4.
I TVI sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agli avvolgimenti
primario e secondario (il primo molto più importante del secondo), in relazione alle caratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento del
primario può imporre particolari soluzioni costruttive, che possono incidere in misura
notevole sulle prestazioni misuristiche. Infatti, al crescere della tensione del sistema sul
quale il TVI deve essere installato, è necessario aumentare la distanza tra gli avvolgimenti
e verso massa, introducendo anche una maggior quantità di isolante. Il sistema isolante
principale tra primario e secondario può essere costituito da:
• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri per le basse
tensioni;
• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente
l’uso di carta impregnata di olio minerale);
• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esafluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TVI è solitamente di
Piero Malcovati, Misure Elettriche
231
9. Trasformatori di Misura
(a)
(b)
Figura 9.9: TVI utilizzati su reti a media tensione per (a) inserzione tra fasi e (b)
inserzione verso terra
porcellana per consentire l’installazione all’esterno.
Ogni TVI deve essere in grado di sopportare, senza danneggiarsi, cortocircuiti diretti
ai morsetti secondari, quando alimentato alla tensione primaria nominale, per la durata di
1 s. Questa prescrizione non è particolarmente severa, considerando il dimensionamento
imposto per altri requisiti, a differenza di quanto avviene per i TA.
Le principali caratteristiche del TVI devono essere riportate sulla targa, applicata in
modo visibile su di esso, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati senza ambiguità. Sulla targa è anche indicata la norma secondo il quale il TVI
è stato progettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni che, per ragioni di
spazio, non possono essere riportate. In Figura 9.9 sono rappresentati due diversi TVI
destinati ad impianti a media tensione.
9.3.2
TVI per Misura
I TVI per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzati
dalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di
rapporto che il TVI non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della
prestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certe particolari
applicazioni il fattore di potenza della prestazione può essere unitario).
Le classi di precisione normalizzate per i TVI sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di
errore di rapporto e di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati in Tabella 9.5. I limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione compreso tra l’80%
e il 120% della tensione nominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della
prestazione nominale. Anche per i TVI le norme prevedono ulteriori requisiti di precisio232
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.3. Trasformatore di Tensione Induttivo
Classe
0.1
0.2
0.5
1.0
3.0
Errore di Tensione (Rapporto) [%]
±0.1
±0.2
±0.5
±1.0
±3.0
Errore d’Angolo (Fase) [crad]
±0.15
±0.3
±0.6
±1.2
—
Tabella 9.5: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TVI per misura
Classe
3P
6P
Errore di Tensione (Rapporto) [%]
±3.0
±6.0
Errore d’Angolo (Fase) [crad]
±3.5
±7.0
Tabella 9.6: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TVI per protezione
ne nel caso di particolari applicazioni (ad esempio, misure di grandi quantità di energia
scambiate tra società elettriche).
Poiché il nucleo magnetico nei TVI lavora con induzione di poco variabile, le caratteristiche del materiale magnetico utilizzato sono meno importanti che per i TA, per cui,
generalmente, il nucleo è realizzato con normali lamierini magnetici in lega ferro-silicio.
9.3.3
TVI per Protezione
La funzione dei TVI per protezione è quella di alimentare sistemi di protezione, rispettando i limiti di errore anche per tensioni molto inferiori alla tensione nominale. Le classi di
precisione normalizzate per i TVI per protezione sono 3P e 6P, con il seguente significato:
• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI con
prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale, per tensioni
comprese tra il 5% della tensione nominale e la tensione nominale moltiplicata per
fattore di tensione nominale, dato dalla Tabella 9.4;
• la lettera P sta ad indicare che il TVI è per protezione.
I TVI per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicati
in Tabella 9.6. Qualche volta viene prescritto anche il rispetto di prescrizioni sugli errori
di rapporto e di fase del TVI per protezione al 2% della tensione nominale, con valori
per i limiti doppi rispetto a quelli indicati in Tabella 9.6. Dal punto di vista costruttivo, il
nucleo magnetico in un TVI per protezione è molto simile a quello di un TVI per misura.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
233
9. Trasformatori di Misura
(a)
(b)
Figura 9.10: TVI con avvolgimento secondario diviso in due sezioni connesse in serie
(a) o in parallelo (b)
9.3.4
TVI a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego dei singoli TVI si può ricorrere a TVI a più rapporti,
anche se in misura meno frequente che per i TA. In pratica, per mantenere le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nel suddividere l’avvolgimento
secondario in due sezioni, che possono essere collegate in serie o in parallelo. Il trasformatore è, in questo modo, caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio
100 V e 200 V, come illustrato in Figura 9.10.
Assai rari sono i casi in cui si suddivide l’avvolgimento primario, sul quale, limitatamente ai trasformatori per bassa tensione, si possono eventualmente prevedere delle prese,
agendo cosı̀ sul numero di spire utili. Un altro interessante aspetto da considerare riguarda
la possibilità di montare sullo stesso nucleo più avvolgimenti secondari, ciascuno con la
propria funzione (misura o protezione). In queste condizioni, le caratteristiche di errore
si influenzano tra di loro in quanto l’avvolgimento primario è comune.
Una soluzione costruttiva abbastanza utilizzata è quella dei TVI trifase per reti a media
tensione, in cui tre TVI monofase vengono inclusi in un unico involucro, riducendo cosı̀ i
costi.
9.4
Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente
Per i trasformatori destinati ad impianti ad alta tensione e funzionanti all’aperto, si ricorre
a volte ai TVA, nei quali, nello stesso involucro ceramico, sono contenuti due apparecchi:
un TA e un TVI. Questa soluzione, che consente la riduzione dei costi di primo acquisto
(un solo involucro isolante) e di impianto (minore spazio occupato), è poco praticata in
Europa. In questi apparecchi è, infatti, elevato il rischio di interferenza tra i due sistemi
elettromagnetici per cui le norme IEC prescrivono delle prove atte a verificare che queste
234
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.5. Trasformatore di Tensione Capacitivo
C1
A
V1,N
L
C TVI
VC
C2
VS
V
VS
V
D
B
(a)
C1
L
VTH
TVI
C
C2
(b)
D
Figura 9.11: Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di un
TVC
interferenze risultino trascurabili. Esistono due possibili schemi di collegamento tra i due
apparecchi, che prevedono alternativamente il TA a monte o a valle del TVI (il primo
schema è solitamente preferito).
9.5
Trasformatore di Tensione Capacitivo
I TVC trovano largo impiego nei sistemi ad alta tensione (da 100 kV in su), in quanto
meno costosi dei corrispondenti TVI. Il vantaggio economico deriva anche dal fatto che
i TVC possono essere utilizzati per la trasmissione di segnali per telecomando tra sottostazioni vicine, impiegando come condensatore di accoppiamento il divisore di tensione
capacitivo che fa parte del TVC stesso.
Lo schema elettrico di principio di un TVC è riportato in Figura 9.11, in cui sono
rappresentati solo i componenti principali. Il divisore capacitivo, che consente di ridurre
la tensione da misurare ad un valore compreso tra 10 kV e 15 kV, presenta un fattore di
Piero Malcovati, Misure Elettriche
235
9. Trasformatori di Misura
scala kC dato da
kC =
C1
,
C1 + C2
(9.6)
dove C1 e C2 sono rispettivamente le capacità della sezione di alta tensione e di bassa
tensione del divisore. La tensione primaria nominale del √
TVC è normalmente quella
della rete sulla quale esso deve essere inserito, divisa per 3, in quanto il TVC viene
sempre inserito tra fase e terra. Il reattore induttivo L è realizzato con un avvolgimento
montato su un nucleo magnetico e deve presentare una resistenza per quanto possibile
piccola (per semplicità questa resistenza può essere considerata nulla). Il TVI connesso
a valle del reattore ha una tensione primaria nominale pari√a VC = V1,N kC , mentre la
tensione secondaria nominale VS è normalmente pari a 100/ 3 V o a 100/3 V, a seconda
dell’applicazione.
Per studiare il funzionamento del TVC conviene applicare al circuito di Figura 9.11a
il teorema di Thevenin. La tensione di Thevenin è allora quella che si manifesta tra i nodi
A e B (VTH = VC ), mentre lo schema equivalente che si ottiene è riportato in Figura 9.11b.
Nella reattanza XL è compresa anche l’impedenza di corto circuito del trasformatore induttivo, che viene per il resto considerato ideale. Si deduce facilmente che, se alla frequenza
di lavoro si verifica la condizione XL = −XC , il sistema è in condizioni di risonanza serie
e, pertanto, ai capi del TVI si ottiene la tensione VTH = VC .
Il comportamento del TVC risulta fortemente influenzato dalle variazioni di frequenza. Le caratteristiche di precisione dei TVC sono inoltre influenzate da varie cause:
• i condensatori del divisore non sono perfetti, in quanto possono variare di capacità
per effetto della temperatura (cambia il fattore di scala del divisore) e presentano un
certo angolo di perdita, che influenza i parametri del circuito di Thevenin;
• l’induttore non è puro per cui si dovrebbe mettere in conto la sua resistenza e i
contributi dissipativi del circuito magnetico;
• il TVI non è ideale e presenta propri errori di rapporto e di fase.
L’induttore e il TVI, che costituiscono l’unità elettromagnetica, sono montati in un contenitore sigillato pieno di olio isolante.
Le definizioni degli errori di rapporto e di fase di un TVC sono le stesse indicate per
i TVI nel Paragrafo 9.3. Anche per i TVC il rapporto di trasformazione nominale (kTV,N )
non coincide generalmente con il rapporto di trasformazione reale (kTV ).
Nei TVC, particolare cura deve essere posta nel prevenire o limitare i fenomeni oscillatori che si verificano durante i transitori di tensione che, in alcuni casi, possono dar
luogo a fenomeni di ferro-risonanza. Il transitorio più gravoso è rappresentato dall’apertura di un cortocircuito netto ai morsetti secondari. Per questa ragione, si devono inserire
dei dispositivi di smorzamento delle oscillazioni, come spinterometri o filtri. In particolare, se si provoca un cortocircuito tra i nodi C e D del circuito di Figura 9.11b, senza
opportune protezioni, la corrente risulterebbe limitata solamente dai parametri dissipativi
e, quindi, i condensatori e l’induttanza verrebbero interessati da correnti e tensioni molto
elevate. Inoltre, essendo l’induttanza non lineare per la presenza del ferro, si possono
innescare ferro-risonanze. Un altro transitorio durante il quale si può verificare il non corretto funzionamento del TVC è il brusco cortocircuito del primario, in seguito al quale la
236
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.5. Trasformatore di Tensione Capacitivo
tensione secondaria non si estingue immediatamente, per cui può risultare compromesso
il corretto intervento delle protezioni alimentate.
9.5.1
Caratteristiche Nominali
La frequenza nominale, a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite, è per i TVC di
fondamentale importanza, a causa della dipendenza dalla frequenza stessa dei fenomeni
di risonanza necessari per il corretto funzionamento del TVC stesso. Alla tensione primaria nominale (V1,N ) si assegnano
√ normalmente valori interi corrispondenti alle tensioni
3, in quanto l’inserzione è tra fase e terra (ad esempio,
nominali √delle reti, divisi per
√
100000/ 3 V o 400000/ 3 V). La tensione secondaria nominale (V2,N ) viene scelta
in relazione alle
√ caratteristiche delle apparecchiature√da alimentare e sono normalizzati
i valori 100/ 3 V e 100/3 V (qualche volta 200/ 3 V). Il rapporto di trasformazione nominale (kTV,N ) è dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale e la tensione
secondaria nominale.
Come per i TVI, la prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i
limiti della classe di precisione. Le prestazioni nominali normali sono comprese tra 10 VA
e 100 VA. Il fattore di tensione nominale, come per i TVI, rappresenta la tensione che il
TVC deve poter sopportare per un tempo definito, quando in servizio si verificano condizioni anormali di funzionamento. I valori normali del fattore di tensione sono riportati
in Tabella 9.4. La classe di precisione assume diverso significato a seconda se il TVC è
destinato ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione. I TVC sono anche
caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati al divisore capacitivo e all’avvolgimento
secondario.
9.5.2
TVC per Misura
I TVC per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzati
dalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di
rapporto che l’apparecchio non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il
100% della prestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certe
particolari applicazioni il fattore di potenza della prestazione può essere unitario). Le
classi di precisione normalizzate sono 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e
di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati in Tabella 9.7. I limiti di
errore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il 120% della tensione
nominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale.
In pratica, si riescono a realizzare TVC per misura in classe 0.5, che garantiscono i
requisiti di precisione indicati in Tabella 9.7, purché le variazioni di frequenza risultino
contenute entro ±0.25 Hz. I requisiti di precisione per i TVC in classe 0.2 sono raggiungibili solamente in laboratorio, in quanto in servizio si verificano condizioni ambientali che
influiscono sugli errori (per esempio, inquinamento atmosferico superficiale, temperatura
ambiente, funzionamento sotto pioggia), sui cui effetti non si hanno informazioni precise.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
237
9. Trasformatori di Misura
Classe
0.2
0.5
1.0
3.0
Errore di Tensione (Rapporto) [%]
±0.2
±0.5
±1.0
±3.0
Errore d’Angolo (Fase) [crad]
±0.3
±0.6
±1.2
—
Tabella 9.7: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TVC per misura
Errore di Tensione (Rapporto)
Errore d’Angolo (Fase)
in Funzione della Percentuale
in Funzione della Percentuale
della Tensione Nominale [%]
della Tensione Nominale [crad]
2
5
100
X
2
5
100
X
3P
±6.0 ±3.0 ±3.0
±3.0
±7.0 ±3.5 ±3.5
±3.5
6P
±12.0 ±6.0 ±6.0
±6.0
±14.0 ±7.0 ±7.0
±7.0
X è il fattore di tensione nominale riportato in Tabella 9.4 moltiplicato per 100
Classe
Tabella 9.8: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per i
TVC per protezione
9.5.3
TVC per Protezione
La funzione dei TVC per protezione è quella di alimentare sistemi di protezione, rispettando i limiti di errore anche per tensioni molto inferiori alla tensione nominale. Le
classi di precisione normalizzate per i TVC per protezione sono 3P e 6P, con il seguente
significato:
• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVC alla
tensione nominale con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione
nominale;
• la lettera P sta ad indicare che il TVC è per protezione.
I TVC per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicati
in Tabella 9.8.
9.5.4
TVC a Più Rapporti
Per allargare il campo di impiego dei singoli TVC si può ricorrere a TVC a due rapporti,
dividendo l’avvolgimento secondario in due sezioni, che possono essere collegate in serie
o in parallelo, analogamente a quanto previsto per i TVI (Figura 9.10). Il TVC √è, in
questo √
modo, caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio 100/ 3 V
e 200/ 3 V.
238
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.6. Taratura
ηTA, 100 sin(εTA)
+1.0
+0.5
20 VA 100 sin(ε )
ΤΑ
5 VA
0
5 VA
20 VA
–0.5
–1.0
0
20
40
60
80
I1/I1,N [%]
100
ηTA
120
Figura 9.12: Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TA in classe 0.5 con
prestazione 20 VA, per reti a media tensione
9.6
Taratura
La classe di precisione dei trasformatori di misura determina il campo di variazione degli errori di rapporto e di fase, non il loro valore effettivo. Nel caso in cui si vogliano
conoscere i valori effettivi degli errori di rapporto e di fase, in modo da poter correggere
gli effetti degli errori stessi sulle misure, occorre sottoporre i trasformatori di misura a
taratura. La taratura viene, generalmente, effettuata in fase di collaudo e può poi essere ripetuta, se necessario, in qualunque momento. Nella taratura al collaudo gli effettivi
valori degli errori di rapporto e di fase vengono, di norma, determinati in funzione della
corrente o della tensione primaria, per i valori di prestazione corrispondenti al 25% e al
100% della prestazione nominale con cos (ψ) = 0.8 ritardo. Alternativamente, è possibile
richiedere la taratura dei trasformatori di misura in condizioni di lavoro specifiche, sia in
termini di tensione o corrente, sia in termini di prestazione. Quando un trasformatore di
misura viene sottoposto a taratura in un centro certificato (per esempio dal SIT), il centro
di taratura fornisce un documento, detto certificato di taratura, che riporta i valori degli
errori di rapporto e di fase, ηTV|TA e TV|TA ), in funzione della percentuale della tensione o
della corrente nominale, per diversi valori di prestazione, nonché l’incertezza di misura
con cui i valori degli errori sono stati determinati, u ηTV|TA e u TV|TA . I dati vengono
generalmente forniti sia in forma grafica sia in forma tabellare.
L’andamento tipico degli errori di rapporto e di fase, riportato sul certificato di taratura
di un TA di classe 0.5 con prestazione nominale di 20 VA, in funzione della percentuale
della corrente nominale e della prestazione, è illustrato in Figura 9.12. L’andamento tipico
degli errori di rapporto e di fase, riportato sul certificato di taratura di un TVI o di un
TVC di classe 0.5 con prestazione nominale di 60 VA, in funzione della percentuale della
tensione nominale e della prestazione, è, invece, illustrato in Figura 9.13.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
239
9. Trasformatori di Misura
ηTV, 100 sin(εTV)
+0.8
+0.6
100 sin(εTV)
ηTV
+0.4
15 VA
+0.2
0
–0.2
15 VA
60 VA
–0.4
60 VA
–0.6
–0.8
70
90 100 110 120 130
V1/V1,N [%]
80
Figura 9.13: Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TVI in classe 0.5 con
prestazione 60 VA
I1
TA in esame
I2 I2,C
TA campione
Comparatore
Figura 9.14: Schema utilizzato per la taratura di un TA
9.6.1
Taratura di un TA
Per la taratura di un TA, si utilizza, generalmente, lo schema riportato in Figura 9.14. La
corrente I1 , generata da una sorgente di corrente programmabile, viene fatta fluire negli
avvolgimenti primari del TA in esame e di un TA campione, connessi in serie. Il TA
campione deve avere la stessa corrente primaria nominale, la stessa corrente secondaria
nominale e lo stesso rapporto di trasformazione nominale (kTA,N ) del TA in esame, ma
caratteristiche di precisione superiori. Le correnti secondarie del TA in esame e del TA
campione, I2 e I2,C , vengono confrontate tramite un apparecchio, detto comparatore, in
grado di determinare la differenza tra i moduli e tra le fasi delle due correnti.
La differenza tra i moduli delle correnti, risulta
∆I = I2 − I2,C =
240
I1
I1
−
,
kTA kTA,C
(9.7)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.6. Taratura
dove kTA e kTA,C sono, rispettivamente, i rapporti di trasformazione del TA in esame e del
TA campione. Utilizzando la (9.3), si ottiene
ηTA,C I1 I1 ηTA −
,
∆I =
1+
1+
kTA,N
100
kTA,N
100
(9.8)
dove ηTA e ηTA,C sono, rispettivamente, gli errori di rapporto del TA in esame e del TA
campione. Assumendo noto il valore di ηTA,C (tipicamente si può assumere ηTA,C = 0), si
ricava
100kTA,N ∆I
ηTA =
+ ηTA,C .
(9.9)
I1
L’incertezza di misura relativa all’errore di rapporto del TA in esame, quindi, utilizzando
la (1.39), risulta
s
u (ηTA ) =
u ηTA,C
2
!2
100kTA,N ∆I 2
100kTA,N
2
+
u (∆I)2 ,
u (I1 ) +
I1
I14
(9.10)
dove u ηTA,C è l’incertezza tipo assoluta dell’errore di rapporto del TA campione, u (I1 )
è l’incertezza tipo assoluta del generatore di corrente e u (∆I) è l’incertezza tipo assoluta
del comparatore. I valori di u ηTA,C , u (I1 ) e u (∆I) sono, in genere, forniti dai costruttori
degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore o classe di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo
distribuzione rettangolare,
√
secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per 3 (Paragrafo 4.2, Paragrafo 8.5,
Paragrafo 9.8).
La differenza tra le fasi delle correnti, risulta
θI = TA − TA,C ,
(9.11)
dove TA e TA,C sono, rispettivamente, gli errori di fase del TA in esame e del TA campione.
Assumendo noto il valore di TA,C (tipicamente si può assumere TA,C = 0), si ricava
TA = θI + TA,C .
(9.12)
L’incertezza di misura relativa all’errore di fase del TA in esame, quindi, utilizzando la
(1.39), risulta
q
u (TA ) = u TA,C 2 + u (θI )2 ,
(9.13)
dove u TA,C è l’incertezza tipo assoluta dell’errore di fase del TA campione e u (θI ) è l’in
certezza tipo assoluta del comparatore. I valori di u TA,C e u (θI ) sono, in genere, forniti
dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore o
classe di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo
distribuzione
√
rettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per 3 (Paragrafo 4.2,
Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
241
9. Trasformatori di Misura
V1
TVI o TVC in esame
TVI o TVC campione
V2 V2,C
Comparatore
Figura 9.15: Schema utilizzato per la taratura di un TVI o di un TVC
9.6.2
Taratura di un TVI o di un TVC
Per la taratura di un TVI o di un TVC, si utilizza, generalmente, lo schema riportato in
Figura 9.15. La tensione V1 , generata da una sorgente di tensione programmabile, viene
applicata agli avvolgimenti primari del TVI o del TVC in esame e di un TVI o di un TVC
campione, connessi in parallelo. Il TVI o il TVC campione deve avere la stessa tensione
primaria nominale, la stessa tensione secondaria nominale e lo stesso rapporto di trasformazione nominale (kTV,N ) del TVI o del TVC in esame, ma caratteristiche di precisione
superiori. Le tensioni secondarie del TVI o del TVC in esame e del TVI o del TVC campione, V2 e V2,C , vengono confrontate tramite un apparecchio, detto comparatore, in grado
di determinare la differenza tra i moduli e tra le fasi delle due tensioni.
La differenza tra i moduli delle tensioni, risulta
∆V = V2 − V2,C =
V1
V1
−
,
kTV kTV,C
(9.14)
dove kTV e kTV,C sono, rispettivamente, i rapporti di trasformazione del TVI o del TVC in
esame e del TVI o del TVC campione. Utilizzando la (9.5), si ottiene
ηTV,C V1 ηTV V1 ∆V =
1+
−
1+
,
(9.15)
kTV,N
100
kTV,N
100
dove ηTV e ηTV,C sono, rispettivamente, gli errori di rapporto del TVI o del TVC in esame
e del TVI o del TVC campione. Assumendo noto il valore di ηTV,C (tipicamente si può
assumere ηTV,C = 0), si ricava
ηTV =
100kTV,N ∆V
+ ηTV,C .
V1
(9.16)
L’incertezza di misura relativa all’errore di rapporto del TVI o del TVC in esame, quindi,
utilizzando la (1.39), risulta
s
!2
100kTV,N ∆V 2
100kTV,N
2
2
u (ηTV ) = u ηTV,C +
u (V1 ) +
u (∆V)2 ,
(9.17)
4
V1
V1
242
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.7. Diagramma di Moellinger
dove u ηTV,C è l’incertezza tipo assoluta dell’errore di rapporto del TVI o del TVC campione, u (V1 ) è l’incertezza tipo assoluta del generatore di tensione e u (∆V) è l’incertezza
tipo assoluta del comparatore. I valori di u ηTV,C , u (V1 ) e u (∆V) sono, in genere, forniti
dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore o
classe di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo
distribuzione
√
rettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per 3 (Paragrafo 4.2,
Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).
La differenza tra le fasi delle tensioni, risulta
θV = TV − TV,C ,
(9.18)
dove TV e TV,C sono, rispettivamente, gli errori di fase del TVI o del TVC in esame e del
TVI o del TVC campione. Assumendo noto il valore di TV,C (tipicamente si può assumere
TV,C = 0), si ricava
TV = θV + TV,C .
(9.19)
L’incertezza di misura relativa all’errore di fase del TVI o del TVC in esame, quindi,
utilizzando la (1.39), risulta
q
(9.20)
u (TV ) = u TV,C 2 + u (θV )2 ,
dove u TV,C è l’incertezza tipo assoluta dell’errore di fase del TVI o del TVC campione
e u (θV ) è l’incertezza tipo assoluta del comparatore. I valori di u TV,C e u (θV ) sono, in
genere, forniti dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure
come errore o classe di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumen√
do distribuzione rettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per 3
(Paragrafo 4.2, Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).
9.7
Diagramma di Moellinger
Quando i trasformatori di misura vengono sottoposti a taratura, gli effettivi valori degli
errori di rapporto e di fase vengono determinati in funzione della corrente o della tensione
primaria, per i valori di prestazione corrispondenti al 25% e al 100% della prestazione
nominale con cos (ψ) = 0.8 ritardo. Quando si effettuano misure di grande precisione (ad
esempio misura delle perdite su circuiti a basso fattore di potenza), può essere necessario
conoscere gli errori di rapporto e di fase in condizioni di prestazione diverse da quelle
per cui è stata effettuata la taratura. In questi casi, si può procedere ad una nuova taratura dei trasformatori nelle condizioni che interessano, ma, cosı̀ facendo, si complicano
le procedure di prova, soprattutto in termini di tempo e di costi. Si può allora ricorrere
ai diagrammi di Moellinger, che consentono di determinare gli errori per qualsiasi valore di prestazione, noti i valori degli errori di rapporto e di fase per le prestazioni usate
nella taratura. Questi diagrammi si basano sull’assunzione che il modello equivalente
dell’apparecchio considerato si comporti linearmente al variare della prestazione, entro
Piero Malcovati, Misure Elettriche
243
9. Trasformatori di Misura
Percentuale della Tensione o
della Corrente Nominale [%]
100
100
Errori
ηTV|TA 100 sin TV|TA
+0.32
+0.12
−0.350
−0.09
Prestazione
Modulo [VA] cos (ψ)
20
1
5
1
Tabella 9.9: Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di misura al 100% e al 25%
della prestazione nominale
limiti non eccedenti la prestazione nominale, per ogni data condizione di alimentazione
del primario.
Si consideri, per esempio, un trasformatore di misura che alla taratura presenti gli errori riportati in Tabella 9.9. Per un determinato valore di tensione o corrente, ad esempio
la tensione o la corrente nominale, i valori degli errori vengono riportati su un diagram
ma cartesiano, con in ordinata gli errori di fase 100 sin TV|TA e in ascissa gli errori di
rapporto ηTV|TA . Vengono, in questo modo, definiti due punti A e B come illustrato in Figura 9.16. Il segmento che unisce i punti A e B individua gli errori di fase e rapporto alla
tensione considerata, per prestazioni aventi lo stesso valore di cos (ψ) e modulo arbitrario
(il modulo della prestazione varia linearmente tra i punti A e B). Il punto corrispondente
a prestazione nulla (punto O) può essere facilmente determinato per estrapolazione, prolungando il segmento AB in proporzione. Per prestazioni con valore di cos (ψ) diverso
da quello per cui si hanno a disposizione i dati, si ruota il segmento OA, prendendo come centro il punto O e muovendosi in senso antiorario se ψ cresce ed in senso orario se
ψ diminuisce, ottenendo cosı̀ i valori di ηTV|TA e TV|TA . Per quanto riguarda l’incertezza
di misura, si assumono, in generale, per u ηTV|TA e u TV|TA i valori di incertezza tipo
assoluta degli errori di rapporto e di fase forniti dal certificato di taratura di partenza.
9.8
Incertezza di Misura
Quando si effettuano misurazioni utilizzando trasformatori di misura, occorre tener conto
degli errori di rapporto e di fase dei trasformatori stessi, nonché dell’incertezza di misura
con cui gli errori di rapporto e di fase sono stati determinati. Nella pratica, per ciascun
trasformatore di misura utilizzato, si possono presentare due diverse situazioni:
• si ha a disposizione il certificato di taratura del trasformatore di misura e, quindi, si
conoscono i valori degli errori di rapporto e di fase nelle condizioni di utilizzo del
trasformatore, nonché la relativa incertezza di misura;
• non si ha a disposizione il certificato di taratura e si conosce solo la classe di
precisione del trasformatore di misura.
Nel caso in cui si abbia a disposizione il certificato di taratura, gli errori di rapporto
e di fase del trasformatore di misura e la relativa incertezza si ottengono direttamente dal
certificato di taratura. Se le condizioni di lavoro del trasformatore di misura, in termini di
prestazione, sono differenti da quelle per cui è stata effettuata la taratura, per determinare i
244
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.8. Incertezza di Misura
+1.0
100 sin(εTV|TA)
0.5
ψ
0
A
OB
–0.5
–1.0
–1
A:
B:
O:
ψ:
–0.5
0
ηTV|TA
+0.5
+1
Punto al 100% della prestazione nominale cos(ψ) = 1
Punto al 25% della prestazione nominale cos(ψ) = 1
Punto a prestazione nulla
Generico argomento della prestazione
Figura 9.16: Diagramma di Moellinger
Piero Malcovati, Misure Elettriche
245
9. Trasformatori di Misura
valori degli errori di rapporto e di fase e la relativa incertezza, si può ricorrere ai diagrammi di Moellinger, come descritto nel Paragrafo 9.7. In ogni caso, in questa situazione,
si conoscono i valori di ηTV , TV , u (ηTV ) e u (TV ) oppure di ηTA , TA , u (ηTA ) e u (TA ), che
possono essere direttamente utilizzati per l’elaborazione dei risultati della misurazione.
Nel caso in cui non si abbia a disposizione il certificato di taratura, il valore degli
errori di rapporto e fase non è noto, per cui si assume ηTV = TV = 0 oppure ηTA = TA =
0. Il campo di variazione degli errori di rapporto e di fase, identificato dalla classe di
precisione, viene, invece, utilizzato per determinare i valori di u (ηTV ) e u (TV ) oppure di
u (ηTA ) e u (TA ). Per i TVI e i TVC, nota la classe di precisione, dalla Tabella 9.5 o dalla
Tabella 9.7 si ottengono i campi di variazione di ηTV e TV , (ηTV ) e (TV ). Assumendo
per (ηTV ) e (TV ) una distribuzione rettangolare, si ricorre alla (1.33) per determinare le
relative incertezze tipo assolute, ottenendo

(ηTV )



u (ηTV ) = √




3

.
(9.21)



(TV )



 u (TV ) = √

3
Per i TA, nota la classe di precisione e la percentuale della corrente nominale a cui il
TA lavora, dalla Tabella 9.1 o dalla Tabella 9.2 per interpolazione lineare si ottengono
i campi di variazione di ηTA e TA , (ηTA ) e (TA ). In particolare, indicando con I1%,i i
valori della percentuale della corrente nominale presenti in Tabella 9.1 o in Tabella 9.2 e
con I1% = 100 · I1 /I1,N la percentuale della corrente nominale a cui il TA lavora, occorre
identificare i valori I1%,k e I1%,l tali per cui I1%,k ≤ I1% ≤ I1%,l . Per interpolazione, quindi,
si ottiene

l (ηTA ) − k (ηTA )



(η
)
(η
)
=
+
I
−
I
TA
k
TA
1%
1%,k



I1%,l − I1%,k

,
(9.22)



l (TA ) − k (TA )



 (TA ) = k (TA ) + I1% − I1%,k
I1%,l − I1%,k
dove k (ηTA ), l (ηTA ), k (TA ) e l (TA ) sono, rispettivamente, i campi di variazione degli
errori di rapporto e di angolo, corrispondenti a I1%,k e I1%,l in Tabella 9.1 o Tabella 9.2.
Assumendo per (ηTA ) e (TA ) una distribuzione rettangolare, si ricorre alla (1.33) per
determinare le relative incertezze tipo assolute, ottenendo

(ηTA )



u (ηTA ) = √




3

.
(9.23)



(TA )



 u (TA ) = √

3
9.9
Misure di Tensione Residua in Sistemi Trifase
Per l’alimentazione di particolari protezioni di terra su sistemi funzionanti con neutro
isolato, si ricorre a volte all’impiego di tre TVI monofase con i primari collegati a stella
246
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase
1
2
3
VP
Figura 9.17: Schema di inserzione di tre TVI monofase per misurare la tensione residua
ed i secondari a triangolo aperto, secondo lo schema di Figura 9.17. Tra i terminali aperti
del triangolo (tensione VP ), la tensione è nulla quando il sistema è in condizioni normali
di funzionamento, mentre assume un valore diverso da zero quando una fase va a terra.
Il diagramma vettoriale di Figura 9.18 illustra quanto avviene in caso di guasto monofase a terra netto della fase 3. In caso di guasto, la tensione E3 diviene
√ nulla (E3,G =√0),
mentre le tensioni E1 ed E2 diventano, rispettivamente, E1,G = E1 3 ed E2,G = E2 3.
Conseguentemente, la tensione residua VR risulta data da
√
VR = EG 3 = 3E,
(9.24)
dove EG = E1,G = E2,G e E = E1 = E2 = E3 . La tensione primaria nominale √
dei TVI deve,
quindi, essere pari alla tensione√nominale della rete considerata, divisa per 3 (V1,N = E,
per esempio, V1,N = 100000/ 3 V). La tensione secondaria nominale dei TVI, invece,
per garantire in condizione di guasto una tensione
VP = VR /kTV,N = 3V2,N ,
(9.25)
sufficiente ad attivare la protezione (tipicamente 100 V), risulta V2,N = VP /3 (per esempio,
V2,N = 100/3 V).
9.10
Misure di Potenza in Sistemi Monofase
Lo schema circuitale che si utilizza per effettuare misure di potenza in sistemi monofase
con trasformatori di misura è illustrato in Figura 9.19. In questo schema, il TVI o il TVC
è inserito in parallelo al carico, mentre il TA è inserito in serie al circuito, a monte del
TVI o del TVC. È possibile anche realizzare lo schema duale, con il TA inserito a valle
Piero Malcovati, Misure Elettriche
247
9. Trasformatori di Misura
1
1
E1,G
E1
E2
VR
0
E2,G
E3
2
2
3
Figura 9.18: Formazione della tensione residua VR nel caso di guasto monofase a terra
netto della fase 3 dello schema di Figura 9.17
IP
TA
U
TV
IM
A
W
V
VP
VU
Figura 9.19: Schema per la misura di potenza in un sistema monofase con trasformatori
di misura
248
Piero Malcovati, Misure Elettriche
ε
TV
9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase
ϕP
VP
ϕU
εTA
IP
IU
VU
Figura 9.20: Diagramma vettoriale delle grandezze in gioco in una misura di potenza
con trasformatori di misura
del TVI o del TVC, ma questa soluzione non viene, in genere, utilizzata per i motivi
illustrati nel Paragrafo 5.5. Il voltmetro e le voltmetriche del wattmetro sono connesse al
secondario del TVI o del TVC, mentre l’amperometro e le amperometriche del wattmetro
sono connesse al secondario del TA. Le letture degli strumenti, se necassario, devono
essere corrette per eliminare gli errori sistematici dovuti agli autoconsumi degli strumenti,
come descritto nel Paragrafo 5.5. In particolare, a seconda dello schema utilizzato, tramite
la (5.71) o la (5.72), la (5.74) o la (5.75) e la (5.81), a partire dai valori misurati (P M , I M
e V M ), si ottengono i dati corretti, PU , IU , VU e cos (ϕU ).
La potenza attiva PP assorbita dal carico, tenendo conto della presenza dei trasformatori di misura, quindi, facendo riferimento al diagramma vettoriale di Figura 9.20, risulta
PP = VP IP cos (ϕP ) =
kTA,N
kTV,N
ηTV VU
ηTA IU cos (ϕU + TA − TV ) ,
1+
1+
100
100
(9.26)
dove kTA,N e kTV,N sono i rapporti di trasformazione nominali del TA e del TVI o del TVC,
mentre ηTA , TA , ηTV e TV sono, rispettivamente, gli errori di rapporto e gli errori di fase del
TA e del TVI o del TVC, determinati come descritto nel Paragrafo 9.8. Gli angoli ϕ, TA e
TV devono essere considerati con il proprio segno (ϕ > 0 per carichi induttivi e ϕ < 0 per
Piero Malcovati, Misure Elettriche
249
9. Trasformatori di Misura
carichi capacitivi). In Figura 9.20, gli angoli sono positivi secondo le convenzioni vigenti.
Sviluppando il temine cos (ϕU + TA − TV ), si ottiene
PP =
kTV,N
kTA,N
ηTA
ηTV VU IU cos (ϕU ) cos (TA − TV ) − sin (ϕU ) sin (TA − TV ) , (9.27)
1+
1+
100
100
ovvero, considerando che cos (TA − TV ) 1 e sin (TA − TV ) TA − TV ,
kTA,N
kTV,N
(ϕ
)
(ϕ
)
(
)
V
I
cos
1
−
tan
−
.
U
U
U
U
TA
TV
ηTA
ηTV
1+
1+
100
100
PP =
(9.28)
Considerando che PU = VU IU cos (ϕU ), si ricava
kTA,N
kTV,N
ηTA
ηTV PU 1 − tan (ϕU ) (TA − TV ) .
1+
1+
100
100
Analogamente, per la potenza reattiva QP , si ottiene
PP =
QP = VP IP sin (ϕP ) =
kTA,N
kTV,N
ηTV VU
ηTA IU sin (ϕU + TA − TV ) .
1+
1+
100
100
(9.29)
(9.30)
Sviluppando il temine sin (ϕU + TA − TV ), si ottiene
QP =
kTA,N
kTV,N
ηTA
ηTV VU IU cos (ϕU ) sin (TA − TV ) + sin (ϕU ) cos (TA − TV ) , (9.31)
1+
1+
100
100
ovvero, considerando che cos (TA − TV ) 1 e sin (TA − TV ) TA − TV ,
kTA,N
kTV,N
ηTA
ηTV VU IU sin (ϕU ) 1 + cot (ϕU ) (TA − TV ) .
1+
1+
100
100
q
(ϕ
)
Considerando che QU = VU IU sin U = VU2 IU2 − P2U , si ricava
QP =
kTA,N
kTV,N
(ϕ
)
(
)
Q
1
+
cot
−
.
U
U
TA
TV
ηTA
ηTV
1+
1+
100
100
La potenza apparente S P risulta
QP =
SP =
kTA,N
kTV,N
ηTA
ηTV VU IU ,
1+
1+
100
100
(9.32)
(9.33)
(9.34)
mentre il fattore di potenza cos (ϕP ) è dato da
cos (ϕP ) = cos (ϕU ) 1 − tan (ϕU ) (TA − TV ) .
250
(9.35)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase
L’incertezza che grava sulla misura di potenza attiva deve essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando che tan (ϕU ) = QU /PU ,
si ottiene
"
#2 "
#2 "
#2


∂PP
∂PP
 ∂PP
u (PU ) +
u (VU ) +
u (IU ) +
u (PP ) = 

 ∂PU
∂VU
∂IU
"
#2 "
#2 "
#2
∂PP
∂PP
∂PP
+
u (ηTA ) +
u (ηTV ) +
u (TA ) + ,
(9.36)
∂ηTA
∂ηTV
∂TA
1
"
#2 
2


∂PP

+
u (TV ) 


∂TV
dove
kTV,N PU (TA − TV ) + QU
∂PP = kTA,N
,
(9.37)
∂PU ηTA
ηTV
QU
1+
1+
100
100
kTV,N VU IU2 (TA − TV )
∂PP = kTA,N
,
(9.38)
∂VU ηTA
ηTV
Q
U
1+
1+
100
100
kTV,N VU2 IU (TA − TV )
∂PP = kTA,N
,
(9.39)
∂IU ηTA
ηTV
QU
1+
1+
100
100
kTA,N
kTV,N
∂PP =
[PU − QU (TA − TV )] ,
(9.40)
∂ηTA 2
ηTA 1 + ηTV
100 1 +
100
100
kTV,N
∂PP = kTA,N
[PU − QU (TA − TV )] ,
(9.41)
∂ηTV ηTA
ηTV 2
1+
100 100 1 + 100
kTV,N
kTA,N
kTV,N
∂PP = ∂PP = kTA,N
(9.42)
∂TA ∂TV ηTA
ηTV QU =
ηTA
ηTV PU tan (ϕU ) .
1+
1+
1+
1+
100
100
100
100
L’incertezza che grava sulla misura di potenza reattiva deve essere valutata come
incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando che cot (ϕU ) =
PU /QU , si ottiene
"
#2 "
#2 "
#2


∂QP
∂QP
 ∂QP
u (QP ) = 
u (PU ) +
u (VU ) +
u (IU ) +

 ∂PU
∂VU
∂IU
#2 "
#2 "
#2
"
∂QP
∂QP
∂QP
+
u (ηTA ) +
u (ηTV ) +
u (TA ) + ,
(9.43)
∂ηTA
∂ηTV
∂TA
1

"
#2  2

∂QP

u (TV ) 
+


∂TV
Piero Malcovati, Misure Elettriche
251
9. Trasformatori di Misura
dove
kTV,N PU − QU (TA − TV )
∂QP = kTA,N
,
∂PU ηTA
ηTV
QU
1+
1+
100
100
kTV,N VU IU2 (TA − TV )
∂QP = kTA,N
,
∂VU ηTA
ηTV
QU
1+
1+
100
100
kTV,N VU2 IU (TA − TV )
∂QP = kTA,N
,
∂IU ηTA
ηTV
QU
1+
1+
100
100
kTA,N
kTV,N
∂QP =
[PU (TA − TV ) + QU ] ,
∂ηTA ηTA 2 1 + ηTV
100 1 +
100
100
kTV,N
∂QP = kTA,N
[PU (TA − TV ) + QU ] ,
∂ηTV ηTA
ηTV 2
1+
100 100 1 + 100
kTA,N
kTV,N
kTV,N
∂QP = ∂QP = kTA,N
P
=
U
∂TA ∂TV ηTA
ηTV
ηTA
ηTV QU cot (ϕU ) .
1+
1+
1+
1+
100
100
100
100
(9.44)
(9.45)
(9.46)
(9.47)
(9.48)
(9.49)
L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere valutata come
incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, si ottiene
s
#2 "
#2 "
#2 "
#2
"
∂S P
∂S P
∂S P
∂S P
u (VU ) +
u (IU ) +
u (ηTA ) +
u (ηTV ) , (9.50)
u (S P ) =
∂VU
∂IU
∂ηTA
∂ηTV
dove
kTV,N
∂S P = kTA,N
∂VU ηTA
ηTV IU ,
1+
1+
100
100
kTV,N
∂S P = kTA,N
∂IU ηTA
ηTV VU ,
1+
1+
100
100
kTA,N
kTV,N
∂S P =
VU IU ,
∂ηTA 2
ηTA 1 + ηTV
100 1 +
100
100
kTV,N
∂S P = kTA,N
VU IU .
∂ηTV ηTA
ηTV 2
1+
100 100 1 + 100
252
(9.51)
(9.52)
(9.53)
(9.54)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase
L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere valutata come
incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, si ottiene
"
#2 "
#2


∂ cos (ϕP )
 ∂ cos (ϕP )
u (PU ) +
u (VU ) +
u cos (ϕP ) = 


∂PU
∂VU
"
#2 "
#2
∂ cos (ϕP )
∂ cos (ϕP )
u (IU ) +
u (TA ) + ,
+
∂IU
∂TA
1
"
#2 
2


∂ cos (ϕP )

+
u (TV ) 


∂TV
(9.55)
∂ cos (ϕP ) = PU (TA − TV ) + QU ,
∂PU VU IU QU
(9.56)
2
∂ cos (ϕP ) = PU (TA − TV ) + PU QU ,
∂VU VU2 IU QU
(9.57)
2
∂ cos (ϕP ) = PU (TA − TV ) + PU QU ,
∂IU VU IU2 QU
(9.58)
∂ cos (ϕP ) = ∂ cos (ϕP ) = QU = PU tan (ϕU ) .
∂TA ∂TV VU IU
VU IU
(9.59)
dove
I valori di u (PU ), u (VU ) e u (IU ) sono dati, rispettivamente, dalla (5.64), dalla (5.5)
e dalla (5.13) per gli strumenti analogici, oppure dalla (8.17) per gli strumenti digitali, mentre i valori di u (ηTA ), u (TA ), u (ηTV ) e u (TV ) si determinano come descritto nel
Paragrafo 9.8.
Per determinare le incertezze estese U (PP ), U (QP ), U (S P ) e U cos (ϕP ) , si ricorre
poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura.
I risultati della misurazione saranno, quindi,
P = PP ± U (PP ) ,
(9.60)
Q = QP ± U (QP ) ,
(9.61)
S = S P ± U (S P ) ,
cos (ϕ) = cos (ϕP ) ± U cos (ϕP ) ,
(9.62)
(9.63)
dove PP , QP , S P e cos (ϕP ) sono dati, rispettivamente, dalla (9.29), dalla (9.33), dalla (9.34) e dalla (9.35). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
253
9. Trasformatori di Misura
Nel caso in cui venga richiesta una misura di potenza in funzione della tensione (normalmente in media o alta tensione non vengono effettuate misure in funzione della corrente), si utilizza comunque lo schema di Figura 9.19. Le espressioni della potenza attiva,
della potenza reattiva e della potenza apparente, però, diventano
kTA,N 100 + ηTV
VR
PU 1 − tan (ϕU ) (TA − TV )
PR =
100 + ηTA kTV,N
VU
!2
kTA,N 100 + ηTV
VR
QR =
QU 1 + cot (ϕU ) (TA − TV )
100 + ηTA kTV,N
VU
!2
SR =
,
(9.64)
,
(9.65)
kTA,N 100 + ηTV IU 2
V .
100 + ηTA kTV,N VU R
(9.66)
Per il fattore di potenza, invece, rimane valida la (9.35).
L’incertezza che grava sulla misura di potenza attiva in funzione della tensione deve
essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando
che tan (ϕU ) = QU /PU , si ottiene
"
#2 "
#2 "
#2


∂PR
∂PR
 ∂PR
u (PR ) = 
u (PU ) +
u (VU ) +
u (IU ) +

 ∂PU
∂VU
∂IU
"
#2 "
#2 "
#2
∂PR
∂PR
∂PR
u (ηTA ) +
u (ηTV ) +
u (TA ) + ,
+
(9.67)
∂ηTA
∂ηTV
∂TA
1
#2 
"
2


∂PR

u (TV ) 
+


∂TV
dove
!2
∂PR = kTA,N 100 + ηTV PU (TA − TV ) + QU VR ,
∂PU 100 + ηTA kTV,N
QU
VU
!2
2
2 2
2P
Q
−
2Q
−
V
I
U
U
U
U U (TA − TV ) VR
∂PR = kTA,N 100 + ηTV
,
∂VU 100 + ηTA kTV,N
VU QU
VU
∂PR = kTA,N 100 + ηTV IU (TA − TV ) V 2 ,
R
∂IU 100 + ηTA kTV,N
QU
!2
kTA,N
VR
100 + ηTV
∂PR =
∂ηTA (100 + η )2 kTV,N [PU − QU (TA − TV )] VU ,
TA
!2
∂PR = kTA,N PU − QU (TA − TV ) VR ,
∂ηTV 100 + ηTA
kTV,N
VU
254
(9.68)
(9.69)
(9.70)
(9.71)
(9.72)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase
!2
kTA,N 100 + ηTV
VR
∂PR = ∂PR =
QU
=
∂TA ∂TV 100 + ηTA kTV,N
VU
!2 .
(9.73)
kTA,N 100 + ηTV
VR
=
PU tan (ϕU )
100 + ηTA kTV,N
VU
L’incertezza che grava sulla misura di potenza reattiva in funzione della tensione deve
essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando
che cot (ϕU ) = PU /QU , si ottiene
"
#2 "
#2 "
#2


∂QR
∂QR
 ∂QR
u (PU ) +
u (VU ) +
u (IU ) +
u (QR ) = 

 ∂PU
∂VU
∂IU
"
#2 "
#2 "
#2
∂QR
∂QR
∂QR
+
u (ηTA ) +
u (ηTV ) +
u (TA ) + ,
(9.74)
∂ηTA
∂ηTV
∂TA
1
"
#2 
2


∂QR

+
u (TV ) 


∂TV
dove
!2
∂QR = kTA,N 100 + ηTV PU − QU (TA − TV ) VR ,
∂PU 100 + ηTA kTV,N
QU
VU
(9.75)
!2
2
2 2
∂QR = kTA,N 100 + ηTV 2QU − VU IU + 2PU QU (TA − TV ) VR ,
(9.76)
∂VU 100 + ηTA kTV,N
VU QU
VU
∂QR = kTA,N 100 + ηTV IU V 2 ,
(9.77)
∂IU 100 + ηTA kTV,N QU R
!2
kTA,N
100 + ηTV
VR
∂QR =
(9.78)
∂ηTA (100 + η )2 kTV,N [PU (TA − TV ) + QU ] VU ,
TA
!2
∂QR = kTA,N PU (TA − TV ) + QU VR ,
(9.79)
∂ηTV 100 + ηTA
kTV,N
VU
!2
kTA,N 100 + ηTV
VR
∂QR = ∂QR =
PU
=
∂TA ∂TV 100 + ηTA kTV,N
VU
!2 .
(9.80)
kTA,N 100 + ηTV
VR
QU cot (ϕU )
=
100 + ηTA kTV,N
VU
L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente in funzione della tensione
deve essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, si
ottiene
s
"
#2 "
#2 "
#2 "
#2
∂S R
∂S R
∂S R
∂S R
u (S R ) =
u (VU ) +
u (IU ) +
u (ηTA ) +
u (ηTV ) , (9.81)
∂VU
∂IU
∂ηTA
∂ηTV
Piero Malcovati, Misure Elettriche
255
9. Trasformatori di Misura
dove
!2
∂S R = kTA,N 100 + ηTV I VR ,
U
∂VU 100 + ηTA kTV,N
VU
2
∂S R = kTA,N 100 + ηTV VR ,
∂IU 100 + ηTA kTV,N VU
kTA,N
100 + ηTV IU 2
∂S R =
∂ηTA (100 + η )2 kTV,N VU VR ,
TA
kTA,N
IU
∂S R =
2
∂ηTV (100 + η )2 kTV,N VU VR .
TA
(9.82)
(9.83)
(9.84)
(9.85)
I valori di u (PU ), u (VU ) e u (IU ) sono dati, rispettivamente, dalla (5.64), dalla (5.5)
e dalla (5.13) per gli strumenti analogici, oppure dalla (8.17) per gli strumenti digitali, mentre i valori di u (ηTA ), u (TA ), u (ηTV ) e u (TV ) si determinano come descritto nel
Paragrafo 9.8.
Per determinare le incertezze estese U (PR ), U (QR ) e U (S R ), si ricorre poi alla (1.49),
scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. I risultati della
misurazione saranno, quindi,
P = PR ± U (PR ) ,
(9.86)
Q = QR ± U (QR ) ,
(9.87)
S = S R ± U (S R ) .
(9.88)
dove PR , QR e S R sono dati, rispettivamente, dalla (9.64), dalla (9.65) e dalla (9.66). Per
determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,
occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.
Nel caso di misure di potenza in sistemi polifase, si procede in modo analogo, estendendo lo schema di Figura 9.19, per realizzare le inserzioni descritte nel Paragrafo 5.6.
256
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Capitolo 10
Oscilloscopi
10.1
Generalità
L’oscilloscopio è uno strumento comunemente utilizzato per l’analisi di segnali variabili
nel tempo. In genere, il segnale misurato è una tensione, anche se, introducendo convertitori o trasduttori, è possibile analizzare ogni genere di grandezza. Gli oscilloscopi sono
di diversi tipi, a seconda della misura da eseguire, della frequenza e dell’ampiezza del
segnale da misurare. Inoltre, un segnale variabile nel tempo può essere analizzato in tempo reale (oscilloscopio tradizionale) o memorizzato per essere ripreso successivamente
(oscilloscopio a memoria). Gli oscilloscopi possono essere analogici o digitali. Al giorno
d’oggi, grazie al progresso delle tecnologie integrate, gli oscilloscopi analogici per applicazioni generiche, sono stati quasi completamente soppiantati dagli oscilloscopi digitali,
come è del resto accaduto in molti altri casi (per esempio i multimetri o gli analizzatori di
armoniche). La tecnologia digitale, infatti, offre prestazioni e funzioni indiscutibilmente superiori a parità di costo. Tuttavia, è utile considerare inizialmente l’oscilloscopio
analogico, per comprenderne il funzionamento ed evidenziare aspetti che, con l’uso di
strumenti digitali, si tende a trascurare.
Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale è illustrato in Figura 10.1. Esso è costituito sostanzialmente da un CRT e dai circuiti necessari per
pilotarlo. Nel CRT, un fascio di elettroni traccia una curva luminosa su uno schermo, seguendo l’andamento delle coordinate X e Y fornite, sotto forma di tensione, ai morsetti di
ingresso del CRT stesso. Tramite un interruttore, è possibile selezionare se rappresentare
il segnale VY in funzione di un altro segnale VX o in funzione del tempo.
Nel caso venga rappresentato il segnale VY in funzione del tempo, un opportuno circuito, detto base dei tempi, genera un segnale di tensione a dente di sega VdX = kt, che
scandisce il CRT in direzione X. Il segnale da misurare VY , invece, viene elaborato in modo da ottenere una tensione VdY = kY VY , tale da deflettere il fascio elettronico in direzione
Y. Sul CRT viene, quindi, rappresentata l’evoluzione del segnale VY durante l’intervallo
di tempo definito da VdX , come illustrato in Figura 10.2. Un opportuno segnale, detto
trigger, permette di sincronizzare la scansione verticale con quella orizzontale, in modo
Piero Malcovati, Misure Elettriche
257
10. Oscilloscopi
VY
Canale Y
Y
VdY
Base dei
Tempi
VX
Canale X
X
CRT
VdX
Figura 10.1: Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale
da mostrare sullo schermo un forma d’onda stabile (qualora, ovviamente, il segnale sia
periodico).
Nel caso in cui venga rappresentato il segnale VY in funzione di un altro segnale esterno VX (modalità XY), si utilizza una tensione VdX = kX VX , invece del segnale generato
dalla base dei tempi, in modo da produrre un’opportuna deflessione del fascio elettronico in direzione X. In questo caso, quindi, sul CRT, viene rappresentata l’evoluzione
del segnale VY in funzione del segnale VX , senza alcuna informazione temporale, come
mostrato in Figura 10.3.
10.2
Tubo a Raggi Catodici
L’elemento base di un oscilloscopio per uso generale analogico o digitale è il CRT. In
un oscilloscopio analogico, infatti, il CRT permette di rappresentare visivamente l’andamento di un segnale nel dominio del tempo o in funzione di un altro segnale. In un
oscilloscopio digitale, invece, esso è utilizzato come monitor (anche se in realtà in questo caso è possibile utilizzare anche display di altro tipo, come per esempio dispositivi a
cristalli liquidi).
Come illustrato in Figura 10.4, un CRT è costituito da un cannone elettronico, composto a sua volta da un catodo e da una serie di griglie o lenti, dalle placchette di deflessione
e da uno schermo, su cui viene visualizzata la forma d’onda.
10.2.1
Cannone Elettronico
All’interno del cannone elettronico, il fascio di elettroni viene generato e focalizzato. Gli
elettroni, infatti, si comportano, sotto molti aspetti, in modo simile a un raggio luminoso,
258
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.2. Tubo a Raggi Catodici
CRT
Y – Segnale da Analizzare
a
a
b
b
X – Base dei Tempi
Figura 10.2: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi
Piero Malcovati, Misure Elettriche
259
10. Oscilloscopi
Y – Segnale da Analizzare
CRT
X – Segnale da Analizzare
Figura 10.3: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalità XY
260
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Filamento
Primo Anodo Anodo Focalizzatore
Griglia di Controllo
Secondo Anodo
–(VA + VG)
0
0
–V
Placchette di Deflessione Y
–VA
Schermo
10.2. Tubo a Raggi Catodici
Placchette di
Deflessione X
Catodo
Crossover
Luminosità
Fuoco
Astigmatismo
Simmetria Cilindrica
Figura 10.4: Tubo a raggi catodici (CRT)
in quanto essi possono essere rifratti, riflessi e focalizzati tramite lenti. Le lenti elettroniche, però, a differenza di quelle ottiche, sono costituite da campi elettrici opportunamente
sagomati, invece che da materiali con proprietà ottiche diverse.
Gli elettroni, emessi per effetto termoionico dal catodo (a potenziale −VA ), riscaldato
da un apposito filamento, vengono accelerati verso il primo anodo (a potenziale 0) dalla
differenza di potenziale VA . La griglia di controllo a potenziale − (VA + VG ), posta tra
il catodo e il primo anodo, determina il numero di elettroni che costituiscono il fascio,
permettendo cosı̀ di controllare la luminosità dello schermo (Luminosità). La dimensione
del foro, denominato crossover, nella griglia di controllo, invece, determina la dimensione
geometrica del punto luminoso sullo schermo.
L’anodo focalizzatore (a potenziale −V) ha la funzione di concentrare il fascio di
elettroni, mentre il secondo anodo (a potenziale 0) introduce un’ulteriore accelerazione.
Il controllo del fuoco (Fuoco) viene normalmente posto sul secondo anodo, in modo
da non interferire con l’azione dell’anodo focalizzatore. Il controllo dell’astigmatismo
(Astigmatismo), normalmente non accessibile, è, invece, connesso a un ulteriore anodo.
La griglia di controllo, oltre a determinare la luminosità dello schermo, può anche
essere utilizzata, tramite opportuni circuiti (detti circuiti dell’asse Z), per bloccare il fascio di elettroni tra una scansione dello schermo e la successiva (Figura 10.5a). Alternativamente, questa stessa funzione può essere realizzata tramite opportune placchette di
spegnimento, che deviano il fascio al di fuori dello schermo (Figura 10.5b).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
261
10. Oscilloscopi
Griglia di Controllo
Primo Anodo
Filamento
Fascio Deviato
Schermo
Placchette di Spegnimento
Catodo
Impulso di Sblocco
Circuiti
Asse Z
(a)
(b)
Livello di Interdizione
Dalla Base dei Tempi
Luminosità
Figura 10.5: Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello schermo
tramite griglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b)
10.2.2
Placchette di Deflessione
Il fascio di elettroni, generato e focalizzato dal cannone elettronico, deve poi essere indirizzato verso le coordinate desiderate sullo schermo. Questa funzione viene svolta dalle
placchette di deflessione (X e Y). Negli oscilloscopi, in genere, si utilizza la deflessione elettrostatica, realizzata tramite placchette parallele, a cui è applicata una differenza
di potenziale. Ovviamente, si potrebbe ottenere lo stesso risultato anche utilizzando due
coppie di bobine (deflessione magnetica), come nei televisori. La deflessione magnetica
risulta molto più efficiente della deflessione elettrostatica, ma meno precisa. Pertanto, a
pari dimensione dello schermo, i CRT basati sulla deflessione magnetica hanno lunghezza
inferiore rispetto a quelli basati sulla deflessione elettrostatica, ma la posizione del fascio
sullo schermo stesso risulta controllabile con accuratezza nettamente inferiore.
10.2.3
Schermo
Lo schermo di un CRT è costituito da una lastra di vetro (in genere il tubo a vuoto stesso),
sulla cui parete interna vengono depositate sostanze (fosfori) che, colpite dagli elettroni,
emettono radiazioni luminose visibili. L’energia degli elettroni incidenti, infatti, in parte
viene dissipata sotto forma di calore, in parte ionizza il materiale e in parte eccita il materiale, provocando un’emissione luminosa per un certo periodo di tempo, come illustrato
in Figura 10.6. L’emissione luminosa in presenza di uno stimolo, ovvero quando è presente il fascio elettronico, prende il nome di fluorescenza, mentre l’emissione luminosa in
262
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Luminosità
10.3. Base dei Tempi
Corrente del Fascio
100%
90%
10%
Tempo di Formazione
Fluorescenza
Tempo di Decadimento
Fosforescenza
Uscita Luminosa Complessiva
t
Figura 10.6: Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni
assenza di stimoli, ovvero quando non è più presente il fascio elettronico, prende il nome
di fosforescenza.
10.3
Base dei Tempi
Lo schema a blocchi della base dei tempi è illustrato in Figura 10.7. Il blocco più importante è, ovviamente, il generatore di rampa, regolabile tramite il controllo Time/Division,
che genera il segnale per il canale orizzontale (X), mentre gli altri blocchi servono per
controllare e selezionare le diverse modalità di funzionamento. Il circuito di prelievo è
in realtà parte del canale verticale (Y). Nella base dei tempi esistono tipicamente tre modalità di funzionamento (triggered, auto e single-sweep), che possono essere selezionate
tramite il selettore di sweep mode.
10.3.1
Modalità Triggered
La modalità di funzionamento triggered viene, in genere, utilizzata per visualizzare segnali periodici. La base dei tempi, infatti, viene avviata da un opportuno segnale di trigger,
sincrono col segnale da visualizzare (VY ), permettendo cosı̀ di ottenere sullo schermo una
traccia stabile. Tramite un selettore (selettore di trigger), è possibile scegliere se prelevare il segnale di trigger dal segnale VY (INT), da un segnale esterno (EXT) oppure dalla
tensione di linea (LINE, per esempio 220 V, 50 Hz).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
263
10. Oscilloscopi
Selettore di Sweep Mode
Segnale di Ingresso (VY)
Auto / Trigger / Single
Canale Y
Circuito di
Prelievo
Slope
Level (+/–)
8
Circuito
Auto
INT
EXT
6
Circuito di
Hold-Off
7
5
Canale X
9
1
LINE
220 V
Circuito di
Ripristino
Generatore
di Trigger 2
3
Generatore 4
di Gate
Generatore
di Rampa
10 V
Selettore di Trigger
Circuiti Asse Z
Time / Division
Figura 10.7: Schema a blocchi della base dei tempi
In questa modalità di funzionamento il circuito auto è disabilitato, mentre il generatore di trigger fornisce in uscita un impulso ogni qual volta il segnale selezionato (INT,
EXT o LINE) attraversa una determinata soglia (Level) con una determinata pendenza
(Slope), come mostrato in Figura 10.8 (segnali 1 e 2). Il segnale ottenuto dal generatore
di trigger viene fornito in ingresso al generatore di gate, che è costituito da un circuito
bistabile (stati A e B), con uno terzo stato C metastabile, indotto dal segnale generato
dal circuito di ripristino (segnale 7). Quando nel segnale di trigger (segnale 2) compare
un impulso negativo, tale da portare la tensione in ingresso al generatore di gate al di
sotto della tensione di soglia V1 (segnale 3), il circuito bistabile commuta dallo stato A
allo stato B, avviando cosı̀ il generatore di rampa (segnali 4 e 5). Il segnale in uscita dal
generatore di gate viene fornito in ingresso ai circuiti dell’asse Z, in modo da sbloccare
il fascio elettronico, mentre il segnale in uscita dal generatore di rampa viene fornito in
ingresso al canale orizzontale (X) e allo stesso tempo al circuito di hold-off, che a sua
volta fornisce in uscita una rampa con pendenza diversa (segnale 6). Questa rampa rappresenta il segnale di ingresso al circuito di ripristino, che è normalmente costituito da
un comparatore con isteresi, con soglie VS e VR . Quando la rampa raggiunge la tensione
VS , l’uscita del circuito di ripristino cambia di stato (segnale 7), portando il generatore di
gate nello stato C. L’uscita del generatore di gate, quindi, cambia stato e il generatore di
rampa viene azzerato (segnali 3, 4 e 5). Mentre il generatore di gate si trova negli stati
B e C, gli impulsi di trigger, eventualmente sopravvenuti, vengono ignorati. A questo
punto, la rampa in uscita dal circuito di hold-off inizia a scendere (segnale 6). Quando
essa raggiunge la tensione VR , il circuito di ripristino cambia nuovamente stato (segnale
264
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.3. Base dei Tempi
1
Level
Slope –
2
Stato C
Stato A
Stato A
V1
3
V2
Stato B
1
1
4
0
0
5
VS
6
VR
1
7
0
0
8
Figura 10.8: Forme d’onda della base dei tempi in modalità di funzionamento triggered
Piero Malcovati, Misure Elettriche
265
10. Oscilloscopi
Circuito Auto
Monostabile
T = 25 ms
Level Slope (+/–)
Generatore
di Trigger
2
8 Circuito di
Ripristino
1 25 ms 1
0
S
7
9
3
Generatore
di Gate
Figura 10.9: Schema a blocchi semplificato della base dei tempi in modalità auto
7), riportando cosı̀ il generatore di gate nello stato iniziale A. Conseguentemente, quando
compare il successivo impulso nel segnale di trigger, il ciclo ricomincia, provocando una
nuova scansione orizzontale dello schermo. Nella modalità di funzionamento triggered,
quindi, la base dei tempi si comporta come un circuito monostabile.
10.3.2
Modalità Auto
La modalità di funzionamento auto ovvia agli inconvenienti che presenta la modalità di
funzionamento triggered quando il segnale di trigger è assente o molto lento (in genere
per frequenze inferiori a 40 Hz). In questa modalità di funzionamento il circuito auto è
attivo, come mostrato in Figura 10.9. Esso riceve in ingresso un impulso generato dal
circuito di ripristino (segnale 8 in Figura 10.8), nonché il segnale di uscita del generatore
di trigger (segnale 2 in Figura 10.8). Qualora non compaia alcun impulso di trigger per
un determinato tempo (generalmente 25 ms, fissato da un circuito monostabile), l’impulso generato dal circuito di ripristino viene direttamente fornito in ingresso al generatore
di gate, attraverso un interruttore (segnale 9). Pertanto, una volta terminato un ciclo di
funzionamento della base dei tempi (rampa e hold-off), inizia automaticamente un nuovo
ciclo, provocando cosı̀ una continua scansione dello schermo. Il primo impulso al generatore di gate viene fornito manualmente quando si seleziona la modalità auto. Nella
modalità di funzionamento auto, quindi, la base dei tempi si comporta come un circuito
astabile.
10.3.3
Modalità Single-Sweep
La modalità di funzionamento single-sweep viene in genere utilizzata per visualizzare
segnali non periodici. In questo caso, infatti, in modalità triggered o auto si otterrebbe
una traccia non stabile sullo schermo. In modalità single-sweep, pertanto, vengono inibiti
tutti gli impulsi di trigger successivi al primo, provocando una singola scansione dello
schermo. Questo viene ottenuto inibendo il cambiamento di stato del segnale in uscita al
266
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.4. Canale Verticale (Y)
V / Division Coarse
CRT
AC
VY
GND
V / Division Fine
K1
Attenuatore
Y
K2
V1
Amplificatore V
2
Y
a
DC
Posizione
Polarità
K3
Selettore di Ingresso
Base dei Tempi
Figura 10.10: Schema a blocchi del canale verticale (Y)
circuito di ripristino (segnale 7 in Figura 10.8) quando la rampa in uscita dal circuito di
hold-off (segnale 6 in Figura 10.8) scende al di sotto della tensione VR . Il generatore di
gate, quindi, dopo la prima scansione rimane nello stato C finché l’utente non decide di
effettuare un nuova scansione.
10.4
Canale Verticale (Y)
La funzione principale del canale verticale (Y) è di portare il segnale d’ingresso al livello
di tensione necessario a deflettere opportunamente il fascio elettronico. Lo schema a blocchi del canale verticale (Y) è mostrato in Figura 10.10. Esso è sostanzialmente costituito
da un selettore di ingresso, che determina il tipo di accoppiamento (AC, DC o GND), e
da una catena di attenuatori e amplificatori, il cui guadagno è determinato dal controllo
V/Division. L’ampiezza a della traccia visualizzata sullo schermo (numero di divisioni)
risulta data da
a = K1 K2 K3 VY ,
(10.1)
dove K1 , K2 e K3 rappresentano il guadagno (o l’attenuazione) dei diversi blocchi della
catena. Variando uno qualsiasi di questi parametri (in genere K1 a scatti a K2 in modo
fine), è quindi possibile variare l’ampiezza della traccia.
L’accoppiamento GND permette di connette l’ingresso Y a massa, in modo da determinare lo zero del segnale. Tramite il controllo Posizione, è poi possibile aggiustare
verticalmente il livello di zero in modo da porre la forma d’onda da visualizzare al centro
dello schermo. Il controllo Polarità permette di invertire la polarità del segnale. L’accoppiamento AC permette di eliminare la componente in continua del segnale da visualizzare, che è invece presente con l’accoppiamento DC. Esso viene tipicamente utilizzato per
visualizzare segnali di ampiezza ridotta sovrapposti a tensioni continue di elevato valore.
Nel canale verticale (Y) è, in genere, presente un linea di ritardo. Essa è necessaria in
tutti gli oscilloscopi con banda superiore a 10 MHz per equalizzare i ritardi del canale X e
del canale Y, permettendo cosı̀ di visualizzare il fronte di attacco del segnale. Infatti, se il
Piero Malcovati, Misure Elettriche
267
Base dei
Tempi
V / Division Coarse
VX
Attenuatore
X
V / Division Fine
Preamplificatore
X
Posizione
Beam Finder
Amplificatore
Finale X
Horizontal Display
Polarità
Placchette di Deflessione
10. Oscilloscopi
Figura 10.11: Schema a blocchi del canale orizzontale (X)
ritardo del canale X fosse superiore al ritardo del canale Y, il fronte di attacco del segnale
non verrebbe visualizzato, con conseguente perdita di informazione.
10.5
Canale Orizzontale (X)
Lo schema a blocchi del canale orizzontale (X) è illustrato in Figura 10.11. Esso è costituito da un attenuatore, da un preamplificatore e da un amplificatore finale. Tramite
un selettore (controllo Horizontal Display), la rampa generata dalla base dei tempi viene
connessa all’amplificatore finale, in alternativa al segnale fornito dal preamplificatore. I
controlli del canale X (V/Division, Posizione e Polarità) sono analoghi a quelli del canale
Y e vengono utilizzati solo in modalità XY.
10.6
Oscilloscopio a Doppia Traccia
Nell’analisi dei segnali nel dominio del tempo, è spesso importante poter visualizzare due
forme d’onda contemporaneamente (per esempio i segnali d’ingresso e di uscita di un
circuito). Quasi tutti gli oscilloscopi, pertanto, prevedono questa possibilità (oscilloscopi
a doppia traccia). Per realizzare oscilloscopi a doppia traccia, si utilizzano in genere soluzioni basate su circuiti di commutazione. Lo schema a blocchi del canale verticale (Y) di
un oscilloscopio a doppia traccia con circuiti di commutazione è illustrato in Figura 10.12.
La struttura del circuito è analoga a quella di un oscilloscopio a singola traccia. Tuttavia, i primi stadi del canale Y (selettore, attenuatore e preamplificatore) vengono duplicati
per poter prelevare i due segnale d’ingresso (VY,A e VY,B ). I segnali in uscita dai due preamplificatori vengono poi combinati tramite un circuito di commutazione e forniti in ingresso
a una singola linea di ritardo e, quindi, a un singolo amplificatore finale. Il controllo Selettore Trigger permette di selezionare il segnale di trigger da inviare alla base dei tempi
268
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.6. Oscilloscopio a Doppia Traccia
Base dei Tempi
VY,A Selettore
di
Ingresso
Posizione A
Attenuatore
A
Polarità A
Preamplificatore
A
Circuito di Commutazione
Amplificatore
di Trigger
VY,B Selettore
di
Ingresso
Attenuatore
B
Amplificatore
Finale Y
Linea di
Ritardo
A
A+ B
B
Selettore Trigger
Preamplificatore
B
Circuito
Pilota
TA
V / Division B
Posizione B
Polarità B
Placchette di Deflessione
V / Division A
A
B
ALT
CHOP
Mode A + B
Base dei Tempi (ALT) Circuiti Asse Z (CHOP)
Figura 10.12: Schema a blocchi del canale verticale (Y) di un oscilloscopio a doppia
traccia
Piero Malcovati, Misure Elettriche
269
10. Oscilloscopi
(A, B o A + B). Inoltre, un apposito circuito pilota gestisce la commutazione tra i segnali.
Agendo sul circuito pilota tramite il controllo Mode è possibile selezionare se visualizzare
il segnale VY,A (modalità A), il segnale VY,B (modalità B), la somma dei due segnali (modalità A + B) oppure entrambi i segnali utilizzando alternativamente la modalità alternate
(modalità ALT, normalmente utilizzata per frequenze superiori a 30 kHz) o la modalità
chopped (modalità CHOP, normalmente utilizzata per frequenze inferiori a 500 Hz). È
possibile anche visualizzare la differenza dei due segnali, invertendo il segnale VY,A o il
segnale VY,B tramite il controllo Polarità e selezionando la modalità A + B.
10.6.1
Modalità Alternate
In modalità alternate i segnali VY,A e VY,B vengono visualizzati alternativamente sullo
schermo in scansioni successive (durante una scansione dello schermo viene visualizzato il segnale VY,A e durante la scansione seguente il segnale VY,B ), come mostrato in
Figura 10.13.
Se i segnali sono correlati in frequenza, è sufficiente prelevate il segnale di trigger
indifferentemente dal canale A o dal canale B. Se i segnali non sono correlati in frequenza, invece, è necessario prelevare il trigger dal segnale da visualizzare (A + B, come in
Figura 10.13).
In modalità alternate è comunque possibile ottenere forme d’onda stabili sullo schermo anche in presenza di segnali scorrelati in frequenza. Un apposito segnale (TA), fornito
dalla base dei tempi provoca la commutazione del circuito dal canale A al canale B o
viceversa (tramite il circuito pilota).
10.6.2
Modalità Chopped
In modalità chopped i segnali VY,A e VY,B vengono visualizzati alternativamente sullo
schermo durante la medesima scansione, come mostrato in Figura 10.14. Ovviamente,
in questo caso, per avere una traccia stabile, i due segnali devono essere correlati in frequenza. Inoltre, la frequenza di commutazione tra un segnale e l’altro (determinata dal
circuito pilota, normalmente circa 1 MHz) deve essere molto superiore alla frequenza dei
segnali stessi. La modalità chopped, quindi, viene generalmente utilizzata per segnali
lenti.
Per evitare che i transitori di commutazione tra un segnale e l’altro appaiano sullo
schermo, occorre inviare appositi impulsi ai circuiti dell’asse Z (oltre al segnale di gate),
in modo da bloccare il fascio elettronico in corrispondenza delle commutazioni. Il segnale
Chopper viene generato dal circuito pilota.
10.7
Oscilloscopio Digitale
Il principio di funzionamento di un oscilloscopio digitale non differisce di molto da quello di un oscilloscopio analogico (i controlli sono gli stessi, come pure i blocchi base).
270
Piero Malcovati, Misure Elettriche
VY, B
t
Trigger
t
Rampa
t
Gate
t
TA
VY, A
10.7. Oscilloscopio Digitale
t
t
Figura 10.13: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in
modalità alternate
Piero Malcovati, Misure Elettriche
271
VY, B
t
Chopper
t
Rampa
t
Asse Z
VY, A
10. Oscilloscopi
t
t
Figura 10.14: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in
modalità chopped
272
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.7. Oscilloscopio Digitale
Volt / Division
VY
Circuito di
Ingresso
Clock
fS
Convertitore
A/D
Memoria
Microprocessore
Convertitori
D/A X e Y
Base dei
Tempi
Time / Division
Interfaccia
Utente
Ricostruzione e
Elaborazione
Amplificatori
Finali X e Y
Schermo
Figura 10.15: Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale
Tuttavia, le architetture interne nei due casi sono sostanzialmente diverse. Lo schema a
blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale è illustrato in Figura 10.15. Esso è costituito fondamentalmente da un circuito di ingresso (come nell’oscilloscopio analogico),
da un convertitore A/D, da un microprocessore, da una memoria e dallo schermo (con i
relativi convertitori D/A e amplificatori finali).
Il segnale da analizzare viene convertito in forma digitale, memorizzato, elaborato dal
microprocessore ed infine visualizzato sullo schermo. I vantaggi di un oscilloscopio digitale sono innumerevoli. Innanzitutto, grazie alla possibilità di memorizzare il segnale,
è possibile visualizzare chiaramente anche forme d’onda non periodiche o molto lente.
Inoltre, l’elaborazione digitale del segnale permette di includere nell’oscilloscopio numerose funzioni di misura (cursori sullo schermo, misure di frequenza, trasformata di
Fourier, operazioni matematiche, zoom), tipicamente non disponibili in oscilloscopi analogici. Infine, siccome lo schermo è gestito direttamente dal microprocessore, è possibile
realizzare facilmente oscilloscopi con numerosi canali (tipicamente quattro).
La conversione A/D del segnale da analizzare, discussa nel Capitolo 7, è la caratteristica peculiare di un oscilloscopio digitale. La precisione (risoluzione) e la velocità
(frequenza di campionamento) del convertitore A/D, infatti, determinano le prestazioni
dell’intero oscilloscopio. La banda passante BS di un oscilloscopio digitale risulta, in base al teorema si Shannon (Paragrafo 7.2), limitata dal massimo valore della frequenza di
Piero Malcovati, Misure Elettriche
273
10. Oscilloscopi
1
2
Vin
Convertitore
A/D
Convertitore
A/D
Multiplexer
Nout
n
Convertitore
A/D
Unità di
Controllo
Figura 10.16: Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda
campionamento fS (BS = fS /2). Il segnale minimo rivelabile da un oscilloscopio digitale
è legato alla risoluzione del convertitore A/D (Paragrafo 7.3).
In oscilloscopi a larga banda, per soddisfare il teorema di Shannon, vengono in genere
utilizzati n convertitori A/D in parallelo (time-interleaved), che campionano il segnale in
n istanti successivi, come illustrato in Figura 10.16. Gli n segnali digitali cosı̀ ottenuti
vengono poi ricombinati in modo da produrre un unico segnale campionato a frequenza
più alta. Per gli oscilloscopi digitali vengono in genere utilizzati convertitori A/D flash
(Paragrafo 7.5.5) o pipeline (Paragrafo 7.5.6). La frequenza di campionamento può essere
anche dell’ordine dei gigahertz.
Quando si utilizzano oscilloscopi digitali, occorre prestare particolare attenzione al
valore della frequenza di campionamento, che viene normalmente selezionata automaticamente dallo strumento in base al valore scelto con il controllo Time/Division. Qualora
si utilizzi una valore di fS troppo basso rispetto alla frequenza dei segnali da analizzare,
sullo schermo vengono visualizzati segnali a frequenza diversa da quella reale, a causa
del fenomeno dell’aliasing (Paragrafo 7.2). Per visualizzare segnali periodici a frequenza
molto elevata (superiore alla massima frequenza di campionamento disponibile), si possono utilizzare tecniche di sotto-campionamento oppure di campionamento casuale, che
sfruttano, in modo controllato, il fenomeno dell’aliasing.
274
Piero Malcovati, Misure Elettriche
10.8. Probe
C1
11.1 pF
Probe + Cavetto
R1
9 MΩ
Ccomp
Cc
Oscilloscopio
Ci
100 pF
Ri
1 MΩ
Figura 10.17: Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio
10.8
Probe
Il probe o sonda di un oscilloscopio è costituito da un cavetto coassiale, completato ad un
estremo da un puntale e all’altro da un connettore per il collegamento all’ingresso dell’oscilloscopio. I1 cavo coassiale ha la funzione di proteggere dai disturbi esterni il segnale
da inviare all’oscilloscopio, ma costituisce un carico per il circuito di misura e può produrre fenomeni di attenuazione. Il circuito equivalente del probe è illustrato in Figura 10.17
(Ri e Ci sono, rispettivamente, la resistenza e la capacità di ingresso dell’oscilloscopio).
Per ridurre gli effetti della resistenza e della capacità introdotti dal cavetto e dall’oscilloscopio sul segnale da analizzare, in genere, si introducono un resistore (R1 ) e un
condensatore (C1 ) in serie con il conduttore nel cavo coassiale. Con l’inserimento del
resistore R1 un segnale a bassa frequenza giunge all’ingresso dell’oscilloscopio attenuato
del rapporto
Ri
.
(10.2)
kR =
R1 + Ri
Di solito questo rapporto viene scelto in modo che sia un numero intero (tipicamente
kR = 1/10). Per ottenere una corretta risposta in funzione della frequenza (mantenere
l’attenuazione costante), è, però, necessario includere nel circuito anche delle capacità,
come indicato in Figura 10.17. La capacità Ccomp , detta capacità di compensazione, può
essere regolata tramite una vite, facendo in modo di soddisfare la relazione
kR =
C1
Ri
=
.
R1 + Ri C1 + Ci + Cc + Ccomp
(10.3)
In questo modo, con i valori dei parametri riportati in Figura 10.17, la resistenza di ingresso del probe è di 10 MΩ e la capacità totale di 10.3 pF. È evidente il vantaggio che si
ottiene, se si confrontano questi valori con quelli propri dell’oscilloscopio (Ri = 1 MΩ e
Ci = 100 pF).
Piero Malcovati, Misure Elettriche
275
Capitolo 11
Sensori e Trasduttori
11.1
Generalità
Un trasduttore è un dispositivo che trasforma una grandezza qualsiasi in un altra grandezza qualsiasi. Un trasduttore che trasforma una grandezza non elettrica in una grandezza
elettrica prende il nome di sensore, mentre un trasduttore che trasforma una grandezza
elettrica in una grandezza non elettrica prende il nome di attuatore, come illustrato in
Figura 11.1.
La trasduzione in elettrica di una grandezza non elettrica è, quindi, di norma eseguita
da un sensore, sensibile alla grandezza che si vuole misurare, che viene collocato nel
punto di misura. I sensori possono essere distinti in
• sensori attivi, che forniscono in uscita un segnale elettrico attivo (tensione, corrente)
ottenuto mediante una trasformazione di energia (per esempio, meccanica, termica
o luminosa) in forma elettrica;
• sensori passivi, nei quali la grandezza da misurare influenza una grandezza elettrica
passiva (resistenza, capacità), alimentata da sorgenti esterne di energia.
Grandezza
Qualsiasi
Trasduttore
Grandezza
Qualsiasi
Sensore
Attuatore
Grandezza
Elettrica
Figura 11.1: Trasduttori, sensori e attuatori
Piero Malcovati, Misure Elettriche
277
11. Sensori e Trasduttori
Z
V
I
Y
Figura 11.2: Circuiti equivalenti di un sensore attivo
Sigla
Giunzione
T
Rame/Costantana
J
Ferro/Costantana
E
Cromo/Costantana
K
Nichel-Cromo/Alumel
R
Platino/Platino-Rodio (13%)
S
Platino/Platino-Rodio (10%)
Temperatura Massima di Impiego
371◦ C
760◦ C
871◦ C
1260◦ C
1482◦ C
1482◦ C
Tabella 11.1: Termocoppie di comune impiego
Il segnale elettrico ottenuto in uscita al sensore deve poi essere elaborato, mediante una
serie di componenti, che costituisce una vera e propria catena di misura.
11.2
Sensori Attivi
Un sensore attivo può sempre essere rappresentato con uno dei circuiti equivalenti riportati in Figura 11.2, dove V = f (X), I = f (X) e X rappresenta la grandezza da misurare.
Raramente il legame fra V o I ed X è lineare. Tuttavia, deve sempre essere verificata la
condizione f (X) = 0 per X = 0, poiché la relazione funzionale deriva da interazioni di
tipo energetico.
11.2.1
Termocoppie
Le termocoppie sono sensori attivi di temperatura. Esse sono costituite da due fili di
metalli diversi, saldati insieme ad una delle estremità. Per effetto termoelettrico o effetto
Seebeck, ogni giunzione tra due conduttori diversi fornisce una forza elettromotrice, che
dipende dalla differenza di temperatura tra la giunzione stessa (giunto caldo) e gli altri
estremi dei conduttori (giunto freddo). Le termocoppie di comune impiego sono riportate
in Tabella 11.1.
Le termocoppie sono sensori assai robusti, di facile installazione e basso costo. Entro un certo campo di temperature, la tensione di uscita è ragionevolmente lineare. Lo
schema circuitale in cui il sensore è tipicamente inserito è riportato in Figura 11.3. Il
giunto freddo deve essere termostato a 0◦ C, per avere misure assolute nel dominio della
278
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Fili
della
Termocoppia
Fili
di
Compensazione
Giunto Freddo
Giunto Caldo
A
Fili di
Collegamento
11.2. Sensori Attivi
Strumento
di
Misura
B
Figura 11.3: Termocoppia con circuito di lettura
scala centigrada, oppure, in caso contrario, le variazioni di temperatura del giunto freddo
devono essere compensate automaticamente. Poiché collegamenti realizzati con materiali
diversi non influenzano la misura se le rispettive giunzioni sono isoterme, spesso il giunto
freddo è contenuto all’interno dello strumento di misura e controllato in temperatura. I fili
di compensazione vengono introdotti qualora la distanza fra il giunto caldo e lo strumento
di misura sia apprezzabile e sono realizzati con gli stessi materiali che costituiscono la
termocoppia.
Le cause di errore nella forza elettromotrice fornita dalle termocoppie sono fondamentalmente tre:
• le modalità di applicazione del giunto caldo all’oggetto del quale si vuole rilevare
la temperatura;
• la capacità termica del sensore;
• la trasmissione del calore attraverso i conduttori, per cui la termocoppia tende a
raggiungere l’equilibrio termico con tutto l’ambiente, non con il solo oggetto con
cui il giunto caldo è a contatto.
È, quindi, fondamentale scegliere la termocoppia da usare, non solo sulla base della gamma di temperatura, ma anche sulla base del tipo di impiego previsto, che ne determina
le dimensioni fisiche, il grado di calibrazione, il tipo di guaina protettiva e le condizioni
ambientali d’uso. Lo strumento di misura deve avere impedenza d’ingresso molto elevata,
in quanto la corrente che fluisce nella termocoppia deve essere trascurabile, sia per evitare cadute di tensione sulla resistenza di uscita della termocoppia stessa, sia per evitare
di modificare la temperatura del giunto caldo per effetto Peltier (effetto duale dell’effetto
Seebeck).
In Figura 11.4 è riportato l’andamento della forza elettromotrice in funzione della
temperatura per le termocoppie citate in Tabella 11.1.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
279
11. Sensori e Trasduttori
60
B
50
F
Tensione [mV]
B
40
B
F
J
F
J
30
B
B
J
20
B
J
10
0
H
É
Ñ
B
J
F
H
0
J
B
H
F
Ñ
É
F
Ñ
É
200
J
J
H
H
H
F
F
F
F
Ñ
É
400
E
J
J
H
T
F
K
Ñ
R
É
S
F
F
Ñ
É
B
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
600
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
Ñ
É
É
É
800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Temperatura [˚C]
Figura 11.4: Forza elettromotrice in funzione della temperatura per le termocoppie
citate in Tabella 11.1
11.2.2
Sensori Fotoelettrici
I sensori fotoelettrici vengono utilizzati per misure di intensità luminosa. Questi sensori
generano una corrente proporzionale alla potenza della radiazione luminosa incidente. Tra
i sensori fotoelettrici, i dispositivi più comunemente utilizzati sono i fotodiodi (al silicio
o al germanio), che generano correnti specifiche dell’ordine di 10 mA/mW con costanti
di tempo dell’ordine di 10 ns. Questi dispositivi sono assai sensibili alla temperatura e la
risposta è lineare solo se essi vengono polarizzati opportunamente.
I fotodiodi si basano sulla generazione di portatori (elettroni e lacune) nella zona
svuotata di una giunzione p-n per effetto della radiazione luminosa, come illustrato in
Figura 11.5. La corrente generata da un fotodiodo è data da
I=
ηqµτλVA Pλ
,
hcL2
(11.1)
dove c è la velocità della luce, q è la carica dell’elettrone, Pλ è la potenza luminosa incidente con lunghezza d’onda λ, VA è la tensione di polarizzazione inversa del fotodiodo, η
è l’efficenza quantica, µ è la mobilità dei portatori, τ è il tempo di vita medio dei portatori nella zona svuotata, L è la distanza tra gli elettrodi del fotodiodo e h è la costante di
Planck.
280
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.2. Sensori Attivi
Campo Elettrico Applicato
Campo Elettrico Applicato
Elettrone
Elettrone
Fotoeccitazione
Fotoeccitazione
Banda di
Conduzione
Banda di
Valenza
Lacuna
Materiale Intrinseco
Materiale Estrinseco
Figura 11.5: Effetto fotoelettrico in un fotodiodo
Oltre che per misure dirette di intensità luminosa, i sensori fotoelettrici vengono utilizzati, spesso, in combinazione con emettitori di radiazione luminosa, anche per misure
indirette di posizione o velocità (righe ed encoder ottici) e per realizzare fotocellule.
11.2.3
Sensori Piezoelettrici
I sensori piezoelettrici convertono sforzi di trazione, compressione o di taglio in forze
elettromotrici. Sottoponendo dei cristalli opportunamente tagliati a tali sforzi, sulle facce
si originano cariche elettriche dell’ordine di 10−9 C/N, che producono sulla capacità propria del cristallo e su eventuali capacità esterne delle differenze di potenziale, misurabili
con strumenti ad alta impedenza. Il materiale piezoelettrico per eccellenza è il quarzo, ma
esistono anche alcune ceramiche con buone caratteristiche di piezoelettricità.
Per un sensore piezoelettrico si definisce sensibilità di carica la grandezza
SQ =
Q
,
P
(11.2)
dove Q è la carica prodotta e P lo sforzo applicato. Poiché
V=
Q SQ
=
P,
C
C
(11.3)
dove V è la forza elettromotrice generata e C = CS + CC è la capacità equivalente di tutto
ciò che si trova a monte del punto dove si rileva V (inclusi i cavi di collegamento e la
capacità di ingresso dello strumento di misura), la sensibilità in tensione del trasduttore è
data da
SQ
Q
Q
SV =
=
=
.
(11.4)
C
PC P (CS + CC )
Dalla (11.4) si vede che S V varia con CC e, quindi, con le condizioni di impiego del
sensore (cavi di collegamento e strumento di misura). Per ovviare a questo inconveniente,
si interpongono, perciò, frequentemente fra sensore e strumento di misura degli opportuni
amplificatori di carica (integratori), come illustrato in Figura 11.6, i quali determinano una
Piero Malcovati, Misure Elettriche
281
11. Sensori e Trasduttori
Amplificatore
Sensore
Q ~
Cavo
CS
CC
V
VU
Strumento
di
Misura
CR
Figura 11.6: Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici
I
W
B
I VU
L
Figura 11.7: Sensore ad effetto Hall
tensione d’uscita proporzionale alla carica Q (non alla tensione V) e svincolano, cosı̀, il
valore di S V dalle variazioni di CC . Vale, infatti, la relazione
VU =
Q
.
CR
(11.5)
Questi trasduttori attivi hanno frequenze di risonanza elevate (decine di megahertz)
e, quindi, si prestano bene a rilievi in regime dinamico. Inoltre, essi sono molto robusti
e di ridotte dimensioni. Essi sono, però, sensibili alla temperatura ed all’umidità e sono
difficili da calibrare in condizioni statiche.
11.2.4
Sensori ad Effetto Hall
I sensori basati sull’effetto Hall vengono utilizzati per misurare campi magnetici. Un sensore a effetto Hall è costituito da una croce di materiale conduttivo con quattro terminali,
come illustrato in Figura 11.7. Se tra due terminali opposti del sensore fluisce una corrente continua I, in presenza di un campo di induzione magnetica B, perpendicolare al
sensore stesso, tra gli altri due terminali si sviluppa una differenza di potenziale VU . Que282
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
sta differenza di potenziale, proporzionale a B, è dovuta alla interazione tra B e I (forza di
Lorentz), che devia i portatori di carica. La tensione VU risulta data da
VU =
G
IB,
n p qt
(11.6)
dove t è lo spessore del sensore, q la carica dell’elettrone, n p la densità di portatori e G
è un parametro che dipende dalle caratteristiche geometriche del materiale (W e L), dalla
mobilità dei portatori (µ) e dal campo di induzione magnetica (B).
I sensori ad effetto Hall devono essere letti con strumenti ad alta impedenza, per evitare assorbimenti di corrente. Questi sensori sono, spesso, utilizzati insieme a magneti
permanenti per effettuare misure indirette di posizione o velocità (encoder magnetici). In
pratica, in questo caso, si rileva il passaggio del magnete permanete sopra un sensore ad
effetto Hall.
11.3
Sensori Passivi
In un sensore passivo, la grandezza da misurare influenza una grandezza elettrica passiva.
Supponiamo, quindi, che una grandezza elettrica passiva Y (Y = R, Y = C, Y = L, Y = M)
sia una funzione della grandezza incognita X, rappresentabile con il suo sviluppo in serie
intorno ad un determinato valore X0 ,
Y = f (X) = Y0 [1 + k (X − X0 ) + · · · ] ,
(11.7)
dove Y0 = f (X0 ). In generale, per un dato valore di X0 , si può, quindi, scrivere
∆Y = k∆X.
(11.8)
Generalmente, occorre, dunque, misurare le variazioni di Y e non il suo valore assoluto. Si
dovranno, perciò, usare metodi di misura caratterizzati da elevata sensibilità. Bisognerà,
altresı̀, tenere conto di eventuali variazioni di Y dovute a grandezze diverse da X (per
esempio la temperatura).
Poiché il sensore è passivo, esso necessita, in ogni caso, un generatore ausiliario di
energia elettrica, per cui il circuito equivalente, nel caso di sensore resistivo (Y = R), è
quello indicato in Figura 11.8.
11.3.1
Termometri
Lo schema di un termometro (o termosonda) a resistenza di platino, illustrato in Figura 11.9, prevede un generatore di corrente costante I che alimenta la serie di R1 , R2 e del
resistore di platino RPt . Ai morsetti di RPt si preleva la caduta di tensione, che determina
la tensione di uscita VU . I resistori R3 ed R4 sono inseriti per adattare l’impedenza allo
strumento rilevatore, il quale deve avere un’impedenza di ingresso assai elevata. In tali
Piero Malcovati, Misure Elettriche
283
Alimentazione
11. Sensori e Trasduttori
Ri
R = f(X)
V
Figura 11.8: Circuito equivalente di un sensore passivo
R3
R1
RPt
R2
I
VU
R4
Figura 11.9: Termometro a resistenza di platino
284
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
condizioni, ad una variazione di temperatura di RPt corrisponde una variazione della resistenza e, quindi, di VU . La resistenza d’uscita di questi sensori va da 100 Ω (PT100) a
1 kΩ (PT1000). Il campo di impiego si estende fino a temperature dell’ordine di 850◦ C.
Il platino altamente raffinato è praticamente incontaminabile chimicamente, è meccanicamente ed elettricamente stabile e presenta un legame lineare R = f (T ), dove T è la
temperatura assoluta. Anche deriva ed errore di invecchiamento sono trascurabili. Il costo è però ben 8 ÷ 10 volte quello di una termocoppia. La lettura in uscita è proporzionale
alla temperatura assoluta T , per cui non sono necessarie operazioni di termostatazione.
Le dimensioni ed il montaggio determinano le condizioni di trasmissione ed accumulo
del calore e, perciò, la costante di tempo del sensore. Sensori in rame e nichel sono meno
costosi, ma hanno un campo di funzionamento lineare più ridotto e sono meno stabili.
I termistori sono resistori realizzati con semiconduttori aventi coefficiente di temperatura elevato e negativo,
k
2
− T −T
R = k1 e
0
.
(11.9)
Essi permettono di realizzare sensori molto sensibili e con elevata velocità di risposta. La
tecnologia dell’invecchiamento artificiale permette di ottenere elementi di buona stabilità,
con resistività elevate (100 ÷ 1000 Ωm). Essi, però, vanno tarati singolarmente perché
difficilmente riproducibili.
I diodi a semiconduttore possono essere utilizzati come sensori di temperatura, specialmente all’interno di circuiti integrati. Infatti, qualora un diodo venga attraversato da
una corrente costante I, la caduta di tensione ai sui capi risulta
!
I
kT
ln
,
(11.10)
VU =
q
I0
dove T è la temperatura assoluta, k la costante di Boltzmann, q la carica dell’elettrone
e I0 = f (T ) la corrente di saturazione del diodo. Per via della dipendenza da T di I0 ,
la (11.10) non è lineare. Pertanto al fine di ottenere una caratteristica lineare, si ricorre
spesso al circuito di Figura 11.10, in cui due diodi identici, accoppiati termicamente,
vengono polarizzati con correnti diverse (I1 e I2 ). Assumendo I2 = βI1 , la tensione di
uscita, prelevata ai capi dei diodi, data da
!
!
kT
I1
kT
I2
kT
ln
−
ln
=
ln (β) ,
(11.11)
VU =
q
I0
q
I0
q
risulta proporzionale alla temperatura assoluta.
11.3.2
Estensimetri
Gli estensimetri vengono impiegati per convertire una deformazione in una variazione di
resistenza. Se ne impiegano di due tipi: a filo ed a semiconduttore.
Gli estensimetri a filo o strain gauge, sono placchette da incollare direttamente sul
pezzo assoggettato a deformazione. Essi sono costruiti con fili molto sottili di materiale
conduttore, con resistività ρ, che, se assoggettati a trazione, aumentano la loro resistenza
Piero Malcovati, Misure Elettriche
285
11. Sensori e Trasduttori
I1
I2
VU
D1
D2
Figura 11.10: Sensore di temperatura a diodi
elettrica. Essi, infatti, aumentano la loro lunghezza l e vedono diminuire la loro sezione
A, per cui la loro resistenza,
ρl
R= ,
(11.12)
A
aumenta, stabilendo un legame fra la variazione di resistenza ∆R = R − R0 e la sollecitazione che l’ha determinata (R0 è il valore nominale di resistenza). Il filo viene montato
sul supporto ripiegato a griglia, come illustrato in Figura 11.11, in modo che ∆R risulti
dalla deformazione contemporanea di più sezioni affiancate di conduttore. Tipicamente,
vengono impiegati materiali conduttori ad alta resistività, come:
• Karma (Ni + Cr + Al + Fe);
• Isoelastic (Ni + Cr + Fe + Mo);
• Cromel-C (Ni +Cr + Fe);
ridotti in fili di sezione contenuta, tipicamente del valore di 1.13 ÷ 4.9 mm2 .
La sensibilità o gauge factor di questi dispositivi è definita come
Gf =
∆R/R
.
∆l/l
(11.13)
Assumendo che sotto sforzo non si abbiano variazioni di resistività, si può dimostrare che
G f = 1 + 2ν,
(11.14)
dove ν denota il modulo di Poisson del materiale. Questo non è sempre vero, perché i
valori di G f superano frequentemente il valore 1.5 ÷ 1.8, che dovrebbe essere invalicabile,
poiché ν = 0.25 ÷ 0.40 in tutti i materiali metallici. Pertanto, si deve riconoscere che, in
realtà,
∆R ∆l
∆l ∆ρ
=
+ 2ν +
,
(11.15)
R
l
l
ρ
ovvero che, sotto sforzo meccanico, la resistenza del filo varia anche per effetto di una
variazione di resistività ∆ρ (piezoresistività), il cui contributo è considerevole. Il valore
del gauge factor è, pertanto,
G f = 1 + 2ν +
286
∆ρ l
.
ρ ∆l
(11.16)
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
F
F
Pezzo Sotto Misura
Adesivo
Supporto
Adesivo
Filo Estensimetrico
Coperchio
Figura 11.11: Estensimetro a filo
Attualmente, l’evoluzione della tecnologia costruttiva, ha condotto alla quasi completa sostituzione dei fili con delle lamine (fogli di lamierino dello spessore di alcuni
micrometri), su cui sono incisi o fotoincisi i conduttori estensimetrici.
Gli estensimetri a semiconduttore sfruttano fondamentalmente l’effetto delle piezoresistività, poiché essa è oltremodo accentuata per alcuni semiconduttori drogati, nei quali
la tensione meccanica determina una variazione del salto di energia fra le bande di valenza e di conduzione. In questi estensimetri, il valore di G f è 50 ÷ 60 volte maggiore
rispetto al caso degli estensimetri a filo. Le dimensioni sono molto piccole (fino a spessori
di 0.013 mm e larghezza di 0.51 mm), mentre il campo di deformazione entro cui G f è
costante è molto ristretto e la dipendenza dalla temperatura è assai alta. Si possono, però,
con notevole cura nell’installazione, misurare deformazioni anche di 0.1 µm, cioè cento
volte più piccole di quelle rilevabili con gli estensimetri a filo, ma non si possono superare
i 2000 µm, ovvero circa un terzo del limite massimo ottenibile con gli estensimetri a filo.
L’isteresi elastica dell’estensimetro definisce il campo entro cui la risposta è lineare.
Va notato che, sotto questo aspetto, il punto debole dell’estensimetro è l’adesivo. Questo, infatti, deve assolvere la funzione fondamentale di trasmettere all’estensimetro stesso
la deformazione del pezzo, senza alterarla, e, quindi, esso dovrebbe avere, teoricamente,
modulo elastico infinito. Inoltre, esso deve conservarsi isotropo, al fine di mantenere lo
stesso legame fra sforzo e deformazione in ogni direzione ed in un intervallo ampio di
temperature di funzionamento. Infine, esso contribuisce all’isolamento verso massa delPiero Malcovati, Misure Elettriche
287
11. Sensori e Trasduttori
V1
E1
V1
F
F
R1
V3
V2
V3
E2
R2
F
F
V2
Figura 11.12: Estensimetro in configurazione a semi-ponte
l’estensimetro (una resistenza finita verso massa si tramuta in una variazione apparente di
deformazione). Oggi si impiegano adesivi in grado di soddisfare questi requisiti, ciascuno
per un opportuno campo di temperature e di deformazioni.
Negli estensimetri, tipicamente, ρ, l ed A, oltre a dipendere dallo deformazione, dipendono anche dalla temperatura. Al fine di minimizzare questo effetto, gli estensimetri
vengono spesso realizzati con una struttura a semi-ponte, come illustrato in Figura 11.12.
Il sensore è costituito da due estensimetri, E1 e E2 , ruotati di 90◦ uno rispetto all’altro.
L’estensimetro E1 presenta una variazione di resistenza significativa, in presenza di una
deformazione in direzione orizzontale, mentre per l’estensimetro E2 , la variazione di resistenza, in corrispondenza della medesima deformazione, risulta trascurabile per via della
rotazione di 90◦ (l’estensimetro E2 sarebbe sensibile a una deformazione in direzione
verticale). Entrambi gli estensimetri, invece, presentano la medesima dipendenza dalla
288
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
temperatura. Pertanto, i valori di resistenza per i due estensimetri sono dati da
!

∆l




 R1 = R0 1 + G f l (1 + κ∆T )
,




 R = R (1 + κ∆T )
2
0
(11.17)
dove κ è il coefficiente di temperatura e ∆T = T − T 0 la differenza di temperatura rispetto
alla temperatura nominale T 0 .
L’estensimetro in configurazione a semi-ponte può essere utilizzato per realizzare un
ponte di Wheatstone (Paragrafo 6.2), in cui R x = R1 e Ra = R2 (Figura 6.1). Utilizzando
la (6.6), con il ponte di Wheatstone in condizione di equilibrio, risulta
R1 = R2
Rc
.
Rb
Sostituendo nella (11.18) i valori di R1 e R2 dati dalla (11.17), si ottiene
!
∆l
Rc
(1 + κ∆T ) = R0 (1 + κ∆T ) ,
R0 1 + G f
l
Rb
e, quindi,
!
1 Rc
∆l
=
−1 .
l
G f Rb
(11.18)
(11.19)
(11.20)
Il valore di deformazione ∆l/l cosı̀ ottenuto risulta indipendente dalla temperatura, nonché
dal valore di R0 .
Alternativamente, è possibile ottenere il valore di deformazione utilizzando il circuito
illustrato in Figura 11.13. La tensione di uscita VU , in questo caso, risulta data da
VU = VB
R1 + R2
.
R2
Sostituendo la (11.18) nella (11.21), si ottiene
!
∆l
(1 + κ∆T ) + R0 (1 + κ∆T )
!
R0 1 + G f
l
∆l
= VB 2 + G f
,
VU = VB
R0 (1 + κ∆T )
l
e, quindi,
!
∆l
1 VU
=
−2 .
l
G f VB
(11.21)
(11.22)
(11.23)
Il valore di deformazione ∆l/l cosı̀ ottenuto risulta ancora indipendente dalla temperatura
e dal valore di R0 .
Il valore della corrente che fluisce nell’estensimetro è determinato dalla quantità di
calore dissipabile, poiché non si possono superare temperature di esercizio che potrebbero
danneggiare supporto e adesivo.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
289
11. Sensori e Trasduttori
R1
V3
V2
V1
R2
VU
VB
Figura 11.13: Circuito di lettura per un estensimetro in configurazione a semi-ponte
+V
C1
C2
+F
–F
Δd
0
F = 0 per Δd = 0
–V
Figura 11.14: Sensore capacitivo differenziale
11.3.3
Sensori Capacitivi
I sensori capacitivi convertono, generalmente, spostamenti in variazioni di capacità, ma
possono essere usati, indirettamente, anche per misurare accelerazioni (accelerometri e
giroscopi), pressione, velocità o forze. Essi possiedono svariate forme costruttive, per
cui in Tabella 11.2 sono riportate le espressioni della capacità in funzione dei parametri
geometrici per diversi tipi di condensatori.
Spesso, in un sensore capacitivo, un’armatura del condensatore è costituita dal pezzo
di cui si vuole misurare lo spostamento. In tal caso, si determina una forza attrattiva F fra
le armature che, per un condensatore piano a due armature, vale
F=
1 C2V 2
,
2 d
(11.24)
dove V è la tensione applicata alle armature. Questa forza può produrre uno spostamento
del pezzo, falsando la misura. Pertanto, tipicamente, si preferisce utilizzare sensori differenziali, per i quali la forza F è nulla se l’elemento mobile è centrato e minimizzabile
senza grosse difficoltà per piccoli spostamenti, come illustrato in Figura 11.14. Inoltre,
290
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
Tipo
Capacità
Condensatore piano a N armature
d
C=
(N − 1) A
d
A
ε
Condensatore piano con più dielettrici
d1 d2
C=
A
d1 d2
+
1 2
A
ε1 ε 2
Condensatore piano a settore circolare
δ
C=
ε, d
R2 − r2 δ
2d
R
r
Condensatore cilindrico
d ε
l
2πl
D con D d
log
d
πl (D + d)
d
C=
con D − d 2 (D − d)
2
C=
D
Tabella 11.2: Espressione della capacità in funzione dei parametri geometrici per
diversi tipi di condensatore
Piero Malcovati, Misure Elettriche
291
11. Sensori e Trasduttori
–V
CK
CK
+V
CK
C2
CF
CK
CK
C1
A
VU
CK
CK
Figura 11.15: Circuito per la lettura di sensori capacitivi
in un sensore capacitivo non differenziale, il legame tra la capacità C e lo spostamento d,
dato da
A
,
(11.25)
C=
d
non è lineare. Pertanto, la variazione capacitiva ∆C = C − C0 rispetto al valore di capacità
nominale C0 , dovuta a uno spostamento ∆d = d − d0 rispetto alla posizione di riposo d0 ,
data da
A
A∆d
A
−
=− 2
,
(11.26)
∆C =
d0 + ∆d d0
d0 + d0 ∆d
risulta anch’essa non-lineare. Per un sensore capacitivo differenziale, invece, la variazione
di capacità ∆C = C1 − C2 , dovuta a uno spostamento ∆d, data da
∆C =
A
A
2A∆d
−
=− 2
,
d0 + ∆d d0 − ∆d
d0 − (∆d)2
(11.27)
può essere considerata lineare per ∆d d0 e risulta
∆C = −
2A∆d
.
d02
(11.28)
Per la lettura dei sensori capacitivi, è possibile utilizzare diverse tecniche circuitali, tra
cui metodi di ponte in corrente alternata (Paragrafo 6.4) e oscillatori. Tuttavia, il circuito
maggiormente utilizzato è quello illustrato in Figura 11.15, che si basa sulla tecnica delle
capacità commutate. In questo circuito le capacità C1 e C2 rappresentano il sensore (C1 =
292
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
C0 + ∆C e C2 = C0 − ∆C, se il sensore è differenziale, oppure C1 = C0 + ∆C e C2 = C0 ,
se il sensore non è differenziale). Quando il segnale di clock CK è al livello logico alto, la
capacità C F viene scaricata, mentre le capacità C1 e C2 vengono caricate, rispettivamente,
alle tensioni +V e −V e, pertanto,


Q
= C1 V


 1,CK
Q
(11.29)

2,CK = −C 2 V .


 Q
=0
F,CK
La tensione VU risulta, quindi, nulla. Quando il segnale di clock CK è al livello logico
basso (CK è al livello logico alto), le capacità C1 e C2 vengono scaricate e, siccome il nodo
A risulta isolato, le cariche Q1,CK e Q2,CK vengono trasferite sulla capacità C F . Pertanto,
si ottiene



 Q1,CK = 0

Q2,CK = 0
.
(11.30)



 Q
F,CK = Q1,CK + Q2,CK
La tensione di uscita VU è, quindi, data da
VU =
QF,CK
CF
=
C1 V − C2 V
.
CF
(11.31)
Se si considera un sensore differenziale, la tensione VU risulta
VU = V
C0 + ∆C − C0 + ∆C 2∆C
=
V,
CF
CF
(11.32)
mentre, se il sensore non è differenziale, si ottiene
VU = V
C0 + ∆C − C0 ∆C
=
V.
CF
CF
(11.33)
La tensione VU è, ovviamente, significativa solo quando il segnale CK è al livello logico alto. Pertanto, occorre poi campionare opportunamente VU con un sample-and-hold,
pilotato da CK (Figura 7.5).
Tra i sensori capacitivi, attualmente, rivestono grande importanza i dispositivi realizzati con tecnologia Micro-Electro-Mechanical System (MEMS), con cui è possibile realizzare accelerometri, giroscopi e sensori di pressione, caratterizzati da dimensioni estremamente ridotte, utilizzando materiali e processi tipici dei circuiti integrati. Un esempio
di accelerometro MEMS è mostrato in Figura 11.16.
11.3.4
Sensori Induttivi
I sensori induttivi sono impiegati per misure di spostamento e si basano sulla variazione
di induttanza di una bobina, in funzione della riluttanza del circuito magnetico concatenato, o sulla variazione di mutua induttanza fra due circuiti elettrici magneticamente
concatenati.
Piero Malcovati, Misure Elettriche
293
11. Sensori e Trasduttori
Figura 11.16: Esempio di accelerometro capacitivo MEMS
Δl
E1
V ~
VU
E2
Figura 11.17: Sensore induttivo
294
Piero Malcovati, Misure Elettriche
11.3. Sensori Passivi
Un tipico sensore induttivo è illustrato in Figura 11.17. In questo sensore,
VU = ∆E = E2 − E1 = k∆l.
(11.34)
I sensori induttivi vengono impiegati per misure differenziali e sono lineari per piccoli valori di ∆l. Essi sono frequentemente affetti da tensioni residue nel circuito magnetico, che
ne limitano la precisione. Per la lettura dei sensori induttivi occorre utilizzare strumenti
sensibili al valore efficace di una tensione sinusoidale, analogici (Paragrafo 4.5) o digitali
(Paragrafo 8.2), con cui si può misurare direttamente la tensione VU .
Piero Malcovati, Misure Elettriche
295
Appendice A
Grandezze Fondamentali
Piero Malcovati, Misure Elettriche
297
A. Grandezze Fondamentali
298
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Piero Malcovati, Misure Elettriche
299
A. Grandezze Fondamentali
300
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Piero Malcovati, Misure Elettriche
301
A. Grandezze Fondamentali
302
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Piero Malcovati, Misure Elettriche
303
A. Grandezze Fondamentali
304
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Appendice B
Identificazione degli Strumenti
Piero Malcovati, Misure Elettriche
305
B. Identificazione degli Strumenti
306
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Piero Malcovati, Misure Elettriche
307
B. Identificazione degli Strumenti
308
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Indice Analitico
Accuratezza, 215
Aliasing, 186, 274
Amperometro
digitale, 206
elettrodinamico, 101
elettromagnetico, 95, 124, 154
magnetoelettrico, 92, 115
Analizzatore di potenza, 209
Anello di guardia, 66, 173, 179
Antitrasformata di Laplace, 74
Apparecchio di Epstein, 158
errore sistematico, 160, 164
incertezza di misura, 160, 162, 164
separazione delle perdite, 160, 163
Armonica, 152, 210
Attuatore, 277
Avvolgimento bifilare, 62
Campionamento, 183, 274
Campione, 55, 57
di capacità, 65
per alta tensione, 66
variabile, 65
di corrente, 57
di forza elettromotrice, 57
di induttanza, 66
variabile, 69
di intervallo di tempo, 69
trasmissione, 72
di mutua induttanza, 68
variabile, 69
di resistenza, 61, 170
variabile, 63
secondario, 57
sorgente di tensione, 59
Capacità parassite, 66, 179
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Catena di misura, 73
Cavo a doppia schermatura, 180
Cavo schermato, 179
Centro di taratura, 55, 239
Ciclo di isteresi, 156
Cifra di perdita, 158
Cifre significative, 55
Classe di precisione, 90
Coefficiente di Seebeck, 61, 62
Comparatore, 189, 240, 242
Contatore ad induzione, 106
Contatore di impulsi
asincrono, 190
sincrono, 192
Conversione
A/D, 183, 273
ad induzione, 89
D/A, 192
elettrodinamica, 89
elettromagnetica, 89
magnetoelettrica, 89
termica, 89
Convertitore A/D
a dente di sega, 195
a doppia rampa lineare, 195
a rampa lineare, 195
ad approssimazioni successive, 200
flash, 201, 274
incrementale, 199
pipeline, 203, 274
time-interleaved, 274
Convertitore D/A, 192
Coppia
antagonista, 89, 91, 92, 95, 97, 105,
108
309
Indice Analitico
d’attrito, 89
motrice, 89, 91, 92, 95, 96, 99, 103, 106
smorzante, 89, 94, 105
Costantana, 62
Costante strumentale, 90, 114, 116, 127
Densità di probabilità, 35
Derivatore, 115
Deviazione standard, 41, 42, 50
della media, 41, 51
Diodo, 285
Zener, 59
Distribuzione statistica, 54
t di Student, 47, 54
area sottesa, 47
densità di probabilità, 47
Formula di Welch-Satterhwaite, 53
gradi di libertà, 47, 53, 54
variabile normalizzata, 47
normale o gaussiana, 42, 54
area sottesa, 43
densità di probabilità, 42
probabilità cumulata, 42
variabile normalizzata, 43
uniforme, 47, 91
densità di probabilità, 47
Divisione, 89
Doppio ponte di Thomson, 169
formula risolutiva, 171
incertezza di misura, 171
Effetto
Hall, 282
Peltier, 279
piezoelettrico, 71, 281
piezoresistivo, 286
Seebeck, 278
sistematico, 33
termoelettrico, 278
Equazione differenziale, 76
Equipaggio mobile, 89, 92
Errore di quantizzazione, 188
Errori grossolani, 33
Estensimetro
310
a filo, 285
a semi-ponte, 288
a semiconduttore, 287
gauge factor, 286
Fattore
di copertura, 54
di perdita, 64, 174
di smorzamento, 80
Filtro
anti-aliasing, 186
passa-alto, 86
passa-basso, 84
Finestra, 208, 209
Blackman-Harris, 208
di Hamming, 208
di Hanning, 208
Flip-flop, 190
Fosfori, 262
Fotodiodo, 280
Frequenza
di campionamento, 183, 274
di Nyquist, 186
Funzione di Dirac, 75, 77, 184
Funzione di trasferimento, 77
del primo ordine, 79
del secondo ordine, 80
Galvanometro, 167, 170
Gas compresso, 66
Gradino unitario, 78
Impedenza, 81
Incertezza di misura, 34, 49
assoluta, 34
di tipo A, 35, 49
di tipo B, 35, 50
estesa assoluta, 54
estesa relativa, 54
relativa, 35
tipo assoluta, 50, 51, 91, 215
tipo relativa, 51, 91, 216
Indice, 89
a coltello, 89
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Indice Analitico
a filo, 89
Inserzione di Aron, 139
fattore di potenza, 141
in funzione della tensione, 142
incertezza di misura, 141, 142
potenza attiva, 139
Inserzione di Barbagelata, 149
in funzione della tensione, 149, 151
incertezza di misura, 149, 151
potenza apparente, 151
potenza attiva, 149
potenza reattiva, 149
Inserzione di Righi, 145
in funzione della tensione, 149, 151
incertezza di misura, 147, 149, 151
potenza apparente, 151
potenza attiva, 151
potenza reattiva, 147
Intervallo di quantizzazione, 187
Istogramma, 37
Karma, 61
Livello di confidenza, 54
Manganina, 61, 114, 115
Media, 37, 42, 47, 49
Media aritmetica, 34, 39, 47, 50, 53
Mediana, 37
Metodo del confronto, 120
incertezza di misura, 120
Metodo di misura, 33
Metodo di ponte
in corrente alternata, 167, 173, 292
formula risolutiva, 174
in corrente continua, 167
Metodo voltamperometrico, 117, 206
errore sistematico, 117, 118
incertezza di misura, 119
Micro-electro-mechanical system, 293
Misura, 29
industriale, 113
Misura di capacità
con ponte di Schering, 174
Piero Malcovati, Misure Elettriche
in alta tensione, 179
Misura di cifra di perdita
con apparecchio di Epstein, 159
con tensione non-sinusoidale, 162
Misura di corrente
in corrente continua, 115
incertezza di misura, 116
in regime non-sinusoidale, 154
in regime sinusoidale, 124
incertezza di misura, 124
Misura di fattore di perdita
con ponte di Schering, 174
in alta tensione, 179
Misura di frequenza, 212
Misura di induzione magnetica
valore di cresta, 163, 165
valore efficace, 163
Misura di intervalli di tempo, 212
Misura di periodo, 212
Misura di potenza in corrente continua, 121
errore sistematico, 121
incertezza di misura, 122
Misura di potenza in regime non-sinusoidale
potenza apparente, 155
potenza attiva, 154
potenza reattiva, 154
potenza reattiva deformante, 155
Misura di potenza in regime sinusoidale
con trasformatori di misura, 247
incertezza di misura, 251
fattore di potenza, 133
errore sistematico, 133
incertezza di misura, 133
in funzione della corrente, 135
incertezza di misura, 136
in funzione della tensione, 134
incertezza di misura, 134
in sistemi polifase, 136
potenza apparente, 150
potenza attiva, 137
potenza reattiva, 143
potenza apparente, 131
errore sistematico, 132
311
Indice Analitico
incertezza di misura, 132
potenza attiva, 126
errore sistematico, 127, 128
incertezza di misura, 129
potenza reattiva, 130
incertezza di misura, 131
Misura di resistenza
con doppio ponte di Thomson, 169
con metodo del confronto, 120
con metodo voltamperometrico, 117
con ponte di Wheatstone, 167
Misura di tensione
in corrente continua, 114
incertezza di misura, 115
in regime non-sinusoidale, 152
in regime sinusoidale, 122
incertezza di misura, 124
valore di cresta, 124
valore efficace, 123
valore medio sul semiperiodo, 123
residua, 247
Misurando, 29, 33
Misurazione, 29, 33
Moda, 39
Multimetro, 206
Perdite
per correnti parassite, 157, 161
per isteresi magnetica, 157, 161
Pila Weston, 57
non satura, 57
satura, 57
Ponte automatico, 180
Ponte di Schering, 174
capacità parassite, 179
formula risolutiva, 175, 176
incertezza di misura, 176
metodo delle terre di Wagner, 180
per capacità elevate, 177
formula risolutiva, 177
Ponte di Wheatstone, 167, 289
formula risolutiva, 168
incertezza di misura, 169
Portata, 89, 114, 116
amperometrica, 127
voltmetrica, 127
wattmetrica, 127, 129
Prestazione, 217
Probabilità, 35
Probabilità cumulata, 36
Pulsazione caratteristica, 80
Oscillatore, 69
a fascio di cesio, 70
al quarzo, 71
Oscilloscopio, 257
a doppia traccia, 268
modalità alternate, 270
modalità chopped, 270
analogico, 257
base dei tempi, 263
canale orizzontale (X), 268
canale verticale (Y), 267
digitale, 270
modalità XY, 258
modalità auto, 266
modalità single-sweep, 266
modalità triggered, 263
probe, 275
Quantizzazione, 187
incertezza di misura, 188
Quarzo, 71, 281
312
Rampa, 80
Rapporto segnale-rumore, 189
Resistenza addizionale, 114, 123, 127
Riferibilità, 55, 57
Risoluzione, 183, 274
effettiva, 189
Risposta in frequenza, 84
Sample-and-hold, 187
Scala, 89
Scarto quadratico medio, 41, 49
della media, 41, 50
Scarto tipo, 41, 47, 50
della media, 41, 47, 50
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Indice Analitico
Sensore, 277
ad effetto Hall, 282
attivo, 277
capacitivo, 290
di accelerazione, 290
di campo magnetico, 282
di deformazione, 285
di radiazione luminosa, 280
di sforzo, 281
di spostamento, 290, 293
di temperatura, 278, 283
fotoelettrico, 280
induttivo, 293
passivo, 277
piezolettrico, 281
Serie di Fourier, 152, 184
Shunt, 115
Sistema
monofase, 125
polifase, 136
trifase, 136
Sistema di unità di misura, 29
Sistema Internazionale, 29
Strain gauge, 285
Strumento
ad induzione, 102
di zero, 167, 170, 174, 176
digitale, 205
elettrodinamico, 96
elettromagnetico, 95
magnetoelettrico, 92
per la misura di frequenza, 210
per la misura di intervalli di tempo, 212
per la misura di periodo, 210
Targa, 89
Tempo di risposta, 80, 81
Teorema di Shannon, 184, 273
Teoria di Budeanu, 155
Termistore, 285
Termocoppia, 278
giunto caldo, 278
giunto freddo, 278
Piero Malcovati, Misure Elettriche
Termometro, 283
a resistenza di platino, 283
Termosonda, 283
Trasduttore, 277
Trasformata di Laplace, 74, 184
acissa di convergenza, 74
in regime sinusoidale, 84
metodo simbolico, 81
poli, 74
proprietà, 75
zeri, 74
Trasformatore combinato di tensione e corrente, 234
Trasformatore di corrente, 124, 218
a più rapporti, 226
caratteristiche nominali, 221
errore composto, 225
errore di fase, 221
errore di rapporto, 221
incertezza di misura, 244
per misura, 222
per protezione, 225
rapporto di trasformazione, 218
taratura, 240
Trasformatore di misura, 217
diagramma di Moellinger, 243
incertezza di misura, 244
taratura, 239
Trasformatore di tensione, 123, 227, 235
capacitivo, 235
a più rapporti, 238
caratteristiche nominali, 237
errore di fase, 236
errore di rapporto, 236
per misura, 237
per protezione, 238
rapporto di trasformazione, 236
incertezza di misura, 244
induttivo, 227
a più rapporti, 234
caratteristiche nominali, 230
errore di fase, 230
errore di rapporto, 230
313
Indice Analitico
per misura, 232
per protezione, 233
rapporto di trasformazione, 227
taratura, 242
Trigger, 257
Tubo a raggi catodici, 258
Unità di misura, 29
legali, 55
Varianza, 39, 49, 50
Varmetro, 99, 130
Verniero temporale, 214
Voltmetro
a valore efficace, 95, 208
a valore medio, 123, 166, 206
digitale, 206
elettrodinamico, 101
elettromagnetico, 95, 123, 154
magnetoelettrico, 94, 114
Walk, 214
Wattmetro
a basso cos (ϕ), 129
ad induzione, 102
digitale, 209
elettrodinamico, 99, 126, 154
314
Piero Malcovati, Misure Elettriche