Lezione Elettrostatica I

Lezione
Elettrostatica I
1
Carica elettrica e forza di Coulomb
È un dato sperimentale l’esistenza in natura di una forza non riconducibile ad
altre forze fondamentali note, detta forza elettrostatica e agente tra corpi dotati
di una proprietà chiamata carica elettrica, che è una grandezza fisica scalare
misurabile.
La descrizione del fenomeno è riassunta dalla formulazione matematica della
forza di Coulomb che si esercita tra due corpi carichi “puntiformi”, ossia di
dimensioni molto inferiori alla distanza che li separa, e fermi nel sistema di
riferimento considerato.1
q1 q2
~ (1)
FC = kC 2
r
dove kC è una costante universale, q1 e q2 misurano le cariche elettriche di
cui sono dotati i due corpi, e r è la distanza che li separa. La forza è diretta
secondo la congiungente e ha verso opposto per i due corpi, in accordo con
la terza legge di Newton. Per scriverla in forma più precisa, esplicitandone la
direzione e il verso, usiamo i vettori posizione delle particelle in un sistema di
coordinate cartesiane:
F~C12 = kC
q1 q2
r1
3 (~
|~r1 − ~r2 |
− ~r2 )
(2)
dove F~12 è la forza risentita dal corpo 1 a causa della presenza del corpo
2. La terza legge di Newton è automaticamente garantita dalla forma in cui
abbiamo scritto la forza. Infatti usando la stessa formula per esprimere la forza
agente sul corpo 2 e dovuta al corpo 1 otteniamo
F~C21 = kC
q2 q1
|~r2 − ~r1 |
r2
3 (~
− ~r1 ) = −F~C12
Calcolandone il modulo e chiamando r ≡ |~r2 − ~r1 | il modulo della distanza tra
i due corpi, otteniamo la formula 1. Osserviamo che la forza
• dipende linearmente da ciascuna delle due cariche;
• è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza;
1 Per i corpi carichi in moto la descrizione si complica, Ne studieremo alcuni aspetti più
avanti; per il momento supporremo che i corpi carichi siano in quiete.
1
2 q1
• è scritta come il prodotto di quantità scalari (kC |~r q−~
3 ) per un vetto2 r1 |
re (~r2 − ~r1 ) e quindi ha le proprietà di un vettore per quanto riguarda
il comportamento delle sue componenti in seguito a trasformazioni delle
coordinate cartesiane (per esempio rotazioni, o simmetrie rispetto a un
piano).
È immediato il paragone con l’altra forza fondamentale che abbiamo incontrato, la forza di gravitazione
q1 q2
r1 − ~r2 )
F~G12 = −G
3 (~
|~r1 − ~r2 |
La forma funzionale è identica a eccezione del segno, che sta a indicare una
differenza molto importante tra le due forze: per due corpi identici, la forza gravitazionale è attrattiva; la forza di Coulomb, al contrario, per due corpi identici
dotati di carica elettrica è repulsiva. Non solo: mentre la forza gravitazionale
è sempre attrattiva, quella coulombiana può essere sia attrattiva, sia repulsiva.
Questa proprietà che, se vogliamo, possiamo interpretare come una caratteristica dei corpi anziché delle forze, è espressa numericamente dal fatto che mentre
la massa è una grandezza che ha sempre segno positivo, la carica elettrica può
avere segno positivo o negativo.
Sperimentalmente si verifica l’esistenza di cariche che si respingono e cariche
che si attraggono, e la descrizione del fenomeno è coerente con la suddivisione
delle cariche in due categorie, distinte dall’attribuzione di un segno (prese due
cariche attratte dallo stesso corpo, si verifica che tra loro si respingono, e cosı̀
via). L’attribuzione del segno positivo a una delle due categorie è totalmente arbitraria e convenzionale. La convenzione usata ha origini storiche (anteriori alla
scoperta delle particelle subatomiche), e assegna carica negativa all’elettrone,
positiva al protone.
Principio di sovrapposizione È importante osservare che vale il principio
di sovrapposizione , legato alla linearità della forza rispetto alle cariche: dato
un sistema di più cariche elettriche, la forza che esse esercitano su una carica
data è semplicemente la somma vettoriale delle forze esercitate dalle singole
particelle. Se due diverse cariche qa e qb si trovano nella stessa posizione spaziale,
la forza che esse esercitano su una terza carica Q è quindi uguale alla forza che
eserciterebbe una carica pari alla somma algebrica delle due qa + qb ; se per
esempio qa = −qb , la forza totale che esse esercitano su una terza carica è nulla.
1.1
Unità di misura e valori numerici
Nel Sistema Internazionale di unità di misura, la carica elettrica è una grandezza
fisica fondamentale,2 quindi non esprimibile in termini di altre grandezze, e si
misura in coulomb(C). La costante kC , che deve essere dimensionale e non può
essere un numero puro, per motivi storici si esprime in termini della costante 0
detta costante dielettrica del vuoto o permittività elettrica del vuoto.
kC ≡
1
≈ 8.99 × 109 Nm2 C−2
4π0
2 In
realtà, come vedremo, per motivi storico/sperimentali la grandezza nuova considerata
fondamentale è la corrente elettrica, le cui dimensioni fisiche sono [carica elettrica]/[tempo]:
a rigore, dunque, la carica elettrica è una grandezza derivata
2
Due cariche di 1 C poste a distanza di 1 m risentiranno dunque di una forza
di circa 9 × 109 newton.
1.2
Confronto con la forza gravitazionale
Tra le forze che abbiamo incontrato, e che si incontrano nell’esperienza quotidiana del mondo macroscopico, la forza elettrostatica e quella gravitazionale sono
le uniche davvero fondamentali, ossia non riconducibili ad altre forze a livello
microscopico. Confrontiamo l’entità della forza elettrostatica tra due particelle
subatomiche dotate di carica elettrica con la forza gravitazionale che si esercita
tra le due. Il protone, per esempio (nucleo dell’atomo di idrogeno), ha massa
mp = 1.27 × 10−27 kg e carica elettrica |e| = 1.60 × 1019C
Il rapporto tra la forza elettrostatica (repulsiva) e quella gravitazionale (attrattiva) tra due protoni non dipende dalla distanza (perché entrambe le forze
sono proporzionali a 1/r2 ) e vale in modulo
F~ k e2
C
C
≈ 2 × 1036
=
F~G Gm2p
un numero spaventosamente elevato.
Il motivo per cui a livello macroscopico prevale invece la forza gravitazionale
è in ultima analisi il fatto che le particelle fondamentali possono avere carica
elettrica di segno segno positivo, negativo o nullo, e che la materia ha globalmente carica nulla grazie al fatto (tuttora inspiegato a livello teorico) che protoni
ed elettroni hanno carica elettrica esattamente opposta, pur essendo particelle
di natura completamente diversa. La massa invece ha sempre lo stesso segno, e
questo fa sı̀ che, mentre la forza elettrostatica tra due porzioni macroscopiche di
materia è quasi sempre nulla grazie alla neutralità media, quella gravitazionale
può solo aumentare all’aumentare del numero di particelle costituenti.
La forza elettrica in realtà non si annulla completamente, giustapponendo
particelle di carica opposta per costruire un corpo macroscopicamente esteso.
Per illustrare ciò che accade consideriamo il caso in cui uno dei due protoni sia
affiancato da un’altra particella (per esempio un elettrone) di carica opposta, a
distanza d r, dove r è la distanza tra i due protoni di partenza. Supponiamo
per semplicità che le tre particelle siano allineate lungo l’asse x, con l’elettrone
nell’origine, il primo protone a x = d e il secondo a x = r.
La forza risentita dalla carica lontana sarà la somma delle forze dovute alle
due cariche opposte ravvicinate, e avrà solo componente x
q2
1
q2
1
2
Fx = −kC 2 + kC
(3)
=
k
q
+
C
r
(r − d)2
r2
(r − d)2
Il termine tra parentesi quadre è la differenza tra il valore della funzione f (r) =
r−2 calcolata in due valori vicini, approssimabile con uno sviluppo di Taylor al
prim’ordine (o, se si preferisce, grazie alla defnizone di derivata come limite del
rapporto incrementale)
df ∆f ≡ f (r − d) − f (r) ≈
(−d)
dr d=0
Nel nostro caso
Fx ≈ k c q 2
3
2d
r3
-‐q + q d q r La forza residua è diretta nel verso positivo delle x perché la carica positiva
è più vicina a quella lontana di quella negativa, e quindi esercita una forza in
modulo lievemente maggiore.
Mentre la forza gravitazionale tra il sistema di due cariche opposte (dipolo)
e la carica a grande distanza rimane grosso modo la stessa di quella tra due
protoni (la massa dell’elettrone è circa un duemillesimo di quella del protone),
la forza elettrostatica non si annulla esattamente, ma viene soppressa di un
fattore 2d/r: la forza non si annulla, ma la sua dipendenza dalla distanza si fa
più marcata (1/r3 invece di 1/r2 ). Se per esempio d = 10−10 m (la distanza tipica
tra elettrone e protone in un atomo di idrogeno) e r = 1m, il rapporto tra la forza
elettrica e quella gravitazionale risentite dal protone distante diminuisce grosso
modo di un fattore 1010 , che non è tuttavia sufficiente a rendere confrontabili
le due forze. Se però ora affinchiamo al primo dipolo un secondo dipolo “uguale
e opposto” (con la carica negativa più vicina della positiva), avremo un altro
effetto di “quasi-cancellazione”, questa volta di due forze proporzionali a 1/r3 ,
e la nuova forza residua sarà proporzionale a 1/r4 , cioè sarà soppressa rispetto
alla forza originale di un fattore (d/r)2 , mentre la forza gravitazionale sarà
raddoppiata.
Ciò che accade, quindi, è che aggiungendo nuove particelle (e in un corpo
macroscopico ce ne sono dell’ordine di 1023 ) la forza gravitazionale aumenta
linearmente con la quantità di materia aggiunta, mentre quella elettrostatica
viene via via ridotta, anche se non annullata del tutto, con fattori del tipo
(d/r)n , con d dell’ordine della distanza tra particelle microscopiche.
La funzione (d/r)n , se n è grande, tende a 0 molto rapidamente per r > d,
mentre tende a infinito molto rapidamente per r < d: in pratica al crescere di
n la funzione diventa un “muro” e la forza residua, pressoché nulla a distanze
maggiori di quelle interatomiche, diventa pressoché infinita appena la distanza
diventa di quell’ordine (figura 1). È questa l’origine delle forze “di contatto”
tra corpi macroscopici (per esempio due palline d’acciaio): la forza è nulla fintantoché la distanza tra le superfici dei due corpi macroscopici non diventa
paragonabile a quella interatomica. A quel punto diventa enormemente grande,
e dal punto di vista macroscopico è interpretabile come una forza di contatto (reazione), eventualmente impulsiva, che impedisce la compenetrazione dei
corpi solidi e causa il rimbalzo delle palline l’una contro l’altra.
4
Figura 1: Andamento della funzione f (x) = (1/x)n con x = r/d, per n = 1
(curva bu), n = 6 (curva rossa), n = 12 (curva verde). Al crescere dell’esponente, il grafico della funzione si avvicina sempre più a una “parete” verticale
in corrispondenza di x = 1 cioè di r = d.
2
Il campo elettrico
Per il principio di sovrapposizione, la forza risentita da una carica puntiforme
Q (carica di prova) è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate da tutte
le cariche elettriche presenti nello spazio circostante (tutte supposte in quiete:
per questo si parla di elettrostatica). Tali forze sono tutte proporzionali a Q, e
dunque lo è anche la loro somma.
Formalmente, se la posizione della carica Q è descritta dalle coordinate ~r =
(x, y, z) , si ha
F~Q =
N
X
kC
i=1
Qqi
~ r)
(~r − ~ri ) ≡ QE(~
|~r − ~ri |3
~ r)
dove abbiamo definito il campo elettrico E(~
~ r) =
E(~
N
X
i=1
kC
qi
(~r − ~ri )
|~r − ~ri |3
Il campo elettrico non è quindi altro che il fattore (vettoriale) di proporzionalità tra la forza risentita dalla carica Q e il valore della carica stessa. Normalmente si specifica che questo fattore di proporzionalità deve essere calcolato
o misurato nel limite per Q → 0, cosicché la carica di prova non modifichi la
5
posizione delle altre cariche presenti nello spazio:
~
~ r) = lim FQ (~r)
E(~
Q→0
Q
Il campo elettrico è un esempio di campo vettoriale, una funzione che associa a ogni punto dello spazio una grandezza vettoriale, dunque tre grandezze
fisiche - dimensionali - che ne rappresentano le componenti in un dato sistema
di coordinate.
Abbiamo già visto in meccanica un esempio di campo vettoriale: il campo
gravitazionale in prossimità della superficie terrestre, rappresentato dal vettore
~g dell’accelerazione di gravità. In quel caso la funzione ~g (~r) è particolarmente
semplice: si tratta di una funzione costante, che a ogni punto assegna lo stesso
vettore. Analogamente al campo elettrico, il campo gravitazionale ~g è definito
come il rapporto tra la forza peso risentita da un corpo puntiforme in prossimità
della superficie terrestre, e la massa del corpo stesso.
Il campo elettrico prodotto da una carica puntiforme q (in quiete) situata
nell’origine degli assi cartesiani è
~ r) = kC q r̂
E(~
r2
2.1
Distribuzioni di carica discrete e continue
Nel definire il campo elettrico abbiamo supposto di essere in presenza di N
cariche puntiformi, con posizioni assegnate. È quella che viene chiamata una
distribuzione discreta di cariche.
Sappiamo dalla descrizione moderna del mondo microscopico che la materia è in effetti costituita di particelle discrete eventualmente dotate di carica
elettrica, il cui valore è sempre un multiplo intero3 della carica dell’elettrone.
Qualunque corpo macroscopico è dunque descritto in teoria da un insieme molto grande di cariche puntiformi. Ma una tale descrizione può risultare
estremamente scomoda quando le cariche puntiformi sono in grande numero e
a distanze molto piccole le une dalle altre, esattamente come accade per la distribuzione di massa dei corpi estesi in meccanica. Risulta quindi spesso utile
approssimare la distribuzione discreta con una distribuzione continua, introducendo la densità di carica di volume, analoga della densità di massa e in generale
dipendente dal punto
qi −→ dq = ρ dV
dove dV è un elemento infinitesimo di volume. L’espressione del campo elettrico generato da una distribuzione continua di cariche sarà dunque la
generalizzazione di quella scritta sopra per una distribuzione discreta:
~ r) =
E(~
N
X
qi
(~r − ~ri ) −→
kC
|~
r
−
~ri |3
i=1
3 per
Z
kC
ρ dV 0
(~r − ~r0 )
|~r − ~r0 |3
le particelle stabili come elettroni e i protoni. I costituenti del protone, chiamati
quark, hanno carica frazionaria rispetto a quella dell’elettrone, ma non si possono osservare
allo stato libero
6
dove ~r0 rappresenta le coordinate dei punti in cui si trova la carica, e su cui
viene fatta la somma, e dV 0 un elemento di volume in ~r0 .
Spesso le cariche sono distribuite su volumi che hanno una o due dimensioni
trascurabili rispetto alle altre. Si usano in questo caso le approssimazioni di
densità di carica superfciale σ nel caso bidimensionale
dq = σ dA
e densità di carica lineare λ nel caso unidimensionale:
dq = λ dl
anch’esse non necessariamente indipendenti dal punto.
2.2
Linee di campo (o linee di flusso)
Un altro esempio di campo vettoriale è quello che associa a ogni punto di un
fluido incomprimibile la velocità di una porzione infinitesima di liquido localizzata in quel punto. Un tale campo di velocità, pur descrivendo una situazione
non statica (il fluido si muove) può essere stazionario, ossia non dipendere dal
tempo (si pensi per esempio alla velocità dell’acqua in una tubatura o in un
fiume, o nella vasca di una fontana: la velocità dell’acqua misurata in un punto
di coordinate date può non dipendere dal tempo). In quel caso è abbastanza
intuitivo usare come rappresentazione del campo di velocità le cosiddette linee
di flusso, che corrispondono alle traiettorie di singole porzioni di fluido seguite
nel loro cammino. Se pensiamo per esempio di mettere un oggetto leggero (il
classico seme di limone) nell’acqua di una tubatura o di un fiume, questo muovendosi in modo solidale al fluido descriverà una certa traiettoria a partire dal
punto iniziale in cui lo poniamo. Come sappiamo dalla cinematica, la traiettoria
è una linea continua che non descrive completamente il moto dell’oggetto, ma
è tale che in ogni punto la velocità è tangente alla curva. Disegnare le linee di
flusso di un fluido rappresenta graficamente in modo intuitivo il percorso seguito
dal fluido, e dà informazioni sulla direzione della sua velocità in ogni punto.
!
v
Figura 2: Linee di flusso in un fluido. La velocità del fluido in ogni punto è
tangente alla linea.
7
In maniera del tutto analoga si possono descrivere anche gli altri campi
vettoriali (a patto che le funzioni che li descrivono abbiano buone proprietà
di continuità, ecc.), per esempio il campo elettrico. L’uso grafico delle linee
di campo non ha quasi mai un’utilità quantitativa, ma è spesso comodo per
visualizzare il campo in maniera immediata.
Ricapitolando, le linee di flusso (dette anche linee di forza o linee di campo)
sono tali che per ogni punto dello spazio ne passa una e una sola (tranne in
punti “patologici” in cui il campo non è definito o è nullo), ed è tangente al
vettore campo in quel punto. Le linee di campo vengono in genere disegnate
con un orientamento (rappresentato da una freccia) che indica il verso, oltre alla
direzione, da attribuire al vettore tangente.
Figura 3: Linee di campo (o linee di forza) del campo elettrico prodotto da due
cariche puntiformi di segno opposto.
In figura sono rappresentate, come esempio, linee di campo elettrico generato
da un sistema di due cariche puntiformi di uguale valore assoluto ma segno
opposto.
In molte situazioni, per esempio nel caso di un fluido incomprimibile o di
un campo elettrico nel vuoto, la rappresentazione in termini di linee di flusso
dà informazioni non solo su direzione e verso del campo in ogni punto, ma
anche sulla sua intensità. Infatti vale la regola che dove le linee disegnate si
“infittiscono” l’intensità del campo aumenta, e diminuisce dove si diradano. Ma
va tenuto presente che questo è vero solo per una particolare categoria di campi,
quelli in cui si conserva il flusso, come vedremo in seguito. Non è quindi una
regola valida sempre.
2.3
Esempi di calcolo di campo elettrico
Molto spesso le distribuzioni di carica da studiare sono particolarmente simmetriche. Questo significa che la loro descrizione rimane invariata applicando alle
coordinate un’isometria (traslazione, rotazione, riflessione rispetto a un piano).
Lo stesso deve avvenire per il campo elettrico: il campo “trasformato” (ruotato,
ribaltato, ecc.) deve essere identico a quello originale. Come esempio prendiamo una distribuzione carica simmetrica per riflessione rispetto a un piano (per
esempio il piano y, z: questo significa che se cambiamo il verso dell’asse x lasciando invariati gli altri due, otteniamo la stessa descrizione (la distribuzione
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di carica “vista allo specchio” rimane invariata, se lo specchio è il piano y, z).
Anche il campo elettrico generato deve essere tale che i vettori che si trovano in
punti simmetrici rispetto al piano sono a loro volta simmetrici rispetto a quel
piano, ossia hanno componente x cambiata di segno mentre le altre due sono
rimaste identiche. Come conseguenza, il campo elettrico su tutti i punti
di un piano di simmetria non può avere componenti perpendicolari
al piano stesso. (figura 5).
Figura 4: Cambiando il segno alla coordinata x, cioè applicando una riflessione
rispetto al piano y, z si ottiene una distribuzione di carica “ribaltata” o “riflessa”.
Anche i vettori campo elettrico nei punti corrispondenti vengono “riflessi”.
Figura 5: Il campo elettrico di una distribuzione di carica simmetrica rispetto a
un piano (verticale in figura) gode della stessa simmetria. Il campo in ciascun
punto del piano di simmetria deve giacere sul piano stesso.
9
Campo lungo l’asse di un anello circolare uniformemente carico Consideriamo una distribuzione di carica unidimensionale uniforme disposta ad anello circolare di raggio R; vogliamo calcolare il campo elettrico che si produce
lungo l’asse dell’anello.
Per comodità disponiamo gli assi coordinati in modo che l’anello giaccia sul
piano x, y e sia centrato nell’origine. L’asse z è l’asse di simmetria della distribuzione: qualunque rotazione di un angolo φ attorno all’asse z lascia il sistema
totalmente invariato, e lo stesso deve essere vero anche del campo elettrico.
Questo implica che il campo su un punto qualunque dell’asse deve essere diretto
come l’asse stesso. Se avesse una componente radiale, infatti, il vettore non
rimarrebbe invariato per una rotazione attorno all’asse.
La distribuzione di carica è anche simmetrica rispetto al piano z = 0: i
vettori campo elettrico in due punti che si trovano in posizioni simmetriche
rispetto all’asse z saranno “riflessi” rispetto al piano stesso, e quindi avranno
componenti z opposte:
Ez (x, y, z) = −Ez (x, y, −z)
In particolare, lungo l’asse si ha
Ez (z) = −Ez (−z)
Per calcolare il campo elettrico nel punto dell’asse di coordinata z dobbiamo
sommare tutti i contributi dei piccoli segmenti di arco d` in cui suddividiamo
l’anello. Ciascun segmento ha una carica dq = λ d` dove λ = Q/2πR è la densità
lineare di carica.
dEz z R dq Figura 6: Contributo al campo elettrico sull’asse dell’anello dovuto a un
segmentino di arco.
Ogni elementino produce sull’asse un campo uguale a quello di una carica
puntiforme, di modulo
~ = kC
|dE|
10
dq
R2 + z 2
dove r2 = R2 +z 2 è la distanza tra l’elemento di carica e il punto in cui si misura
il campo, il quale avrà componente z positiva se z > 0 e dq > 0. È appunto la
componente z che dobbiamo calcolare,√e la otteniamo moltiplicando il modulo
del contributo al campo per cosθ = z/ R2 + z 2 .
Otteniamo quindi
dEz = kC
dq z
λd` z
= kC 2
(R2 + z 2 )3/2
(R + z 2 )3/2
Per ottenere il campo totale, dato che z, R e l’angolo θ sono uguali per tutti
i contributi, dobbiamo semplicemente sommare i dq = λ d`
Ez = kC
(R2
2πRλ z
Qz
= kC 2
2
3/2
+z )
(R + z 2 )3/2
Osserviamo che si tratta di una funzione dispari in z, come ci aspettavamo
dalla simmetria rispetto al piano z = 0. Inoltre, nel limite di z/R 1 il termine
R2 è trascurabile rispetto a z 2 al denominatore, e si ottiene
Ez −→ kC
Q
z2
che è il campo di una carica puntiforme, come ci si doveva aspettare. A distanze
grandi rispetto alle sua dimensioni tipiche, infatti, la carica viene percepita come
puntiforme indipendentemente dalla sua forma.
Campo lungo l’asse di un disco circolare uniformemente carico. Sfruttiamo il calcolo precedente per calcolare il campo prodotto da un disco circolare
di raggio R sul quale è presente una densità superficiale di carica σ. Suddividiamo il disco in tante piccole corone circolari di raggio interno r e raggio esterno
r + dr, la cui area (al prim’ordine in dr) vale dA = 2πrdr, e la cui carica vale
dunque dQ = 2πσrdr
dE z R r dq = σ 2πr dr Figura 7: Contributo al campo elettrico sull’asse del disco dovuto a una
coroncina circolare.
11
Dall’esercizio precedente sappiamo che questa coroncina, assimilabile a un
anello, produce in un punto dell’asse di coordinata z un campo
dEz = kC
dQ z
(r2
+
3
z2) 2
= kC
2πσz rdr
3
(r2 + z 2 ) 2
Per ottenere il campo totale lungo z dobbiamo sommare (integrare) i vari
contributi
Z R
h
iR
r
2
2 − 12
dr
=
2k
πσz
−(z
+
r
)
Ez = 2kC πσz
C
2
2 3/2
0
0 (r + z )
cioè
Ez = 2kC πσz
1
1
−
|z| (z 2 − R2 ) 21
Si può dimostrare con uno sviluppo di Taylor al prim’ordine del secondo
termine, che per R/z 1 (campo a grandi distanze) si ottiene di nuovo il
campo di una carica puntiforme Q = σπR2 .
È invece più interessante vedere che cosa accade nel limite opposto, quello
in cui R/z 1: a z fisato, questo corrisponde a mandare all’infinito il raggio
del disco, ottenendo un piano indefinito con densità di carica uniforme σ. In
questo limite il secondo termine tra parentesi nell’espressione del campo tende
a zero, e rimane
Ez = 2kC πσ
z
σ z
=
|z|
20 |z|
l campo risulta quindi uniforme e perpendicolare al piano nei due semispazi
z > 0, z < 0.
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