VERSO UN MODELLO MATEMATICO DI
PSICOTERAPIA
Uno studio preliminare
DR. GIOVANNI IANNUZZO
Seminario di Formazione
Studio di Igiene Mentale e Psichiatria & Centro di Scienze del Comportamento
Introduzione
L'utilizzazione della matematica nelle discipline biomediche è prassi
ormai consolidata, nel senso della definizione di modelli matematici che
riguardino fenomeni di ordine fisiologico e biochimico. Tale approccio sembra
potere riguardare anche le funzioni psicologiche ed il comportamento. Una serie
di lavori ha implicato lo studio matematico del comportamento psicomotorio
(Barnwell et al 1973; Albanese 1974; Albanese et al 1974). Il problema è quello
di valutare se simili estrapolazioni possano essere applicate al campo clinico,
ovvero se possano servire alla costruzione di modelli matematici che in qualche
modo descrivano il funzionamento delle funzioni mentali superiori. Tali funzioni
sono descritte da una serie di altri modelli teorici estremamente diversificati:
teoria freudiana, teoria delle relazioni oggettuali, psicologia cognitiva; manca a
tali approcci la possibilità di disporre di un modello unificante, e se tale modello
viene interpretato in termini matematici, si può ipotizzare che non siano in atto
disponibili strutture matematiche che consentano l'elaborazione di modelli fondati
su elementi relativi a processi psicopatologici o psicoterapici. Gli studi di Langs
evidenziano la possibilità che gli scambi comunicativi che avvengono nel corso
del processo psicoterapeutico possano essere modellati in base alla teoria
G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
matematica dei sistemi non lineari (Langs 1980, 1985, 1986).
Teoria matematica dei sistemi non lineari e psicoterapia
Definiamo un sistema come un’entità che riceve un input e che, in
risposta, produce un output. Il modello paradigmatico di questa teoria di un
sistema è il computer. Ma anche un essere umano può essere considerato come
un sistema, da molti punti di vista. Relativamente alla psicoterapia, l'uomo
“funziona” come un sistema, in quanto riceve una serie continua e vorticosa di
messaggi (input) dall'ambiente, ai quali risponde (output) con atti comunicativi
propri. Se consideriamo ora un sistema lineare (Padulo & Arbib, 1974), che
quindi produca l'output Oa in risposta all'input Ia e produce anche l'output Ob in
risposta all'input Ib, possiamo scrivere:
S(Ia)= Oa
S(Ib)= Ob
per rappresentare che il sistema S risponde all'input Ia per produrre l'output Oa e
all'input Ib per produrre l'output Ob.
Qual’è la risposta del sistema alla ricezione simultanea di due segnali Ia e
Ib? Se la risposta del sistema agli input Ia e Ib applicati insieme è semplicemente
la somma dei due outputs Oa e Ob che occorrono insieme, il sistema è chiamato
un sistema lineare. Per un sistema lineare, allora
S(Ia + Ib)= S(Ia)+ S(Ib)
Per esempio, per
O = 3I
dove I equivale a 2, O è 6 e dove I equivale a 5, O è 15, e quando I è uguale a
2+5 o a 7, O è 6+15 o 21.
I sistemi lineari hanno la proprietà che una comprensione della risposta ai
singoli input fornisce immediatamente la capacità di predire la risposta a quegli
inputs applicati in maniera concorrente. Ciò è chiamato proprietà o principio
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G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
della superposition, e fornisce ai sistemi lineari una grande predicibilità e
regolarità. Gli output dei sistemi lineari possono essere molto complessi ma essi
seguono sempre la proprietà della superposition. Al contrario i sistemi non lineari
non seguono il principio della superposition e ciò può essere preso come loro
fondamentale definizione.
Questi sistemi esibiscono risposte molto complesse agli input, includendo
random appearing responses (ciò che è spesso chiamato caos) e bifurcation
phenomena (Prigogine & Stengers 1984; Haken 1983).
In base a quanto accennato sui sistemi lineari e non lineari, possiamo
valutare la ragionevolezza della proposta di Lang sul fatto che la teoria dei
sistemi non lineari può fornire una utile analogia di importanti eventi che
accadono in psicoterapia.
Da una parte l'approccio comunicativo di Lang alla psicoterapia
psicoanalitica lo prepara a considerare i segnali nel campo bipersonale tra
paziente e terapista dal punto di vista dei sistemi. Dall'altra, le risposte di paziente
e terapista sono chiaramente non lineari per loro stessa natura; per esempio, due
interventi fatti da un terapista danno insieme raramente lo stesso risultato su un
paziente, come gli interventi individuali forniti separatamente con risultati
sommati nel tempo. Inoltre i cambiamenti del paziente in terapia sono erratici, e
ricordano i random appearing responses che possono essere evocati dai sistemi
non lineari. Anche, i bifurcation events nei sistemi non lineari possono ricordare
lo sviluppo di insight e la risoluzione dei sintomi nel paziente.
Descriviamo ora un modello matematico semplificato dello scambio
psicoterapeutico.
Un modello matematico
In una seduta psicoterapeutica una affermazione di un paziente può
contenere significati in codice mediante l'uso di meccanismi mentali come lo
spostamento, la simbolizzazione o la condensazione. Altre affermazioni possono
essere evidenti, altre ancora codificate e al tempo stesso evidenti.
Per la jth seduta di una serie psicoterapeutica di sedute, definiamo le seguenti due
variabili misurabili:
(a)
Uj = il numero di risposte dal paziente contenenti significati in codice durante la
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G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
(b)
sessione j;
Ij = il numero di prompts o interventi del terapista.
Ora assumiamo che il paziente genera messaggi in codice in proporzione ai
prompts o interventi del terapista, cioè,
Uj= Mj x Ij
(Equazione 1)
dove Mj è la costante di proporzionalità per la seduta j, e rappresenta la
responsiveness del paziente agli input del terapista. Cioè, Mj riflette la
propensione del paziente a rispondere al terapista con un messaggio in codice. Ci
si aspetta che alcuni pazienti produrranno questi messaggi più frequentemente di
altri pazienti. Matematicamente, Mj riflette non solo la responsività intrinseca del
paziente, ma anche l'abilità dello psichiatra di evocare messaggi in codice. In
questo modello molto primitivo, l'abilità e il desiderio dello psichiatra di evocare
messaggi in codice sarà assunta costante attraverso le sedute.
Il terapista può offrire risposte a interventi in proporzione al numero di
messaggi in codice inviati dal paziente, più un numero base di risposte per tenere
il dialogo vivo. Allora possiamo scrivere:
Ij = ? Uj + ?
(Equazione 2)
dove i parametri ? e ? sono assunti essere indipendenti dalla seduta.
Il parametro ? riflette la quantità di interventi dello psichiatra per ogni
messaggio encoded del paziente, mentre ? è un parametro uguale al numero
medio di prompts o interventi usati dal terapeuta per stimolare il dialogo mentre
il paziente non sta producendo messaggi in codice.
E’ ipotizzabile che M possa decrescere in funzione di appropriati
interventi del terapista, così che:
Mj = Mj-1 - ? Ij-1
(Equazione 3)
L’equazione cattura la nozione che l’intervento del terapeuta riduce in
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G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
realtà la tendenza del paziente ad inviare messaggi codificati, possibilmente su
base conflittuale inconscia. Il parametro ? , che qui viene assunto come costante,
riflette l'efficacia del terapista nel risolvere i fatti inconsci sottesi al messaggio in
codice.
Le equazioni (1), (2) e (3) implicano un modello molto semplificato di
una specifica dimensione del processo psicoterapeutico. Con un modello
algebrico estremamente semplificato possiamo scrivere:
j-1
? [UI/II - ? ? (? Uk + ? )]
k=1
Uj= -------------------------------------------j-1
1- ? [U1/I1 - ? ?? (? Uk + ? )]
k=1
(equazione 4)
In questa equazione il termine
j-1?
? (? Uk+? )
k=1
si riferisce alla somma
(? U1, + ? )+ (? U2+ ? )+ ... (? Uj-1 + ? ).
Questa equazione collega U ai precedenti valori di questa variabile e ai
precedenti valori del calcolo degli interventi del terapeuta, senza alcun
riferimento al costrutto non misurabile Mj. Così questo modello può essere
adattato a dati che lo possano confermare o disconfermare.
Si tratta di un modello estremamente semplice. Infatti, se la terapia è un
processo nel quale gli input del terapista al paziente cambiano i modelli
fondamentali di risposta del paziente alla comunicazione successiva, sembra
essenzialmente necessario per il processo violare il principio di superposition,
cioè essere non lineare.
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G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
Il modello, se adattato con successo ai dati, può fornire nuovi insight sul
problema e misure del processo psicoterapeutico. Per esempio il parametro
? ??nell’equazione (3) è una misura diretta dell’efficacia della comunicazione
interveniente del terapista. Inoltre il parametro M, che può essere inferito dai
dati, fornisce in qualche modo rilevante la misura di quella parte di inconscio
profondo del paziente che fa aumentare i messaggi in codice. Usando questi
parametri è anche possibile valutare differenti approcci terapeutici.
Certamente, la suesposta apparente complessità matematica può essere
insufficiente per fenomeni più complessi che non la semplice dicotomia codedencoded. I messaggi possono però essere inseriti in una curva statistica.
L’intelligenza artificiale e gli algoritmi per lo studio di patterns di risposta nei
colloqui psichiatrici potranno fornire ulteriori suggerimenti.
Conclusioni
Il processo che chiamiamo psicoterapeutico può essere, almeno in parte
modellato, come suggerito da Lang, usando la teoria dei sistemi non lineari, che
hanno proprietà simili a quanto osservato nella comunicazione tra paziente e
terapista., come nonsuperposition, bifurcation e random appearance. Si può
arguire che i dati per costruire modelli debbano essere misure derivate
dall’interazione terapeutica. Ulteriori studi informatici potrebbero chiarire meglio
il problema.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
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G. Iannuzzo: Verso un modello matematico di psicoterapia
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© Giovanni Iannuzzo, marzo 2007
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