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Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICA
Anno Accademico 2016/2017
- Lezione N.1 -
Prof. Ing. Renato RICCI
Il fluido come GAS

Il moto di un fluido allo stato gassoso, posto all’interno di un recipiente, viene
descritto come un moto disordinato di molecole che in condizioni particolari (GAS
IDEALE) non si scontrano mai l’un l’altra. In tali condizioni la TEMPERATURA è
rappresentata dall’energia cinetica traslazionale delle molecole e la PRESSIONE
dalla variazione della quantità di moto delle molecole sulla superficie. Ad alcuna
molecola è consentito avere energia cinetica rotazionale o vibrazionale per cui un
aumento di energia interna di tipo sensibile porta ad un aumento di velocità
traslazionale, ciò porta ad un aumento di temperatura e, se le distanze da
percorrere per le molecole rimangono invariate, anche la pressione aumenterà.
Tutto questo è ciò che l’equazione di stato del gas ideale ha provato a descrivere
in forma semplice identificando in poche PROPRIETA’ il moto complesso delle
singole molecole.
p    R T
Il gas come CONTINUO
La proprietà DENSITA’ richiede che si definisca un volume di fluido entro il quale la stessa
possa esistere, cade cioè l’idea di un fluido come singole molecole indipendenti ed a questa
viene sostituita una visione in cui le molecole sono omogeneamente diffuse, così che
qualunque sia la dimensione del volume di riferimento il numero di molecole per unità di
volume, DENSITA’, non cambi.
Se però il volume diventa molto piccolo, di dimensioni paragonabili alle molecole stesse, una
sua variazione potrebbe cambiare il valore delle densità; se infatti il volume fosse appena più
grande di una molecola, ma inferiore a 2 molecole, una sua variazione in tale range farebbe si
che la densità stessa varierebbe. E’ così indispensabile prendere una porzione minima di
volume che non modifichi il valore di densità del fluido, nel caso dell’ ARIA il volume
elementare minimo a pressione atmosferica è pari a 10-9 [mm3]
Qualora il cammino libero medio delle molecole, llm, fosse sufficientemente grande, maggiore
di 10-7 m come nei gas rarefatti, non possiamo più parlare del fluido come CONTINUO ma
vederlo come un vero e proprio insieme di molecole indipendenti. Il numero di Knudsen
permette di identificare quelle situazioni in cui il fluido si comporta come un gas rarefatto:
llm
Kn 
 1  Fluido continuo
L
L = dimensione caratteristica del problema
Il gas in condizioni idrostatiche
p    R T
p
dp
dz
dz

p
dp 

  p  dz   dx  dy  p  dx  dy    g  dx  dy  dz  0
dz 

z
dp     g  dz
dp
g

 dz
p
RT
Qualora il gas si trovi in condizioni idrostatiche la definizione di pressione data in precedenza non è più
sufficiente e ad essa deve necessariamente aggiungersi il contributo gravitazionale fornito dal fluido
circostante il volume.
Bilancio termico del fluido in quiete
Quando il nostro volume elementare viene visto nel contesto del fluido circostante oltre al
bilancio delle forze è necessario valutare il bilancio dell’energia. In assenza di gradienti barici
orizzontali ed in condizioni NEUTRE l’atmosfera non presenta movimenti importanti se non
lungo la direzione verticale al terreno, dove la turbolenza porta ad un continuo rimescolamento
fra i diversi strati che la compongono. I volumetti elementari che formano il CONTINUO si
muovono attraversando strati a diversa temperatura; poiché lo spostamento avviene in tempi
molto più brevi di quello con il quale il calore fluisce da un volumetto all’altro è pensabile
assumere la trasformazione termodinamica come ADIABATICA reversibile.
T  dS  dh 
c p  dT 
dp

dp

0
z
che unita alla
Q=0
dp     g  dz porta per l’aria secca a:
dT
g
   0.01 [C / m]
dz
cp
Il gradiente termico verticale scende a 0.0065 [°C/m] in atmosfera “standard” e a circa 0.005 [°C/m] in condizioni di aria satura
Gradienti termici verticali
Fluido Incomprimibile
Fluido Comprimibile – GAS IDEALE
  f  p, T  
hu
p

p
R T
du 
dh 
h
h
h
dT 
dp  c p  dT 
dp
T p
p T
p T
dh  du 
Fluido Incomprimibile
u
u
u
dT 
d   cv  dT 
d   cv  dT
T 
 T
 T
dp


p

2
d   cv  dT 
dp


p

2
d
  costante
h
dp
c p  dT 
dp  cv  dT 
p T

c p  cv  c
In un fluido Incomprimibile le
proprietà meccaniche non sono
legate a quelle termiche
Viscosità
Una volta che il fluido è stato individuato come un insieme di volumetti elementari e ne sono state
definite le PROPRIETA’ meccaniche (densità e pressione) e termiche (temperatura, energia interna) di
base mettiamo in moto il sistema e vediamo come i diversi volumetti devono interagire per garantire,
anche durante il moto, che l’insieme si comporti come CONTINUO. Qualora la corrente fluida non fosse
UNIFORME, ossia la velocità di avanzamento di un volumetto è diversa da quella degli altri che lo
circondano, si ha che il flusso di quantità di moto attraverso i confini di ogni volumetto rappresenta
l’interazione fra gli stessi; i volumetti più lenti
rallenteranno quelli più veloci e viceversa: tale
interazione viene individuata come una
PROPRIETA’ di nome VISCOSITA’.
Velocità
Per rapportare il fenomeno al concetto di
continuo non possiamo guardare il flusso di
molecole attraverso il volume di controllo ed i
volumetti vengono visti come elementi
deformabili che interagiscono con attrito; gli
sforzi tangenziali presenti sulle superfici dei
z
volumetti saranno così determinati dalla
VISCOSITA’ e dalla VELOCITA’ di
DEFORMAZIONE degli stessi.
x
y
Proprietà dell’ARIA STANDARD
Relative kinematic viscosity
Viscosità Cinematica
Altitudine ( x 103 foot)
 
P0 = 2116.2 [lb/ft3]
= 101325 [Pa]


La viscosità cinematica è
una proprietà che indica la
capacità di un fluido di
seguire la curvatura di una
superficie senza produrre
grandi irregolarità e
turbolenza nel moto
principale. L’aria presenta
una viscosità cinematica
circa 13 volte maggiore di
quella dell’acqua, di
conseguenza ha maggiori
probabilità di successo nel
seguire la curvatura della
superficie da essa lambita.
 aria  1.46  105 [m2 / s ]
 acqua  1.14  106 [m2 / s ]
Velocità di deformazione angolare
u
u
dy
y
D1 
y
D2
DJ 2 = -
Istante t
istante t+Dt
Dy
v
v
Dx
v
dx
x
v
D1
u
1 
v
 
   v   Dx   v   Dt
Dx  
x
 
u
ö ö
1 ææ
¶u
×ç ç u+
× Dy÷ - u÷ × Dt
Dy è è
¶y
ø ø
Velocità di deformazione
g xy =
DJ1 DJ 2 ¶v ¶u
=
+
Dt
Dt
¶x ¶y
x
Quando la viscosità non varia al variare della velocità di deformazione il fluido viene detto
NEWTONIANO; qualora la viscosità aumenti all’aumentare della velocità di deformazione
siamo in presenza di un Fluido Dilatante (Thick Fluid) come, ad esempio, l’olio per motori.
Un fluido che diminuisce la sua viscosità all’aumentare della velocità di deformazione viene
invece indicato come Pseudoplastico (Thin Fluid) . Oltre a ciò i fluidi non newtoniani, anche
se sottoposti ad una velocità di deformazione costante, tendono nel tempo a variare la loro
resistenza alla deformazione. Se con il passare del tempo la tensione tangenziale diminuisce
il fluido viene chiamato Tixotropico, come ad esempio la vernice.
Sforzo Tangenziale
æ ¶v
t xy = m × g xy = m × ç
è ¶x
+
¶u ö
÷
¶y ø
Rotazionalità e velocità angolare
u
u
dy
y
Moto irrotazionale
D2
v
v
dx
x
v
Moto rotazionale
D1
u
Tensore della velocità di deformazione
 xx

 ij   yx
 zx

 xy
 yy
 zy

u
1  u v 


x
2  y x 

 xz 
v
  1  v u 
 yz      
2  x y 
y
 zz  
1 w u  1  w v 
 
 
 

 2  x z  2  y z 
1  u w  
 

2  z x  
1  v w  


2  z y  

w

z

Tensore degli sforzi viscosi per un fluido newtoniano incomprimibile
 ij  2   ij
Velocità Angolare
1  D D  1  v u 
z    1  2      
2  Dt
Dt  2  x y 
1
2
w = × Ñ ´V
Traiettoria e Linea di Corrente
Inseriamo un corpo aerodinamico all’interno di una
galleria del vento, sottoponiamolo ad un flusso
uniforme di aria ed immaginiamo di poter seguire
istante per istante il percorso di alcuni volumetti
elementari di fluido lungo la propria traiettoria .
Le linee individuate da ognuna delle particelle al
trascorrere del tempo (ossia le traiettorie) sono
chiamate “PATHLINES” , esse si modificano nel tempo,
e nello spazio, nel senso che fissato un punto nel
dominio ogni particella che passerà in quel punto avrà
una traiettoria diversa da qualunque altra.
Se il campo di moto fosse STAZIONARIO è ragionevole
pensare che, diversamente dal caso precedente,
fissato un punto nello spazio tutte le particelle che
passano per il punto seguiranno la stessa traiettoria,
così che una “foto” del campo di moto presa ad un
determinato istante di tempo fornirà dello stesso una
rappresentazione completa.
Se, fissato un istante di tempo, potessimo visualizzare
i vettori di velocità dei volumetti elementari ed
unissimo con delle linee continue, TANGENTI ai vettori
stessi, i diversi volumetti otterremmo delle Linee di
Corrente, in gergo “STREAMLINES”. Il flusso di massa
attraverso tali linee è NULLO per cui il volume di
spazio compreso fra 2 linee di flusso viene identificato
come TUBO DI FLUSSO.
In condizioni STAZIONARIE le STREAMLINES
coincidono con le PATHLINES
Streaklines e Timelines
Per visualizzare le “pathlines” è indispensabile
che vengano immessi dei traccianti all’interno
del flusso fluido; ciò può essere fatto
immettendo del fumo, dell’inchiostro o delle
particelle in sospensione, a seconda della
tecnica sperimentale e del fluido oggetto di
studio. Ciò che lo sperimentatore vedrà
saranno un insieme di linee create dalla
colorazione di tutte quelle particelle che hanno
attraversato, in tempi diversi, i punti di rilascio
del colorante: in realtà non saranno così
visualizzate delle “pathlines” ma quelle che in
gergo vengono chiamate “STREAKLINES”.
In condizioni STAZIONARIE le STREAKLINES
coincidono con le PATHLINES.
Un modo diverso per avere informazioni sul
campo di moto locale è quello di “colorare”
solo una linea di fluido e creare una
sovrapposizione fotografica, ad intervalli
costanti di tempo, dell’evoluzione della linea; si
genera così quella che viene chiamata
“TIMELINE” e che consente di determinare
localmente il campo di moto. In alcuni casi,
misurando lo spostamento delle particelle e
conoscendo l’intervallo di tempo fra
TIMELINES sulla superficie esterna di un profilo alare
un’esposizione fotografica e la successiva, è
possibile risalire alla velocità delle stesse
particelle. Una tecnica sperimentale molto diffusa è quella in cui la colorazione avviene mediante il rilascio di Bolle di Idrogeno.
Flusso Inviscido
Quando un fluido viscoso interagisce con un corpo
l’effetto della viscosità si esprime come un’azione
superficiale che induce un gradiente di velocità in
prossimità del contorno del corpo (STRATO LIMITE) ed
una resistenza di attrito superficiale (SFORZO VISCOSO).
Nei problemi di Aerodinamica in genere lo spazio
riservato al fluido è enormemente più grande di quello
occupato dal corpo così che si può parlare di Flusso
Esterno, in tal caso la porzione di fluido in cui l’effetto
della Viscosità è tangibile risulta piccola, così da
sembrare inesistente ad un osservatore “lontano” ; in tali
condizioni anche in un fluido viscoso è lecito assumere
l’esistenza di due macroaree: una prima, la maggiore, in
cui il fluido può essere considerato INVISCIDO
(equazione di Eulero) ed un’altra, quella posta in
prossimità della superficie del corpo, dove il fluido è
VISCOSO (Equazione di Navier-Stokes).
Questa semplificazione è estremamente utile in
Aerodinamica perché la soluzione di un campo di moto
inviscido è semplice e consente la determinazione del
campo di pressione attorno al corpo; in caso Stazionario
le linee di corrente consentono direttamente
l‘individuazione della zona Inviscida del fluido.
Profilo alare soggetto ad un flusso inviscido
Qualora venisse utilizzato del fumo per tracciare il flusso
fluido, nell’area dove il flusso risente dell’effetto della
viscosità le particelle di fumo risultano disperse.
Profilo alare soggetto ad un flusso viscoso
Corpo bernoulliano equivalente
(Displacement Thickness)
Quando lo strato limite è sottile, che corrisponde a flussi ad alti numeri di Reynolds in condizioni
lontane dalla Separazione, le linee di corrente sono molto simili a quelle di un flusso inviscido attorno
allo stesso oggetto. Analizzando in maggior dettaglio il campo di moto è come se le linee di corrente
prossime alla superficie fossero traslate di una piccola quantità verso l’esterno della stessa.
Strato Limite
sull’estradosso
In tali condizioni il flusso reale può essere approssimato ad un flusso
inviscido attorno ad un corpo equivalente, di dimensioni maggiori di quello
reale, che offra la stessa distribuzione di linee di corrente. A questo punto
si tratta di valutare come modificare il corpo reale e secondo quale logica.
La tecnica più diffusa si basa sull’individuazione di una quantità chiamata
“Displacement Thickness” - δ*
Strato Limite
sull’Intradosso
V
Poiché la presenza dello strato limite induce
una riduzione di portata massica in prossimità
della superficie il Displacement Thickness è la
distanza dal corpo solido a cui dovrebbe essere
portata la superficie affinché in un flusso
inviscido si arrivi alla stessa portata massica del

flusso reale.



u 
u 
    1    dy    1    dy
V 
V 
0
0
0.99  V
* 
Lastra Piana - Turbolento
1.72  x
 0.35  
Re x
* 
V
0.02  x
 0.125  
(Rex )1/7
u

*
Lastra Piana - Laminare
*
y
*
y
Equazione di Eulero in coordinate streamlines
Lungo una linea di corrente la
velocità di un volumetto
elementare è data da:
p dn 


p
  ds  dx
n 2 

V =V (s ;t ) =VS (t )
p ds 

   dn  dx
p
s 2 

p ds 

   dn  dx
p
s 2 

VS
V
ds  S dt
s
t
dVS VS
V

VS  S  aS
dt
s
t
dVS 
b
che per Flussi STAZIONARI diventa:
aS 
g
VS
VS
s
  aS  dsdndx 
dn
ds
p dn 


p
  ds  dx
n 2 

s
s
n

p 1
p 1
 

  p    ds    p    ds    dndx 

s
2

s
2
 


   g  senb  dsdndx

R
VS 2
 dsdndx 
R

p 1
p 1
 

  p    ds    p    ds    dndx 
n 2
n 2
 


  an  dsdndx   
s
n
   g  cos b  dsdndx
n
z
x
R
n
y
VS
p
 VS      g  senb
s
s
s
Linea di corrente

VS 2
p
     g  cos b
R
n
Riflessioni sulle equazioni di Eulero in coordinate
streamlines
Le 2 equazioni di Eulero sono state ottenute applicando la seconda legge di Newton al volumetto elementare in moto in un flusso INVISCIDO
e STAZIONARIO. Qualora il fluido oggetto di studio fosse ARIA le forze di massa possono essere ritenute trascurabili rispetto a quelle di
pressione, le equazioni di Eulero possono così essere semplificate nelle:
V
p
  S  VS 
0;
s
s
VS 2
p
  
n
R
L’equazione lungo –s- ci dice che l’accelerazione del fluido è funzione solo del gradiente di pressione lungo la stessa linea di flusso; la
seconda afferma invece che la pressione diminuisce mano a mano che ci si avvicina al centro di curvatura della linea di corrente. Nel caso
del profilo alare riportato in figura si avrà che sull’estradosso la pressione sarà inferiore a quella del fluido indisturbato mentre
nell’intradosso si avranno 2 zone: quella prossima al naso, in depressione, e quella vicina alla concavità di coda che risulta in pressione.
p
p  p
p  p
estradosso
intradosso
p  p
p  p
p
Equazione di Bernoulli in coordinate streamlines
Dalle equazioni di Eulero in coordinate Streamlines si può giungere all’equazione di Bernoulli ipotizzando che il fluido oltre che inviscido sia anche
INCOMPRIMIBILE (FLUIDO IDEALE); in questo caso possiamo integrare lungo una qualsiasi linea di corrente l’equazione di Eulero ottenendo:
SB
S
S
B
B
VS
VS 2
VB2
VA2
p
1 2
  VS  s  ds  S s  ds  0    S d  2 VS   (pB  pA )  0    2  pB    2  pA    2  pS  costante
SA
A
A

A
Linea di corrente - 2
Linea di corrente - 1


VA2
 pA  C2
2
VA2
 pA  C1
2
A
VB2
 pB  C2
2
B
C1  C2

VB2
 pB  C1
2
B
Da quanto sopra riportato emerge come la somma della pressione statica e della pressione cinematica sia costante lungo ogni linea di corrente; bisogna
però sottolineare che la costante varia da una linea di corrente alla successiva. Ciò deve suscitare una certa cautela all’uso incondizionato dell’equazione
di Bernoulli che diventa generale, ossia estendibile a tutte le linee di corrente, solo in FLUSSI IRROTAZIONALI; in questo caso la costante è la stessa per
tutte le linee di corrente e l’equazione può essere applicata non solo lungo una di esse ma anche ATTRAVERSO le stesse.
Un esempio calzante è quello di un FLUSSO UNIFORME, in questo caso le linee di corrente sono tutte rettilinee e parallele fra di loro; essendo rettilinee il
loro raggio di curvatura sarà infinito e, dall’equazione di Eulero lungo –n-, il gradiente di pressione in direzione normale al moto sarà nullo. In questo caso
tutti i punti su di una sezione ortogonale al moto avranno la stessa pressione e, per l’equazione di Bernoulli, avranno anche la stessa velocità: la somma
delle pressioni statiche e cinematiche sarà così identica lungo qualunque linea di corrente.
VS 2
p
  
0
n
R