La legge normale e il teorema del limite centrale

La legge normale e
il teorema del limite centrale
Mentre la legge dei grandi numeri stabilisce la convergenza
del valor medio xmedio di un certo campione di variabili casuali
(x1,x2,x3…….xn) verso il valore atteso E(x) e della deviazione
standard σx verso il valore atteso della deviazione standard σ della
.
popolazione, nulla dice sulle leggi di distribuzione di probabilità di tali
variabili casuali.
Il teorema del limite centrale risponde a questo problema e stabilisce le
condizioni per le quali una variabile casuale tende alla distribuzione
normale di Gauss
Campione e popolazione
Sperimentalmente si studia il comportamento di un
fenomeno non deterministico raccogliendo un campione di
variabili aleatorie (x1,x2,x3…….xn) e si calcola la
media Xmedio= ( xi)/n
Ebbene se il numero n delle osservazioni è sufficientemente
grande il comportamento probabilistico della media
campionaria (qualunque sia la legge di probabilità delle
variabili x1,x2,x3…….xn ) è dello stesso tipo segue la legge
normale di Gauss
con valor medio   Xmedio e varianza σ2  σ2medie= σx2/n
Questo straordinario risultato va sotto il nome di Teorema
del limite centrale e giustifica il perché la distribuzione
normale di Gauss abbia un ruolo prevalente nella statistica
inferenziale
L’enunciato del teorema è il seguente:
Sia X una variabile casuale somma di variabili casuali xi
X=  ai xi
indipendenti ed equidistribuite
(ovvero le variabili casuali seguono la stessa legge di probabilità
e si indichi con E(x) il valore atteso e Var(x) la varianza
della variabile aleatoria xi (anche se non noti)
Si dimostra che
La variabile X ha una funzione di distribuzione di probabilità
che tende a quella normale al crescere di n, con valore
E(X)=  ai E(xi) e
Var (X)=  ai2 Var(xi) .
Ora la media è una combinazione lineare di xi
indipendenti e equidistribuiti con tutti gli E(xi) = E(x) e
Var(xi) = Var(x) e con gli ai=1/n.
Applicando il teorema risulta che
 = E(Xmedio) = n(1/n)E(x) = E(x) e
σ2 = Var (Xmedio) = n(1/n2) Var(x) = Var (x)/n
Inoltre il teorema centrale assicura che la distribuzione di
probabilità della variabile Xmedia è, per n sufficientemente
grandi, la distribuzione di Gauss con parametri
 e σ sopra determinati.
Vedremo che la miglior approssimazione
di  è Xmedio e di  è x/n
Esiste una dimostrazione rigorosa, dovuta a Laplace, che la
distribuzione degli scarti delle misure affette da errori casuali
e indipendenti è la funzione normale di Gauss
La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale
(7.13 Carnelli)
Si suppone, nel modello di Laplace che gli errori casuali
di misura possano essere schematizzati come il concorso
contemporaneo di un numero n molto grande di disturbi,
molto piccoli e indipendenti tra loro, di ampiezza
costante ℇ, ognuno dei quali tenda a spostare la misura x
dal valore vero X con uguale probabilità in difetto o in
eccesso.
Modello di prove ripetute
e la pro(n-
)
La probabilità che si presenti un determinato valore di x
è data dalla probabilità che si presentino n disturbi
positivi e (n-n) disturbi negativi ovvero dalla
Bn,p(n) = (nn)pn q(n-n)
con p = q
La variabile x è legata a n da una relazione lineare
Si dimostra che la forma analitica della densità di probabilità
per un certo risultato x è la gaussiana