Misure di polarizzazione mediante ricevitori differenziali a microonde

Misure di polarizzazione mediante ricevitori
differenziali a microonde
Aniello Mennella
Università degli Studi di Milano – Dipartimento di Fisica
Corso di laboratorio di strumentazione spaziale I
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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Introduzione
Scomposizione di un’onda in componenti polarizzate
Consideriamo un’onda piana che si propaga nel vuoto e fissiamo una terna
~
cartesiana con l’asse z nella direzione di propagazione dell’onda. E
possiamo scomporlo come:
~ = x̂Ex + ŷ Ey ,
E
Ex
= E1 sin(ωt − kz)
Ey
= E2 sin(ωt − kz + δ)
(1)
(2)
dove ω = 2πν, k = 2π/λ e δ rappresenta la differenza di fase fra le due
componenti.
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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Introduzione
Vettore campo elettrico nel sistema cartesiano scelto e sua scomposizione
delle componenti linearmente polarizzate Ex , Ey
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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Introduzione
Caso generale: polarizzazione ellittica
Ora studiamo l’andamento nel tempo di Ex (z = 0, t) e Ey (z = 0, t), cercando
di stabilire la relazione fra Ex ed Ey in funzione delle ampiezze E1 , E2 e dello
sfasamento δ.
Scrivendo la prima e la seconda equazione di (2) per z = 0 otteniamo, dopo
un po’ di algebra,
s
#
"
Ex2
Ex
cos δ + 1 − 2 sin δ .
(3)
Ey = E2
E1
E1
che corrisponde a:
Ey2
E22 sin2 δ
ovvero
aEy2
−
2Ex Ey cos δ
E1 E2 sin2 δ
+
Ex2
E12 sin2 δ
= 1,
(4)
− bEx Ey +
cEx2
=1
che rappresenta l’equazione di un’ellisse nel piano Ex , Ey .
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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Introduzione
Casi particolari: polarizzazione lineare
L’oscillazione armonica di Ex ed Ey combinandosi con lo sfasamento δ fa
~ lungo un’ellisse nel piano x, y. Alcuni casi particolari:
ruotare E
I
I
se E1 o E2 sono nulli ⇒ onda polarizzata linearmente lungo x o y
~ è inclinato
se δ = 0 allora l’onda e’ polarizzata linearmente ed il vettore E
di un angolo γ = tan−1 EE12 . Se E1 = E2 allora l’onda e’ polarizzata
linearmente a 45◦ rispetto all’asse x.
(a)
A. Mennella (UniMi)
(b)
Misure di polarizzazione
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Introduzione
Casi particolari: polarizzazione circolare
Un altro caso particolare è quello in cui δ = ±π/2 e E1 = E2 . In questo caso
l’equazione (5) diventa Ex2 + Ey2 = E 2 che rappresenta un’onda polarizzata
circolarmente.
Caso di polarizzazione circolare: δ = π/2 corrisponde a polarizzazione destrorsa
(sinistra), δ = −π/2 corrisponde a polarizzazione sinistrorsa (destra).
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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Introduzione
Casi particolari: polarizzazione circolare
Un altro caso particolare è quello in cui δ = ±π/2 e E1 = E2 . In questo caso
l’equazione (5) diventa Ex2 + Ey2 = E 2 che rappresenta un’onda polarizzata
circolarmente.
Caso di polarizzazione circolare: δ = π/2 corrisponde a polarizzazione destrorsa
(sinistra), δ = −π/2 corrisponde a polarizzazione sinistrorsa (destra).
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
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I parametri di Stokes
Polarizzazione totale e parziale
I
Osservando una sorgente celeste, il segnale lo riceviamo in una banda
∆ν di frequenze ed è costituito dalla sovrapposizione di un grande
numero di modi statisticamente indipendenti con una grande varietà di
polarizzazioni.
I
Il caso estremo è quello in cui tutti i modi di polarizzazione si combinino in
modo casuale con il risultato di un grado di polarizzazione medio nullo.
I
Nel caso del fondo cosmico il segnale è costituito da una parte
(statisticamente) non polarizzata ed una completamente polarizzata.
I
Deriviamo ora i parametri di Stokes nel caso di onda completamente
polarizzata
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Misure di polarizzazione
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I parametri di Stokes
~ nelle sue componenti linearmente polarizzate
Scriviamo il vettore E
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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I parametri di Stokes
Vogliamo passare ad un sistema di riferimento allineato con gli assi dell’ellisse
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I parametri di Stokes
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
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8 / 15
I parametri di Stokes
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
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I parametri di Stokes
I
Con un po’ di algebra si ottiene
Ex
=
E0 (cos cos τ sin ωt − sin sin τ cos ωt)
Ey
=
E0 (cos sin τ sin ωt + sin cos τ cos ωt)
A. Mennella (UniMi)
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20 novembre 2009
(5)
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I parametri di Stokes
I
I
Con un po’ di algebra si ottiene
Ex
=
E0 (cos cos τ sin ωt − sin sin τ cos ωt)
Ey
=
E0 (cos sin τ sin ωt + sin cos τ cos ωt)
(5)
Inoltre dalle equazioni iniziali Ex = E1 sin ωt cos δ1 − E1 cos ωt sin δ1
(analogamente per Ey ).
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I parametri di Stokes
I
Con un po’ di algebra si ottiene
Ex
=
E0 (cos cos τ sin ωt − sin sin τ cos ωt)
Ey
=
E0 (cos sin τ sin ωt + sin cos τ cos ωt)
I
Inoltre dalle equazioni iniziali Ex = E1 sin ωt cos δ1 − E1 cos ωt sin δ1
(analogamente per Ey ).
I
Ancora con un po’ di algebra si ottiene:
A. Mennella (UniMi)
E0 cos cos τ
= E1 cos δ1
E0 sin sin τ
= E1 sin δ1 .
Misure di polarizzazione
(5)
(6)
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I parametri di Stokes
I
Con un po’ di algebra si ottiene
Ex
=
E0 (cos cos τ sin ωt − sin sin τ cos ωt)
Ey
=
E0 (cos sin τ sin ωt + sin cos τ cos ωt)
I
Inoltre dalle equazioni iniziali Ex = E1 sin ωt cos δ1 − E1 cos ωt sin δ1
(analogamente per Ey ).
I
Ancora con un po’ di algebra si ottiene:
I
E0 cos cos τ
= E1 cos δ1
E0 sin sin τ
= E1 sin δ1 .
(5)
(6)
e infine:
q
E1 = E0 cos2 cos2 τ + sin2 sin2 τ
q
E2 = E0 cos2 sin2 τ + sin2 cos2 τ ,
(7)
da cui si ricava che E02 = E12 + E22 .
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I parametri di Stokes
I
Calcoliamo ora la densità di flusso media (potenza per unità di superficie)
che è data da:
S = Sx + Sy =
hE 2 i
hE12 i + hE22 i
= 0 ,
Z
Z
(8)
dove Z è l’impedenza caratteristica del mezzo (in Ω m−2 ) e
2
2
hE0,1,2
i = 1/2E0,1,2
(valor medio della potenza in un periodo).
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20 novembre 2009
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I parametri di Stokes
I
Calcoliamo ora la densità di flusso media (potenza per unità di superficie)
che è data da:
S = Sx + Sy =
hE 2 i
hE12 i + hE22 i
= 0 ,
Z
Z
(8)
dove Z è l’impedenza caratteristica del mezzo (in Ω m−2 ) e
2
2
hE0,1,2
i = 1/2E0,1,2
(valor medio della potenza in un periodo).
I
Passiamo ora a definire i parametri di Stokes come segue:
I
Q
= Sx + Sy = S
= Sx − Sy = S cos 2 cos 2τ
(9)
U
V
E1 E2
cos δ
= (Sx − Sy ) tan 2τ = S cos 2 sin 2τ = 2
Z
E1 E2
= (Sx − Sy ) tan 2 sec 2τ = S sin 2 = 2
sin δ
Z
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Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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I parametri di Stokes
I
I rappresenta l’intensità totale dell’onda, U e V dipendono dalla
polarizzazione lineare e V è legato alla polarizzazione circolare.
I
Polarizzazione circolare. δ = ±π/2 e Sx = Sy e, di conseguenza, I = S,
Q = U = 0 e V = ±S.
I
Polarizzazione lineare. La polarizzazione lineare è definita da = 0 per
cui si ha I = 0, Q = S cos 2τ , U = S sin 2τ e V = 0. A seconda del
valore di τ , inoltre, si hanno i casi di polarizzazione lungo x e lungo y
(Q = S e U = 0) e polarizzazione a 45◦ (Q = 0, U = S).
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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La misura della radiazione parzialmente polarizzata
I
Consideriamo ora il caso di polarizzazione lineare parziale; in questo
caso anche i termini di ampiezza e gli sfasamenti sono dipendenti dal
tempo:
A. Mennella (UniMi)
Ex
= E1 (t) sin(ωt − δ1 (t))
Ey
= E2 (t) sin(ωt − δ2 (t)).
Misure di polarizzazione
(10)
20 novembre 2009
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La misura della radiazione parzialmente polarizzata
I
I
Consideriamo ora il caso di polarizzazione lineare parziale; in questo
caso anche i termini di ampiezza e gli sfasamenti sono dipendenti dal
tempo:
Ex
= E1 (t) sin(ωt − δ1 (t))
Ey
= E2 (t) sin(ωt − δ2 (t)).
(10)
In questo caso nel definire i parametri di Stokes è necessario considerare
delle medie temporali nelle varie quantità, in modo che si ha:
hE12 i hE22 i
+
= Sx + Sy = S
Z
Z
hE12 i hE22 i
Q =
−
= Sx − Sy = Shcos 2 cos 2τ i
Z
Z
2
U = (Sx − Sy )htan 2τ i = S hcos 2 sin 2τ i = hE1 E2 cos 2δi
Z
2
V = (Sx − Sy )htan 2 sec 2τ i = Shsin 2i = hE1 E2 sin δi
Z
RT
dove I 2 ≥ Q 2 + U 2 + V 2 e la media temporale è data da hf i = T1 0 f (t) dt.
I
=
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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La misura della radiazione parzialmente polarizzata
I
I
τ , δ e sono legati dalla relazione tan δ = tan 2/ sin 2τ . Lo stato di
polarizzazione di un segnale elettromagnetico è possibile determinarlo
mediante la misura di 4 osservabili (abbiamo 4 incognite).
È possibile, nel caso di polarizzazione lineare, misurare lo stato di
polarizzazione effettuando unicamente misure di ampiezza con due
antenne puntate sulla stessa sorgente e ruotate di 45◦ una rispetto
all’altra
A. Mennella (UniMi)
Misure di polarizzazione
20 novembre 2009
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La misura della radiazione parzialmente polarizzata
Poichè consideriamo solo polarizzazione lineare abbiamo che V = 0. Gli altri
parametri di Stokes possono essere scritti come segue:
I
Antenna 1:
I
=
Sx + Sy = S
Q
=
Sx − Sy = S cos 2 cos 2τ
U
=
S cos 2 sin 2τ
(11)
I
Antenna 2:
I0
=
Sx 0 + Sy 0 = S
0
=
Sx 0 − Sy 0 = S cos 2 cos 2τ 0
U0
=
S cos 2 sin 2τ 0
Q
(12)
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Misure di polarizzazione
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La misura della radiazione parzialmente polarizzata
Poiché τ 0 = τ − π/4 si ha che cos 2τ 0 = sin 2τ e sin 2τ 0 = − cos 2τ e quindi
si ha che
I0
= I = Sx + Sy
Q
0
= U = Sx 0 − Sy 0
U
0
= −Q = Sy − Sx
(13)
(14)
che mostra come dalle quattro misure di intensità Sx , Sy , Sx 0 , Sy 0 sia possibile
derivare i parametri di Stokes I, Q, U.
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