Probabilità

Probabilità
• (Definizione classica: B. Pascal, A. de Moivre, P.S. Laplace,
sec. XVI-XVIII) la probabilità di un evento corrisponde al
rapporto tra il numero dei risultati favorevoli al verificarsi dell’evento e quello di tutti i risultati possibili purché ugualmente
probabili.
• (Definizione frequentista) la probabilità di un certo esperimento è il limite della frequenza relativa dei successi quando
il numero delle prove tende all’infinito.
• (Definizione soggettiva: B. de Finetti, J. Savage, sec. XX)
la probabilità rappresenta un giudizio quantitativo individuale
espresso dalla misura del grado di fiducia che una persona ha
nel verificarsi di un evento.
• (Definizione assiomatica: A. Kolmogorov, sec. XX) la probabilità è l’attribuzione di un valore numerico a un evento
nel rispetto di determinati requisiti o assiomi.
• Posto che gli eventi sono sottoinsiemi di Ω e formano una
σ-algebra F , la misura di probabilità di un evento A ∈ F è
una funzione reale P (A) tale che:
P (A) ≥ 0;
P (Ω) = 1;
A1, A2, . . . ∈ F con Ai ∩ Aj = ∅ ⇒ P
S
∞ A
i=1 i
P∞
= i=1 P (Ai).
• Spazio di probabilità (Ω, F , P ) è la terna formata dallo spazio
Ω, dalla σ-algebra F e dalla funzione P .
• Il valore P (A) della funzione P in corrispondenza dell’evento
A è detto probabilità dell’evento A.
• Quando Ω è composto da un numero finito di eventi elementari $1, . . . , $n, e a questi viene associata la stessa probabilità pari, per il secondo e terzo assioma, ad 1/n, gli eventi elementari sono detti equiprobabili. In tal caso il terzo
assioma permette di calcolare la probabilità di A
P (A) =
X 1
$i∈A n
=
# (eventi elementari in A)
# (eventi elementari in Ω)
Probabilità combinatorie
• Il numero di allineamenti di r degli n elementi di un insieme,
ritenendo diversi due allineamenti perché contengono elementi differenti o perché gli stessi elementi si susseguono
in ordine diverso o perché uno stesso elemento si ripete un
numero diverso di volte, è dato da nr . Gli allineamenti vengono detti disposizioni con ripetizione di n oggetti in classe
r.
• Il numero di allineamenti di r degli n elementi di un insieme,
ritenendo diversi due allineamenti perché contengono elementi differenti o perché gli stessi elementi si susseguono
in ordine diverso, è dato da n (n − 1) · · · (n − r + 1) = n(r) .
Gli allineamenti vengono detti disposizioni semplici o senza
ripetizione di n oggetti in classe r.
• Il numero di allineamenti di tutti gli n elementi di un insieme,
ritenendo diversi due allineamenti perché gli stessi elementi
si susseguono in ordine diverso, è dato da n (n − 1) · · · 1 = n!.
Gli allineamenti vengono detti permutazioni di n oggetti.
• Il numero di allineamenti di r degli n elementi di un insieme, ritenendo diversi due allineamenti
perché contengono
(r)
elementi differenti, è dato da nr! = nr . Gli allineamenti
vengono detti combinazioni senza ripetizione di n oggetti in
classe r.