Analisi Matematica A

Analisi Matematica A
MODALITÀ D’ESAME:
Prova Scritta + Prova orale
5 APPELLI IN UN ANNO ACCADEMICO
Ingegneria Civile
Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio
PRIMA SESSIONE D’ESAME:
dal giorno 11.12.2006 al giorno 12.01.2007 (2 appelli)
Paola Gervasio
orario di ricevimento: GIO. 9:30-11:30
Edificio di via Valotti, piano terra, tel. 030-3715734
e-mail: [email protected]
web: http://dm.ing.unibs.it/gervasio
Si può ottenere l’esonero dalla prova scritta superando 2 Test scritti:
Primo test: 3 o 10 novembre 2006
Secondo test: inizio dicembre 2006 (in concomitanza con il primo
appello)
Chi supera i due test deve fare l’esame orale all’interno del periodo del
primo appello.
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.1/24
DURATA DELLE LEZIONI: 10 settimane (fino al 6 dicembre)
3 ore di lezione alla settimana:
CONTENUTI DEL CORSO
1. Nozioni di base:
Elementi di logica,
l’insieme dei numeri reali,
funzioni: definizione e grafico di funzioni elementari
LUN. 10:30-12:30, Aula M1
MER. 11:30-12:30, Aula Magna
3 ore di esercitazione alla settimana:
Prima squadra (A-L)
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.3/24
2. Limiti di funzioni e di successione
MAR. 14:30-16:30, Aula MTA
GIO. 14:30-15:30, Aula MTB
3. Funzioni continue
4. Derivate
5. Studio di funzioni
Seconda squadra (M-Z)
MAR. 14:30-16:30, Aula N2
6. Polinomi di Taylor
GIO. 14:30-15:30, Aula N9
7. L’insieme dei numeri complessi
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.2/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.4/24
TESTO DI RIFERIMENTO
C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 1, Ed. Springer Italia, 2005
(seconda edizione)
ELEMENTI DI INSIEMISTICA
I Definizione di insieme e simboli
I Operazioni fra insiemi
I Caratterizzazione di un insieme
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/
I Prodotto cartesiano fra insiemi
Si veda il corso di ALGEBRA E GEOMETRIA
Alla pagina
http://dm.ing.unibs.it/benini/Didattica/traccia
trovate traccia delle lezioni della prof. Benini
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.5/24
PREREQUISITI
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.7/24
ELEMENTI DI LOGICA
I elementi di goniometria e trigonometria
I geometria analitica nel piano: retta, parabola, crf, iperbole, ellisse
I logaritmi e potenze: definizioni ed operazioni elementari
I disequazioni (e sistemi di disequazioni): intere, razionali,
irrazionali, fratte, logaritmiche, esponenziali, goniometriche
I equazioni di 1o e 2o grado, irrazionali, fratte, logaritmiche,
esponenziali, goniometriche
I calcolo letterale (prodotti notevoli)
Def. Una Proposizione logica è una frase di cui si può dire, senza
equivoco, se è VERA o FALSA, cioè porta con sè un valore di verità.
Esempi:
’Mercurio è un pianeta’, ’Milano è in Egitto’ sono proposizioni logiche
’Milano è lontana da Roma’, ’Il giallo è un bel colore’ NON sono
proposizioni logiche.
Le proposizioni logiche verranno indicate con delle lettere:
P=’Mercurio è un pianeta’
A partire da proposizioni logiche, se ne possono costruire altre
mediante i connettivi logici.
I connettivi logici sono operazioni che agiscono sulle proposizioni.
I operazioni elementari senza uso della calcolatrice
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.6/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.8/24
CONNETTIVI LOGICI
negazione: ¬P (si legge nonP): è la negazione di P.
Se P è Vera, allora ¬P è Falsa e viceversa.
Es. P=’Mercurio è un pianeta’, ¬P= ’Mercurio non è un pianeta’.
Un teorema è costituito da un enunciato e da una dimostrazione.
L’enunciato ha una IPOTESI (P, il punto di partenza) ed una TESI (Q
l’obiettivo da dimostrare) e si sintetizza con
P ⇒ Q.
congiunzione: P ∧ Q (si legge P e Q): è una proposizione Vera solo se
entrambe P e Q sono Vere, Falsa in tutti gli altri casi.
disgiunzione: P ∨ Q (si legge P o Q): è una proposizione Falsa solo
se entrambe P e Q sono False, Vera in tutti gli altri casi.
Es. P=’5 è un numero dispari’, Q=’4 è un numero primo’. P ∧ Q è
FALSA, P ∨ Q è VERA.
Es. P=’5 è un numero dispari’, Q=’4 è un numero pari’. P ∨ Q è VERA.
1. P
2. ¬Q
3. P ∧ ¬Q
4. P ∧ ¬Q
⇒
⇒
⇒
⇒
Q
¬P
¬P
R ∧ ¬R,
dove R è un’altra proposizione.
Le regole 2., 3. e 4. sono dette regole di dimostrazione per assurdo.
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.9/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.11/24
I PREDICATI
implicazione: P ⇒ Q (si legge P implica Q): è una proposizione Falsa
solo se P è Vera e Q è Falsa, Vera in tutti gli altri casi (si esclude che
da una premessa Vera si possa ottenere una conclusione Falsa).
Si dice che P è condizione sufficiente per Q e
Q è condizione necessaria per P.
Def. Un PREDICATO LOGICO è un enunciato P(x, ...) dipendente da
doppia implicazione o equivalenza logica o condizione necessaria e
sufficiente: P ⇔ Q (si legge P se e solo se Q): è una proposizione
Vera se P e Q sono entrambe Vere o entrambe False, altrimenti è
Falsa.
predicato.
P(7) è una proposizione Vera,
una o piú variabili x, ..., scelte in un insieme opportuno.
Un predicato diventa una proposizione (V o F) nel momento in cui le
variabili vengono fissate.
Es. Sia x un numero intero. P(x)=’x è un numero primo’ è un
P(10) è una proposizione Falsa.
OSSERVAZIONE. I connettivi logici possono essere applicati anche ai
predicati: ¬P(x), P(x) ∨ Q(x), ...
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.10/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.12/24
QUANTIFICATORI
GLI INSIEMI NUMERICI
OSSERVAZIONE. Dato un predicato P(x) con x appartenente ad un
certo insieme X, può interessare sapere se P(x) è vera per tutti gli
elementi x di quell’insieme, oppure se esiste almeno un elemento x di
X per cui P(x) è vera.
si legge
per ogni x vale P(x)
1
2
3
4
5
6
7
associativa (n1 + n2 ) + n3 = n1 + (n2 + n3 ) e (n1 · n2 ) · n3 = n1 · (n2 · n3 )
distributiva n1 · (n2 + n3 ) = n1 · n2 + n1 · n3
N+ = N \ {0}
quantificatore esistenziale:
∃ x, P(x)
0
operazioni interne (il risultato sta in N): somma e prodotto
proprietà: commutativa n1 + n2 = n2 + n1 e n1 · n2 = n2 · n1
Si introducono i quantificatori.
quantificatore universale:
∀ x, P(x)
Numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, .....}
esiste almeno un x per cui vale P(x)
si legge
Numeri interi: Z = {0, ±1, ±2, ±3, .....}
operazioni interne: somma, prodotto e sottrazione
∃! x, P(x)
esiste un unico x per cui vale P(x)
si legge
Z+ = Z \ {0}
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.13/24
4
5
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.15/24
Negazione di quantificatori e predicati
¬(∀x, P(x))
¬(∃x, P(x))
è equivalente a
è equivalente a
∃x, ¬P(x)
∀x, ¬P(x)
Es. X è l’insieme delle città italiane e x una città italiana
P(x)=’x è una città di mare’
∀x, P(x)
si legge
’qualunque città italiana è una città di
mare.’ (Falsa)
La sua negazione è:
∃ x, ¬P(x)
si legge
’esiste almeno una città italiana che
non è una città di mare.’ (Vera)
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.14/24
Numeri razionali: Q = {r = p/q, p ∈ Z, q ∈ N+ }
operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un
numero non nullo.
−3/4
−2
−1
P=5/4
0
1
2
3
Un numero razionale ha una rappresentazione decimale limitata, le
cifre dopo la virgola sono nulle da un certo punto in poi oppure, da un
certo punto in poi, si ripetono periodicamente infinite volte.
Es. r = −351.4500 = −351.45, s = 12.234343434 = 12.234.
In Q tutte le operazioni artimetiche elementari sono interne, ma
√
esistono dei numeri che non sono razionali, es. 2, π, .....
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.16/24
I numeri reali
Numeri reali: R = { tutti i numeri decimali razionali e irrazionali (ovvero
con infinite cifre dopo la virgola non periodici)}
Esempi di numeri irrazionali:
√
2 = 1.4142....
π = 3.1415...., e = 2.71828....,
operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un
numero non nullo.
Oss. L’insieme dei numeri reali è identificato con una retta: ogni punto
placements
della retta è associato ad uno ed un solo numero reale.
0
R
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.17/24
La necessità di utilizzare numeri irrazionali risale all’antichità:
• per esprimere la lunghezza d della diagonale di un quadrato in
funzione della lunghezza l del lato del quadrato:
d
PSfrag replacementsl
d2 = l2 + l2 = 2l2
l
Questo significa che
Ovvero:
√
p = 2.
∃p| p2 = 2.
d2 = 2l2 = p2 l2 ,
Usiamo la dimostrazione per assurdo
√
2 non è
P ∧ ¬Q ⇒ R ∧ ¬R.
All’ipotesi P aggiungiamo l’ipotesi ¬Q=’p è razionale’.
Per dimostrare il teorema devo dimostrare che esiste una proposizione
R che è contemporaneamente VERA e FALSA.
Per definizione dei numeri razionali posso scrivere p = m/n dove
m, n ∈ N con m e n primi fra loro.
R=’m e n sono primi fra loro’.
Devo dimostrare che vale ¬R=’m e n NON sono primi fra loro’.
Si hanno le inclusioni:
Teorema di Pitagora:
Teorema. Se il numero p soddisfa p2 = 2, allora p =
razionale.
Dimostrazione
L’ipotesi è P=’il numero p soddisfa p2 = 2’,
√
la tesi è Q=’p = 2 non è razionale’.
e quindi d2 = (pl)2 , cioè d = pl e
• per esprimere la lunghezza c della circonferenza in funzione della
lunghezza r del raggio: c = 2πr.
PROBLEMA: Come faccio ad affermare che p =
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.19/24
Elevando al quadrato p = m/n si ha 2 = p2 = m2 /n2 , ovvero
m2 = 2 n2 .
Qualunque sia n, m2 è pari, quindi anche m è pari,
ovvero posso scrivere m = 2k, con k ∈ N.
Di conseguenza l’uguaglianza m2 = 2 n2 diventa (2k)2 = 2n2 , ovvero
4k 2 = 2n2 , ovvero 2k 2 = n2 .
Per lo stesso ragionamento, confrontando k e n nell’uguaglianza
2k 2 = n2 , si ha che anche n è pari.
Ho dimostrato che m e n NON sono primi tra loro, ovvero vale ¬R, e
questo equivale ad aver dimostrato che P ⇒ Q.
2
√
2 6∈ Q?
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.18/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.20/24
Proprietà di R
1. Le operazioni aritmetiche definite su Q si estendono a R con
analoghe proprietà.
La relazione d’ordine 0 ≤0 interagisce con le operazioni algebriche di
somma e prodotto:
se x ≤ y e ∀z ∈ R, allora x + z ≤ y + z
2. Su R c’e’ un ordinamento totale
e
3. I numeri razionali sono densi tra i numeri reali, ovvero tra due
numeri reali qualsiasi, esistono infiniti numeri razionali.

 z≥0
se x ≤ y e se
 z<0
4. L’insieme dei numeri reali è completo: geometricamente vuol dire
che ogni punto della retta è associato ad un unico numero reale.
allora x · z ≤ y · z
allora x · z ≥ y · z
Questa proprietà permette di risolvere equazioni come x2 − 2 = 0 che
non hanno soluzione in Q.
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.21/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.23/24
2. ORDINAMENTO DEI NUMERI REALI
I numeri reali diversi da zero si dividono in positivi (x > 0 o x ∈ R+ ) e
negativi (x < 0 o x ∈ R− ).
placements
Si introduce un ordinamento tra numeri reali come segue:
siano x, y ∈ R,
diciamo che x < y
y − x > 0.
se e solo se
0
y−x
x
y
R
L’ordinamento è totale, ovvero presi due qualsiasi numeri reali distinti
è sempre vera una delle due condizioni:
x<y
o
Riferimento bibliografico: C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 1,
seconda edizione. Capitolo 1, pag. 1-13.
Esercizi: Costruire le tavole di verità per i connettivi logici, seguendo le
regole date nelle definizioni. Esempio per la congiunzione:
P
Q
P ∧Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
y < x.
Esercizi: Canuto-Tabacco. pag. 26, Es. 1 (disequazioni varie) +
esercizi vari sugli argomenti dei prerequisiti.
Si pone:
x≤y
⇔
x < y oppure x = y.
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.22/24
c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/2007 - cap1a – p.24/24