Compito del 26 nov 2004

Facoltà di Ingegneria
Prova in Itinere di Fisica I (a. a. 2004-2005)
26 Novembre 2004
COMPITO C
Esercizio n. 1
Un corpo di massa M è appoggiato su di un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dinamico µd.
Come mostrato in figura 1, questo piano si raccorda ai suoi estremi con la sommità di due piani inclinati, anch’essi
scabri, aventi uguale coefficiente di attrito dinamico pari a
µd
2
e formanti un angolo α con la direzione orizzontale.
Il corpo di massa M è collegato, tramite due funi ideali, cioè di massa trascurabile ed inestensibili, ad altri due corpi,
disposti come in figura, di masse
M
e 2M, rispettivamente. Le due funi passano attraverso due carrucole ideali, cioè
2
prive di attrito e di massa trascurabile, poste nei raccordi tra il piano orizzontale e i due piani inclinati.
All’istante iniziale, il sistema fermo viene lasciato libero e le tre masse si mettono in moto, mentre le funi rimangono
in tensione.
Con l’ausilio delle leggi della dinamica conosciute si studi il moto del sistema in esame determinando:
Le accelerazioni delle tre masse in movimento;
Le tensioni delle due funi;
Il tempo impiegato, a partire dall’istante iniziale, dalla massa di destra, cioè 2M, per percorrere, lungo il piano
inclinato, la distanza d.
Poi, tenendo conto di questi dati numerici:
g = 9.81 m s-2, M=4 kg, µd = 0.1, d = 4 m, α = 30° :
M
2M
M/2
α
α
Figura 1
si risponda alle seguenti domande,
1) Le accelerazioni delle tre masse sono, in modulo, tali che:
A. a M 2 = 2a M = 4a 2 M
B.
a M 2 = a M = a2 M
C.
4a M 2 = 2a M = a 2 M
D.
a M 2 = 2a M = 2 a 2 M
(*)
2) L’espressione dell’accelerazione della massa 2M, in termini di g, è la seguente:
1
1

 3 − (5 3 + 8) µ d  g (*)
2
14 

23µ d
Mg
B. a =
7
1
µd g
C. a =
2M
A.
a=
D.
a=
7M
g
3µd
3) Il valore numerico, in termini di g, del modulo dell’accelerazione della massa M è il seguente:
a = 1.5 ⋅ 10 −1 g (*)
−2
B. a = 3.6 ⋅ 10 g
C. a = 0.5 g
−2
D. a = 9.5 ⋅ 10 g
A.
4) Il valore numerico del modulo della tensione T1 esercitata dalla fune che collega (1/2)M a M è il seguente:
A. T1 = 67.45 N
T1 = 13.60 N (*)
C. T1 = 6.68 N
D. T1 = 117.31N
B.
5) Il valore numerico del modulo della tensione T2 esercitata dalla fune che collega M a 2M è il seguente:
A. T2 = 12.48 N
T2 = 24.07 N (*)
C. T2 = 6.68 N
D. T2 = 117.31N
B.
6) Il tempo impiegato, a partire dall’istante iniziale, dalla massa 2M per percorrere il tratto d lungo il piano
inclinato vale:
A. t = 2.33s (*)
B. t = 10.26s
C. t = 55.43s
D.
t = 5.4 ⋅ 10 −2 s
Esercizio n. 2
Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi lungo una ben determinata traiettoria giacente in un piano.
Se si introduce un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, con assi x, y, e z individuati dai versori
iˆ , ĵ e
k̂ , rispettivamente, il piano della traiettoria è coincidente col piano xy e l’asse z è disposto ortogonalmente ad esso.
In questo sistema di riferimento risulta che il moto del punto materiale è caratterizzato dalle seguenti leggi orarie:
x (t ) = C cos(ht )
y (t ) = C (1 − cos 2 ( ht ))
dove C e h sono costanti e t è il tempo misurato a partire dall’istante iniziale t = 0.
Facendo riferimento alla cinematica conosciuta si studi il moto del punto in esame e si risponda, poi, alle seguenti
domande:
7) La traiettoria del punto materiale e’ rappresentata dalla seguente equazione:
x2 + y2 = C 2
2
2
2
B. x − y = h
C. xy = hC
A.
D.
y = tgα x −
(*)
g 2
x
2v02x
8) La traiettoria del punto materiale e’
A. Una parabola nel piano xy
B. Una circonferenza nel piano xy (*)
C. Una retta nel piano xy
D. Una curva generica nel piano xy
r
9) Il vettore posizione r (t ) , tracciato a partire dall’origine O del sistema di riferimento Oxyz, ed all’istante t, è
dato da:
r
cos(ht ) ˆ
C
ˆj
r (t ) =
i−
cos(ht )
C
r
2
2
2
B. r (t ) = C (cos ( ht ) iˆ + sin ( ht ) ˆj )
A.
r
r (t ) = C (cos(ht ) iˆ + sin(ht ) ˆj )
r
D. r (t ) = C cos( ht ) iˆ
r
Il vettore velocità v (t ) all’istante t è dato da:
r
sin(ht ) ˆ
C ˆ
i−
j)
A. v ( t ) = h (
sin(ht )
C
r
B. v ( t ) = hC ( − sin(ht ) iˆ + cos( ht ) ˆj )
r
C. v ( t ) = C (sin( ht ) iˆ + cos(ht ) ˆj )
r
D. v ( t ) = h C sin( ht ) ˆj
r r
Il prodotto scalare tra i vettori r e v vale:
r r
2
A. r ⋅ v = 2C sin(ht ) cos(ht )
r r
2
B. r ⋅ v = C
r r
2
2
2
C. r ⋅ v = 2C (sin ( ht ) + cos ( ht ))
r r
D. r ⋅ v = 0
r
Il vettore accelerazione a ( t ) all’istante t vale:
r
r
A. a ( t ) = Ch sin(ht ) cos(ht ) r ( t )
r
r
B. a ( t ) = h v ( t )
r
r
r
C. a ( t ) = h r (t) + v ( t )
r
2r
D. a ( t ) = − h r (t )
r
La risultante F ( t ) delle forze agenti sul punto materiale vale:
r
r
A. F (t ) = mhv (t )
r
r
B. F (t ) = mCh sin( ht ) cos( ht ) r (t )
r
r
r
C. F (t ) = mh ( r (t ) + v ( t ))
r
2r
D. F (t ) = − mh r ( t )
C.
10)
11)
12)
13)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
Esercizio n. 3
m
Figura 2
M
A
h
θ
M
B
H
C
D
α
Un corpo di massa m si trova su una superficie orizzontale che si raccorda con la sommità di un piano inclinato
formante un angolo θ con l’orizzontale, come mostrato in figura 2. Le superfici sono lisce (cioè prive di attrito). Un
altro corpo di massa M, posto sul piano inclinato, ad un altezza h rispetto alla base del piano inclinato, è collegato al
primo tramite una fune ideale, cioè di massa trascurabile ed in estensibile, attraverso una carrucola ideale, cioè priva di
attrito e di massa trascurabile.
Il sistema parte da fermo.
Calcolare la velocità delle due masse quando la massa M dopo essere scesa di un altezza h raggiunge la base del piano
inclinato (punto B in figura).
Quando la massa M raggiunge la base del piano inclinato (punto B ) la fune viene tagliata e il corpo M cade liberamente
nel vuoto per un altezza H fino a raggiungere terra nel punto D (vedi figura).
Calcolare
La distanza CD
Il tempo impiegato dal blocchetto per andare da B a D
r
Il modulo e la direzione della velocità v D del corpo M quando arriva in D.
Valori numerici : M=2kg; m=1kg; h=1m; H=2m; θ=60˚; accelerazione di gravità g=9.81 m/s2.
Rispondere quindi alle seguenti domande:
14) L’accelerazione del corpo M quando scende lungo il piano inclinato (prima che il filo venga tagliato) vale:
A. a= 7.08 m/s2
B. a= 99.2 m/s2
C. a= 5.66 m/s2 (*)
D. a= 4.11 m/s2
r
15) Il modulo della velocità v B del corpo M quando questo ha percorso la distanza AB e ha raggiunto il punto B
alla base del piano inclinato vale:
A. v B = 1.7 m / s
v B = 100 m / s
C. v B = 11.3 m / s
D. v B = 3.6 m / s
(*)
r
16) Il modulo della velocità v m del corpo m quando M ha raggiunto il punto B alla base del piano inclinato vale:
A. v m = 3.6 m / s
(*)
B. v m = 100 m / s
C. v m = 11.3 m / s
D. v m = 113 m / s
r
17) La velocità v B del corpo M quando ha raggiunto il punto B ha componente orizzontale v Bx :
A. | v Bx |= 5.7 m/s ed è diretta verso destra
B. | v Bx |= 1.8 m/s ed è diretta verso destra (*)
C. | v Bx |= 3.6 m/s ed è diretta verso destra
D. | v Bx |= 3.6 m/s ed è diretta verso sinistra
r
18) La velocità v B del corpo M quando ha raggiunto il punto B ha componente verticale v By :
B.
A.
| v By |= 3.6 m / s
B.
| v By |= 100 m / s ed è diretta verso il basso
C.
| v By |= 11.3 m / s ed è diretta verso il basso
D.
| v By |= 3.1 m / s ed è diretta verso il basso (*)
ed è diretta verso l’alto
19) Il tempo impiegato dal corpo M per andare da B a D vale
A. t=0.39 s (*)
B. t= 321 s
C. t= 0.31 s
D. t=33.45 s
20) La distanza CD vale
A. CD= 0.88 m
B. CD= 0.71 m
(*)
C. CD= 81,81 m
D. CD= 1,82 m
r
21) La velocità v D del corpo M quando arriva in D ha componente orizzontale
v Dx :
| v Dx |= 5.7 m/s ed è diretta verso destra
B. | v Dx |= 2.85 m/s ed è diretta verso destra
C. | v Dx |= 1.8 m/s ed è diretta verso destra
(*)
D. | v Dx |= 20 m/s ed è diretta verso destra
r
22) La velocità v D del corpo M quando arriva in D ha componente verticale v Dy :
A.
A. | v Dy
|= 7 m/s ed è diretta verso il basso
B.
| v Dy |= 1.8 m/s ed è diretta verso il basso
C.
| v Dy |= 2.85 m/s ed è diretta verso il basso
(*)
| v Dy |= 4.9 m/s ed è diretta verso il basso
r
23) L’angolo tra la velocità v D nel punto D ed il suolo orizzontale vale:
D.
α
A.
B.
C.
D.
α
α
α
α
= 0.22 rad
= 3.14 rad
= 2.2 rad
= 1.3 rad
(*)
Altre domande:
24) Un punto materiale descrive una traiettoria circolare con velocità angolare costante ω . Sul punto agisce una
forza
A. nulla perché ω è costante
B. tangente alla traiettoria e proporzionale ad ω
C. tangente alla traiettoria e inversamente proporzionale ad ω
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
D. radiale, rivolta verso il centro e proporzionale ad ω 2 (*)
Un sasso viene lanciato orizzontalmente da una torre. Il suo moto è
A. uniforme in direzione orizzontale e uniformemente accelerato in direzione verticale (*)
B. uniformemente accelerato in direzione orizzontale ed uniforme in direzione verticale
C. uniformemente accelerato sia in direzione orizzontale che verticale
D. uniforme sia in direzione orizzontale che verticale
Un punto materiale che si muove descrivendo una traiettoria circolare può avere
E. accelerazione normale nulla ed accelerazione tangenziale diversa da zero
F. accelerazione normale diversa da zero ed accelerazione tangenziale nulla (*)
G. accelerazione normale ed accelerazione tangenziale nulle
H. accelerazione normale ed accelerazione tangenziale parallele tra loro
Un punto materiale si muove lungo l’asse x (moto rettilineo) con velocità V > 0 ed accelerazione costante
a < 0 . Il modulo della velocità V
I. rimane costante nel tempo
J. aumenta al passare del tempo (moto accelerato)
K. diminuisce al passare del tempo (moto decelerato) (*)
L. prima aumenta poi diminuisce
m
m
Un punto materiale si muove di moto rettilineo lungo l’asse x con velocità v = kt
con k = 2 2 . Al tempo
s
s
t=0 si trova nella posizione x o = x (t = 0 ) = 10m . Al tempo t=2s si trova nella posizione
A. x = 8m
B. x = 10m
C. x = 12m
D. x = 14m (*)
Nel moto parabolico di un proiettile lanciato verso l’alto ad un angolo di 45°, nel punto di altezza massima, la
velocità ha
A. componente orizzontale nulla e componente verticale diversa da zero
B. componente orizzontale diversa da zero e componente verticale nulla (*)
C. entrambe le componenti nulle
D. entrambe le componenti diverse da zero
Un sassolino viene lanciato verticalmente verso l’alto. Nel punto di altezza massima, il sassolino ha
A. velocità ed accelerazione nulle
B. velocità ed accelerazione diverse da zero
C. velocità nulla ed accelerazione diversa da zero (*)
D. velocità diversa da zero ed accelerazione nulla
r r
Siano a e b due vettori e sia θ l’angolo tra di essi. Il modulo della somma vale
A.
a 2 + b 2 − 2ab cos θ
B.
a 2 + b 2 + 2ab cos θ (*)
C.
D.
a2 + b2
a+b