TEORIE FISICO MATEMATICHE DISPENSA N. 4 1. Equazioni di

TEORIE FISICO MATEMATICHE
DISPENSA N. 4
Studieremo l’effetto Doppler per le onde elettromagnetiche nella relatività speciale
1. Equazioni di Maxwell nel vuoto.


Siano E il campo elettrico e B il campo magnetico rispetto a un sistema di
riferimento inerziale  , consideriamo le equazioni di Maxwell nel vuoto
(I)
E  0
(II)
 E 
(III)
 B  0
(IV) c 2   B 
B
t
E
t
ponendo  e j, rispettivamente la densità di carica e densità di corrente, uguali a zero.
Notiamo che tutti i campi uniformi e costanti risolvono queste equazioni (perché la
derivata di una costante è zero). Ma i campi costanti sono campi stazionari; noi
cerchiamo le soluzioni non stazionarie. Esse sono infinite poiché se ho due soluzioni
e ne faccio la combinazione lineare questa è ancora una soluzione.
Tra tutte le soluzioni ne considereremo una particolare.
2. Soluzione onda piana
La soluzione onda piana è una soluzione uniforme su ogni piano perpendicolare a un
dato asse, diciamo l’asse x. Quindi per avere una variazione del campo
elettromagnetico bisogna spostarsi lungo x perché lungo l’asse y e l’asse z non c’è
variazione. La soluzione piana verifica queste condizioni:
E E

0
y
z
B B

0
y
z
1
Queste ultime equazioni semplificano il sistema.
Dalla (I) è facile ricavare che
E x
 0 poiché le altre derivate, quelle rispetto a y e z,
x
sono già uguali a zero. Dalla (IV):
B y 
 B
E x
  0
 c 2  z 
t

y

z


La componente E x è costante nel tempo t e nello spazio x, quindi E x t, x  è uguale ad
una costante. Le costanti non ci interessano poiché cerchiamo le soluzioni non
stazionarie, quindi poniamo E x t, x  =cost=0. Questo vuol dire che il campo elettrico
E giace sul piano di uniformità perché la componente sull’asse x deve essere zero.
La (II) si scriverà:
Bx  E z E y
 

t
z
 y

  0

perché cerchiamo soluzioni piane.
Dalla (III)
B x
 0 perché le altre sono già uguali a zero, quindi Bx è uguale ad una
x
costante e, per la stessa motivazione precedente, poniamo questa costante uguale a
zero.
Consideriamo ora l’equazione (IV)
E y
B 
B
 B
 c 2  x  z   c 2 z
t
x 
x
 z
B x
 0 . Cerchiamo una soluzione particolare che non cambi l’orientazione
poiché
z
quando si cambia il piano, quindi scegliamo un sistema in cui l’orientazione di E sia
proprio y, allora risulterà E z =0.
B
 B y Bx 
E
  c 2 y  0
0  z  c 2 

t
y 
x
 x
B
poiché x  0 .
y
Utilizzando il fatto che
B B

 0 , possiamo calcolare la derivata parziale di B y
y z
rispetto al tempo t, ottenendo:
B y
E 
 E
  x  z   0
t
x 
 z
2
e quindi B y è uguale ad una costante e la poniamo uguale a zero.
Riassumendo:
E x = E z =0
B y = Bx =0
.
Bz
Ey
La variazione temporale della componente y del
campo elettrico è accoppiata alla variazione della componente z del campo magnetico
rispetto ad x .
E y
t
 c 2
B z
x
( *)
Deriviamo rispetto al tempo:
2Ey
t 2
E y 
2Ey
  B z 
2  
2


 c

c

  c
x  t 
x  x 
x 2
2
ciò implica che:
2Ey
t 2
c
2
2Ey
x 2
0
La componente y del campo elettrico deve soddisfare questa equazione.
Analogamente, la componente z del campo magnetico deve soddisfare la seguente
equazione:
2
 2 Bz
2  Bz

c
0
t 2
x 2
Le due equazioni
2Ey
t 2
c
2
2Ey
x 2
0
3
2
 2 Bz
2  Bz

c
0
t 2
x 2
sono dette equazioni delle onde.
Una soluzione della prima equazione sarà:
E y  E0 sin k x  ct 
Essendo Bz accoppiata a E y non possiamo scegliere Bz qualunque, ma sarà del tipo:
Bz  B0 sin k x  ct 
scegliendo opportunamente B0 .
Ora verifichiamo se Bz è effettivamente una soluzione.
Sostituendo Bz nell’equazione () si ha:
 c 2 kB0 cosk ( x  ct)  ckE0 cosk x  ct 
Semplificando si ottiene che: affinché Bz sia soluzione B0 
E0
c
Cioè:
Bz 
E0
sin k x  ct 
c
La coppia E y  E0 sin k x  ct  , B z 
E0
sin k x  ct  è una soluzione del nostro problema.
c
Essa è detta soluzione onda piana.
In un punto qualunque E y oscilla sinusoidalmente con una pulsazione   kc e una
frequenza  
kc
.
2
Fissato l’istante t =0, E y  E0 sin kx e il campo elettrico è di tipo sinusoidale.
E’ una sinusoide avente lunghezza d’onda  tale che k  2   
2
, dove k è il
k
numero di onde. Riportando le soluzioni ottenute su un grafico notiamo che a t=0 i
due grafici coincidono nei nodi. E y e Bz sono in fase: hanno la stessa lunghezza
d’onda, la stessa pulsazione, cambia l’ampiezza e l’orientazione.
All’istante t =t 0  0 , Bz diventa:
Bz 
E0
sin kx  kct0 
c
Ora vi è una fase; questo significa che i nodi, i massimi e i minimi si sono traslati.
4
Il primo zero della funzione mi è dato da:
E0
sin kx  kct0   0
c
kx  kct0  0
x  ct0
tutta la funzione risulta traslata di ct 0 .
Man mano il tempo passa l’onda si sposta verso destra con una velocità uguale a
quella della luce: v 
x
c.
t0
3. Effetto Doppler relativistico
3.1) Variazione della lunghezza d’onda.
Consideriamo la soluzione particolare
E y  E0 sin k x  ct 
Bz 
.
E0
sin k x  ct 
c
Posso considerare una loro combinazione che risulta ancora soluzione.
La direzione della propagazione è perpendicolare sia al campo magnetico che al
campo elettrico.
5
Andiamo a vedere, una volta stabilita la soluzione in , quale sarà la corrispondente
soluzione in .
Per le trasformazioni dei campi elettromagnetici, in  avremo:
E x  E x  0
E z 
E z  vB y
v2
1 2
c
B x  B x  0
B y 
0
v
Ez
c2
0
v2
1 2
c
By 
Anche in  le uniche componenti del campo elettromagnetico diverse da zero sono
E y e Bz .
 E y  vBz
Ey 
v2
1 2
c
v


 sin k  x  ct   sin k  x  ct 
c

 E0 
2
v
1 2
c
 v
1  
c
 E0 
sin k x  ct   E 0 sin k x  ct 
v2
1 2
c
Questo è il campo elettrico in , basta dividere per c per ottenere il campo magnetico
associato.
Dobbiamo determinare tutto in termini delle coordinate x, y, z:
v
x
2

x   vt 
k
v 

c
k  x  ct   k
 kc

 x   vt   ct   x   
2
2
2
c 
v
v
v 
1 2
1 2
1 2
c
c
c
t 
  v  v 
 x 1    c1  t  
v2   c   c  
1 2
c
 v
1  
c
 
k  x   ct   k  x   ct 
v2
1 2
c

k
6
 v
1  
c
Il termine 
k è costante poiché dipende soltanto da v e quindi lo abbiamo posto
2
v
1 2
c
uguale a k. Quindi:
Ey  E0 sin k x  ct 
In  cambiano i valori dell’ampiezza dell’onda e i valori di k che modificano il
valore della lunghezza d’onda:
 
2
k
Questa variazione della lunghezza d’onda, che implica la variazione della frequenza
si chiama Effetto Doppler Relativistico.
v2
v2
1

2 2
c2
c2
 


v
v
k
k
1
1
c
c
1
()
  rappresenta la lunghezza d’onda di una stessa variazione vista da un sistema in
moto . Come è facile constatare, la lunghezza d’onda misurata da un osservatore
che si allontana dalla sorgente è più grande.
3.2) Variazione dell’angolo di propagazione.
Supponiamo di avere un’onda piana in  che si propaga in una direzione n , con una
lunghezza d’onda  , e supponiamo che abbia una velocità di propagazione u . Il
campo magnetico è perpendicolare al campo elettrico ed è perpendicolare alla
direzione n .
Se prendiamo un sistema   che si muove con un angolo  e l’onda piana, cioè solo
la componente perpendicolare alla propagazione è diversa da zero.

E y  E 0 sin k n  x  kct

x è la distanza del punto dal piano di simmetria che passa per l’origine.
Il campo magnetico è perpendicolare sia alla direzione di propagazione che al campo
elettrico.
7
B

E0
sin k n  x  kct
c
Bx  


E0
sin  sin k n  x  kct
c

E0
cos sin k n  x  kct
c
Bz 


Riassumendo:
Consideriamo la stessa situazione supponendo che l’onda si propaga lungo una
direzione n che forma un angolo di inclinazione  . I piani sono perpendicolari ma
orientati perpendicolarmente a n .
In un punto qualunque l’espressione del campo elettrico lungo la coordinata y è,
come abbiamo visto:


E y  E 0 sin k n  x  kct
Allo steso modo abbiamo calcolato il campo magnetico che deve essere
perpendicolare tanto alla direzione di propagazione tanto al campo elettrico:
B

E0
sin k n  x  kct
c

B   B sin  ,0, B cos 
Queste formule ci permettono di vedere se la lunghezza d’onda e il periodo risultano
essere uguali a quello trovato prima.

2
c
, 
k

Se considero un sistema di riferimento   che si muove lungo x, vediamo cosa
succede:

Ey 
E y  vBz
2
sin k n  x  ct 1  v cos 
 E0
v
c2

 E 0 sin k n x   ct 
1

v2
1 2
c
c

8

Scrivendo l’argomento del seno rispetto alle variabili x  , t  , abbiamo:
 
 
kn  x  kct  kn1 x  kn2 y  kn3 z  kct  k n   x   ct  
v
x
2
x   vt 
c
 kn1
 kn2 y   kn3 z   kc

v2
v2
1 2
1 2
c
c
v
kn1  k
c x   kn y   kn z   kc  kn1vt  

2
3
v2
v2
1 2
1 2
c
c
v

 v 
k  n1  
k 1  n1 c
c
c 
 
x  kn y   kn z   
t 
t 
v2
1 2
c
2
3
1
v2
c2
siccome n1  cos , otteniamo:
 v
v

 
k  cos  
 1  cos k 
c
c

 ct   k n x   ct 
 
x   kn2 y   kn3 z    

2
2
v
v


1 2
1 2


c
c

Dalla (~) si ottiene:
 v
 
 1  c cos k 

 ct 
k ct    

v


1


c
 v
 
 1  c cos k 
 
cioè : k    

v


1


c


Questa espressione consente di determinare la variazione della lunghezza d’onda:
9
 
2

k
1
v2
c2
v
1  cos
c
Ora
 

v
 k  cos  

c
 

E y  E0 sin 
x   kn2 y   kn3 z   k ct  
v2


1

2


c




 E0 sin  k n1 x   k n2 y   k n3 z   k ct  


Da n1  cos   avremo:
v

 v

 cos  
1  cos 
c
c
 cos 
k
k
v2
v2
1 2
1 2
c
c
da cui, semplificando, troviamo:
cos  
cos 
v
c
v
1  cos
c
Questa è l’espressione dell’angolo di propagazione dell’onda nel sistema di
riferimento in moto, cioè in .
10

V=200 m/s

0


2
V=200000 km/s




0


2

V=300000 km/s

Relazione tra gli
angoli
0

2

27
11