Circuiti magnetici - Ingegneria elettrica ed elettronica

ELETTROMAGNETISMO
MODELLO IDEALE:
1. QUANTITA' DI BASE: SORGENTI E CAMPI
2. REGOLE DI OPERAZIONE: CALCOLO VETTORIALE
3. RELAZIONI FONDAMENTALI: EQUAZIONI DI MAXWELL
QUANTITA' DI BASE
•SORGENTI
CARICA ELETTRICA A RIPOSO O IN MOVIMENTO
• E' una proprietà fondamentale della materia
• Esiste sotto forma di multipli della carica dell'elettrone:
e = 1,60·10-19 C
CORRENTE ELETTRICA
i = dq / dt A
DENSITA' DI CORRENTE J
• Misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità
di superficie normale alla direzione del flusso di corrente
•CAMPI
Intensita' Di Campo Elettrico E [ V / m ]
ELETTRICO
Densità di Flusso Elettrico D [ C / m2]
MAGNETICO
Induzione Magnetica B [ T = V·s / m2 ]
Intensità di Campo Magnetico H [ A / m ]
RELAZIONI FONDAMENTALI
EQUAZIONI DI MAXWELL
Forma Differenziale
Forma Integrale
∂B
dΦ
⋅ dS = −
∂t
dt
∂B
∇ × E = rot E = −
∂t
∫ E ⋅ d l = − ∫S
∂D
∇× H = J +
∂t
∫ H ⋅ d l = I + ∫S
∇⋅D = ρ
∫S D ⋅ dS = Q
L. Gauss
∇⋅B = 0
∫S B ⋅ dS = 0
L. Gauss
∂D
⋅ dS
∂t
L. Faraday
L. Ampére
∫S (∇ ⋅ A) ⋅ d S = ∫l A ⋅ d l
TEOREMA DI STOKES
∫V ∇ ⋅ A dV = ∫S A ⋅ d S
TEOREMA DELLA DIVERGENZA
IPOTESI SUI MEZZI MATERIALI
CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI
Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari:
¾γ conduttività [ S / m ]
¾ε permettività [ F / m ]
¾µ permeabilità [ H / m ]
EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO:
D=εE
B=µH
COSTANTI UNIVERSALI:
•Velocità della luce nel vuoto
c ≅ 3·108 m / s
•Permeabilità del vuoto
µ0 = 4π · 10-7 H / m
•Permettività del vuoto
ε0 = 1/(36π) · 10-9 F / m
1
m
c=
= 299 792 458
s
µ 0ε 0
RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE
B
SCALARI E VETTORIALI
V
=
Es: AB ∫A E ⋅ d l
CAMPO MAGNETICO STAZIONARIO
I
B
r
P
I = ∫ H ⋅dl
I 
B=µ

I
2π r  ⇒ H =
Legge di Biot-Savart
2
π
r

B = µH 
TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE
(Ampére-spire)
Um = ∫ H ⋅ dl = N ⋅ I
Applicando il Teorema di Stokes
rot H = J Legge di Ampére in forma locale
FLUSSO DI INDUZIONE
Φ = ∫S B ⋅ d s
APPLICANDO L'INTEGRALE AD UNA
SUPERFICIE CHIUSA:
B
ds
∫s B ⋅ d s = 0 Legge di Gauss
B E' SOLENOIDALE
APPLICANDO IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA: div B = 0
• Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso
concatenato → Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa
REGOLA DI MAXWELL
• Il verso positivo dell'asse della bobina è quello in
cui avanza una vite destrogira che ruota nel verso
positivo di percorrenza del filo
MEZZI NORMALI
•DIAMAGNETICI µ r < ≅ 1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …)
•PARAMAGNETICI µ r > ≅ 1 (Mg, Al, Mn, …)
•AMAGNETICI µ = µ0 = 4π·10-7 H/m
•MEZZI ANOMALI
FERROMAGNETICI µ r >> 1 (Fe, Ni, …)
µ r è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro
B = f (H) NON LINEARE
tan-1µ0
B
Br
-Hmax
SATURAZIONE
-HC
HC
Hmax
H
-Br
HC: forza coercitiva
Br: induzione residua
UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD
UN CICLO DI ISTERESI, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA'
DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI.
Dimostrazione
Φ C → Φ C + dΦ C
Un incremento del flusso concatenato, dà luogo a:
dL = I ⋅ dΦ C = N ⋅ I ⋅ dΦ = H ⋅ l ⋅ dB ⋅ A = H ⋅ dB ⋅ v
dLvol
dL
=
= H ⋅ dB
v
Lvol = ∫ H ⋅ dB
incremento del lavoro speso per unità di volume
incremento di lavoro volumico speso nel ciclo
Poché H e B sono variabili di stato, tale lavoro non si ritrova sotto
forma di energia magnetica accumulata nel materiale, ma viene
convertito in CALORE DI ISTERESI.
SI E' TROVATO SPERIMENTALMENTE CHE IL LAVORO
MASSICO ASSORBITO IN UN CICLO E'
dLvol = η ⋅ BMn
Formula di Steinmetz
η : dipende dal materiale
n : 1,8 ÷ 2,2
DOLCI (Cicli di isteresi stretti)
MATERIALI
FERROMAGNETICI
DURI (Cicli di isteresi larghi)
MATERIALI DOLCI
ECCETTO CHE PER LE PERDITE PER ISTERESI, IL COMPORTAMENTO PUO’ ESSERE DESCRITTO MEDIANTE LA
CURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE: LUOGO DEI
PUNTI VERTICI DEI CICLI DI ISTERESI SIMMETRICI
B [Wb / m ]
H [A / m ]
µ
B
2
GINOCCHIO
H
CURVA NORMALE
DI MAGNETIZZAZIONE
Si possono utilizzare anche i dati in
forma tabellare. Es: ACCIAIO FUSO
r
0,10
70
1140
0,20
90
1780
0,30
100
2400
0,40
120
2660
0,50
140
2860
0,60
170
2820
0,80
270
2370
1,00
400
2000
1,20
620
1550
1,40
1200
930
1,60
3500
365
1,80
10 000
144
2,00
25 000
64
CIRCUITI MAGNETICI
• UN BIPOLO INDUTTIVO E' UN COMPONENTE CON 2
MORSETTI CHE NON DA' LUOGO A DISSIPAZIONE DI
ENERGIA ED E' IDONEO AD IMMAGAZZINARE ENERGIA
SOTTO FORMA DI ENERGIA MAGNETICA NEL SUO
INTERNO E NEL MEZZO CIRCOSTANTE
• ATTRAVERSATO DA CORRENTE, GENERA LINEE
MAGNETICHE CHIUSE CHE COSTITUISCONO IL FLUSSO
MAGNETICO
• LO SPAZIO ENTRO CUI SI CHIUDONO LE LINEE
MAGNETICHE RAPPRESENTA IL CIRCUITO MAGNETICO
CIRCUITO MAGNETICO INERTE
• E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DOLCI
I
Φ1
N
Φ2
Φ3
Per ogni tubo di flusso:
Per ogni superficie chiusa:
Per ogni percorso chiuso:
Se µr >> 1 si può immaginare che
i flussi siano canalizzati nel nucleo
ferromagnetico. E' un'ipotesi
semplificativa
Um = R mΦ → Φ = Gm Um
ΣΦ = 0
Σ Um = Σ I
• SI RICONOSCE UN'ANALOGIA TRA CIRCUITI ELETTRICI
E CIRCUITI MAGNETICI
• LE DIFFERENZE SOSTANZIALI SONO:
¾ In un circuito magnetico con f.m.m. concentrata il
flusso varia da sezione a sezione
¾ NON ESISTONO BUONI ISOLANTI MAGNETICI
∫ H ⋅ dl = N ⋅ I
L
∫
L
⇓
B
µ
(L. Ampére)
I
⋅ dl = N ⋅ I
N
⇓
Φ
∫L µ ⋅ S ⋅ dl = N ⋅ I
L
⇓
dl
⋅= N ⋅I
L µ ⋅S
Φ⋅∫
⇒ Φ ⋅R m = N ⋅ I
Analogia con la Legge di Ohm
R m = Riluttanza
Gm = 1/R m = Permeanza
ANALOGIA
CIRCUITI MAGNETICI
CIRCUITI ELETTRICI
F.M.M. (f )
F.E.M. (E)
PERMEANZA G m
CONUTTANZA G
RILUTTANZA R m
RESISTENZA R
FLUSSO Φ
CORRENTE I
Um = R m Φ
U = RI
ΣΦ = 0
ΣI = 0
Σ Um = ΣR m Φ
ΣV = Σ RI
ESEMPIO Ag
I1
Ag
Φ3
Φ2
Φ1
R
N1
lt
N2
I2
Φ2
1 lc
Rc= ⋅ ;
µ Ac
Φ1
R
g
c
1 l c −l t
;
R 'c = ⋅
µ 2 A'c
Φ1 − Φ 2 − Φ 3 = 0

(R c + 2R g )⋅ Φ1 + (2R ' c +R t )⋅ Φ 3 = N1 I1
(R + 2R )⋅ Φ − (2R ' +R )⋅ Φ = N I
g
2
c
t
3
2 2
 c
E' UN SISTEMA NON LINEARE
R
R 'c
R
g
Φ3
R
t
c
R 'c N2I2
N1I1
R
lg
1 lg
= ⋅ ;
µ Ag
R
lc
Ac
lg
g
R
g
R
g
g
1 lt
=
⋅
µ 0 At
IPOTESI SUI CIRCUITI MAGNETICI
• SI TRASCURANO GLI EFFETTI DI BORDO
• LA LUNGHEZZA DI CIASCUN TRATTO SI CONSIDERA
COINCIDENTE CON LA LINEA MEDIA
• IL NUCLEO DI MATERIALE FERROMAGNETICO VIENE
CONSIDERATO UN TUBO DI FLUSSO
• L'INDUZIONE VIENE CONSIDERATA COSTANTE
TRATTO PER TRATTO
PROBLEMI
• PROBLEMA DIRETTO: Trovare le amperspire necessarie a
generare un assegnato valore di induzione (es: al traferro)
• PROBLEMA INVERSO: Trovare il valore dell'induzione (al
traferro) note le amperspire di eccitazione
ELETTROMAGNETI: RELE', IMPIANTI DI SOLLEVAMENTO
ROTTAMI, …
Sono dispositivi con funzioni sia di
protezione che di manovra
CIRCUITI PER MAGNETI PERMANENTI
CIRCUITI MAGNETICI PER MACCHINE ELETTRICHE:
Trasformatore, Macchine Asincrone, …
PROBLEMA DIRETTO:
NOTO IL FLUSSO RICAVARE LE AMPERSPIRE
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
Hp: Φ costante in tutto il nucleo
t
NI
(
NI = Φ R
f
+R
Φ
Noto Φ:
Bt =
Φ
At
Bf =
Φ
Af
→ Ht =
→
Bt
µ0
Si legge µ
t
)
 lf
t

=Φ
+
µ⋅A
µ 0 ⋅ At
f





PROBLEMA INVERSO:
NOTE LE AMPERSPIRE RICAVARE IL FLUSSO
Esempio: L'ELETTROMAGNETE
GRAFICAMENTE:
Φ3
Φ
CARATTERISTICA DI
MAGNETIZZAZIONE TOTALE
DEL CIRCUITO
Φ2
ΦV
Φ1
NI
(NI )1 (NI )2
(NI )V
(NI )3
ESEMPIO
Calcolare il coefficiente di autoinduzione
della bobina di N = 1000 spire
I
a a
Hp: non ci sono flussi dispersi
N
l
B
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
H
180 250 400 700 2300
1,6
7500
Wb/m2
As/m
l
Tabella di magnetizzazione del ferro al silicio
t
t = 3 mm
a = 20 mm
l = 50 mm
I=2A
NI
Rf
Φ
Rt
lf = 4l = 200 mm = 0,2 m
S = a·a = 400 mm2 = 4·10-4 m2
µ0 = 4·π· 10-7 H/m
NI = 2000 As
continua…
NI = H f ⋅ l f +
B
µ0
t = 0,2 H f + 2387,32 ⋅ B
B
H
(NI)t
0,6
180
1432,39
0,8
250
1909,86
1,0
400
2387,32
1,2
700
2864,79
1,4
2300
3342,25
2000 − 1959,86
⋅ 0,2 + 0,8 = 0,8158
B=
2467,32 − 1959,86
1,6
7500
3819,71
Φ = B ⋅ S = 3,2633 ⋅10 −4 Wb
Interpolando:
NΦ
= 0,163 H = 163 mH
L=
I
CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI
i1 M i2
v1
L1
L2 v2
di1
di2

v
L
M
=
+
1
 1
dt
dt

di
di
v2 = M 1 + L2 2
dt
dt

 V1 = jωL1I1 + jωMI 2

V2 = jωMI1 + jωL2 I 2
Φ Flusso Principale
I1
Φd1 Flusso Disperso Primario
N1
Φd2 Flusso Disperso Secondario
Φ1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria
Φ2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria
 Φ1 = Φ + Φ d 1

Φ 2 = Φ + Φ d 2
Φ
Φd1
Φd 2
N2
 Φ c1 = N1Φ + N1Φ d 1

Φ c 2 = N 2 Φ + N 2 Φ d 2
continua…
I2
 Φ c1 = N1Φ + N1Φ d 1

Φ c 2 = N 2 Φ + N 2 Φ d 2
Φ = G m ( N1 I1 + N 2 I 2 )

Φ d 1 = G d 1( N1 I1 )
Φ = G ( N I )
d2
2 2
 d2
⇒
ma:
Gm permeanza del circuito magnetico
Gd1 permeanza costante (percorso in aria)
Gd2 permeanza costante (percorso in aria)
Φ c1 = N1G m ( N1 I1 + N 2 I 2 ) + N1G d 1( N1 I1 )

Φ c 2 = N 2G m ( N1 I1 + N 2 I 2 ) + N 2G d 2 ( N 2 I 2 )
poniamo:
 L1 = N12 (G d 1+ G m ) Induttanza propria del circuito 1

2
 L2 = N 2 (G d 2 + G m ) Induttanza propria del circuito 2
M = N N G
Mutua induttanza
1 2 m

⇒
Φ c1 = L1 ⋅ I1 + M ⋅ I 2

Φ c 2 = L2 ⋅ I 2 + M ⋅ I1
continua…
Φ c1 = L1 ⋅ I1 + M ⋅ I 2

Φ c 2 = L2 ⋅ I 2 + M ⋅ I1
di2
di1
 dΦ c1
=
⋅
+
⋅
M
L
1
 dt
dt
dt
 dΦ
di
di
 c 2 = L2 ⋅ 2 + M ⋅ 1
dt
dt
 dt
Se siamo in condizioni dinamiche:
⇒
di2
di1

=
⋅
+
⋅
M
v
L
1
1
dt
dt

di
di
v2 = L2 ⋅ 2 + M ⋅ 1
dt
dt

Si possono definire le induttanze di dispersione dei due circuiti.
Dalle
Φ cd 1 = N1Φ d 1 = N12G md 1⋅ I1 = Ld 1 ⋅ I1

2
Φ cd 2 = N 2 Φ d 2 = N 2G md 2⋅ I 2 = Ld 2 ⋅ I 2
 Ld 1 = N12G md 1
⇒ 
2
 Ld 2 = N 2G md 2
N1 = 75 spire
N2 = 100 spire
R = 105 H-1
ΦC
ΦB
I1
I2
R = 50 Ω
C
N2
N1
e(t)
C = 150 µF
R
ΦA
E = 10 V
f = 50 Hz
Calcolare la potenza attiva e reattiva erogate dal generatore sinusoidale
e(t). Sia R la riluttanza di ogni tronco. Hp: trascurare i flussi dispersi.
ESEMPIO
R
N2I2
Φ2
R
R
Φ1
N2I2
 N 2 ⋅ I 2 = 2R ⋅ Φ 2 − R ⋅ Φ1

 N1 ⋅ I1 = 2R ⋅ Φ1 − R ⋅ Φ 2
N2 ⋅ I2

Φ
=
Φ
−
2
2
 1
R

N ⋅I
 N1 ⋅ I1 = 2R ⋅  2Φ 2 − 2 2  − R ⋅ Φ 2

R 

N1 ⋅ I1 = −2 N 2 ⋅ I 2 + 4R ⋅ Φ 2 − R ⋅ Φ 2 = −2 N 2 ⋅ I 2 + 3R ⋅ Φ 2
N1 ⋅ I 1 2 N 2 ⋅ I 2

Φ
=
+
 2
3R
3R

2 N 2 ⋅ I 2 2 N 2 ⋅ I 2 2 N1 ⋅ I 1 N 2 ⋅ I 2 2 N1 ⋅ I 1
Φ1 = −
+
+
=
+

R
3R
3R
3R
3R

N1 N 2 ⋅ I1 2 N 22 ⋅ I 2
+
Φ c 2 = N 2 Φ 2 =
3R
3R

2
⋅
2
⋅ I1
N
N
I
N
1
2
2
1
Φ c1 = N1Φ1 =
+

3R
3R

2 N12
= 0,0375 H
 L1 =
3R

2 N 22

= 0,0667 H
 L2 =
3R

 M = N1 N 2 = 0,025 H

3R

ωL1 = 2π f L1 = 11,78 Ω ; ωL2 = 20,94 Ω ; ωM = 7,85 Ω
1 / ω C = 21,22 Ω
I1 M I 2
E L1
L2
R
C
 E = jωL1 ⋅ I1 + jωM ⋅ I 2

j

0 = jωL2 ⋅ I 2 + jωM ⋅ I1 + R ⋅ I 2 − ωC ⋅ I 2
10
j 7,85
10 = j11,78 ⋅ I1 + j 7,85 ⋅ I 2
0 50 − j 0,28
I1 =
= 0,83∠ − 84,68°

∆
0 = j 20.94 ⋅ I1 + (50 − j 0.28) ⋅ I 2
S& = E ⋅ I * = 10∠0° ⋅ 0,83∠84,68° = 0,769 + j8,264
1
P = 0,769 W
Q = 8,264 VAR
ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI
dL = I1dΦ c1 + I 2 dΦ c 2
lavoro elettrico assorbito ai morsetti in una
trasformazione elementare
dL = I1 ( L1dI1 + MdI 2 ) + I 2 ( MdI1 + L2 dI 2 ) =
1
1
2
= d ( L1 I1 + MI1 I 2 + L2 I 22 ) differenziale esatto della
funzione di stato
2
2
1
1
2
Wm = ( L1 I1 + MI1 I 2 + L2 I 22 ) + cost stato zero
2
2
Wm ≥ 0 Passività
L1 L2 − M 2 ≥ 0
L1 ≥ 0
L2 ≥ 0
Dalla:
L1 L2 − M 2 ≥ 0
k=
M
L1 L2
Se
M =0
Se
Ld 1 = Ld 2 = 0
0 ≤ k ≤1
coefficiente di accoppiamento
k = 0 accade se Gm=0 cioe’ se:
•i due induttori sono a grande distanza
•gli assi sono disposti perpendicolarmente
k = 1 accade quando l’accoppiamento e’
perfetto: cioè tutto il flusso
concatenato con uno dei due circuiti si
concatena anche con l’altro
CIRCUITI EQUIVALENTI
ΦC1 = N12 (G md 1 + G m )I1 + N1 N 2G m I 2

2
=
+
Φ
N
N
I
N
G
1 2 m 1
2 (G md 2 + G m )I 2
 C2
Ponendo:
N12G md 1 = Ld 1
induttanza di dispersione primaria
N 22G md 2 = Ld 2
induttanza di dispersione secondaria
N12G m = Lm
induttanza di magnetizzazione


N2 
2

=
+
+
Φ
L
I
N
I
I 2 
G
 C1
1 m 1
d1 1
N1 



Φ = L I + N 2G  I + N1 I 
2 m 2
1
d2 2
 C 2
N
2



×
N1
N2



N
2
I 2 
ΦC1 = Ld 1 I1 + Lm  I1 +

N1 


 N1 Φ = N1 ⋅ N1 ⋅ N 2 L I + N1 N 2 N1 ⋅ N 2 G  I + N1 I 
 N 2 C 2 N 2 N 2 N1 d 2 2 N 2 2 N 2 N1 m  2 N 2 1 



I
2
ΦC1 = Ld 1 I1 + Lm  I1 + n 

N1


=
n

rapporto spire
N2
nΦ = n 2 L I 2 + L  I + I 2 
1
d2
m
 C 2
n
n

DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE
I1
Φ c1
Ld1
2
n Ld 2
Lm
I1 +
I2
n
I2
n
n Ld 2
n ⋅ Φc2
I2
n
2
n ⋅ Φc2
grandezze
secondarie
riferite al
primario
derivando le
e assumendo il funzionamento in regime sinusoidale:


I2 
V1 = jϖLd1I1 + jϖLm  I1 + 

n


nV = n 2 jϖL I 2 + jϖL  I + I 2 

d2
m 1
 2
n
n


I1
jX d 1
jX m
V1
V1
n:1
I2
V2
 V1 = nV2


1
=
−
I2
 I1
n
TRASPARENTE ALLE POTENZE
n=
N1
N2
( )
I2 n
I2
n
n ⋅V2
I1 +
Ricordando che IL TRASFORMATORE IDEALE
I1
n 2 jX d 2
*+
* =
* + V1 ⋅ −
&
&
&
=
+
=
S tot S1 S 2 V1 I1 V2 I 2 V1 I1
nI1* = 0
n
I1
V1
TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE
n:1
V2
I2
V2 V1 1
1 V1
&
=
=
⋅
=
Z2
I 2 n n I1 n 2 I 1
1 &'
&
Z2 = 2 Z2
n
Un’impedenza Z& 2 applicata ai morsetti secondari di un trasformatore
ideale puo’ essere sostituita da un’impedenza Z& 2' = n 2 Z& 2 ai morsetti
primari senza che il funzionamento complessivo
venga alterato, e
n
viceversa.
RIASSUMENDO:
2
per portare una grandezza secondaria al primario:
Tensione : V2' = nV2 ; Corrente : I 2' =
I2
; Impedenza : Z& 2' = n 2 Z& 2
n
per portare una grandezza primaria al secondario:
1
1
Tensione : V1" = V1; Corrente : I1" = nI1; Impedenza : Z&1" = 2 Z&1
n
n
Estendendo questi concetti al circuito equivalente prima ricavato:
I1
jX d 1
I1
n 2 jX d 2
jX m
V1
I1 +
nV2
I 2'
jX m
I1 + I 2'
I2
n:1
I2
n
jX d 1
V1
I2
n
V2
jX d 2
n:1
V2'
TRASFORMATORE INDUTTIVO:
X d1 : Reattanza di dispersione primaria
X d 2 : Reattanza di dispersione secondaria
X m : Reattanza di magnetizzazione
n : Rapporto di trasformazione
I2
V2
Poiche’ e’:
L1 = N12 (G md1 + G m )

2
L2 = N 2 (G md 2 + G m )
M = N N G
1 2 m

Ld 1 = N12G md1

2
Ld 2 = N 2 G md 2
L = N 2G
1 m
 m
si ha:

N1 N 2
=
Lm N ⋅ N ⋅ N1 N1G m = nM
2
1

2
2
2
Ld1 = N1 G md1 + N1 G m − N1 G m = L1 − nM
n 2 L = n 2 L − nM
2
 d2

I2
I1
L1 − nM
V1
nM
n 2 L2 − nM
I1 +
I2
n
n
n:1
nV2
V2
I2
Ricordando il significato delle varie induttanze
Φ
Φ = G m (N1 I1 + N 2 I 2 )
G m : permeanza del circuito magnetico
Φ : flusso principale
Φ d 1 = G md 1 N1 I1 : flusso disperso primario
Φ d1 Φ d 2
Φ d 2 = G md 2 N 2 I 2 : flusso disperso secondario
Ld 1
Ld 2
Lm
n:1
Se i flussi dispersi sono nulli:
n:1
Lm
ACCOPPIAMENTO PERFETTO
TRASFORMATORE PERFETTO
Se
Gm → ∞
Lm = N12G m → ∞
n:1
circuito aperto
TRASFORMATORE IDEALE
IN REGIME SINUSOIDALE
I1 ϖ
j Ld1
V1
− E1 jϖLm
I2
n
n 2 jϖLd 2
I2
n:1
− nE2
nV2
E1 = − jϖN1Φ

E2 = − jϖN 2 Φ
V = jϖL I − E
1
d1 1
 1

I2
2
=
−
+
ϖ
n
V
n
E
n
j
L
 2
2
d2
n

E = nE = − jϖL  I + I 2 
2
m 1

 1
n



V2
E1 N1
=
=n
E2 N 2
EQUAZIONI DEL TRASFORMATORE INDUTTIVO
i1
v1
Ld1
−e1
i2
n
n 2 Ld 2
Lm
−ne2
i2
n:1
nv2
v2
Si definiscono f.e.m. primaria e secondario quelle generate negli
avvolgimenti primario e secondario dal flusso principale:
e1 = − N1
dϕ ;
dϕ
=
−
e2
N2
dt
dt
Con questa definizione le equazioni del trasformatore induttivo diventano

di
v1 = Ld 1 1 − e1
dt


d  i2 
2
=
−
−
ne2 n Ld 2  − 
nv2
dt  n 


i2 
d 
=
=
−
+

Lm  i1
e1 ne2
dt 
n

la f.e.m. prodotta dal flusso principale e’
vista come f.c.e.m. indotta, mentre le
f.e.m. dovute ai flussi dispersi sono
viste come c.d.t.
Trasformatore Reale
Caratteristiche costruttive
Nucleo:
realizzare l’accoppiamento attraverso un circuito magnetico di
materiale ferromagnetico e quindi di bassa riluttanza:
9 riduce le linee di flusso disperso
9 per la sua elevata permeabilità magnetica relativa consente una
drastica riduzione della corrente di magnetizzazione richiesta per
sostenere il flusso principale
Forme costruttive piu’ comuni
Nucleo a colonne
Nucleo a mantello (o corazzato)
9 lamierini di acciaio speciale (da trasformatore) da alcuni millimetri
(piccolissima potenza) a 0.35-0.5 mm
9 lamierini isolati mediante carta (0.03 mm) o vernici per piccoli
trasformatori (fino a qualche kVA) si affida l’isolamento allo strato
di ossido
9 drogaggio con silicio (qualche percento): cifra di perdita ˜ 1 W/kg
(per 1 Wb/m2 e 50 Hz) (le lamiere normali arrivano a 3 W/kg)
giunto piallato
giunto intercalato
per piccole potenze < 1 kVA
nucleo bobinato a colonne
nucleo bobinato a mantello
Avvolgimenti
9rame o alluminio
9sezione circolare o a piattina
Configurazioni
9concentrico
9alternato
AT BT
BT
BT AT
AT
BT
AT
BT
concentrico
alternato
Raffreddamento
Esistenza o meno di un fluido intermediario
Esistenza o meno di mezzi che attivano la trasmissione del calore
1)
aria
olio
2)
raffreddamento naturale
forzato o artificiale
a) aria- naturale
convezione naturale+ irraggiamento
alette metalliche intorno agli avvolgimenti
solo per piccole potenze e tensioni modeste: S<150-200 kVA V<10 kV
b) aria-artificiale
ventilatori
medie potenze
c) olio-naturale
cassone pieno d’olio
S=5-6000 kVA
V fino a 70 kV
d) olio-artificiale
circuito idraulico + scambiatore di calore
S= 10 – 400 MVA
V>70 kV
µ →∞
Hp:
Ferro Ideale
Pfe=0
accoppiamento perfetto
Rame Ideale
Pcu=0
v1 (t ) = V1M cosϖt
− I2
I1
V1
E1 =
E2 =
V2
ϖ
2
ϖ
2
N1Φ M =
N 2Φ M =
TRASFORMATORE
IDEALE
2πf
2
2πf
2
 V1 = − E1 = jϖN1Φ

V2 = − E 2 = jϖN 2 Φ
N1Φ M = 4.44 fN1Φ M
N 2 Φ M = 4.44 fN 2 Φ M
Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene
rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale
FERRO NON IDEALE
9Riluttanza del circuito magnetico non nulla (permeanza finita)
9Legame flusso-amperspire non lineare (isteresi)
9Perdite per isteresi e correnti parassite non nulle
9Corrente magnetizzante non nulla
9Corrente magnetizzante non sinusoidale (deformata)
9Potenza dissipata nel nucleo sotto forma di calore
9Presenza di flussi dispersi che si chiudono prevalentemente in aria
RAME NON IDEALE
9Resistività del rame diversa da zero
9Potenza attiva dissipata negli avvolgimenti sotto forma di calore
CIRCUITO EQUIVALENTE
I1
V1
X d1
R1
− E1
X 'd 2
If
I0
Im
G B
− E 2'
R'2
I '2
-V2'
9R1: resistenza equivalente dell’avvolgimento primario
9R’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondario
9Xd1=ϖLd1 con Ld1 induttanza di dispersione primaria
9X’d2=n2 Xd2 ; Xd2=ϖLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria
9G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro)
9B=1/Xm; Xm=j ϖLm con Lm induttanza di magnetizzazione
9I0: corrente a vuoto
9Im: corrente magnetizzante
9E’2=nE2
− I2
V2
R1 ; R2 mettono in conto le perdite per effetto Joule
negli avvolgimenti primario e secondario, che sono
proporzionali al quadrato delle correnti I1 e I 2 . Devono
essere inseriti in serie.
G tiene conto delle perdite nel ferro per isteresi e per
correnti parassite, circa proporzionali al quadrato
dell’induzione e quindi del flusso
n +β⋅ 2⋅ 2 ⋅ 2
p = η ⋅ f ⋅ BM
f BM d
2 ≡ Φ2
Pfe ≡ BM
M
e poiche’
potenza volumica dissipata nel ferro
n=1.8-2.2
E1 = 4.44 f ⋅ N1Φ M
E 2 = 4.44 f ⋅ N 2 Φ M
Pfe ≡ E12 ≡ E 22
La potenza dissipata nella conduttanza G e’:
P = GE12 = GE ' 22
per questo G viene inserita in parallelo
RENDIMENTO
η=
Pp
Pu
Pu
=
= 1−
Pe Pu + Pp
Pu + Pp
Pcu
dipendente dal carico
Pfe
indipendente dal carico
Pp ≅ Pcu + Pfe
η
S cos ϕ
η=
S cos ϕ + K1S 2 + K 2
Sn
S
Il rendimento massimo si ha in corrispondenza alla potenza
apparente nominale
9Rendimenti alti
9Crescono al crescere della potenza nominale
9Valori tipici
η = 92% − 99% per S n = 1kVA − 50 MVA
FUNZIONAMENTO A VUOTO
X d1
I0
R1
I0
− E1
V1n
Secondario aperto:
If
Im
G B
V 20
Z& 2' = R2' + jX d' 2
non e’ percorsa da corrente
I 0 = 4 − 12% I1n
corrente a vuoto (la percentuale descresce al
crescere della potenza del trasformatore)
Nell’avvolgimento primario passa
I0
I0
e’ fortemente sfasata in ritardo rispetto a
e’ fortemente induttivo
E1 = jϖ ⋅ N1Φ; E2 = jϖ ⋅ N 2 Φ; V20 = − E2
− E1 perche’ il circuito
X d1
I0
DIAGRAMMA FASORIALE
R1
I0
− E1
V1n
If
Im
G B
V20
jX d 1 I 0
V1
R1 I 0
¾La caduta di tensione al primario
e’ piccolissima (pochi %°) e puo’, in
certi casi, essere trascurata
− E1
I0
Im
E2
If
Φ
¾Im e’ prevalente rispetto a If
PROVA A VUOTO
o Trascurando le perdite di eccitazione R1I02 rispetto a quelle nel ferro
GE12 (rapporto di poche unità per mille)
o Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso
disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale
Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento
a vuoto e’ il seguente:
I0
Y& = G + jBm
I0
V1 = − E1
If
G B
W
Im
V20
A
V
T
V
Ammettenza a vuoto
primaria
W
A
V1
T
wattmetro
amperometro
voltmetro
V2
P0
I0
V1n
V1 = f ( I 0 ) ≡ curva normale di magnetizza zione
I0
V1 ≡ B
I 0 ≡ f .m.m.
P0
P0
I0
P0 = f (V1 ) parabola
2
⇒ V12
Pfe ≡ BM
I
Y& = 0
V1n
⇒ Bm = Y 2 − G 2
P0
=
G
V12n
V1 n
V1
In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti
forniscono i dati sufficienti a ricavare i parametri trasversali del
circuito equivalente del trasformatore: G e B
Spesso non e’ necessario effettuare la prova a vuoto in quanto i dati
della prova vengono riportati nella TARGA del trasformatore
FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO
I 1n
X
d1
R1
X 'd 2
R '2
I '2
I0
− E1
V 1 cc
Se applicassimo:
I
f
Im
G B
− E 2'
V 2' = 0
V1n → I1cc ; I 2cc = 7 − 30 volte I1n ; I 2 n
Si deve applicare una tensione
V1cc tale che I1 = I1n ; I 2 = I 2n
V1cc : Tensione di corto circuito
V1cc = 3 − 15%V1n decresce al crescere della potenza
Se
Se
I0
V1 = V1n ⇒ I 0 = 4 − 12% I1n
V1 = V1cc ⇒ I 0cc = 1.2 − 18% 0 I1n
puo’ essere trascurata rispetto ad I1e I cioe’: si trascurano le
2
perdite nel ferro rispetto a quelle nel rame
Si trascura la potenza reattiva necessaria a sostenere il flusso
principale rispetto a quella richiesta per sostenere i flussi dispersi
Il circuito equivalente diventa:
I 1n
X d1
R1
X 'd 2
R '2
V 1 cc
Impedenza di corto circuito primaria
' =
' +
'
Z& cc
( R1 + R2' ) + j ( X d1 + X d' 2 ) = Rcc
jX cc
)
PROVA IN CORTO CIRCUITO
W
V1
Pcc
I1n
A
V
Pcc
V1cc ⇒ I1n
T
V1 = f ( I1 ) e’ circa una retta passante
per l’origine
V1
'
Z& cc
I1
I 1n
Pcc = f ( I1 )
parabola:
≅
'
X cc
'
R
( cc piccolo)
'
X cc
dipende dalle riluttanze dei circuiti
magnetici percorsi dai flussi dispersi
costanti perche’ prevalentemente in aria
Pcu = Pcc ≡ I 2
In corrispondenza della corrente nominale:
' = V1cc
' = Pcc ⇒
' =
'2 − '2
&
&
Z cc
; Rcc
X
Z
cc
cc Rcc
2
I1n
I1n
I dati vengono riportati nella targa: V1cc ; Pcc
FUNZIONAMENTO A CARICO
X d1
I1
R1
X 'd 2
R '2
I0
− E1
V1
I
f
Im
G B
V1
R1 I 1
− E1
I0
Im
I2
V2
R2 I 2
jX d 2 I 2
E2
n:1
−
E 2'
Note:
jX d 1 I 1
I1
I 2'
If
Φ
− I2
I '2
-V2'
V2
V2 ; I 2
 − E 2' = -V2 ' + ( R 2' + jX d' 2 ) I 2'

'
 − E1 = − E 2 = − n E 2

 I 0 = I m + I f = − (G + jB ) E1
 =−
E1 + ( R1 + jX d 1 ) I1
V1
 I 1 = I 0 + I 2'
Nota Bene: Bm non e’ costante
DIAGRAMMA FASORIALE FUNZIONAMENTO A CARICO
jX d 1 I 1
V1
− E1
R1I1
'
jX 2' I 2
'
R2' I 2
I1
I 2'
-V’2
I0
Im
I2
V2
R2 I 2
jX d 2 I 2
E2
If
 − E 2' = -V2 ' + ( R 2' + jX d' 2 ) I 2'

'
 − E1 = − E 2 = − n E 2

 I = I m + I f = − (G + jB ) E1
Φ  0
V1 = − E1 + ( R1 + jX d 1 ) I1
 I 1 = I 0 + I 2'
DATI DI TARGA
Circuito equivalente a
Γ
I1
− I 2'
"
Z& cc
I1
− I2
'
Z& cc
V1
Y&
V2'
V1
Y&
V2
Generalmente i risultati delle prove di collaudo vengono forniti in valori
percentuali:
P0 %
della potenza nominale
Pcc %della potenza nominale
I0 %
della corrente nominale
Vcc %della tensione nominale
ESEMPIO DI TARGA
n=
V1n
V20
Sn
P0 %
Pcc %
I0 %
Vcc %
Rapporto di trasformaz ione a vuoto
Potenza apparente nominale (VA)
Perdite nel ferro
Perdite nel rame
Corrente a vuoto
Tensione di corto circuito
'
Z cc
Vcc % V12n
=
⋅
100 S n
Y=
I0 % Sn
⋅
100 V12n
;
;
'
Rcc
G=
Pcc % V12n
'
'2
'2
=
⋅
⇒ X cc
= Z cc
− Rcc
100 S n
P0 % S n
⋅
⇒ Bm = Y 2 − G 2
100 V12n
ESEMPIO NUMERICO
I dati di targa di un trasformatore monofase sono:
n=
12 kV ;
S n = 40 kVA ; f = 50 Hz ; Vcc % = 4 %; Pcc % = 1 .8%; P0 % = 0.4 %; cos ϕ 0 = 0.2
260V
Determinare il circuito equivalente
Pcc =
Pcc %
S
1. 8
40000
⋅ Sn =
⋅ 40000 = 720 W ; I 2 n = n =
= 153.85 A
100
100
260
U 20
Vcc % V20
4
260
⋅
=
⋅
100 I 2 n 100 153.85
Pcc
720
"
"2
"2
=
⇒ X cc
= Z cc
− Rcc
= 0.0676 Ω
2
I 2 n 153.85
P%
P
B
0.4
−
40000 = 160 W ; G = 02 = 1.11 ⋅10 6 S ; m = tgϕ 0 → Bm = Gtgϕ
P0 = 0 S n =
100
100
G
V1n
"
=
Z cc
;
'
=
Rcc
oppure
P0 = V1n I 0 cos ϕ 0 ⇒ I 0 =
Y=
P0
160
=
= 6.66 ⋅10 − 2 A
V1n cos ϕ 0 12000 ⋅ 0.2
I0
= 5.55 ⋅10 − 2 S ; Bm = Y 2 − G 2 = 5.44 ⋅10 − 6 S
V1n