PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I
Corsi di laurea della classe Scienze Matematiche – CFU 8 +1
A.A. 2006 – 2007
Prof. Caterina Maniscalco – Prof. Camillo Trapani
Modulo svolto dalla Prof. Maniscalco (CFU 3)
Insiemi e numeri reali
Nozioni fondamentali di teoria degli insiemi (Notazioni, sottoinsiemi, operazioni con gli
insiemi) – Cenni di Logica (Proposizioni – Predicati – Quantificatori)
Gli insiemi numerici N, Z, Q – Principio d’induzione – Numeri reali: struttura algebrica e
d’ordine Massimi, minimi estremi superiore e inferiore - Assioma di completezza di R e sue
conseguenze principali (classi separate e contigue; intervalli incapsulati) – Esistenza della
radice n-sima di un numero reale – Definizione delle potenze di base reale ed esponente
reale – Proprietà di Archimede e sue conseguenze – Allineamenti decimali – Cardinalità
degli insiemi; potenza del numerabile e potenza del continuo – Numeri complessi in forma
algebrica ed in forma trigonometrica; formule di de Moivre; radici n-sime di un numero
complesso.
Relazioni e funzioni
Il prodotto cartesiano di insiemi - Relazioni - Relazioni di equivalenza - Relazioni d’ordine
– Funzioni – Prodotto di composizione – Funzioni inverse.
Funzioni elementari (Polinomi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, funzioni
esponenziali e logaritmi; funzioni iperboliche) e loro grafici – Invertibilità delle funzioni
elementari.
Continuità e limiti
Elementi di topologia di R (insiemi aperti e chiusi; punti interni, punti aderenti e punti di
accumulazione) – Continuità – Limiti – Punti di discontinuità – Teoremi del confronto
Cambiamenti di variabile nei limiti.
Modulo svolto dal Prof. Trapani (CFU 5)
Confronto locale di funzioni
Equivalenze ed o-piccoli; infinitesimi ed infiniti; comportamenti asintotici. Applicazioni al
calcolo dei limiti.
Successioni
Successioni convergenti, divergenti ed indeterminate – Successioni monotone Sottosuccessioni – Teorema di Bolzano-Weierstrass – Successioni di Cauchy e
completezza di R – Successioni definite per ricorrenza
Proprietà delle funzioni continue su intervalli
Zeri di funzioni continue – Proprietà dei valori intermedi – Continuità della funzione inversa
– Teorema di Weierstrass – Continuità uniforme e teorema di Heine – Cantor.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica e cinematica – Derivate laterali –
Relazioni tra monotonia e segno della derivata – Estremi relativi – Teoremi di Rolle,
Lagrange e Cauchy e loro conseguenze – Applicazioni allo studio del grafico di una
funzione – Teoremi di de l’ Hôpital e conseguenze – Proprietà di Darboux per la derivata
– Teoremi di Taylor (resto di Peano e resto di Lagrange) - Sviluppi di Taylor notevoli ed
applicazioni – Funzioni convesse e funzioni concave.
Integrali indefiniti
Primitiva di una funzione – Integrale indefinito – Integrazione per parti e per sostituzione –
Integrazione di funzioni razionali – Integrali abeliani.
Integrazione secondo Riemann di funzioni di una variabile reale
Funzioni a gradini – L’integrale di una funzione a gradini – Integrale inferiore ed integrale
superiore secondo Riemann – Integrale di Riemann – Integrabilità delle funzioni continue e
delle funzioni monotone – Cenni sugli insiemi di misura nulla ed enunciato del teorema di
Vitali – Lebesgue - Teoremi sulle funzioni integrabili - Funzione integrale – Teorema
fondamentale del calcolo integrale – Teorema della media – Primitiva di una funzione –
Integrale indefinito – Metodi di integrazione – Applicazioni al calcolo delle aree.
Integrali impropri
Definizioni di integrali impropri - Criteri di convergenza per l’integrale improprio di funzioni
a segno costante – Integrali assolutamente convergenti.
Serie numeriche
Definizione di serie - Criterio di convergenza di Cauchy - Serie a termini non negativi Criterio della radice e criterio del rapporto - Criterio della serie di Cauchy - Serie a termini
di segno qualunque - Serie a termini di segno alterno - Criterio di Leibniz - Serie
assolutamente convergenti.
TESTI CONSIGLIATI:
E.Acerbi - G.Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice
A.Bacciotti - F.Ricci, Analisi Matematica, Liguori Editore
C. Di Bari - P.Vetro, Analisi Matematica, Libreria Dante
C.Trapani - R.Messina, Esercizi di Analisi uno, Aracne
