programma del corso di analisi matematica i
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PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I Corsi di laurea della classe Scienze Matematiche – CFU 8 +1 A.A. 2006 – 2007 Prof. Caterina Maniscalco – Prof. Camillo Trapani Modulo svolto dalla Prof. Maniscalco (CFU 3) Insiemi e numeri reali Nozioni fondamentali di teoria degli insiemi (Notazioni, sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi) – Cenni di Logica (Proposizioni – Predicati – Quantificatori) Gli insiemi numerici N, Z, Q – Principio d’induzione – Numeri reali: struttura algebrica e d’ordine Massimi, minimi estremi superiore e inferiore - Assioma di completezza di R e sue conseguenze principali (classi separate e contigue; intervalli incapsulati) – Esistenza della radice n-sima di un numero reale – Definizione delle potenze di base reale ed esponente reale – Proprietà di Archimede e sue conseguenze – Allineamenti decimali – Cardinalità degli insiemi; potenza del numerabile e potenza del continuo – Numeri complessi in forma algebrica ed in forma trigonometrica; formule di de Moivre; radici n-sime di un numero complesso. Relazioni e funzioni Il prodotto cartesiano di insiemi - Relazioni - Relazioni di equivalenza - Relazioni d’ordine – Funzioni – Prodotto di composizione – Funzioni inverse. Funzioni elementari (Polinomi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e logaritmi; funzioni iperboliche) e loro grafici – Invertibilità delle funzioni elementari. Continuità e limiti Elementi di topologia di R (insiemi aperti e chiusi; punti interni, punti aderenti e punti di accumulazione) – Continuità – Limiti – Punti di discontinuità – Teoremi del confronto Cambiamenti di variabile nei limiti. Modulo svolto dal Prof. Trapani (CFU 5) Confronto locale di funzioni Equivalenze ed o-piccoli; infinitesimi ed infiniti; comportamenti asintotici. Applicazioni al calcolo dei limiti. Successioni Successioni convergenti, divergenti ed indeterminate – Successioni monotone Sottosuccessioni – Teorema di Bolzano-Weierstrass – Successioni di Cauchy e completezza di R – Successioni definite per ricorrenza Proprietà delle funzioni continue su intervalli Zeri di funzioni continue – Proprietà dei valori intermedi – Continuità della funzione inversa – Teorema di Weierstrass – Continuità uniforme e teorema di Heine – Cantor. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica e cinematica – Derivate laterali – Relazioni tra monotonia e segno della derivata – Estremi relativi – Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e loro conseguenze – Applicazioni allo studio del grafico di una funzione – Teoremi di de l’ Hôpital e conseguenze – Proprietà di Darboux per la derivata – Teoremi di Taylor (resto di Peano e resto di Lagrange) - Sviluppi di Taylor notevoli ed applicazioni – Funzioni convesse e funzioni concave. Integrali indefiniti Primitiva di una funzione – Integrale indefinito – Integrazione per parti e per sostituzione – Integrazione di funzioni razionali – Integrali abeliani. Integrazione secondo Riemann di funzioni di una variabile reale Funzioni a gradini – L’integrale di una funzione a gradini – Integrale inferiore ed integrale superiore secondo Riemann – Integrale di Riemann – Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone – Cenni sugli insiemi di misura nulla ed enunciato del teorema di Vitali – Lebesgue - Teoremi sulle funzioni integrabili - Funzione integrale – Teorema fondamentale del calcolo integrale – Teorema della media – Primitiva di una funzione – Integrale indefinito – Metodi di integrazione – Applicazioni al calcolo delle aree. Integrali impropri Definizioni di integrali impropri - Criteri di convergenza per l’integrale improprio di funzioni a segno costante – Integrali assolutamente convergenti. Serie numeriche Definizione di serie - Criterio di convergenza di Cauchy - Serie a termini non negativi Criterio della radice e criterio del rapporto - Criterio della serie di Cauchy - Serie a termini di segno qualunque - Serie a termini di segno alterno - Criterio di Leibniz - Serie assolutamente convergenti. TESTI CONSIGLIATI: E.Acerbi - G.Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice A.Bacciotti - F.Ricci, Analisi Matematica, Liguori Editore C. Di Bari - P.Vetro, Analisi Matematica, Libreria Dante C.Trapani - R.Messina, Esercizi di Analisi uno, Aracne
