8 Trigonometria.

8
8.1
Trigonometria.
Seno, coseno, tangente.
Un angolo α può essere definito geometricamente come la parte di piano
compresa tra due semirette, dette lati dell’angolo, aventi origine nello stesso
punto O , detto vertice dell’angolo. Le misure degli angoli possono essere
espresse in gradi (sessagesimali o centesimali) o in radianti.
Se si considera una circonferenza con centro coincidente con il vertice dell’angolo
i suoi lati intersecano la circonferenza individuando un arco AB .
La lunghezza di tale arco dipende dal raggio r della circonferenza, ma il
AB
dipende esclusivamente dall’ampiezza dell’angolo, tale raprapporto
r
porto è un numero puro che rappresenta l’ampiezza dell’angolo espressa in
radianti.
Per definizione l’angolo di ampiezza 1 radiante è quell’angolo i cui lati individuano un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.
L’angolo giro, che individua un arco di lunghezza pari all’intera circon2πr
ferenza vale perciò
= 2π radianti, un angolo retto che individua un
r
2πr
π
1
di circonferenza vale 4 =
radianti.
arco pari ad
4
r
2
E’ importante per molte ragioni che gli angoli siano espressi in radianti.
Per trasformare i gradi sessagesimali in radianti si utilizza la proporzione
αgradi : αradianti = 180◦ : π
dove i simboli αgradi ed αradianti indicano rispettivamente la misura dell’angolo
in gradi ed in radianti. Da qui si ottengono le seguenti formule
αgradi · π
180◦
αradianti · 180◦
.
=
π
αradianti =
αgradi
Esempio 18◦ =
18◦ · π
1
π radianti.
=
◦
180
10
1
Esempio Un radiante, espresso in gradi, vale
1 · 180◦ ∼
= 57, 2958◦ .
π
r
....
.....
.....
...
......
......
..
.....
.
.
.
...
.
.
......
...
......
...
......
......
...
.....
.
.
.
.
...
.
..
......
...
......
...
...... ..
...... ....
...
...
......
.
.
...
.
.
...
....
...
.....
...
......
...
...
......
...
...
.....
... ...........
...
... ........
.
................................................................................................................................................................................................................
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
P
α
O
H
Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno far
coincidere il vertice O dell’angolo con l’origine di un sistema di riferimento
cartesiano ed il semiasse positivo delle x con una delle due semirette che
definiscono l’angolo; si può rappresentare l’angolo α nel piano cartesiano
scegliendo per convenzione come positivi gli angoli ottenuti ruotando il semiasse positivo delle x in verso antiorario e negativi gli altri.
Sia P = (xP , yP ) un generico punto della semiretta r che individua l’angolo
α si definiscono il seno, il coseno, la tangente e la cotangente dell’angolo α
rispettivamente mediante i seguenti rapporti:
sin α =
PH
yP
=
PO
PO
cos α =
HO
xP
=
PO
PO
tan α =
PH
yP
=
xP
HO
cot α =
HO
xP
=
yP
PH
Essendo definiti come rapporti di lunghezze, seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo sono perciò numeri puri (in quanto rapporti di grandezze
uguali).
2
Considerando la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 1 (avente centro O
e raggio 1, detta circonferenza goniometrica), tale circonferenza interseca
l’angolo nel punto di coordinate (1,0) (punto di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle x, che è lato di ogni angolo) ed in un
secondo P punto dipendente da α .
Avendo scelto il raggio della circonferenza pari a 1, l’ascissa e l’ordinata
del punto P risultano quindi essere rispettivamente il coseno ed il seno
dell’angolo α .
r
..
......
...
.....
..
......
......
.
.
...
.
.
.
...
......
.....
...
......
......
...
......
.
.
.
.
.
.
.
.........................................
......
.........
......
......
...
......
......
.....
....
......
......
...
.... ..........
....
.
.
.
.
......
...
....
........
..
...
...... .....
...
......
...
...
...
.....
.
.
..
.
.
.
.....
...
...
..
.
... ..........
..
...
.......
.
..............................................................................................................................................................................................................
.
...
..
..
.
.
...
..
....
...
..
.
.
.
.
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.
.
.
......
.
.
.
....
......
...
......
........
............................................
...
...
....
..
...
P = (cos α, sin α)
α
O
Valgono inoltre le seguenti
tan α =
sin α
cos α
cot α =
1
cos α
=
.
tan α
sin α
Utilizzando considerazioni di carattere geometrico si ottengono i seguenti
valori per gli angoli notevoli
αgradi
0
30
45
60
90
180
270
360
αradianti
0
sin α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
√2
2
√2
3
2
π
3π
2
2π
1
0
-1
0
cos α
1
√
tan α
0
√
0
-1
0
1
1
√
3
non esiste
0
non esiste
0
3
√2
2
2
1
2
3
3
cot α
non esiste
√
3
1
√
3
3
0
non esiste
0
non esiste
N.B.: i valori ottenuti per l’angolo 0 e l’angolo di ampiezza 2π coincidono
3
in quanto tali angoli sono individuati dallo stesso punto P . La stessa considerazione può essere ripetuta per tutti gli angoli che differiscono per un
numero intero di giri.
Esempio Determinare i valori di seno e coseno per un angolo di 30◦
Considerando il triangolo rettangolo OP H di pagina 2, se un suo angolo
vale 30◦ il restante angolo vale ovviamente 60◦ . Per un tale triangolo, se l
rappresenta la lunghezza dell’ipotenusa, le lunghezze dei cateti valgono
rispettivamente P H = 2l (infatti tale triangolo è metà di un triangolo equi
2
l
=
latero di lato l ed altezza OH )e dal teorema di Pitagora OH = l2 −
2
√
√
l
l 3
1
l 3
. Dalla definizione, si ha quindi che sin 30◦ = 2 = e cos 30◦ = 2 =
l
2
l
√2
3
.
2
8.2
Curve goniometriche.
I grafici sono i seguenti:
2
y
–6
–4
1
0
–2
2
4
6
x
–1
–2
Figure 1: seno
2
y
–6
–4
–2
1
0
2
4
6
x
–1
–2
Figure 2: coseno
4
4
3
y
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–2
–3
–4
Figure 3: tangente
8.3
8.3.1
Principali formule trigonometriche.
Identità fondamentale della trigonometria.
Per ogni angolo α , sin α e cos α sono le coordinate (rispettivamente
ordinata ed ascissa) del punto P (α) che appartiene alla circonferenza goniometrica di raggio unitario di equazione x2 + y 2 = 1 e quindi si ha che
∀α :
cos2 α + sin2 α = 1
8.3.2
Formule di addizione e sottrazione.
Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali
della somma e della sottrazione di angoli a partire da quelli degli angoli
stessi:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β .
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β .
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Esempio
√
√ sin
√ (75 )√= sin√(30 + 45 ) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 =
3 2
2+ 6
1 2
+
=
.
2 2
2 2
4
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Esempio
√
√ cos
√ (15 )√= sin√(45 − 30 ) = cos 45 cos 30 +sin 45 sin 30 =
1 2
3 2
2+ 6
+
=
.
2 2
2 2
4
5
8.3.3
Angoli complementari, supplementari, esplementari.
sin π2 + α = cos α
cos π2 + α = − sin α
sin π2 − α = cos α
cos π2 − α = sin α
sin (π + α) = − sin α
cos (π + α) = − cos α
sin (π − α) = sin α
cos (π − α) = − cos α
sin 3π
2 + α = − cos α
cos 3π
2 + α = sin α
sin 3π
2 − α = − cos α
cos 3π
2 − α = − sin α
sin (2π + α) = sin α
cos (2π + α) = cos α
8.3.4
sin (2π − α) = − sin α
cos (2π − α) = cos α
Formule di duplicazione.
Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali
del doppio di un angolo a partire da quelle dell’angolo stesso:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α .
Esempio Determinare il valore di cos 120◦
cos 120◦ = cos2 60◦ − sin2 60◦ =
1
1 3
− =− .
4 4
2
Esempio Determinare il valore di sin 120◦
√
√
31
3
◦
◦
◦
=
.
sin 120 = 2 sin 60 cos 60 = 2
2 2
2
6
8.3.5
Formule di bisezione.
Permettono di ottenere i valori delle funzioni trigonometriche fondamentali
della metà di un angolo a partire da quelle dell’angolo stesso:
α
1 − cos α
sin
=±
2
2
α
1 + cos α
=±
.
cos
2
2
Esempio Determinare il valore di cos 75◦ .
√
√
3
◦
◦
1− 2
150
1 + cos(150 )
2− 3
cos(75◦ ) = cos
=±
=±
=±
.
2
2
2
4
e poiché l’angolo richiesto si trova nel primo quadrante si sceglierà il segno
positivo.
Esempio Determinare il valore di sin 75◦ .
√
√
3
◦
◦)
1
+
150
1
−
cos(150
2+ 3
◦
2
=±
=±
. e
sin 75 = sin
=±
2
2
2
4
poiché l’angolo richiesto si trova nel primo quadrante si sceglierà il segno
positivo.
8.3.6
Formule parametriche.
Sono formule che esprimono razionalmente le funzioni goniometriche di un
angolo mediante la tangente dell’angolo metà :
sin α =
2 tan α2
1 + tan2 α2
cos α =
1 − tan2
1 + tan2
α
2
α
2
Tali espressioni si dicono parametriche poiché posto tan
sin α =
2t
1 + t2
cos α =
1 − t2
1 + t2
7
α
2
= t si ha
che forniscono le coordinate di un punto della circonferenza come funzioni
razionali del parametro t.
8.4
Risoluzione di triangoli.
Risolvere un triangolo significa determinarne tutti gli elementi (lati e angoli), ed è possibile quando siano noti tre di questi fra i quali uno almeno
sia un lato.
8.4.1
Triangoli rettangoli.
Dato il triangolo rettangolo in figura,
.......
... ....
... ....
... ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..................................................................
β
a
c
α
b
si hanno i seguenti teoremi
Teorema. In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al
prodotto di quella dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure
al prodotto di quella dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.
cioè riferendosi alla figura:
a = c cos β = c sin α, b = c cos α = c sin β .
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro
cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto.
cioè riferendosi alla figura:
a = b tan(α), b = a tan(β).
Esempio Di un triangolo rettangolo si conoscono l’ipotenusa c = 14 cm ed
un angolo acuto β = 60◦ (per le notazioni, vedere la figura a inizio pagina).
8
Risolvere il triangolo.
Risolvere un triangolo significa determinare le misure di tutti i suoi lati ed
angoli.
Per quanto visto sui
triangoli rettangoli, si ha che
√
√
3
◦
b = c sin β = 14 · sin 60 = 14 2 = 7 3 cm, mentre a = c cos β =
14 · cos 60◦ = 14 21 = 7 cm. Dal momento che la somma degli angoli interni
di un qualunque triangolo vale 180◦ , si ha che α = 180◦ − (90◦ + β) = 30◦ .
Esempio Risolvere un √
triangolo rettangolo di cui si conoscono le misure
dei cateti a = 3 e b = 3 3 (per le notazioni, vedere la figura della pagina
precedente).
Dal terorema precedente sui triangoli rettangoli si ha che tan β = ab =
√
√
3 3
3 , e l’unico angolo (compreso tra 0◦ e 180◦ perché angolo interno
3 =
√
ad un triangolo) avente tangente pari a 3 è quello di 60◦ per cui β = 60◦ .
Quindi si ha che α = 180◦ − (90◦ + β) = 30◦ . L’ipotenusa può essere
ricavata sia mediante il teorema di Pitagora che utilizzando le relazioni tra
lati ed angoli di un triangolo rettangolo; ad esempio invertendo la relazione
3
a
3
=
a = c cos β si ottiene che c =
= 1 = 6.
cos β
cos 60◦
2
8.4.2
Triangoli qualunque.
Dato il triangolo
...........
... ...............
........
...
........
...
.
........
..
........
........
...
.
.
........
...
........
.
.
........
.
.
........
..
.
........
.
........
...
.
........
.
.
........
.
........
..
.
.
........
..
.
.
.....................................................................................................................................................................................
α
b
c
γ
β
a
si hanno i seguenti teoremi
Teorema dei seni. In un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il
seno dell’angolo opposto è costante.
cioè riferendosi alla figura:
b
c
a
=
=
.
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
9
Esempio Determinare il lato AB del triangolo ABC di cui si conoscono i
∧
√
seguenti elementi: BC = a = 2 3 , AC = b = 6 , BAC= α = 30◦ .
b
b sin α
a
=
quindi sin β =
=
Per il teorema dei seni si ha
sin
α
sin
β
a
√
◦
6 sin 30
3
√
. Vi sono due possibili angoli (minori di 180◦ perché angoli
=
2
2 3
√
3
e precisamente β1 = 60◦ e
interni di un triangolo) il cui seno vale
2
◦
β2 = 120 . In corrispondenza di ciascun valore di β si trova un valore di γ
ed un valore di c, e precisamente:
• per β1 = 60◦ si√ ottiene γ1 = 180◦ − (α + β1 ) = 90◦ e quindi
√
2 3 sin 90◦
a sin γ1
=
c1 =
=4 3
◦
sin α
sin 30
si ottiene γ2 = 180◦ − (α + β2 ) = 30◦ e quindi
• per β2 = 120◦ √
√
2 3 sin 30◦
a sin γ2
=
c2 =
= 2 3.
◦
sin α
sin 30
Si hanno perciò due possibili triangoli come soluzione
√ del problema dato,
√ e
le due possibilità per il lato cercato sono AB = 4 3 oppure AB = 2 3 .
Osservazione: la situazione dell’esempio precedente, in cui si hanno due
possibili triangoli come soluzioni entrambe accettabili del problema dato,
si può verificare solo nel caso in cui siano noti due lati del triangolo ed un
angolo non compreso tra essi.
Teorema di Carnot. In un triangolo qualsiasi il quadrato costruito su
un lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati
diminuita del doppio prodotto degli stessi per il coseno dell’angolo tra essi
compreso.
Ad esempio, per il calcolo del lato a in figura, utilizzando
il teorema si
√
ottiene che a2 = b2 + c2 − 2bc cos α e quindi a = b2 + c2 − 2bc cos α.
Analogamente si calcolano le lunghezze deglialtri due lati.
Esempio Di un triangolo sono noti i lati a = 7, b = 2 e l’angolo tra essi
compreso γ = π7 . Risolvere il triangolo.
Il lato c si ottiene applicando il teorema di Carnot c2 = 49+4−28 cos π7 =
√
27.76 . Perciò c = 27.76 = 5.26 . Applicando nuovamente il teorema
10
2
2
2
−b
di Carnot cos(β) = a +c
si ottiene cos(β) = 0.19 cioè β = 1.38 2ac
rad. Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a π , per
sottrazione si ottiene α = 1.31 .
Esercizi
1. Sapendo che sin α =
3
5
< α < π , determinare cos α .
Usando l’identità fondamentale cos(α) = ± 1 − sin2 (α) si ottiene
cos(α) = ± 1 − 95 = ± 45 , e poiché l’angolo α si trova per ipotesi nel
secondo quadrante si ha che il coseno deve essere negativo e quindi
cos α = − 54 .
ed
π
2
2. Qual è la misura in radianti dell’angolo α = 300◦ ?
5 3π
π
π
π
3. Calcolare sin 105◦ , cos 105◦ , tg105◦ e sin 12
, cos 12
, tg 12
π
Si tenga presenta che 105◦ =60◦ +45◦ e 12
= π4 − π6 , si possono quindi
utilizzare le formule
e sottrazione.
√di addizione
√ √
√
√ √6−√2 √6+√2
√ 6+ 2
2− 6
,
,
−2
−
3;
,
,
2
−
3
4
4
4
4
4. Semplificare l’espressione
−2 sin α + 3 cos π2 − α + sin (π − α)
. [2tgα]
cos (π + α) + 2 cos (2π − α)
5. In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono 14 e 48. Risolvere
il triangolo e determinare le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Mediante il teorema di Pitagora si calcola la lunghezza dell’ipotenusa
che vale 50. Utilizzando le relazioni tra i cateti e l’ipotenusa di
un triangolo rettangolo si ottiene che il seno dell’angolo opposto al
◦ cateto minore vale sin(β) = 14
50 = 0.28 e l’angolo vale perciò 16 15 .
poiché il triangolo è rettangolo l’angolo opposto al cateto maggiore
misura 90◦ − 16◦15 = 75◦ 45 . Per determinare le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa è sufficiente considerare i due triangoli rettangoli in cui
viene diviso il triangolo dato tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa.
Tali triangoli sono entrambi simili al triangolo dato, hanno perciò angoli congruenti ad α e β . Quindi la proiezione del cateto minore (b )
sull’ipotenusa è data da b sin(β) = 14 · 0.28 = 3.98 e analogamente
la proiezione del cateto maggiore vale 46.02 .
6. Di un triangolo rettangolo ABC sono noti il cateto AB = 6 cm e
l’ipotenusa AC = 12 cm. Calcolare l’area del triangolo e l’ampiezza
dei suoi angoli.
11
√
60◦ ,30◦ ; 18 3cm2
7. Si trovino gli elementi mancanti dei seguenti triangoli qualunque:
√
c = 30 3, α = 90◦ , γ = 60◦
• a = 60, b = 30, β = 30◦
• a = 50, b = 50, γ = 30◦ .
[c ∼
= 25.9, α = 75◦ , β = 75◦ ]
8. Dato il triangolo qualunque di lati a, b, c e angoli α, β, γ , sono noti:
a = 12 cm, b = 18 cm, α = 60◦ . Calcolare gli altri lati e gli altri
angoli.
[impossibile]
9. Calcolare l’area S e il perimetro P di un triangolo
isoscele in cui
√
l’angolo al vertice misura 23 π e la base AB = 20 3 cm.
Si osservi che l’altezza relativa alla base AB è anche bisettrice dell’angolo
al vertice e divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli uguali.
Questo problema è risolubile anche tramite la geometria euclidea, oltre
che per via trigonometrica.
√ √
P = 20 2 + 3 cm; S = 100 3 cm2
10. Trovare la misura
√ dei lati del triangolo rettangolo ABC avente l’area
uguale a 144 3 cm 2 , sapendo che uno degli angoli acuti è doppio
dell’altro.
Per prima cosa si calcoli l’ampiezza di tutti gli angoli del triangolo, ri è di 90◦ e che la somma degli
cordando che un angolo, ad esempio A,
◦
angoli interni di un triangolo è 180 ; a questo punto tramite i teoremi
sui triangoli rettangoli che coinvolgono la tangente è possibile calcolare i cateti e l’ipotenusa si ottiene infine applicando semplicemente il
teorema di Pitagora.
√
√
√
AB = 12 6 cm; AC = 12 2 cm; ipotenusa BC = 24 2 cm
12