DISEQUAZIONI
Operazioni su entrambi i membri di una disequazione: si può sommare e sottrarre qualunque quantità,
moltiplicare o dividere una quantità positiva, la disequazione rimane verificata. Se invece, si moltiplica
o divide una quantità negativa, la disequazione cambia verso (da < a > o viceversa)
Es. 3 < 4 se moltiplico per -2 devo cambiare < in > → 3(-2) > 4(-2) → -6 > -8 vero
Disequazioni di 1° grado
3
5x -3 > 0
5x > 3 x > (soluz. algebrica) → soluz. grafica
5
(verifica per x = 1 → 5(1) > 3 → 5 > 3 vera → x = 1 è soluzione)
Disequazioni di 2° grado
0
3/5
1
soluzioni
Caso ∆ > 0
2x2 -3x -2 ≥ 0
si prende l’equazione associata e si risolve
1
+ 3 ± 9 + 16 + 3 ± 5 −
2
2x -3x -2 = 0
x=
=
= 2 ( radici o zeri del trinomio)
4
4
+ 2
La disequazione sarà verificata da valori interni oppure esterni alle radici. Per saperlo ci sono 3 modi:
1) test
si testa un valore qualunque nella diseq. per es. x=0 (valore interno) → -2 ≥ 0 Falso →
x = 0 non è soluz. quindi le soluz della diseq. sono esterne.
a > 0 segno diseq. > 0 le soluz. sono esterne
a > 0 segno diseq. < 0 le soluz. sono int erne
2) schema
a < 0 segno diseq. > 0 le soluz. sono int erne
a < 0 segno diseq. < 0 le soluz. sono esterne
nell ‘es. a = 2 > 0, segno diseq.≥ 0 → soluz.esterne
> 0 concavità verso l' alto
3) uso parabola aa <
0 concavità verso il basso
a<0
a>0
nell’es. a = 2 > 0 → conc. verso l’alto,
la parab. sta sopra per valori esterni, → soluz. esterne
1
soluz. algebrica x ≤ − , x ≥ 2
2
(Verifica per x = -1→ 2(−1) 2 − 3(−1) − 2 ≥ 0 → + 3 ≥ 0 vero → x = -1 è soluz.)
Caso ∆ < 0
+ 1 ± 1 − 12 + 1 ± − 11
1°es)
3x2 -x +1 ≥ 0 eq. ass.→ 3x2 -x +1 = 0 x =
=
non ci sono radici.
6
6
∆<0
Poiché a = 3 > 0→ la parabola è tutta sopra, cioè sempre >0,
→ la diseq. è sempre vera.
(Verifica per x = 1→ 3(1) 2 − 1 + 1 ≥ 0 → + 3 ≥ 0 vero → x =1 è soluz. )
{
+ 3 ± 9 − 40 + 3 ± − 31
=
non ci sono radici.
4
4
a = 2 > 0→ la parabola è tutta sopra, cioè sempre > 0, → la diseq. è sempre falsa.
(Verifica per x = 1→ 2(1) 2 − 3(1) + 5 ≤ 0 → + 4 ≤ 0 falso → x = 1 non è soluz.)
Caso ∆ = 0
1°es) x2 -4x +4 ≥ 0 eq. ass.→ x2 -4x +4 = 0 x = +2 ± 4 − 4 = +2 → radice doppia.
poiché a =1>0→ la parabola è tangente in x=2, sempre ≥0 → la diseq. è sempre vera.
x=2 ∆=0
2
(Verifica per x=1→ (1) − 4(1) + 4 ≥ 0 → + 1 ≥ 0 vero → x=1 è soluz.)
2°es) 2x2 -3x +5 ≤ 0
2x2 -3x +5 = 0 x =
x=2
−3± 9−9 −3
1
=
= − radice doppia
9
9
3
poiché a = 9 > 0→ la parabola è tangente, sempre >0 tranne che in x = - 1/3
la soluz.algebrica è x = -1/3
2°es) 9x2 +6x +1 ≤ 0 → 9x2+6x +1= 0 x =
∆=0
x=-1/3
Disequazioni di grado superiore al 2°
x 3 − 2x 2 − 5x + 6 ≥ 0
si scompone in fattori il 1° membro; divisori di 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
poi sostituendo ciascuno di questi, si applica il teorema del resto al polinomio P
3
2
P (− 1) = (− 1) − 2 ⋅ (− 1) − 5 ⋅ (− 1) + 6 = −1 − 2 + 5 + 6 ≠ 0
P (+ 1) = (+ 1) − 2 ⋅ (+ 1) − 5 ⋅ (+ 1) + 6 = +1 − 2 − 5 + 6 = 0 → P divisibile per (x-1)
e si divide con Ruffini
1
-2
-5
+6
3
2
+1
+1
-1
-6
1
-1
-6
0
Q = x2 –x -6
Ora si può continuare scomporre x2 –x -6 col metodo di Ruffini
2
P (+ 1) = (− 1) − (− 1) − 6 = +1 − 1 − 6 ≠ 0
P (+ 2 ) = (− 2 ) − (− 2 ) − 6 = +4 + 2 − 6 = 0 divisibile per (x + 2)
e si divide con Ruffini
1
-1
-6
2
-2
-2
+6
1
-3
0
Q = x -3
3
2
La scomposizione finale x − 2 x − 5 x + 6 = ( x − 1)(x + 2 )( x − 3) si sostituisce nella disequazione
(x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 ora si studiano i segni dei fattori:
-2
x-1≥0
x+2≥0
x-3≥0
P
x ≥1
x≥-2
x ≥3
-
1
+
+
3
+
+
-
+
+
+
+
La soluzione algebrica è: -2 ≤ x ≤ 1, x ≥ 3
(Verifica per x = -1→ (− 1 − 1)(− 1 + 2)(− 1 − 3) ≥ 0 → (− 2)(+ 1)(− 4) ≥ 0 → +8≥0 vera→ x = -1 è soluz.)
Disequazioni fratte
10 − 3 x
≤0
2x2 − x −1
N)
D)
il segno della frazione è dato dal rapporto dei segni di N e D
Si studiano i segni di N e D (D non deve mai essere =0)
10
10
10-3x ≥0 → -3x≥-10 → x ≤
(N è positivo per valori ≤ )
3
3
1
− 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3 +
=
= 2
2x − x − 1 > 0 → 2x − x − 1 = 0 → x =
4
4
− 1
1
a = 2 > 0 → soluz. esterne (D è positivo per − 1 < x < ). Confrontiamo i segni di N e D:
2
2
2
-1
N
D
N/D
10-3x
2x 2 − x − 1
+
+
+
1/2 10/3
+
-
+
+
+
+
1
10
La soluzione algebrica è: − 1 < x < ; x ≥
2
3
10 − 3(4)
(Verifica per x = 4 →
≤ 0→
2 ( 4) 2 − ( 4) − 1
(
10
è anche soluz. mentre -1 e 1/2 no perché annullano D)
3
−2
≤ 0 vero)
27
Sistemi di disequazioni
3 x − 2 > 0
1°es)
si risolvono a parte le singole disequazioni.
3 − x > 0
2
3 x − 2 > 0 → 3 x > 2 → x > soluz.algebr. I diseq.
I)
3
II)
3 − x > 0 → − x > −3 → x < 3 soluz.algebr. II diseq. confrontiamo le soluz. di I e II
2/3
I
II
3
-------
sistema
2
< x < 3;
3
3(2) − 2 > 0
4 > 0 → vera
(Verifica per x = 2 →
→
→ x = 2 è soluz. per il sistema)
3 − (2) > 0
1 > 0 → vera
La soluzione algebrica è data dalle soluz.comuni:
3x − 5 < 0
2
2 x + 3 x − 2 ≥ 0
2°es)
3x − 5 < 0 → 3x < 5 → x <
I)
5
soluz.algebr. I diseq.
3
1
− 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5
=
= 2
4
4
− 2
a = 2>0, segno diseq.≥ → soluz.est. Confrontiamo le soluz. di I e II
2 x 2 + 3 x − 2 ≥ 0 → 2 x 2 + 3x − 2 = 0 → x =
II)
-2
I
II
1/2
5/3
-------
sistema
1
5
La soluzione algebrica è data dalle soluz.comuni: x ≤ −2;− ≤ x < ;
2
3
3(−3) − 5 < 0
− 14 < 0 → vera
(Verifica per x = -3 →
→
→ x = -3 è soluz. per il sistema)
2
7 > 0 → vera
2(−3) + 3(−3) − 2 ≥ 0
Disequazioni con valore assoluto
{
x
Equazioni: x = -x
se x ≥ 0
se x < 0
esempio: x − 5 = 3x − 1
x = −2
x = 3
2
x-5 ≥ 0 per x ≥ 5
{-xx+−55==33x-x1− 1
se x ≥ 5
se x < 5 x = -2 non è accettabile perché non è ≥ 5
Equazioni tipo:
A( x ) = a
A( x) = ± a
{non
ha sol.
se a ≥ 0
se a < 0
esempio: x − 3 = 2 poiché a ≥ 0 → x – 3 = ± 2
Disequazioni:
1° esempio x − 4 > −2x + 1 x – 4 ≥ 0 per x ≥ 4
secondo sistema;
{xx-≥4 4> -2x + 1 xx >≥ 45
3
{-xx <+44 > -2x + 1 {xx >< −43
sol.algebrica:
-3 < x 4 e x ≥ 4
primo sistema:
Disequazioni tipo:
2° esempio:
Disequazioni tipo:
3° esempio:
se x ≥ 5
se x < 5
A( x ) < k
x2 − 9 < 7
→
A( x ) > k
x2 − x > 6
→
5/3
4
-3
4
x≥4
x>5/3
x<4
x>-3
cioè: x > -3
→
-k < A(x) < k
− 7 < x 2 -9
2
x − 9 < 7
A(x) < − k e A(x) > k
-7 < x2-9 < 7 ossia
→
x 2 − x < -6
x 2 − x > 6
Disequazioni irrazionali
Equazioni: A( x ) = B( x )
n
1°esempio:
→
A(x) = [B(x)]n
A(x) ≥ 0
se n pari
B(x) ≥ 0
A(x) = [B(x)]n
4 + x − x 3 = − x n dispari →
3
se n è dispari
4+x-x3=-x3
4+x=0 →
x=-4
∀x ∈ ℜ
2x 2 + x + 4 ≥ 0
1
2
2°esempio:
2x + x + 4 = 2x − 1
n pari → 2x − 1 ≥ 0
x ≥
2
2
2
2x + x + 4 = (2 x − 1)
1
∨ x=3
x = −
2
x=-1/2 non è accettabile perché non verifica il sistema
Disequazioni:
n
A(x) < [B(x)]
se n è dispari
n
caso minore:
A( x ) < B( x )
→
A(x) ≥ 0
se n pari
B(x) > 0
A(x) < [B(x)]n
→
1°esempio:
x 2 + 2 x − 15 < x − 1
n pari →
x 2 + 2x − 15 ≥ 0
x ≤ −5 ∨ x ≥ 3
soluzione algebrica 3 ≤ x ≤ 4
x 2− 1 > 0
x > 1
x + 2x − 15 < x 2 − 2x + 1 x < 4
A( x ) > B( x )
caso maggiore:
n
A(x) > [B(x)]n
se n dispari
<0
{B(x)
A(x) ≥ 0
∨
B(x) ≥ 0
A(x) > [B(x)]n
2°esempio:
x −1 < x − 3
{xx <≥ 13
{2x <≥ x3 < 5
∨
→
se n pari
n pari →
{xx −− 13 ≥< 00
soluzione algebrica:
∨
1≤x≤5
x − 3 ≥ 0
x − 1 > (x − 3)2
