Esercizi #9

Esercizi #9
Ÿ Problema 1
msf = 0.012; mb = 0.022; L = 0.30; g = 9.81; kel = 8.99 ´ 109 ; Θ0 = 60 * Π  180;
Ÿ a)
All'equilibrio la somma dei momenti delle forze (gravitazionale ed elettrica) agenti su ciascuno dei due corpi rigidi, composti
ciscuno da una sbarretta ed una sferetta, deve essere nullo. Perciòva risolta l'equazione :
msf g L Sin@Θ0  2D + mb
L
2
Sin@Θ0  2D Š
kel q2
L Cos@Θ0  2D, dove d=2 L Sin[Θ0 / 2]
d2
Hmsf + mb  2L g Tan@Θ0  2D
q = 2 L Sin@Θ0  2D
= 1.142 ´ 10-6 C
kel
Ÿ b)
Il momento d'inerzia rispetto ad O di ciascuna barretta con la pallina è :
1
mb L2 + msf L2 = 0.00174 kg m2
IO =
3
Nella posizione iniziale, con Θ=15°, l'accelerazione angolare è :
kel q2
4 L Sin@2D2
2
L Cos@Θ  2D - g L Sin@Θ  2D Hmsf + mb  2L
= 321.7 rad ‘ s2
Α=
IO
Ÿ c)
Applicando la conservazioe dell'energia:
2
kel q2
kel q2
Ω=
IO
2 L Sin@Θ  2D
- msf +
2L
mb
2
Θ
g L CosB F
2
= 8.513 rad  s
Ÿ Problema 2
Ε0 = 8.85 ´ 10-12 ; A = 1; d0 = 0.10; V0 = 1000; d1 = 0.11;
Ÿ a)
La carica sulle armature non cambia. Quindi:
A
C0 = Ε0
A
; C1 = Ε0
d
; V1 = V0
d1
C0
= 1100 volt
C1
Ÿ b)
L' energia immagazzinata nel condensatura è inizialmente
1
2
C0 V0 2 e dopo
1
2
C1 V1 2 : quindi si è dovuto fornire un lavoro:
2
CorrEs#9.nb
1
L=
C1 V1 2 -
2
1
C0 V0 2 = 4.425 ´ 10-6 J
2
Ÿ Problema 3
kel = 8.99 ´ 109 ; R = 0.8; Q = 40 ´ 10-6 ; m = 2 ´ 10-3 ; q = 750 ´ 10-9 ; g = 9.81
Ÿ a)
Q
VP = kel
= 224 750 volt
2R
Ÿ b)
Si applica la conservazione dell’energia. L’energia cinetica del corpo in P è pari alla variazione della sua energia potenziale
(sia gravitazionale che elettrica) tra P e A :
1
m v2 = m g HR - 2 R L + q HVA - VP L
2
Q
VA = kel
;v=
R
-2 g R + 2
q HVA - VP L
= 7.357 m  s
m
2
Ÿ c)
Forza complessiva agente su B:
Componente tangente al profilo (si ricordi il teorema di geometria che afferma che l’angolo alla circonferenza è la metà
dell’angolo al centro insistente sullo stesso angolo):
Qq
Ft = - m g Sin@60 °D + kel
Sin@30 °D = 0.0532 N
H2 R Cos@Α  2DL2
Componente normale:
Qq
FN = - m g Cos@60 °D + kel
Cos@30 °D = 0.112 N
H2 R Cos@Α  2DL2
Perché ci sia equilibrio occorre che
Ft
г
= 0.476
FN
Ÿ Problema 4.
Ÿ a)
Nel centro, per ragioni di simmetria, il campo deve essere nullo.
Ÿ b)
A 1,5 m dal centro ci si trova tra la prima e la seconda sfera. Si consideri una superficie sferica di raggio R1 = 1,5 m. Sulla
sua superficie, per ragioni di simmetria, il campo elettrico deve avere direzione radiale. Al suo interno la carica totale è
quella della prima sfera, cioè q1 =1 ΜC. Applicando il teorema di Gauss, si ha quindi:
E 4 Π R1 2 =
q1
¶0
1
” E=
q1
4 Π ¶0 d2
= 3996 V  m
CorrEs#9.nb
3
Ÿ c)
A 2,5 m si è al di fuori di entrambe le sfere. Applicando il teorema di Gauss alla sfeera di raggio 2,5 m, poiché la carica
totale contenuta in tale sfera è nulla, anche il campo elettrico è nullo. Questo ragionamento vale per qualunque punto esterno
ad entrambe le sfere, cioè per distanze dal centro magguiri di 2 m.
La differenza di potenziale tra le due sfere è , in base alla definizione di differenza di potenziale:
1
R2
DV = à
R1
q1
1
â r = B-
4 Π ¶0 r2
q1
4 Π ¶0
r
q1
R2
F
R1
1
=
1
= 4496 V
4 Π ¶0
R1
R2
Poiché la sfera esterna è a potenziale nullo (infatti il campo elettrico esterno è ovunque nullo), la sfera interna è al potenziale
4496 V. All'interno della sferra interna il campo è nullo e quindi il potenziale è sempre (anche nel centro) 4496 V.
Ÿ Problema 5.
Nel moto si conserva l'energia. Se la direzione di moto dello ione è radiale, esso si avvicinerà fino alla distanza dm in cui la
sua energia cinetica si annulla. Quindi:
m = 6.66 ´ 10-26 ; q = 1.602 ´ 10-19 ; Q = 10-9 ; R = .40; d0 = 2; v0 = 104 ;
1
1
1
kq Q
=
m v0 2
dmin ® 0.356 m
dmin d0
2
Se la direzione di moto dello ione non è radiale, si deve considerare che nel moto si conserva anche il momento della
quantità di moto rispetto al centro della sfera (il momento della forza elettrica rispetto a tale punto è infatti nullo),
Nel nuovo punto di massimo avvicinamento alla distanza d1 , il corpo avrà allora ancora una velocità in direzione tangenziale v1 .
Si hanno quindi le equazioni:
1
k q Q Jd m
1
d0
N=
1
2
m v0 2 -
1
2
m v1 2
m v0 d0 Sin@ΑD Š m v1 d1
v1 ® 6435 m  s
d1 ® 0.540 m
Ÿ Problema 6.
Ÿ Dati : R = 5 ´ 10-2 ; d = 2.5; k = 9 ´ 109 ; V = 50. ´ 103 ; m = 3. ´ 10-3 ; q1 = 30. ´ 10-9 ; v0 = 50;
Ÿ a)
V
q=
R = 2.78 ´ 10-7 = 278 nC
k
Ÿ b)
q
VP = 2 k
= 2 kV
d
Ÿ c)
Nel punto P il campo elettrico è nullo. Quindi a = 0
Ÿ d)
4
CorrEs#9.nb
2
v=
q1 HVP - VL = 0.980 m  s
m