Università del Sannio
Corso di Fisica 1
Lezione 10
Oscillatori
Prof.ssa Stefania Petracca
Corso di Fisica 1 - Lez. 10 Oscillatori
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Moto armonico I
Consideriamo un sistema fisico costituito da una molla di costante elastica k ed una massa
m legata ad una delle due estremità (l’altra estremità è fissa). Tale sistema rappresenta un
cosiddetto oscillatore armonico. L’equazione della dinamica (F = m a) diviene
k
m
L’accelerazione è variabile, a seconda della posizione x(t) occupata dalla massa
d 2 x(t )
d 2 x(t )
m
= − kx(t ) ⇒
+ ω 2 x(t ) = 0
2
2
dt
dt
ω2 =
m. Abbiamo una variazione dell’accelerazione sia nello spazio che nel tempo.
Abbiamo la cosiddetta equazione differenziale (la cui funzione incognita è x(t)): la
soluzione è quella funzione la cui derivata seconda ridà la funzione x(t),
cambiata di segno e moltiplicata per la costante ω2. La soluzione è data da:
⎧a sin ωt + b cos ωt
⎪
x(t ) = ⎨ A sin (ωt + φ )
⎪ B cos(ωt +ψ )
⎩
x(t + T ) = x(t )
⇒
A= a 2 + b 2
b
tan φ =
a
b
tanψ = −
a
dove
T=
2π
Dove a, b, A, B, f, d sono costanti legate tra loro. E’ da
notare che qualunque scelta si faccia per le soluzioni si
ottengono sempre due costanti d’integrazione. Tali costanti
possono essere fissate solo esplicitando le condizioni iniziali
del problema in questione. Date due soluzioni x1 e x2 anche
la loro somma è soluzione dell’equazione. Questa
caratteristica è possibile data la linearità dell’equazione
differenziale. Data la periodicità della soluzione è facile
dimostrare che esiste un tempo T detto periodo d’oscillazione
che soddisfa la condizione
ω
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Moto armonico II
La funzione x(t) è periodica. ω è detta chiamata pulsazione (o frequenza angolare) propria
(naturale) del sistema che oscilla ed è indipendente dal valore dell’ampiezza del moto
(spostamento iniziale x0). Un corpo che si muove con una legge come quella trovata per x(t)
si dice muoversi di Moto Armonico Semplice. Il periodo, tempo in cui il sistema ritorna alla
posizione iniziale x0, è dato da
m
T = 2π
k
A parità di massa, più la molla è rigida (k grande), più corto
è l’intervallo di tempo T. Maggiore è quindi il numero di
oscillazioni (frequenza) che avvengono nell’unità di tempo.
A parità di k, una massa grande implica un periodo
maggiore e una frequenza minore. Data la soluzione
trovata precedentemente possiamo calcolare anche la
velocità e l’accelerazione attraverso l’applicazione della
derivata
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x(t ) = xm cos ωt
dx(t )
= −ωxm sin ωt
dt
2
d x(t )
2
=
−
ω
xm cos ωt
2
dt
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Moto armonico III
Gli andamenti temporali di spazio, velocità ed accelerazione per un moto armonico:
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Moto armonico IV
Se la massa m è appesa alla molla in verticale, il moto è ancora oscillatorio (in
assenza di attrito), ma l’oscillazione avviene attorno alla posizione di equilibrio xe
del sistema:
L’ampiezza A e la fase δ sono da determinare dalle condizioni iniziali:
Se a t = 0, v = 0 e x = 0 (la molla compressa fino alla sua posizione di
riposo originaria), si trova δ = 0 e A = - xe. Quindi si ottiene x(t) = xe(1 cos ω t).
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… ma anche il pendolo
Anche il pendolo rappresenta per piccole oscillazioni un oscillatore armonico rispetto
all’angolo. Infatti l’equazione della dinamica, indicato con l la lunghezza del pendolo e con g
l’accelerazione gravitazionale, diviene:
d 2ϑ (t )
d 2ϑ (t )
l
= − gϑ (t ) ⇒
+ ω 2ϑ (t ) = 0
2
2
dt
dt
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ω 2 =
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g
l
Moto armonico V
Considerando l’energia meccanica E = K(x) + U(x), abbiamo un continuo scambio
tra l’energia cinetica e l’energia potenziale tale da mantenere sempre costante E.
1 2 1
K ( x ) = mv = mω 2 xm2 sin 2 ωt
2
2
1 2 1 2
U ( x ) = kx = kxm cos 2 ωt
2
2
1 2 1 2
E = K ( x ) + U ( x ) = kxm = mvm
2
2
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Moto armonico VI
Consideriamo due moti armonici unidimensionali (con stessa pulsazione ma
ampiezze diverse) che si sovrappongono:
x1 (t ) = A1 sin (ωt + φ1 )
x2 (t ) = A2 sin (ωt + φ2 )
Il moto risultante è ancora un moto periodico con la stessa pulsazione ma
ampiezza e fase iniziale legate a quelle dei moti componenti. Questa caratteristica
discende dalla linearità delle equazioni differenziali per cui la somma di due
soluzioni è ancora una soluzione.
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = A sin (ωt + φ )
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(φ1 − φ2 )
φ = arctan
A1 sin φ1 + A2 sin φ2
A1 cos φ1 + A2 cos φ2
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Moto armonico VII
Se le forze che originano il moto armonico sono diverse avremo pulsazioni diverse
con la conseguente ampiezza di oscillazione funzione del tempo. Ora la somma
delle soluzioni non è più soluzione. La sovrapposizione delle oscillazioni sono
funzionalmente diverse dalle proprie componenti. Siano due soluzioni:
x1 (t ) = A1 sin (ω1t + φ1 )
x2 (t ) = A2 sin (ω2t + φ2 )
L’ampiezza del moto risultante è, quindi, una funzione del tempo:
A(t ) = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos[(ω1 − ω2 )t + φ1 − φ2 ]
Ipotizzando delle ampiezze componenti uguali fra loro e fasi nulle otteniamo
A1 = A2 = A ; φ1 = φ2 = 0;
⎛ ω − ω2 ⎞ ⎛ ω1 + ω2 ⎞
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = ... = A sin ω1t + A sin ω2t = 2 A cos⎜ 1
t ⎟ sin ⎜
t⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝ 2
⎠
= 2 A cos Ωt sin ωt
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Moto armonico smorzato I
Sulla massa agisce (oltre alla forza elastica e alla forza peso) anche la forza di attrito
viscoso: Fa = - b v. Condizioni del moto: asse x verso il basso. Origine nel punto di riposo
della molla. La massa m viene appesa alla molla nella sua posizione di riposo (x(t = 0) = 0) e
lasciata libera (velocità iniziale nulla: v(t = 0) = 0). L’equazione della dinamica diviene:
d 2 x(t )
dx(t )
m
b
+
+ kx ( t ) = 0
2
dt
dt
d 2 x(t )
dx(t )
2
2
x (t ) = 0
+
γ
+
ω
0
2
dt
dt
Imponendo soluzioni del tipo esponenziale exp(a t) otteniamo due
possibili valori per a. Cruciale è il valore dei parametri liberi g e
w0:
α 2 + 2γα + ω 2 = 0
0
α1, 2 = −γ ± γ 2 − ω04 = −γ ± Δ2
Infatti otteniamo due soluzioni smorzate prive di oscillazioni:
Se γ = ω02
x(t ) = x0 e −γt
Se γ 2 > ω04
x(t ) = e −γt x1e Δt + x2 e − Δt
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(
)
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Moto armonico smorzato II
La soluzione oscillante smorzate è presente
se
Se γ 2 < ω04
(
)
x(t ) = e−γt x1ei|Δ|t + x2e−i|Δ|t =
= x0e−γt sin(| Δ | t +ψ ) =
= x0e−γt cos(| Δ | t + φ )
Si nota subito che la fase oscillante è
descritta dalla funzione trigonometrica con
una pulsazione D, mentre la diminuzione di
ampiezza d’oscillazione è modulata dal
parametro g che è legato al coefficiente di
viscosità.
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Moto armonico smorzato III
Imponendo le condizioni iniziali: x(t = 0) = 0 e v(t = 0) = 0, otteniamo una soluzione per il
moto armonico smorzato:
L’ampiezza diminuisce con il tempo in modo esponenziale, tanto più rapidamente quanto più
b / 2m è grande. Cambia anche la pulsazione del moto: tanto più b è grande, tanto più è
piccola ω e quindi più lungo il periodo di oscillazione T = 2 π / ω.
Se b = 2 k½ il moto è soltanto smorzato: il
corpo si ferma con andamento esponenziale
decrescente senza oscillazioni. Siamo in
presenza di condizioni di smorzamento
critico.
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Moto armonico forzato
Le oscillazioni di un pendolo, di un’altalena, della corda di una chitarra, di un diapason
possono essere rese più ampie con l’applicazione a intervalli regolari di una forza, anche
piccola in intensità: se gli intervalli di tempo di applicazione sono di valore vicino a quello del
periodo naturale del sistema, le oscillazioni diventano più ampie e il sistema si dice essere in
risonanza.
Sia F = F0 sen ω1 t la forza oscillante con cui viene eccitato il sistema che ha una frequenza
naturale pari ad ω0 ≠ ω1. Supponiamo per ora che non vi siano attriti. L’equazione del moto
è
Se ω0 ~ ω1, per quanto piccola sia A,
l’ampiezza (A / (ω02 - ω12)) può diventare molto
grande: risonanza.
Se ω0 >> ω1, l’ampiezza del moto può essere
scritta nella forma ~ A / ω02 (più ω0 è grande,
più l’ampiezza è piccola) ed il sistema oscilla
con la pulsazione della forza di eccitazione.
Se ω0 << ω1, l’ampiezza del moto può essere
scritta nella forma ~ - A / ω12 (più ω1 è grande,
più l’ampiezza è piccola, ma ora il sistema
vibra in contro-fase rispetto all’eccitazione.
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Moto armonico forzato smorzato I
In effetti una resistenza dovuto a qualche forma di attrito all’interno dei sistemi reali
è sempre presente, per cui l’ampiezza non può diventare mai infinita. Se si
considera la presenza di una forma di attrito dipendente dalla velocità come
precedentemente con F = - b v l’equazione del moto diventa:
d 2 x(t )
dx(t )
m
+β
+ kx(t ) = F0 sin ωt
2
dt
dt
d 2 x(t )
dx(t )
2
+
2
γ
+
ω
0 x (t ) = a0 sin ωt
2
dt
dt
Cercando una soluzione del tipo oscillante ed
inserendola nell’equazione differenziale otteniamo
l’espressione per la fase e l’ampiezza di
oscillazione:
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x(t ) = A sin(ωt + φ )
con
A=
(ω
a0
2
0
)
− ω 2 + 4γ 2ω 2
2
⎛
2γω ⎞
⎟
2
2 ⎟
ω
ω
−
0
⎝
⎠
φ = arctan⎜⎜ −
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Moto armonico smorzato forzato II
La soluzione generale per l’oscillatore armonico smorzato forzato è dunque del tipo:
x(t ) = x1e
−⎛⎜ γ − Δ2 ⎞⎟ t
⎝
⎠
+ x2 e
−⎛⎜ γ + Δ2 ⎞⎟ t
⎝
⎠
⎡
⎛
2γω ⎞⎤
⎟
sin ⎢ωt + arctan⎜⎜ − 2
2 ⎟⎥
ω
ω
−
F
0
⎠⎦
⎝
⎣
+ 0
2
m
ω 2 − ω 2 + 4γ 2ω 2
(
0
)
Possiamo concludere che ad una sollecitazione esterna sinusoidale l’oscillatore
armonico risponde con uno spostamento sinusoidale più una soluzione
esponenzialmente decrescente. Quindi dopo un dato tempo terminata la fase di
transiente si ottiene un’oscillazione con pulsazione uguale a quella della forza
forzante esternamente. Lo spostamento è sfasato rispetto alla forza. La risposta
dell’oscillatore non è la stessa qualunque sia la pulsazione: ampiezza e fase
dipendono dalla pulsazione esterna. Le condizioni iniziali (x1, x2) possono influire
solo sulla fase transiente e non sulla fase oscillante. E’ da notare che la presenza
del termine viscoso garantisce la non esplosione del sistema. Infatti quando la
pulsazione esterna diviene uguale a quella del sistema si ottiene la massima
ampiezza d’oscillazione.
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Moto armonico smorzato forzato III
Andamento dell’ampiezza d’oscillazione in
termini della pulsazione. Si ha un massimo
in corrispondenza della pulsazione propria
del sistema.
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