Lezione multimediale 1 - I componenti RLC a regime sinusoidale

Lezione multimediale 1 - I componenti RLC a regime sinusoidale
Prima di iniziare ci tengo a ribadire un concetto già detto nella parte introduttiva a queste lezioni:
cercare di essere semplici non può voler dire essere approssimati nei concetti esposti, vuole
piuttosto dire fare il possibile per esporre i concetti con semplicità (e sfruttare al massimo l’aspetto
intuitivo ricorrendo anche alle simulazioni) ma senza banalizzazioni e concetti esposti “a spanne”.
Se gli approfondimenti fisico-matematici possono essere omessi, senza introdurre errori
concettuali, bene altrimenti, nei termini minimi necessari al corretto rigore concettuale, vanno usati.
Insomma per capire veramente un poco di fatica va fatta; chi non è d’accordo rinunci a leggermi.
In quest’ottica è anche facile capire la scelta di ricorrere a documenti in pdf al posto delle più
immediate pagine web: in questo secondo caso sarebbe risultato molto più difficile ottenere una
ottimale impaginazione e il giusto rigore formale nelle formule. Inoltre stampato il testo della
lezione lo si potrà leggere e contemporaneamente usare il PC per fare le simulazioni proposte.
Prerequisiti (e loro sviluppo essenziale per chi non li possiede)
Consideriamo solo prerequisiti che direttamente precedono i contenuti della lezione, dando per
scontato che chi è interessato a questa lezione possieda le conoscenze più elementari che precedono
(tipo corrente, tensione, resistenza, legge di Ohm, ecc.).
● Conoscere il concetto di grandezza sinusoidale
Le grandezze sinusoidali sono un caso particolare delle grandezze periodiche, ovvero di
grandezze che variano nel tempo con un andamento che si ripete nel tempo. Il tempo di durata
della singola ripetizione è detto periodo (è indicato con la lettera T e si misura in secondi [s]).
Il numero di periodi che si verificano in 1 secondo si dice frequenza e si indica con la lettera f:
𝑓=
1
𝑇
La frequenza si misura in Herz [Hz=s-1]
In figura 1 un esempio tipico di sinusoide: si tratta di una tensione (lo si capisce dalla lettera v
sull’asse y); VP è il valore massimo o di picco e VPP il valore picco-picco. Si noti anche che la
sinusoide è un particolare caso di grandezza periodica di tipo alternato (ovvero a valore medio
nullo).
Un esempio particolarmente importante di grandezza sinusoidale è la tensione della rete luce (la
frequenza è di 50 Hz).
Figura 1 – Esempio di tensione sinusoidale.
● Conoscere la modalità di rappresentazione vettoriale delle grandezze sinusoidali (anche in sola
modalità grafica e quindi senza ricorrere al metodo simbolico)
In figura 2 è indicato come si può immaginare la creazione di una sinusoide.
Immaginiamo che il vettore di ampiezza AP, che ha origine nel centro del cerchio con raggio della
stessa ampiezza, ruoti in senso antiorario alla velocità angolare ω costante (la velocità angolare è
espressa in radianti/secondi). Ricordare che per convertire un angolo α da radianti a gradi vale la
relazione:
𝛼 𝑟𝑟𝑟 × 180
𝛼° =
𝜋
1
Figura 2 – La generazione di una sinusoide.
Se per ogni istante di tempo t proiettiamo sull’asse y la posizione del punto finale del vettore (la
punta della freccia che ruotando descrive il cerchio), il punto definito nel piano cartesiano dalle due
coordinate individua un singolo punto della sinusoide. A ogni istante t (corrispondente a un
generico angolo di rotazione α, ovvero a una generica posizione del vettore) corrisponde un
particolare valore dell’ampiezza della sinusoide. In particolare:
t = 0 ampiezza nulla
𝑇
4
𝑇
t=
2
3
t=
4
t= (angolo α in radianti π/2, ovvero 90°) ampiezza massima positiva AP
(angolo α in radianti π, ovvero 180°) ampiezza nulla
3
2
T(angolo α in radianti π ovvero 270°) ampiezza massima negativa -AP
t=T (angolo α in radianti 2π, ovvero 360°) ampiezza nulla
Una semplice ma chiara visualizzazione dinamica utile per capire quanto appena esposto, la potete
trovare a questo link del sito Elemania di Giancarlo Perlo (la rappresentazione grafica è relativa al
caso di cerchio unitario, ovvero con AP=1).
Vediamo ora la fig. 3: qui all’istante t=0 il vettore che descrive la sinusoide non si trova sull’asse x
come in fig. 2, ma si trova nella posizione definita dall’angolo φ, che viene detto fase della
grandezza sinusoidale. In altri termini possiamo dire che questa sinusoide è in anticipo di un angolo
φ (o più correttamente di un tempo t=φ/ω) rispetto alla sinusoide di figura 2. Infatti all’istante t=0 il
vettore che ruotando descrive la sinusoide di figura 3 ha già percorso un tratto della sua rotazione
(come fosse partito prima). Viceversa si può anche dire che la sinusoide di figura 2 è in ritardo di
un angolo φ rispetto a quella di fig. 3.
Per queste ultime considerazioni abbiamo supposto che entrambe le sinusoidi fossero descritte da
vettori che ruotano alla stessa velocità ovvero avessero entrambe la stessa frequenza. Possiamo
quindi concludere che è possibile rappresentare più sinusoidi della stessa frequenza ma ampiezze e
fasi diverse con i vettori generanti tutti con la stessa origine.
Figura 3 – Un esempio di sinusoide con fase iniziale non nulla.
2
La fig. 4 riporta il caso particolare di sinusoidi tra loro sfasate di 90°.
Figura 4 – Due sinusoidi sfasate di 90° rappresentate con i rispettivi vettori (a) e come variano nel tempo (b).
● Il concetto, anche solo intuitivo, di valore efficace di una sinusoide
Il valore efficace di una grandezza periodica è legato all’effetto termico che una corrente determina
in una resistenza (effetto Joule): si dice valore efficace di una corrente periodica il valore di corrente
continua che attraversando una resistenza provoca in un tempo pari a un periodo T lo stesso
sviluppo di calore prodotto dalla corrente periodica effettivamente presente.
Siccome ai capi di una resistenza attraversata da una corrente periodica è presente una tensione
direttamente proporzionale alla corrente (legge di Ohm), la definizione appena usata per una corrente
periodica vale anche per una tensione periodica.
Ad esempio, se una classica (e ormai verso il termine della sua esistenza) lampadina a incandescenza
è alimentata da una tensione alternata di 220 Veff e dissipa 60 W la sua resistenza vale
𝑅=
𝑉2
≅ 806,7 Ω
𝑃
Dove 220 è il valore efficace dette tensione efficace ma anche il valore della tensione continua che,
se applicata alla stessa lampadina, determina ancora la stessa dissipazione di 60 W.
Ricordiamo anche che nel caso sinusoidale (e solo in quello) vale la semplice relazione:
𝑉𝑒𝑒𝑒 =
𝑉𝑃
√2
≅
𝑉𝑃
≅ 𝑉𝑃 × 0,707
1,414
● Conoscenza puramente funzionale di multimetro, oscilloscopio e generatore di funzioni
Definire le funzionalità di questi strumenti ci porterebbe a scrivere … troppo. Ci limitiamo quindi a
ricordare che il multimetro permette di fare molte misure in continua e in alternata (corrente, tensione,
resistenza ecc.), l’oscilloscopio di visualizzare l’andamento nel tempo delle tensioni e il generatore di
funzioni di generare tensioni continue e alternate di diverse forme e frequenze.
Obiettivo
• comprendere il comportamento dei componenti R, L e C e più precisamente:
o valutare lo sfasamento introdotto tra corrente e tensione nei vari casi;
o estendere al regime sinusoidale la legge di Ohm valutando la differenza di
comportamento nei tre componenti R, L e C.
Lo sviluppo della lezione
Il caso del resistore
Possiamo semplicemente osservare che in un resistore (per semplicità supposto ideale) la legge di
Ohm vale istante per istante ovvero:
𝑣(𝑡)
𝑖(𝑡) =
𝑅
3
Pertanto in questo caso tensione e corrente risultano sempre in fase e possono essere rappresentati
come in fig. 5 (a sinistra la rappresentazione vettoriale e a destra quella nel tempo).
Figura 5 – In una resistenza tensione e corrente sono in fase.
Questa situazione può essere meglio compresa con la simulazione di fig. 6. La simulazione, che per
imparare veramente è opportuno fare (se usate Multisim e non siete ancora bravi potete
inizialmente usare il file sinR fatto con Multisim 13), usa un generatore di funzioni che produce
una sinusoide di 1 Veff (la sigla rms indica che si tratta di valore efficace) alla frequenza di 50 Hz. I
due multimetri U1 e U2 sono usati come voltmetri in alternata e forniscono i valori efficaci (AC sta
per alternate current e 10 MOhm indica la resistenza interna dei due voltmetri).
Figura 6 – La prima simulazione proposta.
La traccia azzurra dell’oscilloscopio visualizza la tensione ai capi del resistore R, mentre la traccia
verde visualizza la tensione ai capi del resistore Ra, di valore numerico trascurabile rispetto a R,
ovvero la tensione ai suoi capi descrive la corrente del circuito divisa per 10.
In termini formali possiamo scrivere la legge di Ohm a regime sinusoidale per un resistore
esprimendo tensione e corrente come vettori (i trattini sopra le lettere hanno questo significato):
𝐼̅ =
𝑉�
𝑅
Vale anche la pena di dare un’occhiata ai valori di picco delle due sinusoidi (basta leggere
sull’oscilloscopio i valori forniti in corrispondenza delle posizioni dei due cursori); per il canale A
(traccia rossa che indica la tensione ai capi di R) si legge in un caso 1,412 V e nell’altro 1,413 V (il
valore teorico corretto sarebbe 1,41258 V e quindi tra i due il più corretto è 1,413 V; evidentemente
l’approssimazione dei due voltmetri a tre cifre crea qualche problema al simulatore). Le differenze
numeriche (sostanzialmente trascurabili) indicano che la tensione ai capi di R è di poco inferiore al
valore di picco della tensione in ingresso, infatti la tensione di picco del generatore è:
𝑉𝑃 = 1 Veff × 1,414 = 1,414 VP
Quel poco della tensione di ingresso che non si trova su R finisce su Ra:
4
A conferma:
𝑉𝑅𝑅 =
𝑉𝑅
1,413
=
= 1,413 mV
1000
1000
VR + VRa=1,413 V+0,001413 V = 1,414 V
Ricordiamo, infine, che la corrente che scorre nel circuito può essere calcolata moltiplicando per 10
la tensione ai capi di Ra e quindi il valore di picco risulta:
𝐼𝑃 = 𝑉𝑅𝑅𝑃 × 10 = 14,13 mA
L’induttore e i circuiti RL serie
Non mi soffermo sui concetti fisico-matematici relati a un induttore: per noi è solo un componente
circuitale caratterizzato da un particolare parametro detto induttanza che si misura in Henry [H].
Si può considerare la simulazione di fig. 7 (file Multisim13 sinRL1).
Figura 7 – Prima simulazione di un circuito RL.
Si vede subito che:
• la tensione sull’induttore (colore blu) è in anticipo di 90° sulla tensione del resistore (colore
verde), ovvero sulla corrente nel circuito (o viceversa la corrente è in ritardo di 90° rispetto
alla tensione);
• anche ai capi dell’induttore c’è una caduta di tensione (in questo caso uguale a quella sul
resistore ma ciò dipende dai valori circuitali scelti).
Per verificare che lo sfasamento tra tensione e corrente di 90° esprime una regola generale basta
cambiare un valore; se, ad esempio raddoppiamo il valore dell’induttanza otteniamo la situazione di
fig. 8, dove lo sfasamento della tensione sull’induttore è ancora di 90° in anticipo rispetto alla
corrente, mentre la tensione sull’induttore è doppia di quella sul resistore.
Figura 8 – Seconda simulazione di un circuito RL.
5
Se ora triplichiamo il valore dell’induttore vedremo che lo sfasamento tensione corrente è sempre
uguale mentre la tensione ai capi dell’induttore è tripla di quella sul resistore (la figura è omessa,
fate voi la simulazione).
Possiamo allora pensare che per l’induttore esista una legge di Ohm del tipo:
𝐼=
𝑉𝐿
𝑋𝐿
Dove però il termine XL, che chiameremo reattanza induttiva, non è costante come la resistenza
ma direttamente proporzionale al valore dell’induttanza.
Per chiarire completamente la situazione riportiamo l’induttore al valore iniziale e raddoppiamo
invece la frequenza della sinusoide: si ottiene la situazione di fig. 9 (file sinRL3).
Figura 9 – Terza simulazione di un circuito RL.
Ora la tensione sull’induttore è doppia di quella sul resistore e se triplicassimo la frequenza
vedremmo che la tensione sull’induttore sarebbe tripla di quella sul resistore. In conclusione la
reattanza induttiva oltre a essere direttamente proporzionale all’induttanza è anche direttamente
proporzionale alla frequenza (e quindi anche alla pulsazione ω):
𝑋𝐿 = 𝑘𝑘𝑘 = 𝑘2𝜋𝜋𝜋
Nel caso particolare della fig. 7, dove essendo le due tensioni uguali, la reattanza XL è uguale alla
resistenza R, la precedentemente relazione porta a concludere che k =1 infatti:
100 = 𝑘 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 50 ∙ 318,3 ∙ 10−3 ⟹ 𝑘 = 1
La reattanza induttiva vale quindi:
𝑋𝐿 = 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋
E se vogliamo evidenziare anche il comportamento vettoriale otteniamo la legge di Ohm di un
induttore a regime sinusoidale:
���𝐿
𝑉
𝐼̅ =
���
𝑋𝐿
���𝐿 determina lo sfasamento di 90° in ritardo della corrente rispetto alla tensione.
Dove 𝑋
Infine, è importante osservare che la rappresentazione vettoriale delle grandezze sinusoidali
permette il calcolo numerico corretto. Infatti è facile verificare come la somma algebrica delle
tensioni sui due voltmetri non coincida con la tensione V1 del generatore. Se però consideriamo le
tensioni come vettori tutto si risolve. Ad esempio, nel caso di fig. 7 si ha la situazione di fig. 10.
Dove, in particolare, essendo VL=VR risulta subito:
𝑉 = �𝑉𝐿2 + 𝑉𝑅2 = �0,7072 + 0,7072 = 1 Veff = 1,414 VP
6
(per i più attenti: in linea di principio le ampiezze dei vettori corrispondono ai valori di picco delle
relative sinusoidi ma, ai fini pratici, visto che i voltmetri misurano i valori efficaci, che nel caso
sinusoidale valgono 𝑉𝑃 /√2, nulla vieta di considerare vettori di ampiezze pari ai valori efficaci).
Figura 10 – Rappresentazione vettoriale delle grandezze del circuito RL di fig. 7.
In fig. 11 riporto il comportamento vettoriale e nel tempo di tensione e corrente di un induttore;
comportamento che deriva direttamente da quanto sin qui detto (ora abbiamo messo la tensione
dell’induttore sull’asse x e quindi la corrente risulta 90° in ritardo).
Figura 11 – Rappresentazione vettoriale (a) e nel tempo (b) di tensione e corrente di un induttore.
Il condensatore e i circuiti RC serie
Procediamo ora in modo simile al precedente per studiare il comportamento del condensatore a
regime sinusoidale. Partiamo dal circuito di fig. 12 (file sinRC1).
Figura 12 –Simulazione di un circuito RC.
Si tratta di un circuito serie del tipo RC alimentato, come nel caso della simulazione di fig. 7, da
una sinusoide a 50 Hz con ampiezza di 1 Veff. Come per dell’induttore si può pensare che anche per
il condensatore valga una regola tipo legge di Ohm:
𝐼=
7
𝑉𝐶
𝑋𝐶
dove XC, la chiameremo reattanza capacitiva.
Vediamo ora gli oscillogrammi. Da questi grafici notiamo che la tensione sul condensatore (colore
blu) è in ritardo di 90° rispetto alla tensione sul resistore (colore verde), ovvero sulla corrente del
circuito, si può quindi dire che in un condensatore la tensione è in ritardo di 90° rispetto alla
corrente o, se si preferisce, che la corrente è in anticipo di 90° rispetto alla tensione. Il tutto è
sintetizzato in fig. 13, dove mettendo sull’asse x la tensione sul condensatore la corrente è
rappresentata con un vettore ruotato di 90° in anticipo.
Figura 13 – Rappresentazione vettoriale (a) e nel tempo (b) di tensione e corrente di un condensatore.
Provate ora a raddoppiare il valore di C e andate a riguardare i risultati: la tensione sul
condensatore sarà la metà di quella sul resistore e gli oscillogrammi confermeranno lo stesso
sfasamento reciproco di prima. Provate anche a triplicare C: la tensione sul condensatore diverrà un
terzo di quella sul resistore. A questo punto possiamo trarre questa semplice conclusione: la
reattanza capacitiva è inversamente proporzionale alla capacità.
Ritorniamo al circuito di fig. 12 e raddoppiamo la frequenza portandola a 100 Hz (fate la
simulazione che qui non riporto): noterete che la tensione sul condensatore è la metà di quella sulla
resistenza. Se poi triplicate la frequenza portandola a 150 Hz troverete che la tensione sul
condensatore è un terzo di quella sulla resistenza.
Siccome la resistenza è sempre la stessa possiamo concludere che la reattanza capacitiva ha
ampiezza inversamente proporzionale alla frequenza (o se preferite alla pulsazione).
Ragionando come con l’induttore si conclude facilmente che
𝑋𝐶 =
1
1
=
𝜔𝜔 2𝜋𝜋𝜋
Ricordando poi che corrente e tensione in un condensatore sono sfasati tra loro di 90°, si può
concludere che questa reattanza deve essere anch’essa una grandezza vettoriale e quindi la
relazione che esprime il legame corrente tensione va scritta in modo più completo nella forma:
𝐼̅ =
���
𝑉
𝐶
�𝑋��𝐶�
Questa relazione esprime la legge di Ohm in un condensatore a regime sinusoidale.
In fig. 14 riporto la rappresentazione vettoriale delle grandezze elettriche del circuito di fig. 12 con
posto sull’asse x la corrente. Come conseguenza di questa scelta risulta VR in fase con la corrente e
VC in ritardo di 90°.
Figura 14 – Rappresentazione vettoriale delle grandezze del circuito RC di fig. 12.
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Notate anche come sommando vettorialmente le due tensioni VR e VC troviamo V . Per la verifica
dei valori numerici basta applicare Pitagora:
V = VR + VC ⇒ V = (VL2 + VR2 ) = 0,707 2 + 0,707 2 = 1 Veff
Riferimenti bibliografici
Molti esempi di lezioni multimediali sono presenti nei miei testi scolastici; in particolare una simile
a questa, ma ottimizzata per i corsi scolastici di riferimento, è presente nei seguenti volumi:
• Ambrosini, Spadaro Elettrotecnica ed Elettronica vol. 1, ed. Tramontana 2012;
• Ambrosini, Spadaro Elettrotecnica ed Elettronica vol. 2 per articolazione Elettrotecnica (in
ExtraKit), ed. Tramontana 2015;
• Ambrosini, Maini, Perlasca Telecomunicazioni vol. 2, ed. Tramontana 2012.
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