Campo di Corrente I

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_4
CAMPO DI CORRENTE
Si definisce campo di corrente la regione dello spazio nella quale
ha sede una distribuzione continua di corrente elettrica.
Esso è stazionario, se le grandezze che caratterizzano la sua
distribuzione sono indipendenti dal tempo.
Al fine di definire le grandezze che caratterizzano un campo di
corrente, si consideri una vaschetta riempita di liquido conduttore
omogeneo e isotropo nella quale vengano immersi due elettrodi
collegati ai terminali di un generatore di tensione costante.
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Mediante un tensiometro elettrico sono individuabili delle
superfici equipotenziali: lungo dei punti di uguale tensione
rispetto ad un punto di riferimento arbitrario (per esempio il
morsetto del generatore). Sono inoltre tracciabili le superfici
ortogonali a quelle equipotenziali dette superfici di forza o di
flusso.
100V
+
V
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Per l’esempio considerato la distribuzione delle superfici
ortogonali a quelle equipotenziali, dette superfici di forza o di
flusso, ha l’andamento riportato in figura .
25
50
75
0
100
B
A
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Considerando due superfici equipotenziali i cui potenziali siano
rispettivamente V e V-dV e un punto generico P sulla superficie a
potenziale V:
n
P
E
dl
V-dV
V
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Si definisce in P il campo elettrico E o vettore forza elettrica
il vettore normale alla superficie equipotenziale in P, con verso
che va dalla superficie a potenziale maggiore a quella a
potenziale minore e modulo pari a:
dV
E =−
dl
Il segno meno è necessario in conformità con la convenzione
che il potenziale aumenta in senso contrario al campo E
In base alla definizione data il campo può essere espresso
come il gradiente di V:
E = - ∇V
Con il voltmetro (tensiometro elettrico ) è possibile verificare
che il vettore di forza elettrica E è ovunque irrotazionale.
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Essendo il campo E irrotazionale, la sua circuitazione lungo
una qualsiasi linea chiusa è nulla:
E ⋅ dl = 0
B
Infatti:
∫
A
∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = U
A
l
AB
+ U BA = U AB − U AB = 0
B
dove A e B sono due punti generici del campo.
l
dl
B
A
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E applicando il teorema di Stokes lungo un percorso l che
delimita una superficie A:
∫ E ⋅ d l = ∫ ∇ × E ⋅ dA = 0
l
∇=i
Con
A
∂
∂
∂
+ j + k operatore vettore nabla e
∂z
∂x
∂y
∇× ≡ operatore rotore
da cui risulta : ∇ × E = 0
ossia il campo elettrico E è irrotazionale, questa è la
legge delle tensioni in forma locale.
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Con l’ amperometro (reometro elettrico ) si può verificare che
la densità di corrente è dappertutto solenoidale ossia:
I = ∫ J ⋅ dA = 0
A
Il flusso di J attraverso una superficie chiusa è uguale a zero.
Si consideri una superficie elementare dA staccata su una
superficie equipotenziale da tante linee di flusso tali da
costituire un tubo di flusso elementare di altezza dl :
P
J
dA
dl
V-dV
V
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Si definisce vettore densità di corrente J il vettore tangente
alle linee di flusso e normale alle superfici equipotenziali in P
(centro della superficie equipotenziale dA);
• con verso uguale a quello positivo per la corrente (verso i
potenziali decrescenti) e;
• modulo pari al rapporto tra la corrente che attraversa la
superficie elementare:
⎛ dI ⎞ dI
J=⎜
n
⎟=
⎝ d A ⎠ dA
• con n versore della normale alla superficie equipotenziale
elementare dA in P:
I = ∫ J ⋅d A
Quindi
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A
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Se J è in ogni punto uniforme indipendente dal punto P, la corrente
è deducibile dalla relazione I = J ⋅ A .
Inoltre poiché per il principio di conservazione dell’energia la
corrente attraverso una superficie chiusa deve essere uguale a zero:
I = ∫ J ⋅d A = 0
A
e applicando il teorema della divergenza :
∫ J ⋅ d A = ∫ ∇ ⋅ J dV = 0
A
V
Dove V è il volume racchiuso dalla superficie A, da cui: ∇ ⋅ J = 0
(con ∇⋅ ≡ operatore di divergenza),
Quindi il vettore densità di corrente è solenoidale.
Questa è la legge delle correnti in forma locale.
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Sono state definite complessivamente
a) Due grandezze scalari o globali
Tensione U associata a una coppia di punti [V]
Corrente I associata a una superficie [A]
b) Due grandezze vettoriali, o locali, o puntuali
V⎤
⎡
Forza elettrica E associata ad un punto
⎣⎢ m ⎥⎦
⎡A⎤
Densità di corrente J associata ad un punto ⎢ 2 ⎥
⎣m ⎦
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Legge di Ohm in forma locale
Si consideri un cilindretto elementare infinitesimo con le basi
su due superfici equipotenziali e superficie cilindrica laterale
formata da linee di flusso:
E
P
J
dA
dl
V-dV
V
Il bipolo infinitesimo associato al cilindretto è caratterizzato
-dV
dalla sua resistenza elementare, definita come: R =
dI
E
poiché è uniforme, la differenza di potenziale tra le due
superfici elementari sarà: -dV=Edl.
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Poiché la densità di corrente uniforme:
dI=J dA e quindi
R=
− dV Edl
dl
=
=ρ
dI
JdA
dA
E
dove: ρ = [Ωm ] è la resistenza del bipolo infinitesimo per unità
J
di lunghezza e di area: essa è una caratteristica del materiale e si
chiama resistività e
l J ⎡S⎤
γ= =
ρ E ⎢⎣ m ⎥⎦
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è la conducibilità.
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Poiché E e J hanno la stessa direzione in ogni punto la
relazione scalare è valida anche vettorialmente:
E = ρ J forma locale diretta della legge di Ohm
J = γE
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forma locale reciproca della legge di Ohm
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Condizioni al contorno del campo di corrente
Consideriamo un percorso l infinitesimo rettangolare ABCD in
corrispondenza della superficie di separazione di due conduttori
con resistività diversa come riportato in figura con
AD=BC>>AB=CD:
E1n
α
E1
ρ1
A
E2
B
1
Et1
n
D
α2
ρ2
C
Applicando la legge delle tensioni in forma locale ∇ × E = 0
La circuitazione di E lungo il percorso ABCD è uguale a zero.
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Trascurando i contributi uguali e opposti sui tratti AB e DC, si ha:
D
B
∫ E ⋅ dl = ∫ E
1
A
2
⋅ dl
C
E1 dl cos(90° + α1 ) = E 2 dl cos(90° + α 2 )
− E1sinα1 = − E 2 sinα 2
E1t = E 2t
Passando da un mezzo a resistività ρ1 a un mezzo a resistività ρ 2 ,
le componenti tangenziali del campo rimangono invariate.
Se ancora, si applica la legge delle correnti in forma locale
risulta che:
∫ J ⋅ d A = 0 per il teorema della divergenza.
A
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Se si considera un cilindretto infinitesimo disposto in
corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi e
avente la superficie laterale trascurabile rispetto alla superficie delle
basi, per la legge delle correnti in forma locale si ha:
J1 dA cos(J1 n ) = J 2 dA cos(J 2 n )
⎧n normale alla superficie in P
⎨
⎩t tangente alla superficie in P
J1 dAcosα1 = J 2 dAcosα 2
J n1 = J n2 oppure; γ1E1n = γ 2 E 2n
Ossia la componente normale della densità di corrente è continua
attraverso la superficie di separazione.
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L’angolo α i che il vettore campo elettrico E i con la normale alla
superficie di separazione nel mezzo i, è definito dalla relazione:
E it
tg α i =
E i αi
E in
Dividendo le relazioni trovate tra di loro:
⎧E1t = E 2t
⎨
⎩γ1E1n = γ 2 E 2n
=>
tgα1 tgα 2
=
γ1
γ2
=>
E ti
E ni
tgα1 γ1
=
tgα 2 γ 2
n
Questa relazione rappresenta la legge della rifrazione delle linee di
forza elettrica e di corrente, secondo la quale αi è maggiore nel
mezzo a conducibilità più elevata, ossia E i devia allontanandosi
dalla normale alla superficie di separazione, passando in mezzo a
conducibilità maggiore.
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Per γ1 >> γ 2 (conduttore-aria) il campo è normale alla superficie
del buon conduttore, infatti:
tgα 2 γ 2
=
≈0
tgα1 γ1
⇒ tgα 2 ≈ 0 per α 2 ≈ 0
+V
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