Fisica Applicata
(FIS/07)
9CFU
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
28-marzo-2012
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
Cambiamento di SR
Cambiamento del Sistema di
Riferimento (SR)
• Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato:
– Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si
muove rispetto al vagone
– Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre
diversi metri al secondo.
– Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il
moto come un moto rettilineo (uniformemente accelerato)
– Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un
osservatore sul marciapiede della stazione.
• Come si fa a trasformare le
grandezze cinematiche, posizione ,
velocità, accelerazione da un
sistema di riferimento ad un altro?
P
z
z'
rr
O
y'
r
r'
O
O'
!!→
r = r'+ OO'
O
x
x'
y
3
Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni della posizione
Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del
sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli
corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del
secondo sistema si muove sull’asse delle x.
y'
y
rr
O
!!→
r = r'+ OO'
r = x i + y j + zk
r' = x ' i '+ y' j'+ z' k' = x ' i + y' j + z' k
→
OO' = xO' i
z
z
r
r'
O'
x≡x'
z'
x = x '+ xo'
⇔
y = y'
z = z'
4
Sistemi di riferimento in moto traslatorio trasformazioni della velocità
d x i + y j + zk
dr
dx dy dz
v=
=
=
i+
j+ k
dt
dt
dt
dt
dt
(
)
d x ' i '+ y' j'+ z' k'
dr'
dx ' dy' dz'
v' =
=
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
dt
→
d OO' d xO' i
dxO'
v O' =
=
=
i
dt
dt
dt
(
y'
y
)
( )
→ %
"
→
d $ r'+ OO''
dr
d
r'
d
OO'
d
r'
#
&
v=
=
=
+
=
+ v O'
dt
dt
dt
dt
dt
v = v'+ v O' ⇔
rr
O
z
z
r
r'
O'
x≡x'
z'
v = v'+ v O '
vx = v' x ' + vxO'
vy = v' y'
vz = v'z'
5
Sistemi di riferimento in moto traslatorio
trasformazioni dell’accelerazione
dv d ( v'+ v O' ) dv' dv O' dv'
a=
=
=
+
=
+ a O'
dt
dt
dt
dt
dt
a = a'+ a O'
y'
y
rr
ax = a' x ' + axO'
O
ay = a' y'
z
z
az = a'z'
r
r'
x≡x'
O'
z'
Solo se ao’=0, l’accelerazione nei due sistemi di riferimento è la stessa!
aO ' = 0 ⇒ a = a'
a x = a' x ' + a xO '
a y = a' y '
az = a' z '
6
Tasformazioni di Galilei
y'
y
Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante
e O’ coincide con O a t=0:
rr
⎧ x = x'+vxO 't
⎪
⎨ y = y'
⎪ z = z '
⎩
!!→
r = r'+ OO'
⎧vx = v' x ' +vxO '
⎪
⎨v y = v' y '
⎪v = v'
z'
⎩ z
v = v'+ v O'
⎧a x = a ' x '
⎪
⎨a y = a' y '
⎪a = a '
z'
⎩ z
a = a'
O
z
z
r
r'
x≡x'
O'
z'
7
La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A
quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve
per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?
• Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al
suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’
fermo rispetto al guidatore.
• il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al
sistema Oxyz
v = v'+ v O'
• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:
y
km
1000 m
50
= 50
= 13,9m / s
h
3600s
• La velocità dei ficchi di neve rispetto alla
macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà:
θ
−v O'
v' = v − v O'
v
v'
v
O
tanθ =
θ = 60°
y’
v O'
O’
x’
x
v a 13.9
=
= 1.737
v
8.0
8
Le Cause del Moto
Le cause del moto: la situazione
prima di Galilei e di Newton
• Ogni elemento ha una sua posizione
naturale: la terra e l’acqua sotto, l’aria e il
fuoco sopra.
• Ogni elemento cerca di raggiungere la
sua posizione naturale dopo di che
rimane in quiete
• Lo stato naturale dei corpi è la quiete
• Per far muovere un corpo o per
mantenerlo in moto occorre esercitare
un’azione su di esso!
• Il moto dei corpi celesti era assicurato da
schiere di angeli (o dei) che spingevano i
pianeti, il sole (Apollo con il carro) e le
stelle nel loro moto attorno alla terra.
10
III legge di Newton
II legge di Newton
• La visione attuale è
condensata nelle tre leggi di
Newton.
• Questi vanno considerati come
dei postulati, dei principi
fondamentali, non dimostrabili,
formulati sulla base delle
intuizioni di grandi fisici, Galilei,
Newton, da cui si possono far
discendere tutte le altre leggi
che descrivono i fenomeni
particolari.
• E’ dunque il confronto delle
previsioni dedotte dai principi
fondamentali con i risultati di
esperimenti che ci permette di
apprezzare la correttezza dei
postulati iniziali.
I legge di Newton
Le cause del moto: la visione attuale
11
DINAMICA
• PRINCIPI : regole di validità generale dedotte (con grande
intuizione!!!) dalla osservazione dei fatti.
• Formulazione dei Teoremi o Leggi, ed enunciazione in termini di
Equazioni.
• PRINCIPI DELLA DINAMICA “Classica”(v<<c=300000km/s):
•
(dinamica del punto materiale e dei sistemi)
• - Principio Zero o di Relatività
• - Primo Principio o Principio di Inerzia
• - Secondo Principio della Dinamica
•
-
(solo nella dinamica dei sistemi)
Terzo Principio della Dinamica
DINAMICA:Descrizione dei Fenomeni.
Sistemi di riferimento diversi, spesso in moto relativo l’uno rispetto all’altro.
Y’
V0
Y
O’
O
X’
X
i e i’,j e j’,k e k’)
Due sistemi si muovono di moto traslatorio se i corrispondenti versori (
degli assi coordinati mantengono inalterate le loro direzioni parallele.
MOTO TRASLATORIO RETTILINEO E UNIFORME se il moto dell’origine O’ è uniforme e rettilineo
rispetto all’origine O.
PRINCIPIO ZERO o DI RELATIVITA’.
•
“Se due laboratori si muovono l’uno rispetto all’altro di moto traslatorio
rettilineo e uniforme, non esiste esperimento che dia risultati diversi nell’uno
e nell’altro laboratorio” (indistinguibilità dei sistemi)
•
Il principio di relatività non implica necessariamente che i due osservatori
misurino lo stesso valore !!!
•
Esempio. Pallina che rimbalza in alto sulla nave.
O’
O
O’
V
O
14
La prima legge di Newton o legge di inerzia
I corpi isolati conservano il loro stato di moto rettilineo
uniforme o di quiete (caso particolare del moto rettilineo uniforme)
•
•
•
•
•
Lo stato naturale dei corpi non è la quiete ma il moto rettilineo uniforme (a
velocità costante): non è necessaria alcuna azione per mantenere in moto
(rettilineo uniforme) un corpo.
Se non ci sono interazioni con altri corpi (oggetto isolato) non c’è alcuna
possibilità di cambiare la sua velocità.
Solo le interazioni con altri corpi possono far cambiare la velocità (il suo
modulo o la sua direzione) di un corpo.
Se un corpo cambia il suo stato di moto (la sua velocità cambia in modulo o in
direzione) allora vuol dire che nell’ambiente circostante esiste almeno un altro
corpo che sta esercitando un’azione sul corpo sotto osservazione.
Le azioni esercitate dagli altri corpi, capaci di far cambiare la velocità di un
corpo, si chiamano forze.
15
Definizione Operativa di FORZA.
• Def. DINAMICA
• Oggetto Fermo, Libero di muoversi + Forza
• Oggetto in Movimento
• Def. STATICA
• Oggetto Vincolato + Forza
• Oggetto che si Deforma
Definizione STATICA di FORZA.
Essa si basa sul cosiddetto : DINAMOMETRO (a deformazione)
È sostanzialmente una molla tarata.
Consideriamo una molla vincolata per un suo
estremo ad un sostegno fisso; dotiamo l’altro estremo
di una freccia di riferimento. Segneremo , su un
regolo solidale al sostegno, lo zero quando la molla
non è sollecitata. Successivamente una certa forza
nota (generata da un oggetto campione – o.c.- di
forza) è applicata al suo estremo. Segneremo l’1 sul
regolo in corrispondenza della freccia.
Per successivi multipli dell’o.c. si segnano 2,3,4, etc.
Abbiamo costruito un DINAMOMETRO, strumento
capace di misurare l’intensità di una FORZA.
La forza è una grandezza Vettoriale.
(Attraverso carrucole è possibile far vedere che le
forze sono grandezze vettoriali poiché seguono la
regola parallelogramma)
0
regolo
1
Campione di
massa unitario
Sistema di Riferimento Inerziale (SRI)
E’ definito dalla condizione che in esso un punto materiale “libero” (non sottoposto ad alcuna forza), se
posto inizialmente in quiete, permane in quiete.
La sua Posizione è detta di equilibrio. è In un SRI tutte le posizioni sono di equilibrio per un punto
materiale libero.
Non esistono punti Liberi sulla Terra.
Equivalenza ad un Punto Libero è Si ottiene equilibrando le forze che agiscono sul punto. (es. ripiano
liscio e disco )
Reazione Vincolare
Forza Peso
La TERRA è un SRI ? NO (Pendolo di Foucault)
Si avvicina ad SRI la scelta del sistema con origine il SOLE ed assi orientati su tre stelle cosiddette fisse.
Dal Principio di Relatività è Se un sistema è un SRI allora ogni altro sistema che si muova rispetto al
primo di moto traslatorio rettilineo ed uniforme è anch’esso un SRI. (altrimenti, punti in quiete inizierebbero
a muoversi per osservatori diversi, da cui la negazione del P. di relatività)
PRIMO PRINCIPIO o PRINCIPIO DI INERZIA
In un SRI un punto materiale libero che abbia ad un certo istante una velocità V, mantiene indefinitamente
(fino a che resta libero) il suo stato di moto rettilineo ed uniforme.
18
Forza ed Accelerazione.
In un SRI :
Punto fermo à resta fermo
oppure
Punto in moto rett. unif. à permane nel suo stato di moto
Non serve una Forza per nessuna delle due situazioni.
Le FORZE in un SRI possono avere a che fare solamente con le VARIAZIONI di Velocità
(àACCELERAZIONE).
Esisterà una relazione tra :
il risultante f delle forze applicate ad un punto materiale e l’accelerazione a che il punto subisce.
La medesima forza f misurata staticamente
quando il punto si trova in una posizione, agisce
anche quando
il punto passa per quella
posizione.
Per α diversi à f diverse à misuriamo le accelerazioni a
Un punto materiale subisce una accelerazione a proporzionale in modulo alla intensità
del risultante f delle forze e diretta come il risultante delle forze applicate :
f ∝ a
f = mi a
19
MASSA INERZIALE
.
Quando un punto materiale è sottoposto a forze misurabili staticamente, si riscontra che:
- Una forza può esser posta in relazione oltre che col punto materiale, con le
caratteristiche e la configurazione dei sistemi fisici presenti nell’ambiente circostante.
(es. Piano inclinato: dipende da m(punto), dalla posizione del punto, dall’angolo alfa,…).
Tali relazioni sono dette: LEGGI DELLE FORZE.
- Se il punto è lasciato libero di muoversi, la sua accelerazione a è legata alla forza f
dalla relazione:
f = mi a
Qualunque sia la natura delle forze e lo stato di moto dell’oggetto, la costante mi è la
stessa. A forze doppie in intensità corrispondono accelerazioni doppie in modulo.
Chiameremo mi MASSA INERZIALE. Essa è una proprietà del punto materiale ( o in
seguito dell’oggetto).
Def.Operativa: la massa inerziale si misura misurando l’accelerazione subita dal corpo
quando ad esso è applicata una forza nota.
20
MASSA GRAVITAZIONALE.
Def.Operativa: La massa gravitazionale è quella grandezza fisica che si misura con la bilancia.
La Bilancia è costituita da una asticella rigida
omogenea, incernierata nel suo punto
centrale ad un asse orizzontale, e dotata agli
estremi di due piatti. In equilibrio l’indice
solidale segna zero.
Convenzionalmente si assegna massa unitaria di 1kilogrammo (1Kg) ad un oggetto
campione arbitrario di Pt-Ir custodito a Parigi.
Si assegna massa unitaria ad un oggetto quando posto su un piatto della bilancia,
essa è in equilibrio se poniamo il campione del kilogrammo massa nell’altro piatto
della bilancia.
Analogamante a come visto per Lunghezza e Tempo, si definiscono multipli e
sottomultipli della massa campione.
Il peso per definizione è proporzionale alla massa gravitazionale.
(da dinamometro e misura statica)
In particolare scriveremo:
p = mg
Nella trattazione che faremo la massa inerziale e la massa gravitazionale
daranno la stessa misura e quindi le considereremo “equivalenti”.
21
La seconda legge di Newton
Il risultante delle forze agenti su un punto materiale è
uguale alla massa del punto per l’accelerazione subita
F
=
m
a
∑
Non è una identità
Ma un’equazione
!F# = [ m ] [ a ]
" $
!F# = !mlt −2 #
$
" $ "
kg m
SI:
=N
2
s
Poiché l’accelerazione è un vettore e la massa è uno scalare à si ha che :
La forza è un vettore.
La seconda legge di Newton è una relazione vettoriale
Equivalente a tre equazioni scalari:
(
(
(
F
∑ x = ∑ Fx
∑ F y = ∑ Fy
F
∑ = ∑ Fz
)
)
)
z
( ma) x = max
( ma) y = may
m
a
( )z = maz
∑ F = ma
∑ F = ma
∑ F = ma
x
x
y
y
z
z
22
Sistemi non Inerziali.
Auto che frenaàSistema di Riferimento non Inerziale SRnI
Forze che non sono esercitate da alcun agente.
(Dette Forze fittizie o apparenti o d’inerzia)
Y’
B
V
FRENATA
BRUSCA
O’
X’
Y
O
Y’
O
B
V
X’
A
X
L’osservatore B, attribuisce ad una forza l’improvvisa accelerazione della biglia.
23
Osservazioni sulla IIa legge di Newton
• Se si conoscono le forze come funzione del
tempo, della posizione , delle proprietà dei corpi
F(t,x,…)
interagenti (massa, carica, etc.), etc., à
• Allora la seconda legge della dinamica ci
a
permette di determinare l’accelerazione
• una volta nota l’accelerazione, con i metodi che
abbiamo discusso in cinematica (risoluzione
X(t)
dell’eq. diff.), è possibile arrivare alla legge oraria
Y(t)
• arrivare a conoscere la posizione del corpo in
funzione del tempo, a descrivere il moto.
Z(t)
• Occorre quindi determinare le espressioni delle forze!
24
Ulteriori osservazioni sulla IIa legge di Newton
• La seconda legge di Newton richiede che tutte le forze
agenti su un corpo siano prese in considerazione.
∑ F = ma
• Come si fa ad includere tutte le forze?
– Nei sistemi di riferimento inerziali le forze sono dovute ad altri corpi presenti
nell’ambiente attorno al corpo di cui si vuol studiare il moto.
– Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la
subisce e qual è il corpo che la genera
•
Questo rende più facile anche l’applicazione della terza legge di Newton
– Per ricercare tutte le forze bisognerà cercare i corpi presenti nell’ambiente
circostante e che possono interagire con il corpo sotto osservazione.
– Alcune forze agiscono a distanza, altre per agire richiedono che ci sia
contatto tra i corpi interagenti.
– Massima attenzione ai corpi che sono a
contatto con quello sotto
osservazione.
La terza legge di Newton
Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria
“Se il corpo C esercita sul
corpo B una forza, FBC , allora
anche il corpo B esercita sul
corpo C una forza, FCB . Le
due forze sono uguali in
modulo e direzione, ma
opposte in verso”.
r
r
FBC = −FCB
• N.B.: L e forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi.
– Forze uguali ed opposte, ma agenti sullo stesso corpo, non possono essere quelle
previste dalla terza legge di Newton.
26
Note sul
Moto in due o tre
dimensioni
27
Moto in (due e) tre dimensioni
Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal
punto materiale
La posizione del punto materiale viene
individuata dal vettore posizione
Il vettore posizione rappresenta lo spostamento
a partire dall’origine per raggiungere la
posizione del punto materiale
Legge oraria: posizione in funzione del tempo.
Le componenti cartesiane del vettore posizione
sono le coordinate del punto materiale
⎧ x = x(t )
⎪
r = r (t ) ⇔ ⎨ y = y (t )
⎪ z = z (t )
⎩
Equaz. parametriche della traiettoria
Il moto nello spazio è la composizione di tre
moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi
coordinati:
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t)28k
La velocità vettoriale media
•
•
Lo spostamento del punto materiale in Δt
Δr = r (t + Δt ) − r (t )
Si definisce velocità vettoriale media
nell’intervallo Δt
Δr r (t + Δt ) − r (t )
vm =
=
Δt
Δt
Se il punto materiale nell’intervallo Δt viene
costretto a muoversi con la velocità media, allora si
muoverà sul segmento che connette il punto P(t) al
punto P(t+ Δt) [SEGMENTI CELESTI]
La descrizione del moto non è accurata
Un miglioramento si ottiene se si scelgono
intervalli più piccoli.
29
La velocità vettoriale istantanea
Si fissa l’istante t
Si fissa un intervallo Δt maggiore di zero
Si calcola la velocità media nell’intervallo Δt
Δr r (t + Δt ) − r (t )
vm =
=
Δt
Δt
Si definisce la velocità istantanea come:
r (t + Δt ) − r (t ) dr
v = lim Δt→0
=
Δt
dt t
Attenzione è la derivata di un vettore
Analogamente a quanto visto nel caso unidimensionale :
• La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P.
• Il verso è quello del moto.
• La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata all’istante t.
30
La velocità riferita alla traiettoria
•
Indichiamo con Δs il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale.
Osserviamo che per
•
Δt → 0 anche Δs → 0
La velocità media può essere scritta:
Δr Δs Δr
vm =
=
Δt Δt Δs
Δs
è la velocità scalare media in Δt
Δt
•
Il limite per Δt che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea.
v = lim Δt→0
•
Δs
è la velocità scalare istantanea
Δt
Supponiamo di poter calcolare il
limite del rapporto incrementale nel
seguente modo:
Δr #
Δs &#
Δr &
v = lim Δt→0
= % lim Δt→0 (% lim Δs→0 (
Δt $
Δt'$
Δs
'
mod ulo
direzione
e verso
31
La velocità riferita alla traiettoria
• Osserviamo che
lim Δs→0
Δr
=1
Δs
• La lunghezza dell’arco, per Δt, o Δs che
tende a zero diventa uguale alla
lunghezza della corda
Δr
è un vettore di modulo
lim Δs→0
unitario (versore)
Δs
• Abbiamo già osservato che lo spostamento, per Δt che tende a
zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria
nel punto considerato nel verso del moto.
Δr
• Quindi possiamo porre
u
è
il
versore
tangente
(
u
lim Δs→0
=u t
t
t)
Δs
• La velocità istantanea può essere scritta:
v = vu t
32
Velocità ed accelerazione
• Abbiamo definito la velocità e analogamente definiamo
l’accelerazione
dr
v(t) =
dt
dv
a=
dt
:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
dx(t)
vx =
dt
dy(t)
vy =
dt
dz(t)
vz =
dt
dv d 2r
a=
= 2
dt dt
v = vu t
⎧
dv x d 2 x
= 2
⎪ a x =
dt
dt
⎪
dv y d 2 y
⎪
= 2
⎨a y =
dt
dt
⎪
2
dv
d
⎪ a = z = z
⎪⎩ z dt
dt 2
33
Moto Parabolico
(Attraverso un esempio)
Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60°
rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,
a) la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile
(gittata). b) la velocità di impatto al suolo
c) la durata del moto
d) l’altezza massima raggiunta dal proiettile. e) il tempo impiegato per raggiungerla.
f) il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. y
g) la gittata quando l’angolo è di 30°.
• Introdurre il sistema di riferimento
–
–
–
–
Asse x orizzontale
Asse y verticale
vo contenuta nel piano xy
Origine nel punto di lancio
• Il corpo sarà soggetto
all’accelerazione di gravità
⎧ a x = 0
⎪
a=g
⎨a y = − g
⎪ a = 0
⎩ z
vo
60°
O
Condizioni iniziali:
x
⎧ xo = 0
⎪
⎨ yo = 0
⎪ z = 0
⎩ o
⎧vxo = vo cosθ
⎪
⎨ v yo = vo senθ
⎪ v = 035
zo
⎩
⎧ xo = 0
⎪
⎨ yo = 0
⎪ z = 0
⎩ o
d2 x
2 = 0
dt
d2y
2 = −g
dt
d 2z
2 =0
dt
⎧v xo = vo cosθ
⎪
⎨ v yo = vo senθ
⎪ v = 0
zo
⎩
ricordiamo
x = xo + vxo t + 12 axo t 2
vx (t ) = vx o + axo t
⎧x(t) = (vo cosθo )t
⎨
⎩vx = v o cosθ o
⎧y(t) = (vo sen θo )t − 12 gt 2
⎨
⎩vy = v osinθo − gt
⎧z(t) = 0
Il moto avviene nel piano xy
⎨
⎩vz = 0
moto uniforme
moto uniformemente accelerato
moto uniforme
Le equazioni parametriche della traiettoria:
x(t) = ( vo cosθ o ) t
y(t) = ( vo senθ o ) t − gt
1
2
Per ottenere l’eq. della traiettoria
y(x) bisogna eliminare il tempo
y
vo
θO=60°
2
x
t=
vo cosθ o
x
2
x
x
y(t) = ( vo sen θ o )
− 12 g 2
36
2
vo cosθ o
v o cos θ o
y(t ) = x tan θ o − x 2
2v
2
o
g
cos 2 θ o
del tipo
y(t ) = ax + bx 2
una parabola passante per l'origine!
37
gittata G = la distanza tra il punto di partenza ed il punto di atterraggio del proiettile.
y (t ) = x tan θ o − x 2
g
2v 2 o cos 2 θ o
⎛
1
x
0 = x⎜ tan θ o − g 2
2
⎜
2
v
cos
θo
o
⎝
2v2o sen θo cosθo
G = x2 − x1 =
g
⎞
⎟
⎟
⎠
x1 = 0
tan θ o 2vo2 cos 2 θ o 2vo2 cos 2 θ o senθ o
x2 =
=
g
g
cos θ o
⇒
2vo2 senθ o cosθ o
=
g
g
y(t) = x tanθ o − x
2
2
2v o cos θo
2
v2o sen 2θ o
G=
= 317.8m
g
Gθ =60°
= 317.8m
o
NOTA: G è massima quando sen2θo
è massimo:2θo=90° θo=45°
y=0
38
Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0
t1 = 0
1
⎛
y = 0 ⇒ 0 = t ⎝ v osinθo − gt ⎞⎠ ⇒ t = 2v osinθo
2
2
g
2vo senθ o
Δt = t2 − t1 =
g
Δt = 10.59s
La velocità all’impatto t=t2
v x = vo cosθo
2v sinθ o
v y = vosinθ o − g o
= −vosinθ o
g
vz = 0
x(t) = v o cosθ ot
y(t) = v osinθ ot −
z(t) = 0
1 2
gt
2
vx = v o cosθ o
vy = v osinθo − gt
vz = 0
La componente y della velocità
ha cambiato di segno ma il
modulo della velocità di
impatto è ancora vo
vx = vo cosθ o
v y = −vo sin θ o → v =
vz = 0
(v
o
cosθ o
y=0
2
2
) + (− v senθ )
o
o
= vo
2
39
l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla. Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0
v y = vosinθ o − gt
vy = 0
x max
y max
⇒
0 = vosinθ o − gt
v2o sen θo cosθo
=
= 158.9 m
g
1 v2o sen2 θo
=
= 137.6 m
2
g
La gittata massima
v2o sen 2θ o
G=
g
v 2o
G max =
= 366.9m
g
⇒ t3 =
potevamo
anche...
x(t) = v o cosθ ot
y(t) = v osinθ ot −
z(t) = 0
v osinθo
g
1 2
gt
2
y (t ) = x tan θ o − x 2
g
2v 2 o cos 2 θ o
vx = v o cosθ o
vy = v osinθo − gt
vz = 0
vy = 0
Gmax = 366.9m
θo=45°
La gittata per θo=30°
vo2 sen2θ o vo2 sen60°
G=
=
= 317.8m
g
θo=30°
g
40
Moto del proiettile θo=30°
θo=45°
41
Per graficare vi consiglio di usare il prog. Free : http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_app.htm
