Geometria 2 (Geometria Euclidea)
Docente: Stefano Montaldo
SSD: MAT/03
Codifica dell’Ateneo:
Tipologia: BA
Integrato: (SI/NO)
Anno di corso: primo
Semestre: secondo
Sede lezioni: Dipartimento di Matematica e Informatica – Palazzo delle Scienze – Via
Ospedale 72 – 09124 - Cagliari
CFU:
8 (64 ore di lezioni frontali + 32 ore di esercizi con il tutor)
Prerequisiti
Avere familiarità con le operazioni aritmetiche elementari tra numeri. Avere
familiarità con la distinzione fra insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali).
Conoscere le proprietà formali delle operazioni (commutativa, associativa,
distributiva). Saper calcolare e manipolare espressioni contenenti potenze.
Riconoscere il grado dei polinomi (anche in più variabili) e saper effettuare le
operazioni algebriche fondamentali sui polinomi.
Conoscere le potenze di un binomio. Saper manipolare e semplificare espressioni
razionali fratte anche in più variabili. Saper risolvere equazioni e disequazioni in
una incognita di 1° e 2° grado. Conoscere le proprietà geometriche elementari
delle principali figure piane. Saper calcolare la lunghezza di una circonferenza,
l'area del cerchio, i volumi di cubo, parallelepipedo, piramide, cilindro, cono e
sfera. Conoscere i teoremi di Talete, di Pitagora e di Euclide e saperli usare per
risolvere problemi di geometria elementare. Conoscere il significato geometrico delle
funzioni seno, coseno e tangente, e le principali formule trigonometriche.
Oltre a queste nozioni di base elementari lo studente dovrà aver acquisito le
conoscenze e competenze degli esami di Algebra 1 e Geometria 1 del primo
semestre dello stesso anno.
Propedeuticità
Geometria 1, Algebra 1
Obiettivi formativi
In primo luogo lo studente dovrà acquisire le capacità per saper affrontare e
risolvere un problema geometrico di geometria del piano e dello spazio
utilizzando gli strumenti forniti dall'algebra lineare. Più in particolare: dovrà
acquisire la capacità di riconoscere e rappresentare le rette (sia nel piano che
nello spazio) e le coniche, dovrà saper risolvere problemi di geometria piana
utilizzando i metodi dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale, dovrà saper
riconoscere e rappresentare i piani e le quadriche dello spazio, dovrà
riconoscere e saper determinare le trasformazioni notevoli del piano e dello
spazio.
Descrittori europei
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE
Capacità di saper affrontare e risolvere un problema geometrico di geometria del
piano e dello spazio utilizzando gli strumenti forniti dall'algebra lineare. Saperi
riconoscere e rappresentare le rette (sia nel piano che nello spazio) e le coniche.
Capacità di saper risolvere problemi di geometria piana utilizzando i metodi
dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale. Saper riconoscere e rappresentare i piani e
le quadriche dello spazio, riconoscere e saper determinare le trasformazioni notevoli
del piano e dello spazio.
CAPACITA’ APPLICATIVE
Molti dei metodi descritti e assimilati dagli studenti durante il corso sono alla base di
tutte le discipline applicative che fanno uso sia del calcolo vettoriale che delle proprietà
geometriche degli enti elementari del piano e dello spazio. In particolare la capacità di
visualizzare e trasformare figure nello spazio trova enormi applicazioni nella computer
graphics.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Valutazione della didattica.
ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE
l corso dovrebbe fornire una base minima del linguaggio geometrico che permetta
allo studente di comunicare in modo corretto le proprietà geometriche di un oggetto
elementare sia nel piano che nello spazio .
CAPACITÀ DI APPRENDERE
Il corso mediante lo svolgimento di un ampio numero di esercizi su tutti gli argomenti
trattati, cerca di insegnare un approccio generale alla risoluzione dei problemi. Inoltre
è strutturato in modo da portare lo studente ad uno studio autonomo delle proprietà
geometriche degli enti trattati. Tale metodo dovrebbe aumentare le capacità degli
studenti ad apprendere modelli geometrici più complessi.
Programma
Geometria analitica del piano
•
Riferimento ortonormale del piano e applicazioni
•
Rappresentazioni della retta
•
Parallelismo. Fasci di rette
•
Angoli tra due rette. Perpendicolarità
•
Distanze. Area di un triangolo
•
Cambiamenti di riferimenti ortonormali
•
Coordinate polari
•
Coniche come luoghi geometrici
•
Coniche come curve algebriche del secondo ordine
Geometria analitica dello spazio
•
Riferimento ortonormale e coordinate cartesiane dello spazio
•
Rappresentazioni del piano
Parallelismo tra piani. Fascio di piani
•
Rappresentazioni della retta
•
Problemi di parallelismo e intersezione
•
Angoli
•
Distanze
•
Cambiamenti di riferimenti ortonormali
•
Coordinate cilindriche e sferiche
•
Generalità sulla rappresentazione di superfici e curve
•
Coni e cilindri. Proiezioni di una curva
Spazi euclidei
•
Prodotto scalare e spazi euclidei
•
Basi ortonormali e proiezioni ortogonali
•
Applicazione aggiunta
•
Endomorfismi simmetrici e antisimmetrici
•
Trasformazioni ortogonali e decomposizione polare
•
Movimenti
•
Matrici ortogonali del secondo ordine e movimenti del piano
•
Matrici ortogonali del terzo ordine e movimenti dello spazio
•
Spazi euclidei complessi
Quadriche
•
Definizione di quadrica
•
Quadriche di rotazione
•
Quadriche in forma canonica e loro classificazione
•
Riduzione di una quadrica in forma canonica
•
Rette e piani tangenti ad una quadriga
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Testi di riferimento
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(testi adottati e testi di consultazione)
A. Sanini, Lezioni di Geometria, Levrotto & Bella (testo adottato)
S. Greco, P. Vallabrega, Lezioni di Geometria, Vol. I e II, Levrotto & Bella
(testo di consultazione)
A. Sanini, Esercizi di Geometria, Levrotto & Bella (testo per gli esercizi)
Strumenti didattici
Lavagna ed eventuali slide durante le lezioni frontali. Per la preparazione dello
studente a casa il docente cura un sito dedicato agli studenti (people.unica.it/
montaldo) dove gli studenti possono reperire le slide del corso, gli eventuali
appunti del docente e gli esercizi settimanali da svolgere a casa e corretti in
classe dai tutor.
Metodi didattici
Mediante lo svolgimento di un ampio numero di esercizi su tutti gli argomenti
trattati, cerca di insegnare un approccio generale alla risoluzione dei problemi.
Inoltre è strutturato in modo da portare lo studente ad uno studio autonomo
della disciplina.
Lingua di insegnamento: Italiano
Materiale didattico a disposizione degli studenti
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Slide ed eventuali appunti del docente reperibili nel sito: people.unica.it/
montaldo
Esercizi settimanali reperibili nel sito: people.unica.it/montaldo
Testi dei compiti passati reperibili nel sito: people.unica.it/montaldo
Modalità di iscrizione all’esame
Iscrizione ondine nel sito del Corso di Studi in Matematica (se per l’A.A. 2008-2009
l’iscrizione ondine non fosse attivata, gli studenti si dovranno iscrivere presso la biblioteca di
Matematica)
Modalità d’esame
Una prova scritta. Gli studenti che avranno superato la prova iscritta sono
ammessi alla prova orale. La prova orale si considera superata se lo studente
risponde correttamente ad almeno tre domande su argomenti diversi del
programma svolto. In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente può
compromettere l’intera prova orale. Il voto finale è determinato dal voto riportato
nelle prove scritte e dalla valutazione della prova orale.
Commissione d’esame: Stefano Montaldo, Gianluca Bande (supplenti: Renzo
Caddeo, Andrea Loi e Paola Piu)
