Statistica

Corso di Laurea: Diritto per le Imprese e le istituzioni
a.a. 2016-17
Statistica
Statistica Descrittiva 2
Lezioni: 3, 4
Docente: Alessandra Durio
Contenuti
•  La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche
•  Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze
•  Rappresentazioni Grafiche
•  Misure di posizione: quantili e mediana
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2
Sintetizziamo le prime fasi di un’indagine di
statistica descrittiva:
•  Vogliamo studiare un FENOMENO di MASSA
•  Dobbiamo individuare la POPOLAZIONE di riferimento
•  Determinare i CARATTERI che forniscono le informazioni
circa il fenomeno
•  Scegliere la scala di misura e individuare l’INSIEME DELLE
MODALITA’ di ciascun carattere
SOLO ORA SI PUO’
RILEVARE I CARATTERI
su ciascuna unità statistica
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3
La rilevazione di un carattere sugli elementi
della popolazione
Rilevare un carattere sulla popolazione (cioè misurare come
questo si esprime su ogni unità statistica) induce una
corrispondenza tra gli elementi dell’insieme Ω e quelli
dell’insieme M delle modalità del carattere
Ω
M
ω1
ω2
ωN
€
ωα
€
€
€
Docente: Alessandra Durio
ω3
•  m4
•  m3
•  m2
•  m1
4
La Variabile e la Mutabile Statistica
DEFINIZIONE:
L’applicazione che associa a ciascuna unità ωα del collettivo
Ω uno ed un solo elemento dell’insieme M delle modalità del
carattere viene detta:
•  VARIABILE Statistica se gli elementi di M sono numeri
(cioè se il carattere e quantitativo)
•  MUTABILE Statistica: se gli elementi di M sono
(cioè se il carattere e qualitativo)
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5
Insieme dei dati individuali
L’applicazione generata dalla rilevazione del carattere sulla
popolazione dà luogo a una VARIABILE Statistica se il carattere
è QUANTITATIVO e a una MUTABILE Statistica se il carattere è
QUALITATIVO.
Disporre di una Variabile (o di una Mutabile) statistica significa
possedere l’insieme dei valori che questa assume su ciascuna
unità statistica,cioè dell’ insieme dei dati individuali che è
composto da N elementi che saranno numeri nel caso di Variabile
Statistica o attributi nel caso di Mutabile.
•  Data la V.S. X indichiamo il suo insieme di dati individuali con:
{ x˜α }α =1,...,N = { x˜1, x˜ 2,..., x˜ N }
Insieme formato da numeri
appartenenti all’insieme delle
modalità del carattere non
necessariamente tutti diversi
•  Data la M.S. A indichiamo il suo insieme di dati individuali con:
€
{a˜α }α =1,...,N = {a˜1, a˜ 2,..., a˜ N }
Docente: Alessandra Durio
Insieme formato da attributi
appartenenti all’insieme delle
modalità del carattere non
necessariamente tutti diversi
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ESEMPIO: MUTABILE STATISTICA
Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo ωα =
Carattere: Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura
Insieme modalità del carattere M = {Nulla, Lieve, Grave, GraviSsima}
Ω ω 6ω• •
10
ω 4•
ω 9•
ω1•
ω 2•
€
ω 7•
€
€ ω 8•
ω 5•
ω
•
€
3
€
€
€
A
•  GS
M€
•  G
INSIEME DEI DATI
INDIVIDUALI DELLA
MUTABILE STATISTICA
•  L
•  N
{a˜α }α =1,...,N = {a˜1, a˜ 2,..., a˜10} = {L,N,N,L,N,GS,N,N,L,GS}
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7
ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA discreta
Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo
Carattere: Numero di irregolarità della fattura
Insieme modalità del carattere M = {0, 1, 2,…,10}
X
Ω ω 6ω• •
10
ω 4•
ω 9•
ω1•
ω 2•
€
ω 7•
€
€ ω 8•
ω 5•
ω
•
€
3
€
IR
10
8
9
7
6
4
3
1
5
€
INSIEME DEI DATI
INDIVIDUALI DELLA
VARIABILE STATISTICA
2
0
€
€
{ x˜α }α =1,...,N = { x˜1, x˜ 2,..., x˜10} = {2,0,0,1,0,7,0,0,1,6}
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8
ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA continua
Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo
Carattere: Importo della fattura
Insieme modalità del carattere M = [0; 50] mila euro
Ω ω 6ω• •
10
ω 4•
ω 9•
ω1•
ω 2•
€
ω 7•
€
€ ω 8•
ω 5•
ω
•
€
3
€
€
{ y˜α }α =1,...,N
€
Y
500
INSIEME DEI DATI
INDIVIDUALI DELLA
VARIABILE STATISTICA
0
= { y˜1, y˜ 2 ,..., y˜10} = {250,120,100,150,180,450,110,85,270,350}
Esercizio: ricavare dall’insieme dei dati individuali le frecce delle
corrispondenze tra unità stastitiche e modalità del carattere
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TUTTA L’INFORMAZIONE RILEVATA SUL
COLLETTIVO E’ CONTENUTA IN QUESTA
MATRICE
Gli insiemi dei dati individuali di più variabili e mutabili
statistiche rilevate sullo stesso collettivo possono essere
organizzati nella MATRICE DEI DATI INDIVIDUALI.
OGNI RIGA contiene tutta l’informazione rilevata su una unità statistica
OGNI COLONNA contiene tutta l’informazione rilevata della variabile (o
della mutabile) statistica
GLI STRUMENTI DELLA STATISTICA DESCRITTIVA
CONSENTONO DI SINTETIZZARE TALE
10
INFORMAZIONE
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La matrice dei dati individuali in excel
Gli insiemi dei dati individuali della mutabile e delle
variabili dei tre esempi precedenti in forma matriciale:
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Contenuti
•  La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche
•  Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze
•  Rappresentazioni Grafiche
•  Misure di posizione: quantili e mediana
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DISTRUBUZIONE DI FREQUENZE
Come si e`detto, gli insiemi dei dati individuali di una v.s. (o di
una m.s.) contengono tutte le informazioni circa i caratteri rilevati
sulla popolazione. Un primo modo per visualizzare sinteticamente
l’insieme dei dati individuali e` ricorrere alla distribuzione di
frequenze assolute (o relative o cumulate).
• Individuare tra i dati
individuali quelli distinti
Saranno tutti i k valori diversi che la
v.s. (o la m.s.) ha assunto: MODALITA’
DISTINTE
• Se possibile metterli in
ordine crescente
Indicando, per una v.s., la generica
modalità distinta con
si avrà:
• Contare quante unità
statistiche posseggono la
stessa modalità
Il numero di unità statistiche per cui la
v.s. assume la stessa modalità distinta
è detto frequenza assoluta
• Formare le coppie
modalità distinta
frequenza assoluta
Docente:
Alessandra Durio
associata
x1 < x 2 < ... < x i < ... < x k
€
Distribuzione di frequenze assolute:
un insieme di coppie che contiene
sinteticamente tutta l’informazione
{( x ,n )}
i
i
i=1,...,k
= {(x1,n1 ),(x 2 ,n 2 ),...,(x k ,n k )}
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Esempio: DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE
v.s. numero di irregolarità fatture
n4 = 1
Ω
X
ω 6•
n2 = 2 € ω 4 •
ω 9•
10
ω10• n 5 = 1
8
7=
ω1•
n
=
1
3
€
€
€ω 2•
ω 7•
€ n = 5 ω 8•
€ 1
ω 5•
ω
•
€
3
€
IR
4
5
6 =€
x4
9
x5
3
=€x 3
1 =€x 2
0 = x1
2
x˜1, x˜ 2,..., x˜10 } = {2,0,0,1,0,7,0,0,1,6}
{€
I dati
€ diversi sono: 2,0,1,7,6 €Modalità distinte sono k=5: {0,1,2,6,7}
Frequenze assolute
€ associate a ciascuna modalità {5,2,1,1,1}
DISTRIBUZIONE
DI FREQUENZE
ASSOLUTE
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€
{(x i,ni}i=1,...,k = {(0;5),(1;2),(2;1),(6;1),(7;1)}
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Frequenze Relative e Cumulate
DALLE FREQUENZE ASSOLUTE SI RICAVANO:
FREQUENZE RELATIVE
La proporzione di unità
statistiche per cui la v.s.
assume la stessa modalità
ni
fi =
N
x
- Sono numeri compresi tra 0 e 1 e se moltiplicate per 100 forniscono la i
percentuale di unità statistiche per cui la v.s. assume la stessa modalità.
- La distribuzione€di frequenze relative è utile per confrontare v.s. (o
m.s.) rilevate su collettivi diversi.
La proporzione di unità
statistiche per €
cui la v.s.
assume modalità minori o
uguali a x
j
FREQUENZE CUMULATE
∑n
Fj =
i
i=1
N
j
- Se moltiplicate per 100 forniscono la percentuale di unità statistiche
per cui la v.s. assume modalità minori o uguali a
.
- Come vedremo in€seguito, la distribuzione di frequenze cumulate è
utile per individuare i quantili.
€
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Esempio:
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE RELATIVE E CUMULATE
della v.s. numero di irregolarità fatture
DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZE ASSOLUTE
f1 =
{(x i,ni )}i=1,...,k = {(0;5),(1;2),(2;1),(6;1),(7;1)}
n1 5
n
2
n
1
n
1
=
= 0.5 , f 2 = 2 =
= 0.2 , f 3 = 3 =
= 0.1, f 4 = 4 =
= 0.1,
N 10
N 10
N 10
N 10
DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZE
RELATIVE€
€
€
f5 =
n5 1
=
= 0.1
N 10
{(x i, f i )}i=1,...,k = {(0;0.5),(1;0.2),(2;0.1),(6;0.1),(7;0.1)}
€
€
Leggiamo ad esempio: il 20% delle fatture ha 1 irregolarità e il 10% ne ha 2.
n1 5
n€ + n
7
n + n + n3 8
=
= 0.5 ,
F2 = 1 2 =
= 0.7 ,
F3 = 1 2
=
= 0.8 ,
N 10
N
10
N
10
€
n1 + n 2 + n 3 + n 4 9
n + n + n 3 + n 4 + n 5 10
F4 =
=
= 0.9 , F5 = 1 2
=
= 1,
N
10
N
10
€
€
F1 =
€
€
DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZECUMULATE
{(x i,Fi )}i=1,...,k = {(0;0.5),(1;0.7),(2;0.8),(6;0.9),(7;1)}
€
Leggiamo ad es.: il 70% delle fatture ha al più 1 irregolarità e l’ 80% ne ha al
più 2. Ma anche che il 30% ha più di una irregolarità!
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€
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La Tabella delle distribuzioni di frequenze
Comunemente si utilizza una tabella per rappresentare in poco spazio e
in modo facilmente leggibile tutte le distribuzioni di frequenze di una v.s.
Leggendo congiuntamente la prima e la seconda colonna si ha
la distribuzione di frequenze assolute, la prima e la terza
colonna quella di frequenze relative ecc..
Tra i primi risultati delle indagini statistiche rese pubbliche compaiono le tabelle
delle frequenze delle v.s. o delle m.s. analizzate. Un errore comune e` quello di
considerare tale tabelle come punto iniziale dell’indagine eseguita piuttosto che
come primo importante risultato di sintesi dei dati.
Si tende a dimenticare che le tabelle di frequenze sono un modo di rappresentare
la distribuzione di frequenze mentre va ricordato il significato degli elementi che le
compongono.
Docente: Alessandra Durio
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Esempio: La Tabella delle distribuzioni di
frequenze della v.s. numero di irregolarità
Docente: Alessandra Durio
18
NON TUTTE LE TABELLE SONO DISTRIBUZIONI
DI FREQUENZE
Mentre una distribuzione di frequenze puo` sempre essere
posta in forma tabellare, non tutte le tabelle pubblicate
riflettono in effetti distribuzioni di frequenze.
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RACCOGLIMENTO IN CLASSI (i)
Trattando con v.s. continue spesso accade che l’insieme dei dati
individuali sia costituito da elementi tutti diversi tra loro; di
conseguenza le distribuzioni di frequenza non fornirebbero alcuna
sintesi. In tali situazioni abitualmente si ricorre a raccogliere i dati
individuali in classi di misure e si presenta la distribuzione di
frequenze dei dati raccolti in classi.
Vediamo con l’esempio della v.s. importo della fattura con insieme
di dati individuali
{ x˜α }α =1,...,N = { x˜1, x˜ 2,..., x˜10} = {250,120,100,150,180,450,110,85,270,350}
Le modalità distinte:
{ x , x ,..., x } = {85,100,110,120,150,180,250,270,350,450}
Le frequenze assolute: {n ,n ,...,n } = {1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}
1
2
10
1
2
10
€
€
LA DISTRIBUZIONE
DI FREQUENZE NON SINTETIZZA
Docente: Alessandra Durio
20
RACCOGLIMENTO IN CLASSI (ii)
Raccogliere i dati individuali nelle tre classi:
0 −−| 100
€
€
300 −−| 500
100 −−| 300
€
LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE CON DATI RACCOLTI IN CLASSI
SINTETIZZA
Si guadagna in sintesi ma si perde informazione!!
Ad esempio, delle due fatture attribuite alla prima classe abbiamo perso
l’importo esatto siamo certi che è compreso tra zero (escluso) e 100
compreso. Per entrambi gli importi sceglieremo il valore centrale di classe (50)
per calcolare eventuali parametri di interesse.
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Docente: Alessandra Durio
Contenuti
•  La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche
•  Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze
•  Rappresentazioni Grafiche
•  Misure di posizione: quantili e mediana
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Quale grafico per quale tipo di distribuzione?
Visualizzare la distribuzione di frequenza attraverso un grafico consente di
coglierne alcuni aspetti caratteristici in modo immediato, ad esempio
individuare la modalità che viene assunta meno frequentemente e quella che si
presenta più frequentemente o più in generale la FORMA della distribuzione.
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Docente: Alessandra Durio
DIAGRAMMA A TORTA
E’ un grafico formato da un cerchio suddiviso in k spicchi le
cui aree sono proporzionali alle frequenze associate a
ciascuna modalità della mutabile statistica.
Per disegnare il diagramma a torta della distribuzione di frequenze di una
m.s., occorre stabilire l’angolo βi di ogni “spicchio”:
dalla proporzione
si ha
βi : 360 = n i : N
€
ni
βi = 360 = f i ⋅ 360
N
ai
€
βi
€
€
€
Docente: Alessandra Durio
24
DIAGRAMMA A BARRE
E` un grafico formato da k rettangoli non contigui posti
sull’asse orizzontale con basi uguali e altezze proporzionali
alle frequenze assolute (o relative) associate a ciascuna
modalità distinta della mutabile statistica.
ni
n1
n2
USARE LE FREQUENZE
RELATIVE PER IL
CONFRONTO DI DUE
DISTRIBUZIONI
nk
a1
a2
...
ai
...
ak
Il diagramma a barre può essere usato anche se il carattere è
Docente:
Alessandrain
Durio
sconnesso
luogo della torta e viceversa.
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GRAFICO A BASTONCINI
E’ un grafico formato da k segmenti, paralleli all’asse delle
ordinate, posizionati in ascissa in corrispondenza delle
modalità xi e di altezza pari alle frequenze assolute (o relative)
f2
fi
f1
fk
x1
Docente: Alessandra Durio
x 2 ... x i ... x k
Sfortunatamente i fogli
elettronici non contemplano tra i
grafici disponibili quello adatto
per una v.s. di tipo discreto. Si
può sopperire a tale mancanza
usando, un diagramma a barre
avendo l’accortezza di
distanziare le barre e renderle il
più piccolo possibile.
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ISTOGRAMMA
E’ un grafico formato da k rettangoli contigui ciascuno con
base coincidente con una classe,e con area proporzionale alla
frequenza assoluta della classe medesima.
hi
Areai = c⋅ n i
€
Ampiezza di classe
wi
Per disegnare un rettangolo si
deve conoscere la base (è
l’ampiezza di classe) e l’altezza
(che si determina a partire dalla
definizione di instogramma).
Area = base ⋅ altezza = w i ⋅ hi
n
c ⋅ n i = w i ⋅ hi
hi = i ⋅ c
wi
€ che si sceglie a piacere.
c è una costante di proporzionalità
Docente: Alessandra Durio
27
Esempio: questo NON è un istogramma
w1 = 100, h1 = 2 ⇒ A1 = 200
w 2 = 200, h2 = 6 ⇒ A2 = 1200
€
€
€
Docente: Alessandra Durio
w 3 = 200, h3 = 2 ⇒ A3 = 400
Le aree non sono proporzionali
alle frequenze assolute con la
stessa costante c di proporzionalità
IL GRAFICO DA’ UNA
RAPPRESENTAZIONE
DISTORTA DELLA
DISTRUBUZIONE DI
FREQUENZE non tiene
conto della diversa
ampiezza di classe!!
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Esempio: questo E’ un ISTOGRAMMA
L’Area totale è pari a
N=10
w1 = 100, h1 = 0.02 ⇒ A1 = 2
w 2 = 200, h2 = 0.03 ⇒ A2 = 6
€
€
€
Docente: Alessandra Durio
w 3 = 200, h3 = 0.01 ⇒ A3 = 2
Le aree sono proporzionali alle
frequenze assolute costante di
proporzionalità c=1
IL GRAFICO DA’ UNA
RAPPRESENTAZIONE
CORRETTA DELLA
DISTRUBUZIONE DI
FREQUENZE evidenzia
la densitià di frequenza
in ogni classe!!
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Osservazioni sulla scelta della costante c
Per disegnare un istogramma bisognerà determinare per ogni
classe l’altezza del rettangolo secondo la formula:
ni
hi = ⋅ c
wi
La scelta del valore per c induce a istogrammi differenti caratterizzati
da una diversa area totale.
ni
•  se c=1
è Area totale=N è hi€
=
wi
•  se c=1/N è
Area totale=1
è
hi =
fi
wi
Osserviamo che alcune analisi statistiche
€ pubblicate riportano tra i risultati
istogrammi con rettangoli di altezza pari alle frequenze assolute o relative.
Tali grafici possono essere denominati istogrammi se e solo se le classi
presentano ampiezza costante.
€
Quando l’ampiezza di classe è costante, cioè si ha
imponendo c = w
otteniamo
imponendo c = w/N otteniamo
Docente: Alessandra Durio
hi = n i
hi = f i
wi = w
per ogni i
30
Usare software dedicati può essere utile!
Costruire un istogramma con Excel può non essere semplice e veloce
(soprattutto se si vogliono classi di ampiezza differente). Con software statistici è
possibile con pochi comandi ottenere istogrammi di una v.s. con dati raccolti in
diversi numeri di classi così da valutare come sintetizzare i dati perdendo minor
informazione possibile.
Docente: Alessandra Durio
31
La funzione cumulativa delle frequenze
relative di una v.s. discreta
Se la v.s. è di tipo discreto possiamo rappresentare la distribuzione delle
frequenze cumulate con un grafico di una funzione continua a tratti che
possiede k punti di discontinuità (in corrispondenza delle modalità
distinte della v.s.) nei quali compie un salto di ampiezza pari alla
frequenza relativa.
F(x)
€
Questa funzione può essere
utile per il calcolo dei
quantili!!
Leggo dal grafico F(6)=0.9
come lo interpreto?
Docente: Alessandra Durio
32
La funzione cumulativa delle frequenze
relative di una v.s. con dati raccolti in classe
Se la v.s. è di tipo continuo con dati raccolti in classi possiamo
rappresentare la distribuzione delle frequenze cumulate con un grafico
di una funzione spezzata continua crescente. Al limite superiore di ogni
classe la funzione assume valore uguale alla frequenza cumulata della
classe.
F(x)
€
Questa funzione è una
approssimazione della
funzione di ripartizione
reale!!
Leggo dal grafico
F(300)=0.8
come lo interpreto?
Docente: Alessandra Durio
33
Contenuti
•  La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche
•  Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze
•  Rappresentazioni Grafiche
•  Misure di posizione: quantili e mediana
Docente: Alessandra Durio
34
Sintesi mediante parametri:
misure di posizione e tendenza centrale
Per le variabili statistiche è possibile (nonché utile) sintetizzare
l’informazione rilevata sulla popolazione valutando alcuni
PARAMETRI che (se ben interpretati) contribuiscono alla
descrizione dei dati.
Le misure di posizione e di tendenza centrale sono Parametri che
ci danno informazione di dove e come la distribuzione di
frequenze di una variabile sia posizionata sull’asse delle ascisse.
La media
aritmetica
discrimina queste
due situazioni !
Docente: Alessandra Durio
35
In queste situazioni sono Mediana e Quantili
I parametri che descrivono le loro differenze
Docente: Alessandra Durio
36
I quantili
Nel corso della vita di tutti i giorni probabilmente ci si è imbattuti nell’impiego
dei quantili. In occasione ad esempio di un’analisi del sangue il referto
ospedaliero comunemente mostra, congiuntamente ai parametri riscontrati
per il paziente in osservazione, dei valori “soglia” che sono appunto ciò che in
statistica viene definito quantile. Se nel referto osserviamo, ad esempio, in
corrispondenza al contenuto di glucosio la dicitura “valore di riferimento <
110 mg/dl” sappiamo che i medici, osservando numerosi pazienti sani, hanno
stabilito il valore soglia (110 mg/dl) individuando il limite al di sotto del quale
si colloca il contenuto di glucosio nel sangue di una “alta percentuale” dei
soggetti osservati. Tale limite dipende ovviamente dalla scelta fatta circa la
percentuale di soggetti da considerarsi a “norma”, se ad esempio essa e` pari
a 95% diremo che 110 e` il quantile di ordine 0.95 della v.s. contenuto di
glucosio e potremmo affermare che il 95% dei soggetti sani ha nel sangue
non più di 110 mg/dl di glucosio.
Definizione: data una v.s. X il quantile di ordine alfa corrisponde al
valore non superato dal alfa% delle unità statistiche. (alfa è un
numero che scegliamo tra zero e un)
Ricordando che la funzione di ripartizione mette in relazione
i valori assunti da una v.s. con le frequenze cumulate è
ovvio che per definire ed individuare i quantili sarà possibile
fare ricorso ad essa.
Docente: Alessandra Durio
37
I quantili: come si calcolano
Scelto α
∈ ] 0;1 ]
può accadere che:
1. La parallela all’asse delle ascisse incontra la F(x) lungo una “pedata” il
quantile xα è la semisomma delle due modalità che formano il “gradino”,
€
2. La parallela all’asse delle ascisse incontra la F(x) lungo un’ “alzata” il
quantile x è la modalità che induce il “salto”
α
€
€
Docente: Alessandra Durio
38
Alcuni quantili particolari
Per particolari valori dell’ordine alfa il quantile corrispondente viene
citato con un proprio nome.
•  i quantili di ordine 0.25, 0.5 e 0.75 vengono detti rispettivamente
Primo, Secondo e Terzo Quartile. Nome dovuto alla caratteristica
di essere quei valori che dividono in quattro parti la distribuzione
della v.s.
•  Si dicono Decili i quantili di ordine multiplo di 0.10
•  Si dicono Percentili i quantili di ordine α multiplo di 0.01.
Una misura di posizione a cui sovente si farà ricorso è la MEDIANA
questa corrisponde al secondo quartile cioè a quel valore che divide in
due parti uguali la distribuzione di frequenze
MEDIANA = secondo quartile =
Docente: Alessandra Durio
x 0.5
39
Esempio: calcolo la MEDIANA
α = 0.5
α
La retta incontra la F(x)
lungo la pedata formata
dalle modalità 0 e 1
LA MEDIANA è 0.5
€
x 0.5 =
0 +1
= 0.5
2
Il 50% delle fatture ha al
massimo
mezza irregolarità… e
€
l’altro 50% ne ha più di mezza!!!
Docente: Alessandra Durio
40
Esempio: calcolo dei quantili
α
α = 0.85
€
La retta incontra la F(x)
lungo nella alzata di 6
Il Quantile di ordine 0.85
è6
x 0.85 = 6
Il 85% delle fatture€ha al più 6
irregolarità… e il 25% ne ha più di 6!!!
Docente: Alessandra Durio
41
Esempio: individuare I quantili su un
istorgramma !!
Docente: Alessandra Durio
42
Concetti Introdotti
• Variabili e Mutabili Statistiche e insieme dei dati individuali
• Distribuzioni di frequenze (assolute, relative e cumulate) come
primo strumento di sintesi dell’informazione rilevata.
• La distribuzione di frequenze con dati raccolti in classi
• Diagramma a torta e a barre
• Grafico a bastoncini
• Istogramma
• Funzione di ripartizione
• I quantili e la mediana
Docente: Alessandra Durio
43