Lezione 13

Affidabilità
Metodi di analisi affidabilistica
Introduzione
•  Nella lezione precedente abbiamo introdotto il metodo
RBD (reliability block diagram) per la stima
dell’affidabilità di un sistema
•  Altri metodi di analisi sono disponibili
•  Fault Tree Analysis: conveniente per la modellazione
gerarchica della concatenazione dei guasti che causano
un malfunzionamento
•  Markov Chains: conveniente per la modellazione della
evoluzione temporale di sistemi complessi
Fault Tree Analysis
•  Si basa su una modellazione degli eventi che
portano all’evento catastrofico tramite simboli
logici (come porte logiche)
•  Si concatenano eventi intermedi per portare
all’evento catastrofico.
•  Obiettivo è la correlazione delle varie cause
che portano a uno specifico evento non voluto
•  È possibile associare probabilità numeriche
agli eventi per calcolare la probabilità
dell’evento non voluto
Fault Tree Analysis
Assunzioni: •  Sistemi non riparabili •  Processo Markoviano ovvero la probabilità dello stato successivo dipende solo dallo stato a:uale e non da quelli preceden< •  Bernoulli ovvero gli sta< analizza< di ogni parte del sistema sono due e tra loro indipenden< (acceso/spento; ro:o funzionante; etc.) Simboli
•  Simboli logici: –  Evento causato: •  Finale indesiderato in cima all’albero •  Intermedio causato da even< preceden< –  Porta OR •  Ciascun evento in input deve essere necessario e sufficiente a causare l’evento in uscita Simboli
•  Simboli logici: –  Porta AND •  TuN gli even< in input devono essere necessari e sufficien< a causare l’evento in uscita –  Evento basilare: •  Evento non sviluppato oltre nell’albero •  Anche de:o “foglia” “iniziatore” •  Definisce la risoluzione dell’albero Passi per la costruzione di un albero Evento indesiderato
connessione contributi (AND)
Evento intermedio
Evento intermedio
connessione
contributi (OR)
Eventi basilari
Prosegue fino a
eventi basilari
•  Si comincia iden<ficando l’evento indesiderato •  Connessioni logiche solo tra even0 •  Si prosegue fino agli even< basilari e/o di cui non si vuole analizzare ulteriormente Calcolo R e PF
•  Si può associare una probabilità di fail PF all’evento indesiderato. •  Relazione tra reliability R e PF –  R + PF = 1 •  Caso di failure rate λ costante –  Parte centrale della curva bathtub –  R= e-­‐λ*T •  Si può assumere λ*T <<1 (T<0.2 MTTF) –  T: tempo di esposizione –  Si può assumere che PF=λ*T –  Con un errore di meno del 2% Calcolo R e PF
•  Porta OR –  Il guasto di almeno uno dei due (o più) componen< che afferiscono alla porta causa un guasto in uscita –  RT=RARB •  PF = 1 -­‐ RT •  PF = 1 -­‐ (RARB) •  PF = 1-­‐ [(1-­‐PA)(1-­‐PB)] –  PF = PA+PB – PAPB •  Con approssimazione che la probabilità dell’intersezione sia bassa (PA,B ≤ 0,2) ovvero che gli even< siano rari si può approssimare –  PF ≅ PA+PB •  Con errore ≤ 11% Calcolo R e PF
•  Porta AND –  Il guasto di tuN e due (o più) componen< che afferiscono alla porta causa un guasto in uscita –  RT=RA + RB – RARB (da 1-­‐ [(1-­‐RA)(1-­‐RB)] ) •  PF = 1 -­‐ RT •  PF = 1 -­‐ (RA + RB – RARB) •  PF = 1-­‐ [(1-­‐PA)+(1-­‐PB)-­‐(1-­‐PA)(1-­‐PB)] –  PF = PAPB Sistema Serie
A
B
C
Rappresentazione con Reliability Block Diagram
•  Sistema Serie: il guasto di un modulo causa la ro:ura del sistema •  PF = PA+ PB + PC – PAPB – PAPC – PcPB -­‐ PAPBPC FAIL •  Approssimazione even< rari: A B C Rappresentazione con Fault Tree Analysis
•  PF ≅ PA+ PB + PC •  R = 1-­‐ PF Sistema Parallelo
A B C Rappresentazione con Reliability Block Diagram
•  Sistema Parallelo: il guasto di tuN moduli causa la ro:ura del sistema FAIL •  PF = PAPBPC A B C Rappresentazione con Fault Tree Analysis
•  R = 1-­‐ PF Esempio
FAIL B
A
C
B
Rappresentazione con Reliability Block Diagram
•  Concatenazione di porta AND e porta OR tramite l’evento intermedio FAIL B A B FAIL B C B Rappresentazione con Fault Tree Analysis
Esempio cont.
Soluzione con RBD
Rsys = RA "#1− (1− RB )2 $% RC = RA (2RB − RB2 )RC
Soluzione con FTA
Rsys= 1- PF = 1- ( PA+Pc + PBPB)
= 1- [(1-RA) + (1-RC) + (1-RB)2]
= RA + RC + 2(RB-1) -RB2
Esempio cont.
•  La approssimazione vale per evento raro,
le singole PF sono <<1
•  L’effetto dell’approssimazione è di fare una
reliability peggiore di quella effettiva (non
considero termini che si sottraggono a PF)
•  Si può anche usare la approssimazione di
–  PF= 1- e-λ*T
–  Con λ*T <<1 (T<0.2 MTTF)
–  PF=λ*T
Esempio cont.
•  Calcolo dell’en<tà dell’approssimazione con •  PFA=λa*T= 0,1 •  PFB=λb*T=0,15 •  PFC=λc*T=0,12 •  Valore esa:o –  Rsys= RA*(2RB-­‐RB2)*RC= e-­‐λa*T(2e-­‐λb*T-­‐e-­‐2λb*T)e-­‐λc*T=0.7869 •  Valore approssimato –  Rsys=1-­‐( PA+Pc+PBPB)=1-­‐(λa*T+λb*T+λaλb*T2)=0,7575 •  Errore di approssimazione ~-­‐3,74% Processo di Markov
•  Le catene di Markov o Markov Chains sono un
modo di rappresentare l’evoluzione probabilistica
di un sistema attraverso vari stati nel tempo.
•  Rappresentazione di un processo stocastico
detto Processo di Markov
•  Un processo stocastico è una funzione i cui
valori sono variabili aleatorie
•  Un processo di Markov è un processo stocastico
detto “senza memoria” ovvero in cui il futuro ed il
processo è definito solo dal presente e non dal
passato
Markov Chain
•  Se gli stati in cui il processo di Markov può trovarsi è
un numero finito si ha una Markov Chain
•  Dati n stati ad un tempo t si hanno n variabili aleatorie
a cui si associa un vettore probabilità P(t) ad n
elementi tale che
–  Σi pi(t)=1
•  Il sistema è sempre in uno sola degli n stati
•  La somma delle probabilità di essere nello stato i e di
lasciare lo stato i è sempre = 1
•  Il modello Markov cattura il comportamento in un
piccolo intervallo di tempo Δt
Markov Chain
•  Nel caso della modellazione affidabilistica gli stati di una
Markov chain rappresentano lo stato di guasto del sistema
(numero di moduli guasti)
•  Si assume il sistema funzionante al tempo t.
•  La probabilità di un guasto dopo il tempo (t+Δt)=F (t+Δt) è:
•  F ( t + Δt) = 1 - e-λ Δt
•  L’affidabilità a t+Δt è
•  e-λ Δt = 1 + (-λ Δt) + (-λ Δt)2/2! + …
•  E quindi la probabilità di guasto 1-R
•  1 - e-λ Δt = (λ Δt) + (λ Δt)2/2! + …
•  Per piccoli Δt à (-λ Δt)2/2! può essere ignorato e allora la
probabilità di guasto
•  F (t+Δt) = 1- e-λ Δt ≈ λ Δt
Rappresentazione della Markov chain : sistema parallelo 1- λΔt
10 1- 2λΔt
•  Ogni stato rappresenta una possibile configurazione del sistema λΔt
λΔt
11 λΔt
00 01 λΔt
1- λΔt
1
–  1 modulo funzionante –  0 modulo ro:o •  Ad ogni ramo è associata la pij
•  La probabilità di di
rimanere sullo stesso stato
–  pii = 1- Σj pij
•  Lo stato 00 non ha uscita
ed è detto stato
assorbente Rappresentazione della Markov chain : sistema parallelo collassato •  Gli sta< 10 e 01 sono equivalen< e possono essere raggruppa< 1- λΔt
1- 2λΔt
2λΔt
11 10
01 λΔt
00 1
•  I rate che vanno verso
stati equivalenti vengono
sommati
•  Semplifica la trattazione
di sistemi complessi
Matrice di transizione
•  Una volta o:enuta la Markov Chain si può ricavare un matrice di transizione. •  Processo di Markov: la probabilità di essere in uno stato j a t+Δt dipende da:
–  Probabilità di essere in uno stato (i) da cui si può
transire allo stato j
–  Probabilità di transizione da i a j pij
•  Esempio precedente (00 =1 01/10 =2 11=3) –  p3(t+Δt)= (1-­‐ 2λΔt)p3(t)
–  p2(t+Δt)= 2λΔtp3(t) + (1-­‐ λΔt) p2(t)
–  p1(t+Δt)= λΔtp2(t)+p1(t)
Matrice di transizione
•  Il sistema equazioni precedenti si può
scrivere in forma matriciale:
" p (t+Δt) % "
$ 3
' $ 1− 2 λΔt
$ p 2 (t+Δt) ' = $ 2 λΔt
$
' $
0
p
(t+Δt)
$# 1
'& #
P(t+Δt)
0
1− λΔt
λΔt
A
•  In forma compatta:
–  P(t+Δt)=A P(t)
0
0
1
% " p3 (t) %
'
' $
' • $ p 2 (t) '
' $ p (t) '
& $# 1
'&
P(t)
Matrice di transizione
•  Per t=0 P(0) è la probabilità dello stato iniziale –  P(Δt)=A P(0)
–  P(2Δt)=A P(Δt)= A2 P(0) –  … –  P(nΔt)=An P(0)
•  Dalla matrice di transizione e dalla probabilità
dello stato iniziale si può ricavare lo stato a un
tempo nΔt
•  La reliability è la somma delle probabilità di
essere in stati funzionanti (2 e 3) o
alternativamente è 1 meno la probabilità di
essere in uno stato di guasto (1) Equazioni in forma chiusa
• 
• 
Dalla forma matriciale si possono anche ricavare le equazioni in forma chiusa.
Soluzione del sistema per le tre variabili:
• 
Risolvendo per creare i differenziali:
–  p3(t+Δt)= (1-­‐ 2λΔt)p3(t)
–  p2(t+Δt)= 2λΔtp3(t) + (1-­‐ λΔt) p2(t)
–  p1(t+Δt)= λΔtp2(t)+p1(t)
–  [p3(t+Δt) - p3(t)]/Δt = -­‐ 2λp3(t)
–  [p2(t+Δt) – p2(t)]/Δt = 2λp3(t) - λp2(t)
–  [p1(t+Δt) – p1(t)]/Δt = λp2(t)
•  Che per Δt à 0 si risolve come equazioni differenziali in forma
chiusa che sono le stesse ricavate dal calcolo con RBD
–  p3(t) = e-­‐2λt
–  p2(t) = 2e-­‐λt-2e-­‐2λt
–  p1(t) = 1- 2e-­‐λt+e-­‐2λt
•  R(t) = p3(t)+p2(t) oppure R(t) = 1- p1(t)
Valutazione Availability
•  Finora abbiamo visto Markov Chain
acicliche ovvero il sistema tende a uno
stato assorbente di guasto.
•  Se un sistema prevede anche la
riparazione la Markov Chain che lo
rappresenta è detta ciclica
•  La frequenza di riparazione µ è analoga
al failure rate
Valutazione Availability
•  Esempio a 2 sta< –  G: il sistema funziona –  F : il sistema è guasto λΔt
1- λΔt
G •  La Markov Chain è ciclica F µΔt
1- µΔt
–  Probabilità di riparazione nel tempo Δt è μΔt
•  Valutazione Availability
" p (t+Δt) % " 1− λΔt
µΔt
G
$
'=$
$# p F (t+Δt) '& $# λΔt 1− µΔt
• 
• 
• 
• 
• 
%" p (t) %
'
'$ G
'&$# p F (t) '&
La Markov chain precedente ha questa rappresentazione matriciale In forma di sistema di equazioni differenziali: –  dpF(t)/dt= λpG(t)– μpF(t) –  dpG(t)/dt= -­‐ λpG(t) + μpF(t) La cui soluzione –  pG(t) = μ/(μ+λ) + λ/(μ+λ) e-­‐(λ+μ)t
–  pF(t) = λ/(μ+λ) + λ/(μ+λ) e-­‐(λ+μ)t
La Availability è la probabilità di essere in uno stato funzionante per
t à ∞ e quindi:
–  A= pG(t à ∞)= = μ/(μ+λ) Che è lo stesso risultato trovato in precedenza
Valutazione Availability:Esempio
•  Simulazione (Octave) del sistema con riparazione –  μ=0,1 –  λ=0,05 •  Availability deve tendere a 0,1/(0,1+0,05)=0,666 •  Grafico della availability per tà ∞ tende a
0,666