Prima prova intercorso – lunedì 19 aprile 2004
Laurea in Scienza e Ingegneria dei Materiali – anno accademico 2003-2004
Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci
Tempo a disposizione: 2 ore e 20 minuti
Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della calcolatrice: AMMESSO
1) Una corda di uno strumento musicale è tesa tra due sostegni fissi posti ad una distanza di 80 cm. La
corda ha una massa di 10 g. Se posta in oscillazione, la corda vibra, come mostrato in figura 1a-c.
Mentre la corda vibra, il moto del suo punto centrale (a metà strada tra i due sostegni) può essere
approssimato, in opportune condizioni, ad un moto armonico. Supponendo di trovarci in tali
condizioni, calcolare la frequenza e la fase iniziale di tale moto armonico (a) sapendo che la corda
raggiunge un massimo della sua oscillazione nei seguenti istanti di tempo consecutivi: t = 1.5 ms, 3.5
ms, 5.5 ms, ecc. Sapendo che la semiampiezza dell’oscillazione è pari a 2 cm, determinare (b) la
velocità massima che il punto centrale della corda raggiunge nel corso del suo moto. In generale il
moto del centro della corda è sì periodico, ma non necessariamente armonico. Supponendo che la
frequenza determinata al punto precedente sia la frequenza fondamentale, determinare la tensione
della corda (c). Supponiamo ora che la corda venga pizzicata al centro, in modo che al tempo t = 0
essa assuma la forma di un triangolo isoscele, come mostrato in figura 1d. In questo caso, alcune delle
possibili frequenze armoniche della corda non si generano (cioè le onde corrispondenti hanno
ampiezza nulla). Quali (d)? [punti: a = 3; b = 2; c = 2; d = 1]
domande (a-c)
y
x
domanda (d)
Figura 1
Figura 2
2) Due onde piane elettromagnetiche di uguale intensità, pari a 540 mW/m2, e frequenza, pari a 10 GHz,
viaggiano una in una direzione parallela all’asse x e l’altra in una direzione parallela all’asse y.
Determinare (a) i vettori d’onda k1 e k2 delle due onde (specificandone modulo e direzione oppure le
tre componenti). Scrivere le espressioni delle corrispondenti onde piane in notazione complessa (b).
Calcolare il campo elettrico e magnetico massimo delle due onde (c). Nella regione in cui le due onde
si sovrappongono (si veda figura 2) esse interferiscono. Limitandosi a considerare il piano xy,
determinare le linee del piano in cui l’intensità si annulla a causa dell’interferenza (d).
[punti: a = 2; b = 2; c = 2; d = 1]
(costante dielettrica del vuoto ε0 ≈ 9 pF/m)
3) Scrivete un saggio di circa mezza pagina o poco più su uno dei seguenti due argomenti, a vostra scelta
(ma NON ENTRAMBI). [punti: 7]
a. Discutere in che modo e con che approssimazioni si pervenga all’equazione di D’Alembert
per descrivere il moto di una catena di pendoli accoppiati da molle.
b. Discutere cosa sia la polarizzazione delle onde elettromagnetiche.
ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
seconda pagina – Prima prova scritta intercoro – 19/4/2004 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci
4) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale)
COGNOME:
NOME:
MATRICOLA:
a) Cosa serve per specificare completamente il moto di un corpo, oltre all’equazione differenziale del
moto?
Le condizioni iniziali (posizione e velocità)
________________________________________________________________________________
b) Cosa accomuna il moto dei diversi corpi di un sistema che sta oscillando in uno dei suoi possibili
modi normali?
La frequenza di oscillazione
________________________________________________________________________________
c) Quale componente elettrico del circuito RLC è causa della diminuzione progressiva dell’ampiezza
delle oscillazioni?
Il resistore R
________________________________________________________________________________
d) Come si scrive la soluzione generale dell’equazione di D’Alembert 1D?
f(x−vt)+g(x+vt)
________________________________________________________________________________
e) Per conoscere completamente un’onda armonica di un sistema dato, quali caratteristiche dell’onda
bisogna specificare? (attenzione a non includere nella risposta grandezze non indipendenti tra loro)
Ampiezza, fase iniziale e frequenza oppure lunghezza d’onda (in alternativa tra loro)
________________________________________________________________________________
f) Dire quali tra il suono, la luce, e le vibrazioni di una corda tesa sono onde longitudinali e quali
trasversali.
Il suono è un’onda longitudinale, luce e vibrazioni della corda tesa sono trasversali
________________________________________________________________________________
g) Riscrivere nell’ordine di frequenza crescente i seguenti tipi di onde elettromagnetiche: raggi X, onde
radio, raggi γ, luce visibile, infrarossi, raggi UV, microonde.
onde radio, microonde, infrarossi, luce visibile, raggi UV, raggi X, raggi γ
________________________________________________________________________________
h) Scrivere l’equazione di D’Alembert delle onde in tre dimensioni:
1 ∂ 2ξ
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
=
0
⇔
+
+
−
=0
v 02 ∂t 2
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 02 ∂t 2
________________________________________________________________________________
∇ 2ξ −
Esercizio 1
(a) Dato che i massimi consecutivi sono ogni 2 ms, questo intervallo è proprio il periodo, ossia T = 2 ms.
Quindi la frequenza è
frequenza ν = 1/T = 1/(2 ms) = 500 Hz
L’oscillazione (lungo l’asse y, dove x è l’asse della corda) è descritta dalla legge
y(t) = A cos(ωt+ϕ)
(1)
Il massimo si ha quando il coseno vale 1, ossia il suo argomento vale ωt+ϕ = 2nπ, con n intero qualsiasi
Conoscendo l’istante di tempo t di un qualsiasi massimo (ad esempio t = 1.5 ms), si ha
fase iniziale ϕ = 2nπ−ωt = 2π(n−νt) = 2π(n−3/4) = π/2 = 1.57 rad
dove abbiamo (arbitrariamente) posto n = 1 per fare in modo che la fase ϕ sia compresa tra 0 e 2π (la fase
iniziale è comunque definita a meno di un multiplo di 2π, quindi la si può sempre porre tra 0 e 2π).
(b) La velocità del moto è data dalla derivata temporale della (1), per cui si ha
v(t) = −ωA sin(ωt+ϕ)
La velocità scalare massima si ha quando il seno è uguale a ±1, e risulta pari a
velocità massima
vmax = ωA = 2πνA = 62.8 m/s
(c) Il movimento della corda tesa tra due estremi fissati è quello di un’onda confinata in un risonatore di
lunghezza L pari alla lunghezza della corda, cioè L = 80 cm (perché lo spostamento della corda dall’asse,
che è il campo, si deve annullare agli estremi dove la corda è fissata). La frequenza fondamentale di
oscillazione è quindi pari a
ν1 = v0/(2L)
(2)
dove v0 è la velocità delle onde sulla corda tesa. Quest’ultima è data da
v0 =
F
(3)
ρl
dove F è la tensione della corda e ρl è la densità lineare di massa, cioè ρl = m/L, dove m = 10 g è la massa
della corda. Combinando la (2) e la (3) e identificando la frequenza ν1 con la frequenza ν determinata
precedentemente, si ottiene la seguente espressione per la tensione della corda:
tensione della corda
F = ρl (2Lν1)2 = 4mLν2 = 8 kN
(d) In generale il movimento della corda y(x,t) è dato dalla seguente espressione in cui sono sovrapposte
tutte le armoniche, ossia tutti i modi normali del sistema, (in notazione complessa):
∞
y ( x, t ) = ∑ Acn sin ( nπ x L ) e − inω1t
n =1
(4)
La forma triangolare y0(x) della corda pizzicata fornisce le condizioni iniziali con cui inizia il movimento
della corda, cioè la y(x,0). Ponendo t = 0 nella (4), si ha quindi
∞
y0 ( x) = ∑ Acn sin ( nπ x L )
(5)
n =1
che coincide con lo sviluppo in serie di Fourier per una periodicità della variabile x pari a 2L e in cui tutti
i coseni e il termine costante (quello in C0) mancano. Possiamo far coincidere la (5) con lo sviluppo di
Fourier completo semplicemente estendendo la (5) anche all’intervallo di x compreso tra −L e 0, in modo
da formare un periodo completo 2L, e ponendo per gli x negativi che y0(x) = −y0(−x). Infatti questa
posizione rende la funzione y0(x) dispari per lo scambio x→−x e quindi tutti gli integrali che forniscono le
ampiezze dei termini in coseno e di quello costante si annullano automaticamente. Le ampiezze
complesse Acn dei termini in seno, che corrispondono proprio alle ampiezze delle onde oscillanti alle varie
frequenze armoniche νn = nν1, si possono quindi trovare con le normali formule integrali della serie di
Fourier, ossia
L
Acn =
L
1
2
y0 ( x) sin ( nπ x L ) dx = ∫ y0 ( x) sin ( nπ x L ) dx (6)
∫
L −L
L0
dove nella seconda espressione abbiamo sfruttato il fatto che l’integrale nell’intervallo (−L,0) coincide
con quello nell’intervallo (0,L), perché l’integrando è pari, essendo il prodotto di due funzioni dispari.
A questo punto si può notare che tutti gli integrali della (6) con n pari si annullano, perché per n pari il
seno contenuto nella (6) è dispari per la sostituzione x→L/2−x (cioè ribaltando la funzione rispetto al
centro della corda) mentre la funzione triangolare y0(x) è pari per la stessa sostituzione. Quindi rispetto a
questo ribaltamento, l’integrando della (6) è dispari (essendo il prodotto di una funzione pari per una
dispari) e pertanto l’integrale si annulla. Questo risultato si vede anche graficamente. Nella figura
seguente sono ad esempio mostrati, oltre alla funzione y0(x), in nero, le funzioni sin(nπx/L) con n = 1 (in
verde), n = 2 (blu) e n = 4 (rosso). Si vede subito che mentre la curva verde (n=1, dispari) ha la stessa
parità della curva nera, cioè è simmetrica rispetto al centro della corda, le curve blu e rossa (n pari) hanno
parità opposta, antisimmetrica. Per questo in questi casi l’integrando complessivo è antisimmetrico e
l’integrale tra 0 e L/2 compenserà quello tra L/2 e L, per cui l’integrale complessivo si annulla.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Ne concludiamo che le frequenze armoniche νn = nν1 che non si generano pizzicando la corda al centro
sono tutte e sole quelle con n pari.
Esercizio 2
(a) I vettori d’onda k1 e k2 hanno lo stesso modulo |k1| = |k2| = k = 2πν/c = 209 rad/m e direzioni
coincidenti con quelle di propagazione delle due onde, ossia parallele rispettivamente all’asse x e a quello
y. In termini di componenti, si possono scrivere come segue:
vettori d’onda
k1 = (2πν/c, 0, 0)
e
k2 = (0, 2πν/c, 0)
(b) Le onde piane in notazione complessa si possono scrivere come segue:
E1 (r, t ) = E0 ei ( k1 ⋅r −ωt +ϕ1 ) = E0 ei ( kx −ωt +ϕ1 )
E2 (r, t ) = E0 ei (k 2 ⋅r −ωt +ϕ2 ) = E0 ei ( ky −ωt +ϕ2 )
(7)
dove abbiamo posto ω = 2πν e abbiamo usato il modulo k = ω/c.
(c) L’intensità (media) di un’onda armonica è data da
I = 12 cε 0 E02
dove E0 è il campo elettrico massimo (l’ampiezza dell’onda), che è quindi dato da
campo elettrico massimo
E0 =
2I
= 20 V/m
cε 0
Il campo magnetico massimo si ottiene semplicemente dividendo questo risultato per la velocità della
luce c:
campo magnetico massimo
B0 = E0/c = 66 nT
(d) L’interferenza delle due onde è data dalla formula seguente
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ( Φ1 − Φ 2 ) = 2 I1 1 + cos ( Φ1 − Φ 2 )
dove Φ rappresenta la fase totale dell’onda e nella seconda espressione abbiamo usato anche il fatto che le
intensità delle due onde sono uguali. L’intensità totale I si annulla dove c’è la massima interferenza
distruttiva, ossia dove il coseno vale −1. Questo corrisponde ad avere un argomento del coseno pari ad un
qualsiasi multiplo dispari di π, ossia
Φ1−Φ2 = (2n+1)π
dove n è un intero qualsiasi. Esplicitando le fasi, che coincidono (salvo per il fattore i) con gli argomenti
degli esponenziali che compaiono nelle espressioni (7), otteniamo la seguente equazione per le regioni del
piano in cui l’intensità si annulla:
(kx−ωt+ϕ1)− (ky−ωt+ϕ2) = k(x−y)+ϕ1−ϕ2 = (2n+1)π
che equivale a
y = x+
ϕ1 − ϕ2 − (2n + 1)π
k
ossia all’equazione di una retta di pendenza 1 (cioè inclinata a 45° rispetto agli assi x e y). Al variare di n
si ottengono diverse rette tutte parallele tra loro e la cui intercetta sull’asse y varia di 2π/k, ossia di una
lunghezza uguale alla lunghezza d’onda λ = 3 cm. La posizione esatta delle rette nel sistema di
riferimento dipende dalle fasi iniziali, che non sono state specificate nel testo. Alcune di queste rette sono
rappresentate nella figura seguente in blu. Notate come nel disegno la distanza tra le frange lungo l’asse y
(o anche lungo l’asse x) coincida con la distanza tra i piani consecutivi corrispondenti ai fronti d’onda.
y
x
