Appunti 2010 onde e.m

Dicembre 2010.
Appunti sulle caratteristiche delle onde elettromagnetiche
Le equazioni di Maxwell nel vuoto ed in una zona dello spazio lontana dalle sorgenti del
campo, che sono le cariche elettriche (e quidi sara’ per la densita’ di carica = 0) e le correnti
elettriche (e quindi sara’ per ka densita’ di corrente J=0), diventano:
E
rot B = * 0 *J + 

div B = 0
t
B
rot E = 
div E = 0 * 
 
t
Sviluppando il rotore secondo il formalismo cartesiano si ha in forma matriciale:
i
j
k
i
j
k






E
B
= 
= 


x
z
x
z
y
y
t
t
Bx
By
Bz
Ex
Ey
Ez
E
B
Bz B y
E z E y

  0 0 x

 x
y
z
t
y
z
t
(= 0) (=0)
(=0) (=0)
E y
B y
Bx Bz
E x E z
Componente y: j

  0 0


z
x
t
z
x
t
(=0)
(=0)
B y Bx
E y E x
E
B
Componente z: k

  0 0 z

 z
x
y
t
x
y
t
(=0)
(=0)
E sviluppando la divergenza sempre in formalismo cartesiano:
E x E y E z
Bx B y Bz


 0,


0
x
y
z
x
y
z
Componente x: i
Nell’ipotesi di onda piana trasversale che si propaga lungo la direzione dell’asse x (simile a
quella di una corda vibrante) i vettori B ed E devono dipendere solo dalla coordinata x e e quindi le
derivate parziali rispetto ad y e z devono essere nulle (come indicato sopra sotto ogni componente
del rotore). Di conseguenza le equazioni sopra (e cioe’ componente x dei 2 rotori, le due
divergenze) diventano:
Bx
B
E x
E
e
0 x
0 x .
t
x
t
x
Ne consegue che una possibile soluzione e’ che le componenti lungo x di E e B sono costanti, cioe’
non si tratta di un’onda, e quindi soluzioni da non considerare nel contesto onde.
Dalle altre equazioni si ha:
E y
B
E z B y
 z   0 0

x
t
x
t

E
B y
E z
B
y
  0 0
 z
x
t
x
t
Con opportune derivate parziali rispetto ad x ed a t incrociate si ottengono le classiche
equazioni:
 2 Ez
 2 Ez
 2 Bz
 2 Bz
,






0 0
0 0
x 2
t 2
x 2
t 2
idem per le componenti su ll’asse y.
In parallelo all’equazione delle corde vibranti (vedi dopo) dovra’ essere v2 = 1/che in
questo caso vale c2.
Quindi TUTTE le onde elettromagnetiche si propagano con la velocita’ della luce.
Inoltre: se il campo elettrico ha solo componente su y, e quindi Ez= 0, dalle equazioni scritte
sopra si ricava
B y
B y
cioe’ il campo magnetico B NON ha componete su y e quindi ne ha solo su z cioe’
0
t
x
E e B sono perpendicolari fra loro . Questo e’ il caso di una onda piana polarizzata linearmente che
e’ l’onda piu’ semplice che si possa produrre..
La soluzione dell’equazione delle onde e’ una qualunque funzione del tipo (come si puo’
facilmente verificare): f(x±vt) con v = velocita’ di propagazione dell’onda. Quindi una possibile
soluzione delle onde e.m. potrebbe avere la forma
F(x) = sin (kx ± t) con k = 2/ ed T
F(x) = sin k(x ± k t)
Nel caso del campo e.m. avremo:
E(y,z) = E0 sin k(x ± k t) = E0 sin (kx ± t)
Allora sara’ v = c = /k = T = 

Essendo la velocita’ della luce c fissa ne segue che le quantita’ saranno inversamente
proporzionali e cioe’ ad una piccola lunghezza d’onda corrispndera’ una grande frequenza e
viceversa.
Quindi nell’ipotesi piu’ semplice di un’onda e.m. armonica si puo’ scrivere
E = Ey sin (kx - t) j + Ez sin (kx - t) k
ed
B = By sin (kx - t) j + Bz sin (kx - t) k
E z B y
deve quindi essere:

x
t
k Ez cos (kx - t) = -By cos (kx - t) e cioe’ By = -Ez k / z / c
e analogamente si ricave che e’ anche
Bz =
= Ey / c
B2 = E2 / c2
B=E/c
ma dalla relazione:
Per quanto riguarda la (densita’ di) energia trasportata dall’onda e.m. :
1 B2 1
1 E2
1
1 E 2 0  0 1
2
2
 0E 
 0E 
 0E2  0E2 

2
2 0 2
2 0c
2
2 0
2
Cioe’ per tutte le considerazioni energetiche, in particolare la intensita’ dei fenomeni luminosi,
basta considerare solo il campo elettrico
La equazione di d’Alembert delle corde vibranti
1 - La velocita’ di propagazione dell’onda lungo una corda:
T
T
T
T
Fig. 1 La tensione della corda T esercitata agli estremi si propaga con la stessa intensita’ lungo tutto
il filo.
d(forza centrifuga)
dm
T
v
T
d(tensione della corda vibrante)
ds = 2r d
dd

dT d
dd

r
r
Fig, 2 Schematizzazione della velocita’ di propagazione dell’onda lungo la corda vibrante per un
tratto di corda ds di massa infinitesima dm.
Dalla relazione : d(Forza centrifuga) = d (tensione della corda vibrante, componente y) si ha:
(dm)
v2
 2Td ,
r
v2  T
(r 2 )
,
dm
v2 
T
dm
=
ds
dm
T
con densita’ lineare della corda =
ds

2 – La equazione della propagazione del moto lungo la corda vibrante
n.b. la vibrazione della corda e’ solo lungo l’asse y cioe’ perpendicolarmente alla direzione della
corda. La coordinata y sara’ pero’ funzione di x e di t.
y
dm
T

Ty
’
T’y
T
x
Fig. 3. Schematizzazione di un tratto infinitesimo di corda di massa dm in un istante della sua
oscillazione lungo l’asse y mentre il moto si propaga lungo l’asse x.
Dall’equazione F = ma = m d 2y / dt 2 , con F differenza fra le due componenti verticali della
tensione ai capi della corda, si ha in questo caso, con riferimento alla figura 3:
2 y
(dm) 2  T y  T ' y = T sin ’ sin ’ ≈ T tg  T tg ’ =
t
y y '
≈ T (  )=
x x
2 y
=T
dx
x 2
E quindi
2
2 y
2 y
2  y
T
dx/dm
=
v
.

t 2
x 2
x 2