Nome…………………Cognome…………………………
4DS
11 Gennaio 2016
1) Sia M il punto medio del segmento AB = 2a . In uno dei due semipiani individuati da AB, si fissi un
3
punto P tale che cos( APˆ M ) = .
5
ˆ
Posto PAM = x , determina per quali valori 5 AP + PM < 5a .
Qual è il luogo dei punti descritto da P.
2) Nel triangolo ABC si ha: sin β =
3
24
, tan α =
e AB = 10 , determina:
5
7
a) la misura degli altri due lati.
b) Il raggio della circonferenza circoscritta
3) Considera i punti C e D appartenenti alle semicirconferenze opposte rispetto al diametro AB di una
circonferenza di raggio r, tali che CBˆ A = 2 ABˆ D .
Posto ABˆ D = x
CD
a) esprimi la funzione f ( x) =
e tracciane il grafico
AD
b) determina, se esiste, il valore massimo di f(x)
2
c) Discuti l’equazione f ( x) = k − 2 per 0 < x ≤ π
3
Nome…………………Cognome…………………………
4DS
11 Gennaio 2016
1) Sia M il punto medio del segmento AB = 2a . In uno dei due semipiani individuati da AB, si fissi un
3
punto P tale che cos( APˆ M ) = .
5
ˆ
Posto PAM = x , determina per quali valori 5 AP + PM < 5a .
Qual è il luogo dei punti descritto da P.
2) Nel triangolo ABC si ha: sin β =
3
24
, tan α =
e AB = 10 , determina:
5
7
a) la misura degli altri due lati.
b) Il raggio della circonferenza circoscritta
3) Considera i punti C e D appartenenti alle semicirconferenze opposte rispetto al diametro AB di una
circonferenza di raggio r, tali che CBˆ A = 2 ABˆ D .
Posto ABˆ D = x
CD
a) esprimi la funzione f ( x) =
e tracciane il grafico
AD
b) determina, se esiste, il valore massimo di f(x)
2
c) Discuti l’equazione f ( x) = k − 2 per 0 < x ≤ π
3
Soluzioni
1) Sia M il punto medio del segmento AB = 2a . In uno dei due semipiani da AB, si fissi un punto P tale
3
che cos( APˆ M ) = . Posto PAˆ M = x , determina per quali valori 5 AP + PM = 5a .
5
4
Utilizzando la calcolatrice APˆ M = γ ≈ 53° e dalle relazioni tra le funzioni goniometriche: sin( APˆ M ) =
5
Posto PAˆ M = x si ha: 0 ≤ x ≤ π − γ
P
x
A
a
5 AP + PM = 5a
AM
5a
sin(π − ( x + γ )) =
sin( x + γ ) (APM)
sin γ
4
AM
5a
MP =
sin x =
sin x (APM)
sin γ
4
Sostituendo nella relazione si ha:
AP =
γ
M
⇒
a
B
25
5
a sin( x + γ ) + a sin x < 5a utilizzando la formula di addizione del seno:
4
4
5 3
4
1
( sin x + cos x) + sin x < 1 ;
sin x + cos x < 1 si ottiene così una disequazione lineare che si può
4 5
5
4
risolvere con il metodo della circonferenza:
Y < − X + 1
π
di conseguenza, tenendo conto delle limitazioni si ha < x < π − γ
2
2
2
X + Y = 1
2) Nel triangolo ABC si ha: sin β =
a.
3
24
, tan α =
e AB = 10 , determina:
5
7
la misura degli altri due lati.
Utilizzando la calcolatrice è possibile calcolare gli angoli affinché il disegno sia corretto
24
α = arctan
≈ 74°
7
C
3
3
β = arcsin ≈ 37° ∨ β = π − arcsin ≈ 143°
5
5
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, l’angolo β
3
è necessariamente β = arcsin ≈ 37°
A
5
Naturalmente l’angolo γ è π − (α + β)
Con i teorema dei seni è possibile determinare i lati mancanti:
B
AB
AC
BC
=
=
sin γ sin β sin α
AB
AB
sin β
e BC =
sin α
sin γ
sin γ
tan α
24 7 24
1
7
24
è possibile trovare sin α =
=
⋅
=
e cos α =
=
Nota tan α =
7
7 25 25
1 + tan 2 α
1 + tan 2 α 25
Noti seno e coseno di α, β è possibile trovare
24 4 7 3 117
sin(π − (α + β)) = sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α =
⋅ +
⋅ =
25 5 25 5 125
AB
125 3 250
AB
125 7 350
AC =
sin β = 10 ⋅
⋅ =
BC =
sin α = 10 ⋅
⋅
=
sin γ
117 5 39
sin γ
117 25 117
AC =
b. Il raggio della circonferenza circoscritta
Dal teorema dei seni si può determinare il diametro e quindi il raggio della circonferenza circoscritta,
AB
125 625
AB
AC
BC
= 5⋅
=
infatti
=
=
= 2r ⇒ r =
2 sin γ
117 117
sin γ sin β sin α
3) Considera i punti C e D appartenenti alle semicirconferenze opposte rispetto al diametro AB di una
CD
,
circonferenza di raggio r, tali che CBˆ A = 2 ABˆ D . Posto ABˆ D = x esprimi la funzione f ( x) =
AD
tracciane il grafico e determinane, se esiste, il valore massimo.
2
Discuti infine l’equazione f ( x) = k − 2 per 0 < x ≤ π
3
C
Avendo posto ABˆ D = x si ha CBˆ A = 2 x . Il punto C ha come
posizioni limite quella coincidente con A ( CBˆ A = 0 ) e quella
π
coincidente con B ( CBˆ A = ), di conseguenza la limitazione
2
π
sull’incognita è: 0 < x ≤ . (la funzione ha a denominatore il
4
segmento AD che è nullo quando x=0, quindi non si può includere
tale valore nelle limitazioni)
2x
A
B
x
D
Considerando il triangolo rettangolo ADB si ha: AD = 2r sin x , considerando la corda AC che ha come
angolo alla circonferenza corrispondente 3x si ha: CD = 2r sin 3x .
2r sin 3 x
La funzione è quindi f ( x ) =
. Per poterla rappresentare è necessario sviluppare il numeratore
2r sin x
utilizzando le formule di addizione e di duplicazione:
f ( x) =
=
2r sin 3 x sin(2 x + x) sin 2 x cos x + sin x cos 2 x 2 sin x cos 2 x + sin x(2 cos 2 x − 1)
=
=
=
=
2r sin x
sin x
sin x
sin x
sin x(4 cos 2 x − 1)
cos 2 x + 1
= 4 cos 2 x − 1 =24
− 1 = 2 cos 2 x + 1
sin x
2
con
x ≠ kπ
y
3
2
1
x
−3π/4
−π/2
−π/4
π/4
−1
−2
π/2
3π/4
Il grafico di
f ( x) = 2 cos 2 x + 1
si ottiene
quindi dal grafico di cos2x (ottenuto contraendo
orizzontalmente di 2 il grafico del coseno), dilatato
verticalmente di 2, spostando l’asse orizzontale in basso
di 1. Data la condizione imposta dalla semplificazione
bisogna escludere i valori kπ, si nota così che la funzione
non ammette massimo, infatti il valore 3 non viene mai
assunto.
2
π , significa determinare a quante soluzioni ha l’equazione
3
a seconda del valore del parametro k. E’ possibile farlo graficamente tracciando i grafici di y = f ( x) e
y = k − 2 (fascio di rette parallele all’asse delle ascisse) e
vedendo quante intersezioni ci sono.
3
Discutere l’equazione f ( x) = k − 2 per 0 < x ≤
y
Se k − 2 < −1 ∨ k − 2 ≥ 3 ⇒ k < 1 ∨ k ≥ 5 non ci sono
soluzioni
Se k − 2 = −1 ⇒ k = 1 ci sono 2 soluzioni coincidenti
Se − 1 < k − 2 ≤ 0 ⇒ 1 < k ≤ 2 ci sono 2 soluzioni distinte
Se 0 < k − 2 < 3 ⇒ 2 < k < 5 c’è 1 soluzione
2
1
x
−2π/3
−π/3
π/3
−1
−2
2π/3
Ripassa il programma svolto nel trimestre. Svolgi i seguenti problemi assegnati nelle verifiche degli
anni passati, scrivi per ciascuno le soluzioni ottenute e i teoremi utilizzati
Teoremi utilizzati e
soluzioni
1
2
3
4
7
4
, tan ABˆ C =
e
Nel triangolo ABC si sa che cos BAˆ C =
25
3
CM = a , essendo CM l’altezza relativa ad AB. Determinare le
misure dei lati del triangolo.
Nel triangolo ABC si sa che AB = a e BAˆ C = 3 ABˆ C . Conduci una
semiretta r avente origine A, che incontri il lato BC in P e tale che
BAˆ P = PBˆ A . Posto ABˆ C = x , determina l’espressione di
AP
BH
f ( x) =
+3
+ 2 essendo BH la distanza di B dalla
2 AC
AP
semiretta r. Traccia il grafico della funzione trovata.
Sia ABC un triangolo equilatero di lato 2l. Considera un punto P
Sulla semicirconferenza di diametro BC, esterna al triangolo.
Determina in funzione di
x = PBˆ C
l’espressione di:
2
f ( x) = AP + AB ⋅ PH , essendo PH la distanza di P dalla retta BC.
Qual è il massimo valore di f(x) ?
Sia M il punto medio del segmento AB = 2a . In uno dei due
3
semipiani da AB, si fissi un punto P tale che cos( APˆ M ) = . Posto
5
ˆ
PAM = x , determina per quali valori 5 AP + PM = 5a .
π
Aˆ = Dˆ = ,
2
Dato il trapezio ABCD tale che:
5
6
7
BC = 50a e cos ABˆ C =
determina le misure dei restanti lati.
25
2
Sui lati OX e OY dell’angolo XOˆ Y = π considera rispettivamente i
3
punti A e B tali che OA = a e OB = 2a . Sia P un punto interno
all’angolo tale che OP = 2a ; posto AOˆ P = x , determina
2
7
AB = 56a ,
2
2
l’espressione di f ( x) = AP + 2 AM + PB , essendo M il punto
medio del segmento OP . Qual è il valore minimo di tale funzione,
tenendo conto delle limitazioni del problema ?
Data la semicirconferenza di diametro AB = 2r , conduci le corde AC
e BD tali che: BAˆ C = 2 DBˆ A = 2 x
e indica con M il loro punto di intersezione. Determina l’espressione
AB
DB
+3
e tracciarne il grafico.
di f ( x) =
2 AM
MB
8
Sui lati a e b di un angolo retto, di vertice O, siano dati
rispettivamente i punti A e B tali che OA = 3a OB = 4a . Condurre
per O una semiretta s interna all’angolo in modo che, indicati con A’
e B’ i piedi delle perpendicolari abbassate da A e B su s e P il punto
medio del segmento A’B’, l’area del triangolo OAP sia
9
10
11
3 2
a
4
Sia AC = r 3 una corda della semicirconferenza di
diametro AB = 2r . Condurre una retta perpendicolare ad AB che
ˆ
incontri la corda AC in Q e l’arco AC in P. Posto BAP = x
determinare la funzione f ( x) = PQ e tracciarne il grafico.
Determinare il valore massimo di PQ .
3
12
Nel triangolo ABC si ha: cos β = , sin α =
e AB = 8 , determina
5
13
la misura degli altri due lati e il raggio della circonferenza
circoscritta.
Dato il triangolo ABC tale che AB = 2a e la mediana CM relativa al
π
lato AB formi un angolo CMˆ B = , in funzione di ABˆ C = x ,
4
2
2
determina: CM , AC , CB . Determina la funzione y =
CA
CB
2
2
, per
quale valore di x ha il massimo?
12
13
3
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, è cos ABˆ C = . Condurre
5
ˆ
per A internamente all’angolo CAB una semiretta in modo che,
indicato con D il punto di intersezione di essa con il lato BC, si
6
abbia: AD + BD = k CA , dove k è un numero positivo. .
5
Rappresentare in funzione dell’angolo che tale semiretta forma con la
7 BD − 5 AB
base: y =
e mettere in evidenza il tratto relativo al
AD
problema.
Dato il quadrato ABCD di lato a, disegnare il quarto di circonferenza
LB esterno al quadrato, di raggio a e centro A e avente l’estremo B in
comune con il quadrato. Sull’arco di circonferenza considerare un
2
14
2
2
punto P in modo che valga la relazione: PA + PD ≤ 4PO dove O
è il punto medio di AL.
Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, si tracci
la retta s tangente ad essa in A e sia C il punto medio dell’arco AB.
Sia M è un punto appartenente all’arco BC e P il punto di
intersezione tra s e la retta passante per O ed M.
a)
Esprimere in funzione dell’angolo MOˆ B la differenza
2OP − OM e rappresentare la funzione ottenuta mettendo in evidenza
il tratto relativo al problema
b)
Determinare l’angolo MOˆ B in modo che l’area del triangolo
2
3
MB
AOP sia maggiore di
4
Utilizzando un programma di grafica traccia i grafici delle seguenti funzioni:
y = x sin x
y = x cos x
y = x sin(2 x)
y = x 2 sin x
y = x 2 cos x
y = x 2 sin(3 x)
y=
sin x
x
y = e x sin x
y=
cos x
x
y = e x cos x
sin(4 x)
x
x
y = e x sin
2
y=
Data una generica funzione y = g (x) , cosa puoi dedurre circa il grafico di y = g ( x) sin x ,
y = g ( x) cos x e di y = g ( x) sin(kx)
di
Ripassa gli argomenti svolti nel trimestre.
Studia il caso particolare di interferenza della luce prodotto da una doppia fenditura (esperimento di
Young)
Studia il fenomeno dei battimenti, cioè la sovrapposizione di suoni con frequenze di poco differenti
