LICEO GINNASIO “JACOPO STELLINI”
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PROGRAMMI SVOLTI
Anno Scolastico 2015/2016
Classe I Sez. D
Prof. Federico Quagliaro
Materia Matematica
Udine, lı̀ 17 giugno 2016
Il Docente lbal
Federico Quagliaro
Testo in adozione:
• M. Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone, Matematica.azzurro. Volume 1. Algebra,
Geometria Statistica, Zanichelli.
Insiemi
Il concetto di insieme. Le rappresentazioni di un insieme per elencazione, per caratteristica e mediante diagrammi di Eulero-Venn. I sottoinsiemi e l’insieme delle parti.
L’insieme vuoto. Le operazioni con gli insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano. Proprietà dell’unione e dell’intersezione. Problemi
risolubili con i diagrammi di Eulero-Venn.
Gli insiemi numerici
• L’insieme N dei numeri naturali e le operazioni con essi. Addizione, moltiplicazione e potenza come operazioni interne e loro proprietà. Sottrazione e divisione e loro proprietà. Multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità per
2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 e 11. Accenni ai criteri di divisibilità per 7, 13, 17 e 19. Priorità delle operazioni. La scomposizione in fattori primi. Definizioni e algoritmi di
calcolo di massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
• L’insieme Z dei numeri interi come ampliamento di N. Operazioni con numeri
interi e loro proprietà. Potenze con esponente naturale di numeri relativi.
• L’insieme Q dei numeri razionali come ampliamento di Z. Le frazioni. Le frazioni
equivalenti e la proprietà invariantiva. Il confronto tra numeri razionali. Operazioni e loro proprietà. Potenze ad esponente intero negativo. I numeri razionali e
i numeri decimali: corrispondenza tra numeri decimali finiti e illimitati periodici
e numeri razionali; costruzione della frazione generatrice di un numero illimitato
periodico. Espressioni nell’insieme dei numeri razionali. Le proporzioni e le loro
proprietà. Le percentuali.
• I numeri irrazionali√e l’insieme R dei numeri reali. Accenni alla dimostrazione
dell’irrazionalità di 2. Densità di Q in R.
Algebra
• I monomi: definizioni e riduzione in forma normale. Grado di un monomio. Monomi simili. Le operazioni con i monomi. Massimo comun divisore e minimo comune
multiplo tra monomi. Semplificazione di espressioni letterali.
• I polinomi. Grado di un polinomio (anche rispetto a una singola variabile). Polinomi completi, omogenei e ordinati. Addizione, sottrazione e prodotto di polinomi
(e grado del polinomio risultante). Divisione di un polinomio per un monomio.
Semplificazione di espressioni con i polinomi.
• Prodotti notevoli: somma per differenza di monomi, quadrato e cubo di binomio.
Interpretazione geometrica di tali prodotti notevoli. Il quadrato di trinomio. La
potenza n-esima del binomio e il Triangolo di Tartaglia. Semplificazione di espressioni con i prodotti notevoli. Accenni ai prodotti notevoli in cui i termini sono
costituiti da polinomi.
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• La scomposizione in fattori dei polinomi: raccoglimento a fattor comune, raccoglimento a fattor parziale, scomposizione mediante prodotti notevoli (riconoscimento
della differenza di quadrati, del quadrato e del cubo di binomio, della somma e
della differenza di cubi) e scomposizione del trinomio notevole monico di secondo
grado o di grado superiore. Accenni al riconoscimento del quadrato di trinomio e
alla scomposizione di polinomi mediante prodotti notevoli i cui termini sono costituiti da polinomi. Definizione di polinomio irriducibile: il falso quadrato come
polinomio irriducibile.
Geometria
• Cos’è una teoria matematica: il concetto di oggetti fondamentali e di assiomi.
Differenze tra assiomi e teoremi. Brevissimi accenni al fatto che aggiungere assiomi a una teoria effettivamente espande tale teoria. Le dimostrazioni: differenza
tra ipotesi e tesi. La dimostrazione per assurdo. Accenni alla dimostrazione per
contronominale.
• I postulati sulla retta: unicità della retta per due punti, esistenza di almeno due
punti su una retta, esistenza di un punto non appartenente a una retta data e
postulato dell’ordine su una retta. Dimostrazione del fatto che se due rette pas←→
sano per due punti distinti allora sono coincidenti. Scelta della notazione AB per
indicare l’unica retta passante per i punti A e B.
• Il postulato dell’esistenza di un unico piano passante per tre punti.
• Definizione di semirette e segmenti. Generalità sui segmenti. Scelta della notazione
−−→
AB per indicare la semiretta di origine in A passante per B e della notazione AB
per indicare il segmento di estremi A e B. Poligonali. Segmenti consecutivi e
adiacenti.
• Convessità e concavità. Il postulato di separazione del piano (accenni alla sua
equivalenza con il postulato di Pasch).
• La congruenza dei segmenti: la congruenza come una relazione di equivalenza.
Definizione di lunghezza di un segmento e di distanza tra punti. Scelta della
notazione AB per indicare la lunghezza del segmento AB. Confronto di segmenti.
Operazioni con i segmenti: somma, differenza e moltiplicazione per uno scalare.
Multipli e sottomultipli di segmenti. Il punto medio: definizione, postulato di
esistenza e unicità e costruzione con riga e compasso.
• La circonferenza: definizione e postulato di esistenza (terzo postulato di Euclide).
• Gli angoli: definizione di angolo come unione dei suoi lati. Generalità sugli angoli.
Angoli consecutivi e angoli adiacenti. L’angolo piatto e l’angolo giro. Congruenza
di angoli. Confronto di angoli. Operazioni con gli angoli: somma, differenza e
moltiplicazione per uno scalare. Multipli e sottomultipli di angoli. La bisettrice:
definizione, postulato di esistenza e unicità e costruzione con riga e compasso.
Definizione di angolo retto, angolo acuto e angolo ottuso. L’esistenza dell’angolo
retto a partire dal postulato dell’esistenza della bisettrice. Dimostrazione del fatto
che angoli complementari/supplementari/esplementari ad angoli congruenti sono
congruenti. Gli angoli opposti al vertice. Dimostrazione del fatto che gli angoli
opposti al vertice sono congruenti.
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• Definizione di rette parallele e di rette perpendicolari. Unicità della perpendicolare
passante per un punto (senza dimostrazione). Asse di un segmento. Accenni al
quinto postulato di Euclide.
• I triangoli. Definizione di triangolo come unione dei suoi lati. Generalità sui
triangoli. Triangoli scaleni, isosceli ed equilateri. Triangoli acutangoli, rettangoli
e ottusangoli. Altezza e mediana relative ad un lato in un triangolo. Bisettrice
relativa ad un vertice in un triangolo.
• I criteri di congruenza dei triangoli. Il primo criterio di congruenza dei triangoli
(SAS – Side-Angle-Side). Accenni al fatto che il primo criterio di congruenza dei
triangoli non è derivabile dagli assiomi precedenti e che quindi è un nuovo assioma:
la geometria neutrale come geometria che soddisfa questo assioma. Il secondo
criterio di congruenza dei triangoli (ASA – Angle-Side-Angle): dimostrazione di
tale criterio utilizzando il primo. Il terzo criterio di congruenza dei triangoli (SSS
– Side-Side-Side). Giustificazione della costruzione della bisettrice di un angolo
utilizzando il terzo criterio.
• I teoremi sul triangolo isoscele. Il Teorema del Triangolo Isoscele e il suo viceversa
(entrambi con dimostrazione). Il fatto che gli angoli di un triangolo equilatero sono
congruenti visto come corollario del Teorema del Triangolo Isoscele. Dimostrazione
del fatto che la bisettrice del vertice di un triangolo isoscele è anche altezza e
mediana relativa alla base.
• Angoli esterni di un triangolo. Il Teorema dell’Angolo Esterno (con dimostrazione)
e alcune sue conseguenze: un triangolo non può avere più di due angoli ottusi o
retti, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti, la somma di due angoli
interni è al più un angolo piatto. Accenni al Teorema di Saccheri sul fatto che la
somma dei tutti gli angoli interni di un triangolo è al più un angolo piatto. Accenni
alla dimostrazione del Teorema di Saccheri. Richiami al fatto che l’uguaglianza
prevista dal Teorema di Saccheri è valida solo nella geometria euclidea, essendo
una diretta conseguenza del quinto postulato di Euclide.
Gli argomenti trattati1 sono stati accompagnati dallo svolgimento di numerosi esercizi
opportunamente scelti dal libro in adozione e da altri testi analoghi.
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L’unica eccezione è costituita dalla parte sul Teorema dell’Angolo Esterno, trattata alla fine dell’anno
scolastico: il docente ha cominciato la trattazione solo teorica di tale argomento in maniera tale che esso
possa essere ripreso e sviluppato nella sua parte pratica nell’anno scolastico successivo.
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