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Geometria I
appunti (non rivisti dai professori) delle lezioni
Ateneo Studenti Fisica
Alessandro Principi
Indice
Strutture algebriche
Spazi Vettoriali . . . . . .
Sottospazi vettoriali . . .
Costruire sottospazi
Altri sottospazi . . .
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2
3
5
5
5
Sistemi Lineari
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7
7
8
9
10
Dimensione e base di uno spazio vettoriale
Formula di Grassman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
Rango di un’applicazione lineare
Classe di Equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo del rango di una matrice a scalini S e di una base di ImS
Matrici Elementari e invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcolo della matrice inversa attraverso l’algoritmo di Gauss . . .
Matrice associata a un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . .
Matrice del cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
18
18
20
20
21
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Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
Nucleo e Immagine di un’applicazione lineare,
Risoluzione di sistemi lineari . . . . . .
Algoritmo di Gauss . . . . . . . . . . . .
Prodotto di Matrici . . . . . . . . . . . . . .
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SD-equivalenza
23
Determinante
Criterio dei minori orlati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
29
Coniugio e Similitudine
Calcolo di autovalori e autospazi per una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagonalizzabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangolabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
33
34
Forme bilineari
Forma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
37
Congruenza, forme isometriche
Rango di un’applicazione bilineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
Prodotti Scalari
Prodotti scalari definiti positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proprietá degli spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
44
45
Teorema Spettrale e prodotti Hermitiani
Prodotti Hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
49
Ateneo Studenti Fisica
1
Strutture algebriche
Definizione: Sia X un insieme, e sia ∗ una funzione tale che: ∗ : X × X −→ X. Allora si dice che ∗ è
un’operazione su X.
¡
¢
Definizione: X, ∗ si dice gruppo se X è un insieme e ∗ un’operazione su X che verifica 3 proprietà:
1. Esistenza dell’elemento neutro: ∃e ∈ X t. c. a ∗ e = e ∗ a = a;
2. Esistenza dell’inverso: ∀a ∈ X ∃b ∈ X t.c. a ∗ b = b ∗ a = e;
3. Proprietà associativa: ∀a, b, c ∈ X, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
¡
¢
Definizione: X, ∗ si dice gruppo commutativo (o abeliano) se è un gruppo e vale la proprietà commutativa: ∀a, b ∈ X , a ∗ b = b ∗ a.
Definizione:
¡ Sia X
¢ un insieme, + (detta somma) e · (detto prodotto) due operazioni su X. Allora
si dice che X, +, · è un campo se valgono le seguenti proprietà:
1. Esistenza dell’elemento neutro (detto 0) per la somma;
2. Esistenza dell’inverso per la somma;
3. Proprietà associativa per la somma;
4. Proprietà commutativa per la somma;
5. Esistenza dell’elemento neutro (detto 1) per il prodotto;
6. Proprietà associativa per il prodotto;
7. Proprietà distributiva: ∀a, b, c ∈ X, a·(b +c) = a·b +a·c, (a +b)·c = a·c +b·c
(Conta l’ordine!);
8. Esistenza dell’inverso per il prodotto;
9. Proprietà commutativa per il prodotto.
¡
¢
Definizione: X, +, · è un anello se valgono le proprietà 1 - 7 sopra elencate. É un anello commutativo
se vale anche la proprietà 9.
¡
¢
Definizione: X, +, · è un corpo se valgono le proprietà 1 - 8 sopra elencate.
2
Ateneo Studenti Fisica
Strutture algebriche
¡
¢
Definizione: V, +, ·, K si dice spazio vettoriale se:
• V è un insieme;
• K è un campo;
• + è una somma in V (+: V × V −→ V);
• ·: K × V −→ V (detto prodotto per scalare).
e valgono le seguenti proprietà:
• (V, +) è un gruppo commutativo;
• ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V, (αβ)v = α(βv);
• ∃1 ∈ K t. c. ∀v ∈ V 1 · v = v;
• ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V, (α + β)v = αv + βv;
• ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V, α(v + w) = αv + αw;
Spazi Vettoriali
Definiamo ora alcuni spazi vettoriali:
1) Sia K un campo, chiamiamo Kn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi ∈ K ∀i = 1, . . . , n}.
Definiamo + e · in questo modo:
def
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ),
∀(x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Kn
def
a · (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a · x1 , a · x2 , . . . , a · xn ), ∀a ∈ K, ∀(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn
Notiamo innanzitutto che + e · sono ben definiti (poichè si basano sulle proprietà del campo K), e che,
grazie a queste definizioni, otteniamo uno spazio vettoriale.
2) Sia K un campo, e sia
K[x] = {a0 + a1 x + . . . + an xn | ai ∈ K, ∀i = 1, . . . , n}
e siano + e · le due operazioni classiche sui polinomi (somma e prodotto tra polinomi). Si verifica che,
con le definizioni date, K[x] è un anello commutativo:
• Elemento neutro per la somma: il polinomio i cui coefficienti sono tutti uguali a zero;
• Inverso per la somma: polinomio con i coefficienti inversi;
• Elemento neutro per il prodotto: è il polinomio 1 (tutti i coefficienti dei termini di grado
superiore a zero sono zero);
• le altre proprietà valgono perchè i coefficienti sono in un campo;
Verifichiamo che non vale l’esistenza dell’inverso per il prodotto:
consideriamo due polinomi p(x) e q(x) entrambi diversi da zero di grado rispettivamente m e n e consideriamo il loro prodotto p(x) · q(x). In tal modo otteniamo un polinomio di grado m +n.
Se fosse, ad esempio, q = p−1 , allora avremmo che p(x) · q(x) = 1. Ma ciò é impossibile per polinomi che
non siano costanti (i cui coefficienti dei termini di grado superiore a zero siano diversi da zero), in quanto
essi avrebbero grado maggiore di zero (ovvero il grado di 1).
Se ora consideriamo (K[x], +, ·, K), con + definito come sopra e · definito come:
Ateneo Studenti Fisica
3
Strutture algebriche
· : K × K[x] −→ K[x]
(a, p(x)) 7−→ a · p(x)
Si verifica che é uno spazio vettoriale.
3) Sia V spazio vettoriale su K e sia A un insieme qualsiasi. Sia F l’insieme delle applicazioni (funzioni)
da A in V . (F, +, ·, K) é uno spazio vettoriale se definiamo + e · come segue:
∀f, g ∈ F , f + g : A −→ V é t. c.:
def
∀a ∈ A, (f + g)(a) = f (a) + g(a)
∀f ∈ F , ∀λ ∈ K, λf : A −→ V é t. c.:
def
∀a ∈ A, (λf )(a) = λf (a)
4) Sia K un campo. Definiamo:
M (p, q, K) = {matrici con p righe, q colonne con elementi in K}
Una Matrice é nella forma:

a11
 ..
 .
ap1
···
..
.
···

a1q
.. 
. 
apq
dove ai j ∈ K, ∀i = 1, . . . , p, ∀j = 1, . . . , q.
Sia A ∈ M (p, q, K):
Ai = i-esima riga;
Ai = i-esima colonna;
[A]ij = elemento di posto (i, j), dove i indica la riga e j la colonna;
0 é la matrice nulla ([0]ij = 0 ∀i, j)
A, B ∈ M (p, q, K), A = B ⇐⇒ [A]ij = [B]ij ∀i, j
Definiamo + e · :
def
∀A, B ∈ M (p, q, K), [A + B]ij = [A]ij + [B]ij ∀i, j
def
∀λ ∈ K, ∀A ∈ M (p, q, K), [λA]ij = λ[A]ij ∀i, j
(M (p, q, K), +, ·, K) é uno spazio vettoriale:
• (M (p, q, K), +) é un gruppo abeliano:
1. 0 é l’elemento neutro;
2. esiste l’inverso: [A]ij + (−[A]ij ) = 0;
3. vale la proprietá associativa:
[(A + B) + C]ij = [A + B]ij + [C]ij = [A]ij + [B]ij + [C]ij = [A]ij + [B + C]ij =
= [A + (B + C)]ij ;
4. si verifica analogamente la commutativa;
• con metodi analoghi si verificano le altre proprietà.
Proposizioni
Sia V uno spazio vettoriale:
1. lo 0 è unico in V:
se ∃01 , 02 ∈ V =⇒ 01 = 01 + 02 = 02 per gli assiomi;
2. ∀x ∈ V ∃! − x ∈ V
se ∃(−x)1 , (−x)2 ∈ V inversi di x per somma =⇒ (−x)1 = (−x)1 + x + (−x)2 = (−x)2 ;
4
Ateneo Studenti Fisica
Strutture algebriche
3. ∀v ∈ V 0 · v = 0
0 · v = (0 + 0)v = 0 · v + 0 · v =⇒ 0 · v = 0;
4. se α · x = 0 =⇒ o α = 0 o x = 0
se α = 0, ok.
se α 6= 0 =⇒ ∃α−1 ∈ K t. c. α−1 α = 1 =⇒ x = α−1 αx = α−1 · 0 = 0 =⇒ x = 0;
5. (−1)x = −x
x + (−1)x = (1 − 1)x = 0 · x = 0.
Sottospazi vettoriali
Definizione: V spazio vettoriale su K. W ⊂ V si dice sottospazio vettoriale di V se:
• 0 ∈ W;
• ∀x, y ∈ W, x + y ∈ W ;
• ∀α ∈ K, ∀x ∈ W, αx ∈ W .
dove + e · in questo caso sono le restrizioni della somma e del prodotto su V a W .
Costruire sottospazi
Si puó fare prendendo alcuni vettori e il piú piccolo sottospazio che li contiene.
Sia V sp. vett. su K, v1 , . . . , vn ∈ V , c1 , . . . , cn ∈ K. Chiamiamo c1 v1 + . . . + cn vn combinazione lineare
di v1 , . . . , vn . Chiamiamo poi:
span(v1 , . . . , vn ) = {c1 v1 + . . . + cn vn | c1 , . . . , cn ∈ K}
tale insieme è il piú piccolo sottospazio di V contenente v1 , . . . , vn :
• contiene 0 (tutti i ci = 0);
• contiene vi ∀i = 1, . . . , n;
• (a1 v1 + . . . + an vn ) + (b1 v1 + . . . + bn vn ) = (a1 + b1 )v1 + . . . + (an + bn )vn
(la somma di due combinazioni lineari é ancora una combinazione lineare);
• lo stesso per il prodotto per scalare;
• é il piú piccolo per la definizione che ne abbiamo dato: in un sottospazio vettoriale ci devono
stare v1 , . . . , vn e le loro combinazioni lineari. Abbiamo imposto solo questo nella definizione di
span(v1 , . . . , vn ).
Altri sottospazi
Sia V sp. vett. su K, U, W due sottospazi vettoriali di V. Allora U ∩ W è un sottospazio vettoriale di
V. Verifichiamolo:
• contiene 0 (sia U che W lo contengono);
• ∀x, y ∈ U ∩ W, x + y ∈ U ∩ W , infatti x e y appartengono sia ad U che a W . Essendo questi
sottospazi, la somma de due vettori appartiene ancora ad entrambi, quindi alla loro intersezione;
• lo stesso per il prodotto per scalare.
Vogliamo costruire il piú piccolo sottospazio contenente U e W . Notiamo innanzitutto che U ∪ W non
soddisfa la nostra ricerca, in quanto non è chiuso per somma. Chiamiamo:
U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }
La definizione che abbiamo dato é buona, poiché sia u che w appartengono a V , quindi ha senso sommarli.
Ateneo Studenti Fisica
5
Strutture algebriche
Facciamo vedere che é il sottospazio che cercavamo:
• U ⊂ U + W : ∀u ∈ U, u ∈ U + W , perché u = u + 0 (con 0 ∈ W );
• W ⊂ U + W , per lo stesso motivo (con 0 ∈ U );
• 0 ∈ U + W : infatti 0 = 0 + 0;
• ∀u1 , u2 ∈ U, ∀w1 , w2 ∈ W =⇒ (u1 + w1 ) + (u2 + w2 ) = (u1 + u2 ) + (w1 + w2 )
ma (u1 + u2 ) ∈ U, (w1 + w2 ) ∈ W =⇒ (u1 + w1 ) + (u2 + w2 ) ∈ U + W ;
• ∀u ∈ U, ∀w ∈ W, ∀k ∈ K =⇒ k(u + w) = ku + kw
ku ∈ U, kw ∈ W =⇒ k(u + w) ∈ U + W ;
?
• é il piú piccolo: se Z sottosp. vett. t. c. U ⊂ Z, W ⊂ Z =⇒ U + W ⊂ Z:
∀ u + w ∈ U + W, u ∈ U, w ∈ W =⇒ u + w ∈ Z (poiché é sottosp. vett.) =⇒ U + W ⊂ Z
Definizione: se U ∩ W = {0}, allora U + W si denota U ⊕ W e si dice che i due sottospazi sono in
somma diretta tra loro.
Proposizione: in U ⊕ W ogni vettore si scrive in modo unico come: u + w, u ∈ U, w ∈ W .
Dimostrazione: se ∃u1 , u2 ∈ U, ∃w1 , w2 ∈ W t. c. u1 + w1 = u2 + w2 =⇒ u1 − u2 = w1 − w2 .
Ma u1 − u2 ∈ U, w1 − w2 ∈ W =⇒ u1 − u2 ∈ U ∩ W, w1 − w2 ∈ U ∩ W .
Poiché U ∩ W = {0}, u1 − u2 = 0, w1 − w2 = 0, e i vettori sono a due a due uguali.
Definizione: se U é sottospazio vett. di V , un sottospazio W di V si dice supplementare di U se
U ⊕W =V.
N.B.: Il supplementare non é unico.
6
Ateneo Studenti Fisica
Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
Siano V, W K-spazi vettoriali, e sia f : V −→ W un’applicazione. Si dice che f é un’applicazione lineare
se soddisfa:
• ∀x, y ∈ V f (x + y) = f (x) + f (y);
• ∀α ∈ K, ∀x ∈ V f (αx) = αf (x).
Osservazione: Se f é lineare allora f (0) = 0.
Dimostrazione: f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) =⇒ f (0) = 0.
Definiamo la moltiplicazione tra due vettori (uno riga e uno colonna, entrambi con n elementi) e tra una
matrice A ∈ M (p, n, K) e un vettore B ∈ Kn :


b1
n
X

 def
(a1 . . . an ) ·  ...  = a1 b1 + . . . + an bn =
ai bi
bn

a11
 ..
 .
ap1
...
...
 
a1n
..  · 
.  
apn
i=1



b1
a11 b1 + . . . + a1n bn


..  def
..

.  = 
.
bn
ap1 b1 + . . . + apn bn
Osservazione: il vettore risultato della seconda moltiplicazione é un vettore C ∈ Kp
Sia A ∈ M (p, n, K) e sia LA : Kn −→ Kp
X 7−→ AX
Si verifica che LA é un’applicazione lineare. Tutte le applicazioni lineari sono
portuna matrice.
Osservazione: A ∈ M (p, n, K), X ∈ Kn , A · X = x1 A1 + . . . + xn An



1
 0 




Proposizione: sia g : Kn −→ Kp lineare, siano e1 =  .  , . . . , en = 
 .. 

0
formato
da
tutti
0,
eccetto
l’elemento
i-esimo,
uguale
ad
1)
e sia inoltre:


A =  g(e1 ) . . .
infatti prodotte da un’op-

0
.. 
. 
 (ossia ei é il vettore
0 
1
g(en ) . Allora g = LA .
?
Dimostrazione: ∀X ∈ Kn , g(X) = LA (X):
Sapendo che A · X = x1 A1 + . . . + xn An , X = x1 e1 + . . . + xn en e che g é lineare, allora:
LA (X) = AX = x1 A1 + . . . + xn An = x1 g(e1 ) + . . . + xn g(en ) = g(x1 e1 ) + . . . + g(xn en ) =
= g(x1 e1 + . . . + xn en ) = g(X).
Nucleo e Immagine di un’applicazione lineare, Sistemi Lineari
Definizione: Siano V e W due spazi vett. e sia f : V −→ W lineare. Definiamo nucleo e immagine di
f come:
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7
Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
Kerf = {x ∈ V | f (x) = 0}
Imf = {y ∈ W | ∃x ∈ V t. c. f (x) = y}
Osservazione: f é surgettiva ⇐⇒ Imf = W
Proposizione:
1. Kerf é un sottospazio vett. di V ;
2. Imf é un sottospazio vett. di W ;
3. f é iniettiva ⇐⇒ Kerf = {0}
Dimostrazione: :
1.
• 0 ∈ Kerf , poiché f (0) = 0;
• ∀x, y ∈ Kerf =⇒ x + y ∈ Kerf : f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 + 0 = 0;
• ∀x ∈ Kerf, ∀α ∈ K =⇒ αx ∈ Kerf : f (αx) = αf (x) = α · 0 = 0.
2.
• 0 ∈ Imf , poiché f (0) = 0;
• ∀z, w ∈ Imf, ∃x, y ∈ V t. c. z = f (x), w = f (y) =⇒ z + w = f (x) + f (y) =
= f (x + y) =⇒ z + w ∈ Imf ;
• ∀z ∈ Imf, ∃x ∈ V t. c. z = f (x) =⇒ ∀α ∈ K, αz = αf (x) = f (αx) =⇒ αz ∈ Imf .
3. =⇒: Sappiamo che {0} ⊂ Kerf . Facciamo vedere che Kerf ⊂ {0}.
Sia x ∈ Kerf =⇒ f (x) = 0 = f (0). Poiché f é iniettiva: f (x) = f (0) ⇐⇒ x = 0
⇐=: Facciamo vedere che se f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y
f (x) − f (y) = f (x − y) = 0 =⇒ x − y ∈ Kerf =⇒ x − y = 0, x = y
Analogamente: KerLA = {X ∈ Kn | AX = 0}.
Risoluzione di sistemi lineari
Definizione: Si dice sistema lineare di p equazioni in n incognite x1 , . . . , xn un sistema nella forma:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
...



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . + apn xn = bp
tale che aij ∈ K, bk ∈ K.
Definizione: (y1 , . . . , yn ) ∈ Kn é una soluzione di un sistema lineare se é soluzione di tutte le equazioni
che lo compongono. Risolvere un sistema lineare vuol dire trovare tutte le soluzioni.
Definizione: due sistemi lineari si dicono equivalenti fra loro se hanno le stesse soluzioni.
Dedichiamoci ora alla risoluzione dei sistemi lineari. Prima osserviamo che:
Osservazione: i sistemi a scalini sono semplici da risolvere. Essi sono nella forma:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1



a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2
...



app xp + . . . + apn xn = bp
Chiamiamo aii 6= 0 pivot.
É importante che le incognite calino scendendo nel sistema: é possibile, in tale situazione, risolvere l’ultima equazione ricavando xp = a−1
pp (bp − ap,p+1 xp+1 − . . . − apn xn ), sostituire la variabile ricavata nella
precedente equazione e iterare il processo fino ad arrivare alla prima equazione.
8
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Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
Osservazione: : Eseguendo su un sistema lineare le seguenti operazioni elementari si ottiene un sistema
ad esso equivalente:
1. scambiare due equazioni (l’ordine non conta);
2. moltiplicare un’equazione per α ∈ K, α 6= 0;
3. sommare ad una equazione un multiplo di un’altra.
Possiamo vedere un sistema lineare anche nella forma:


a11 . . . a1n
 ..
..  
 .
. 
ap1
...
apn
 
x1
..  = 
.  
xn

b1
.. 
. 
bn
dove la matrice appartiene a M (p, n, K) ed é detta matrice dei coefficienti.
Osservazione: AX = B é risolubile ⇐⇒ ∃Y ∈ Kn t. c. AY = B ⇐⇒ B ∈ ImLA .
Se LA é surgettiva il sistema é sempre risolubile (esiste sempre Y t. c. AY = B).
Se LA é iniettiva il sistema ha un’unica soluzione (se esiste Y soluzione, é unica: LA (X) = LA (Y ) ⇐⇒
X = Y ).
Un sistema a scalini é rappresentato da una matrice a scalini.
Ci preoccupiamo ora di trasformare una matrice in una a scalini. Per far questo possiamo usare le seguenti
operazioni elementari per riga (che altro non sono che le operazioni elementari sopra citate):
1. scambiare due righe;
2. moltiplicare una riga per α ∈ K, α 6= 0 (Ai → αAi );
3. sommare ad una riga un multiplo di un’altra (Ai → Ai + βAj ).
Algoritmo di Gauss
Cominciamo con un esempio:
µ
1
2
2
−1
4
3
¶
½
=
x + 2y = 4
2x − y = 3
Se la prima colonna é non nulla, guardo l’elemento [A]11 . Se é 0, scambio due righe portando al primo
posto una riga il cui primo elemento é diverso da 0. A questo punto (nel nostro esempio) A2 → A2 − 2A1 :
µ
¶
1
2
4
0 −5 −5
Faccio in modo che sotto al primo pivot non rimangano che 0, quindi itero il procedimento considerando
il secondo pivot (l’elemento di posto [A]22 ) senza toccare piú la prima riga.
Enunciamo ora l’algoritmo di Gauss per ridurre una matrice A a scalini utilizzando le operazioni per riga:
1. sia j1 il minimo intero t. c. Aj1 6= 0 (prendo la prima colonna non nulla);
2. a meno di scambiare due righe posso supporre che [A]1j1 6= 0;
3. ∀i > 1 sostituisco Ai → Ai − ([A]−1
1j1 · [A]ij1 ) · A1 ;
4. itero il procedimento sulla sottomatrice ottenuta scartando la prima riga e le prime j1 colonne.
Esempio:



1 2 3
1
0
 1 2 4 −3  →  0
2 1 0
1
0
2
0
−3
3
1
−6


1
2
0
−3  →  0 −3
1
0
0

3
0
1 
−6
1 −3
Teorema:
1. Tramite un numero finito di operazioni per riga ogni matrice puó essere trasformata in una a scalini.
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9
Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
2. Ogni sistema AX = B é equivalente ad un sistema a scalini (cioé ad A1 X = B1 con (A1 |B1 ) a
scalini).
Osservazione: se AX = B é un sistema equivalente a SX = T , dove (S | T ) é a scalini:
• il sistema é risolubile ⇐⇒ numero di pivots di S = numero di pivots di (S | T );
• se é risolubile, ricavo r variabili in funzione di n − r parametri.
Prodotto di Matrici
Siano f e g due applicazioni lineari tale che:
f
g
Kn −→ Kp −→ Kq
con f (X) = AX e g(X) = BX, dove A ∈ M (p, n, K), B ∈ M (q, p, K).
Osservazione: La composizione di due applicazioni lineari é lineare:
¡
¢
¡
¢
¡
¢
¡
¢
• (g ◦ f )(x + y) = g f (x + y) = g f (x) + f (y) = g f (x) + g f (y) = (g ◦ f )(x) + (g ◦ f )(y);
¡
¢
¡
¢
¡
¢
• (g ◦ f )(αx) = g f (αx) = g αf (x) = αg f (x) = α(g ◦ f )(x).
Anche (g ◦ f ) deve essere indotta da una matrice: ∃C ∈ M (q, n) t. c. (g ◦ f )(X) = CX ∀X ∈ Kn .
Per capire come la matrice C derivi dalle matrici A e B, calcoliamo l’elemento di posto j nel vettore
(g ◦ f )(X) ∈ Kq . Utilizziamo la notazione [(g ◦ f )(X)]j1 in quanto vediamo il vettore come una matrice
con q righe e 1 colonna.
Ricordiamo inoltre che data una matrice A ∈ M (p, n, K) e un vettore X ∈ Kn :
[AX]i1
n
X
¡
¢
=
[A]ik · [X]k1
k=1
[(g◦f )(X)]j1 = [B(AX)]j1 =
p
X
[B]jh ·[AX]h1 =
p
X
h=1
h=1
!
Ã p
n
n
X
X
¡
¢ X
[B]jh ·
[B]jh · [A]hi ·[X]i1
[A]hi ·[X]i1 =
i=1
i=1
h=1
Dunque se B · A ∈ M (q, n) allora:
[AX]ji =
p
X
[B]jh · [A]hi = Bj · Ai
h=1
Poiché si moltiplica la j-esima riga di B per la i-esima colonna di A, tale prodotto viene detto: prodotto
riga per colonna.
Osservazione: non sempre due matrici sono moltiplicabili: abbiamo visto che la prima deve avere un
numero di colonne pari al numero di righe della seconda.
Si verifica che, nei casi in cui il prodotto ha senso:
• (AB)C = A(BC)
• (λA)B = λ(AB)
• (A + B)C = AC + BC
• A(B + C) = AB + AC
• Ip A = AIq = A, ∀A ∈ M (p, q), In ∈ M (n, n) t. c. [In ]ii = 1, [In ]ji = 0 j 6= i


1
0


..
La matrice In , detta matrice identica é nella forma: 

.
0
1
10
Ateneo Studenti Fisica
Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari
Ci restingiamo ora al caso delle matrici quadrate,¡ ossia quelle
¢ in cui il numero di righe e di colonne é lo
stesso. Le indichiamo con M (n). Consideriamo M (n), +, · , con · restrizione del prodotto fra matrici
all’insieme delle matrici quadrate. Esso é un anello non commutativo.
Facciamo vedere con un esempio che non vale le proprietá commutativa:
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 2
2 −1
2 5
·
=
3 1
0
3
6 0
µ
2
0
−1
3
¶ µ
1
·
3
2
1
¶
µ
=
−1
9
3
3
¶
Dimostriamo che non esiste l’inverso per tutti gli elementi dell’anello (e dimostriamo quindi che é effettivamente un anello e nonµun corpo).
¶
1 1
Consideriamo la matrice
6= 0 e facciamo vedere che non esiste nessuna matrice che, moltipli0 0
candola a destra, ci dia la matrice identitá:
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 1
a b
a+b c+d
1 0
·
=
=
0 0
c d
0
0
0 1
Ne ricaviamo un assurdo, poiché abbiamo 0 = 1.
Definizione: sia A un anello, a ∈ A, a 6= 0 si dice divisore di zero se ∃b ∈ A, b 6= 0 t. c. a · b = 0.
Osservazione: un campo e un corpo non contengono divisori di 0 (a causa dell’esistenza dell’inverso).
Facciamo vedere che l’anello considerato contiene divisori di 0:
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 0
0 0
0 0
·
=
0 0
1 1
0 0
Definizione: A ∈ M (n) si dice nilpotente se ∃m ∈ N t. c. Am = 0.
La seguente matrice é nilpotente:
µ
¶ µ
¶ µ
¶
0 1
0 1
0 0
·
=
0 0
0 0
0 0
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11
Dimensione e base di uno spazio
vettoriale
Definizione: V spazio vettoriale si dice finitamente generato se ∃v1 , . . . , vn t. c. V = span(v1 , . . . , vn ),
cioé
n
X
∀v ∈ V ∃c1 , . . . , cn ∈ K t. c. v =
ci vi
i=1
.
Osservazione:
¡ R[x]
¢ non é finitamente generato. Se p1 (x), . . . , pm (x) fossero generatori, detto
s = max deg pi (x) , ∀i = 1, . . . , m, non si potrebbero ottenere polinomi di grado maggiore ad s.
Definizione: v1 , . . . , vn ∈ V si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare nulla dei
vi é quella con i coefficienti tutti nulli. Ossia:
c1 v1 + . . . + cn vn = 0 ⇐⇒ c1 = . . . = cn = 0
Definizione: {v1 , . . . , vn } si dice base di V se sono generatori di V e linearmente indipendenti.
Esempi:
{e1 , . . . , en } sono una base di Kn
{1, x, . . . , xd } sono una base di Kd [x], ossia il sottospazio vettoriale di K[x] contenente i polinomi di grado
minore o uguale a d.
Osservazione: v ∈ V é linearmente indipendente =⇒ v 6= 0.
Proposizione: se uno almeno fra v1 , . . . , vk é nullo =⇒ v1 , . . . , vk sono linearmente dipendenti;
Dimostrazione: se v1 = 0 =⇒ v1 + 0 · v2 + . . . + 0 · vn = 0, ma il primo coefficiente é non nullo.
Proposizione: Sia k ≥ 2. v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti ⇐⇒ almeno uno di essi é combinazione lineare degli altri.
Dimostrazione:
=⇒: ∃α1 , . . . , αk ∈ K non tutti nulli t. c. α1 v1 + . . . + αk vk = 0.
Se per esempio: α1 6= 0 =⇒ α1 v1 = −(α2 v2 + . . . + αk vk ) =⇒ v1 = −α1−1 (α2 v2 + . . . + αk vk ). Cioé v1 é
combinazione lineare degli altri vettori.
⇐=: Se v1 = b2 v2 + . . . + bk vk =⇒ v1 − b2 v2 − . . . − bk vk = 0, ossia sono linearmente dipendenti.
Osservazione: v1 , . . . , vk sono vettori linearmente indipendenti e m ≤ k =⇒ v1 , . . . , vm sono linearmente indipendenti.
Osservazione: se vp ∈ span(v1 , . . . , vp−1 ) =⇒ span(v1 , . . . , vp ) = span(v1 , . . . , vp−1 ).
Proposizione: Se B = {v1 , . . . , vm } é una base di V , allora ogni v ∈ V si scrive in modo unico come:
v = a1 v1 + . . . + am vm . a1 , . . . , am si dicono coordinate di v rispetto alla base B e si scrive [v]B .
Dimostrazione:
Se v = a1 v1 + . . . + am vm = b1 v1 + . . . + bm vm =⇒ (a1 − b1 )v1 + . . . + (am − bm )vm = 0.
Essendo v1 , . . . , vm linearmente indipendenti: ai − bi = 0 ∀i = 1, . . . , m =⇒ ai = bi ∀i = 1, . . . , m.
In uno spazio Kn le componenti di un vettore coincidono con le coordinate, se si una la base canonica
C = {e1 , . . . , en }.
12
Ateneo Studenti Fisica
Dimensione e base di uno spazio vettoriale
Fissare B base di V significa fissare l’applicazione: [ ]B : V −→ Kn .
Verifichiamo che l’applicazione [ ]B é lineare:
?
• [ ]B (v + w) = [ ]B (v) + [ ]B (w)
v = a1 v1 + . . . + an vn , w = b1 v1 + . . . + bn vn

 
 
a1 + b1
a1
b1

  ..   ..
.
.
[v + w]B = 
= . + .
.
an + bn
an
=⇒ v + w = (a1 + b1 )v1 + . . . + (an + bn )vn


 = [v]B + [w]B ;
bn
• allo stesso modo per il multiplo.
¡
¢
[ ]B é iniettiva: se v¡ ∈ Ker[ ]B ¢=⇒ [v]B = 0, . . . , 0 ¡=⇒ v = 0 ·¢v1 + . . . + 0 · vn .
[ ]B é surgettiva: ∀ c1 , . . . , cn ∃v ∈ V t. c. [v]B = c1 , . . . , cn , basta prendere v = c1 v1 + . . . + cn vn .
Definizione: un’applicazione lineare inettiva e surgettiva si dice isomorfismo.
Definizione: quando tra due spazi vettoriale c’é un isomorfismo si dicono isomorfi.
Teorema: sia {v1 , . . . , vn } una base di V , e siano w1 , . . . , wp p vettori di V . Se p > n =⇒ w1 , . . . , wp
sono linearmente dipendenti.
Dimostrazione: Essendo {v1 , . . . , vn } una base posso scrivere w1 , . . . , wp come loro combinazioni lineari:
w1 = a11 v1 + . . . + an1 vn
w2 = a12 v1 + . . . + an2 vn
..
.
wp = a1p v1 + . . . + anp vn
Cerco α1 , . . . , αp non tutti nulli t. c. α1 w1 + . . . + αp wp = 0:
0 = α1 w1 + . . . + αp wp = α1 (a11 v1 + . . . + an1 vn ) + . . . + αp (a1p v1 + . . . + anp vn ) =
= (a11 α1 + . . . + a1p αp )v1 + . . . + (an1 α1 + . . . + anp αp )vn
Ma v1 , . . . , vn sono tutti linearmente indipendenti, quindi una loro combinazione lineare nulla si ottiene
 sono se i coefficienti sono tutti nulli, cioé se:
 a11 α1 + . . . + a1p αp = 0

..
.


an1 α1 + . . . + anp αp = 0
Quindi (α1 , . . . , αp ) devono essere soluzioni del sistema lineare omogeneo (i cui termini noti sono tutti
nulli)
é:
 la cui matrice associata

a11 . . . a1p
 ..
..  ∈ M (n, p)
 .
. 
an1 . . . anp
Sappiamo che un sistema omogeneo ha sempre soluzione (almeno la soluzione nulla), ma ci interessa che
ne abbia almeno un’altra non nulla. Osserviamo che il numero di pivot é al piú n, ma n < p, quindi esiste
almeno un’altra soluzione (α1 , . . . , αp ) non nulla.
Corollario: se B = {v1 , . . . , vn } e S = {w1 , . . . , wp } sono due basi di V =⇒ n = p
Dimostrazione: dal teorema n ≥ p, ma anche p ≥ n, poiché sono entrambe basi =⇒ n = p
Definizione:
se V ammette una base ©Bª= {v¢1 , . . . , vn }, si dice che V ha dimensione n e si indica
¡
dimV = n per convenzione si pone dim 0 = 0 .
© ª
Proposizione: sia V 6= 0 . Da ogni insieme finito di generatori é possibile estrarre una base di V (ogni
spazio vettoriale finitamente generato ammette una base).
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13
Dimensione e base di uno spazio vettoriale
Dimostrazione: sia v1 , . . . , vk un insieme di generatori di V©. Posso
supporre
ª
© ªvi 6= 0 ∀i = 1, . . . , k.
v1 é linearmente indipendente©poichéª é diverso da 0. Se span v1 = V =⇒ v1 é base di V .
Altrimenti consideriamo
v2 , altrimenti
© v2 e v1 , vª2 . Se sono linearmente indipendenti allora
© tengo
ª
©
ª lo si
scarta e© i rimanenti
v
,
v
,
.
.
.
,
v
sono
ancora
generatori,
poiché
v
∈
span
v
=⇒
span
v
,
v
k ª
2
1
1 2 =
ª
©1 3
©
ª
= span v1 =⇒ span v1 , v3 , . . . , vk = span v1 , v2 , v3 , . . . , vk .
Si itera l’algoritmo per gli altri generatori. Alla fine si ottiene una lista di vettori linearmente indipendenti
e generatori.
Corollario: se v1 , . . . , vk generano V =⇒ dimV ≤ k
Lemma: se dimV = n e v1 , . . . , vn sono linearmente indipendenti =⇒ {v1 , . . . , vn } é una base di V .
Dimostrazione: se per assurdo v1 , . . . , vn non generano V =⇒ ∃v ∈ V − span(v1 , . . . , vn ). Allora
v1 , . . . , vn , v sono linearmente indipendenti, infatti sia a1 v1 + . . . + an vn + bv = 0; sicuramente b = 0 altrimenti v ∈ span(v1 , . . . , vn ), ma v1 , . . . , vn sono linearmente indipendenti, quindi a1 = 0 ∀i = 1, . . . , n.
Abbiamo allora trovato n + 1 vettori linearmente indipendenti, ma dimV = n. Assurdo.
Teorema: (di completamento a base) se dimV = n e {v1 , . . . , vk } sono vettori linearmente indipendenti,
(k ≤ n) =⇒ ∃vk+1 , . . . , vn ∈ V t. c. {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn } é una base di V .
Dimostrazione: se k = n é giá una base. Se k < n =⇒ v1 , . . . , vk =⇒ span(v1 , . . . , vk ) ⊂ V . Quindi
∃vk+1 ∈ V − span(v1 , . . . , vk ) t. c. v1 , . . . , vk , vk+1 sono linearmente indipendenti. Se k + 1 = n la base
é trovata, altrimenti si itera il procedimento cercando vk+2 ∈ V − span(v1 , . . . , vk+1 ).
Osservazione: se v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti e conosco una base B = {w1 , . . . , wn } di
V =⇒ posso completare v1 , . . . , vk a base cosı́: {v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wn }. Ottengo in tal modo un insieme
di generatori di V non tutti linearmente indipendenti. Da questo, applicando l’algoritmo sopra esposto,
estraggo una base di V della forma: S = {v1 , . . . , vn , w1 , . . . , win−k }.
Proposizione: sia V uno spazio vettoriale finitamente generato, W ⊂ V sottospazio vettoriale =⇒ W
é finitamente generato e dimW ≤ dimV .
Dimostrazione: se W = {0} sicuramente dimV ≥ 0. Sia quindi W 6= {0} =⇒ ∃w1 ∈ W, w1 6= 0.
{w1 } é linearmente indipendente in W e anche in V , poiché w1 ∈ V e la verifica da fare é la stessa.
Ora, se span(w1 ) = W =⇒ dimW = 1 e dimV ≥ 1.
Altrimenti se span(w1 ) ⊂ W =⇒ ∃w2 ∈ W − span(w1 ) t. c. {w1 , w2 } sono linearmente indipendenti in
V e W . Si itera il procedimento un numero finito di volte, al piú pari a dimV , poiché quest’ultimo é
finitamente generato.
Corollario: se dimW = dimV, W ⊂ V =⇒ W = V .
Dimostrazione: dimW = n =⇒ B = {w1 , . . . , wn } é base di W . Ma w1 , . . . , wn ∈ V , sono linearmente
indipendenti e generatori, sono n = dimV =⇒ V = span(w1 , . . . , wn ) = W .
Formula di Grassman
Sia V uno spazio vettoriale, e siano U, W ⊂ V sottospazi vettoriali. Allora:
dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩ W )
Dimostrazione: sia {v1 , . . . , vm } una base di U ∩ W . Possiamo completare a base di U e di W :
∃um+1 , . . . , up ∈ U t. c. {v1 , . . . , vm , um+1 , . . . , up } base di U . Allora dimU = p.
∃wm+1 , . . . , wq ∈ W t. c. {v1 , . . . , vm , wm+1 , . . . , wq } base di W . Quindi dimW = q.
Proviamo che dim(U + W ) = p + q − m; basta provare che {v1 , . . . , vm , um+1 , . . . , up , wm+1 , . . . , wq } é
una base di U + W , poiché sono nel numero giusto. Dimostriamo innanazitutto che sono generatori:
∀u + w ∈ U + W :
u = a1 v1 + . . . + am vm + bm+1 um+1 + . . . + bp up ;
w = c1 v1 + . . . + cm vm + dm+1 wm+1 + . . . + dq wq ;
quindi ogni u + w ∈ U + W si scrive come combinazione lineare di questi vettori. Dimostriamo ora che
sono linearmente indipendenti:
a1 v1 + . . . + am vm + bm+1 um+1 + . . . + bp up + cm+1 wm+1 + . . . + cq wq = 0
a1 v1 + . . . + am vm + bm+1 um+1 + . . . + bp up = −(cm+1 wm+1 + . . . + cq wq )
14
Ateneo Studenti Fisica
Dimensione e base di uno spazio vettoriale
quindi cm+1 wm+1 +. . .+cq wq appartiene sia a W (poiché combinazione di wm+1 , . . . , wq ), sia a U (poiché
combinazione lineare di v1 , . . . , vm , um+1 , . . . , up base di U ). Allora:
cm+1 wm+1 + . . . + cq wq ∈ U ∩ W =⇒ ∃α1 , . . . , αm t. c. cm+1 wm+1 + . . . + cq wq = α1 v1 + . . . + αm vm
La combinazione lineare nulla di cui sopra diventa:
a1 v1 + . . . + am vm + bm+1 um+1 + . . . + bp up + α1 v1 + . . . + αm vm = 0
Essa é una combinazione lineare nulla dei vettori della base di U , che sono linearmente indipendenti.
Sicuramente quindi bi = 0 ∀i = m + 1, . . . , p. In tal modo abbiamo che:
a1 v1 + . . . + am vm + cm+1 wm+1 + . . . + cq wq = 0
Ma tali vettori formano una base di W =⇒ i coefficienti di una loro combinazione lineare nulla sono tutti
nulli. Dunque {v1 , . . . , vm , um+1 , . . . , up , wm+1 , . . . , wq } é una base di U + W .
Corollario: se U ∩ W = {0} =⇒ dim(U ⊕ W ) = dimU + dimW .
Proposizione: sia V uno spazio vettoriale, U ⊂ V sottospazio vettoriale. Sia {u1 , . . . , up } una base di
U , ∃vp+1 , . . . , vn ∈ V t. c. {u1 , . . . , up , vp+1 , . . . , vn } é una base di V . Sia Z = span(vp+1 , . . . , vn )
=⇒ V = U ⊕ Z.
Dimostrazione: facciamo innanzitutto vedere che U ∩ Z = {0}:
Se v ∈ U ∩ Z allora possiamo scrivere v come:
v = a1 u1 + . . . + ap up , dato che v ∈ U e
v = bp+1 vp+1 + . . . + bn vn , dato che v ∈ Z.
Allora, eguagliando le due espressioni:
a1 u1 + . . . + ap up − bp+1 vp+1 − . . . − bn vn = 0.
Ma una combinazione lineare nulla dei vettori della base di V é possibile se e solo se i coefficienti sono
tutti nulli. Allora v = 0 é l’unico vettore in U ∩ Z.
Mostriamo ora che U ⊕ Z = V . Sappiamo che:
dim(U ⊕ Z) = dimV , ma anche U ⊕ Z ⊂ V =⇒ U ⊕ Z = V .
Proposizione: sia V = U ⊕ Z, B = {u1 , . . . , up } base di U , S = {z1 , . . . , zq } base di Z. Allora B ∪ S é
base di V .
Dimostrazione: Sicuramente sono generatori, visto la loro somma diretta é V . Facciamo vedere che
sono anche linearmente indipendenti:
α1 u1 + . . . + αp up + β1 z1 + . . . + βq zq = 0 =⇒ α1 u1 + . . . + αp up = −(β1 z1 + . . . + βq zq )
Allora sia α1 u1 + . . . + αp up che β1 z1 + . . . + βq zq appartengono contemporaneamente a U e Z, quindi
appartengono a U ∩ Z.
Ma U ∩ Z = {0}, quindi:
α1 u1 + . . . + αp up = 0
β1 z1 + . . . + βq zq = 0
Essendo u1 , . . . , up linearmente indipendenti (poiché formano una base di U ), cosı́ come z1 , . . . , zq , tutti
i coefficienti αi , βi sono zero, quindi i vettori {u1 , . . . , up , z1 , . . . , zq } sono tra loro tutti linearmente
indipendenti e formano una base di V .
Ateneo Studenti Fisica
15
Rango di un’applicazione lineare
Lemma: siano V e W due spazi vettoriali, f : V −→ W un’applicazione lineare. Allora
1. se v1 , . . . , vk sono vettori linearmente indipendenti in V e f é iniettiva =⇒ f (v1 ), . . . , f (vk ) sono
indipendenti in W ;
2. se v1 , . . . , vk generano V =⇒ f (v1 ), . . . , f (vk ) generano Imf (se f é surgettiva generano W ).
Dimostrazione:
1. a1 f (v1 ) + . . . + ak f (vk ) = f (a1 v1 + . . . + ak vk ) = 0 =⇒ a1 v1 + . . . + ak vk ∈ Kerf = {0} =⇒
=⇒ a1 = . . . = ak = 0;
2. ∀f (y) ∈ Imf, y ∈ V, ∃b1 , . . . , bk t. c. y = b1 v1 + . . . + bk vk =⇒ f (y) = f (b1 v1 + . . . + bk vk ) =
= b1 f (v1 ) + . . . + bk f (vk ). Ogni vettore in Imf é generato da f (v1 ), . . . , f (vk ).
Corollario: se f é un isomorfismo =⇒ f trasforma una base di V in una di W .
Teorema: (formula delle dimensioni) sia f : V −→ W lineare =⇒ dimV = dimKerf + dimImf .
Dimostrazione: sia dimV = n, dimKerf = p. Proviamo che dimImf = n − p.
Sia {v1 , . . . , vp } una base di Kerf . La completiamo a base di V : B = {v1 , . . . , vp , vp+1 , . . . , vn } =⇒
=⇒ f (v1 ), . . . , f (vp ), f (vp+1 ), . . . , f (vn ) generano Imf (per il Lemma 2). Ma f (v1 ) = . . . = f (vp ) = 0,
quindi basta dimostrare che f (vp+1 ), . . . , f (vn ) sono linearmente indipendenti:
0 = ap+1 f (vp+1 ) + . . . + an f (vn ) = f (ap+1 vp+1 + . . . + an vn ) =⇒ ap+1 vp+1 + . . . + an vn ∈ Kerf =⇒
=⇒ ∃b1 , . . . , bp ∈ K t. c. ap+1 vp+1 + . . . + an vn = b1 v1 + . . . + bp vp =⇒
=⇒ ap+1 vp+1 + . . . + an vn − (b1 v1 + . . . + bp vp ) = 0 =⇒ ap+1 = . . . = an = b1 = . . . = bp = 0
Poiché sono tutti vettori di una base di V , quindi linearmente indipendenti. Dunque dimImf = n − p =
= dimV − dimKerf .
Conseguenze:
1. dimImf ≤ dimV ;
2. se dimV = dimW, f é iniettiva ⇐⇒ f é surgettiva
Dimostrazione: (=⇒): f iniettiva =⇒ Kerf = {0} =⇒ dimW = dimV = dimImf =⇒ essendo
Imf ⊂ W, dimImf = dimW =⇒ Imf = W .
(⇐=): f surgettiva ⇐⇒ Imf = W =⇒ dimKerf = dimV − dimImf = dimV − dimW = 0 =⇒
=⇒ Kerf = {0} =⇒ f é iniettiva;
Corollario: V, W K-spazi vettoriali, V, W sono isomorfi ⇐⇒ dimV = dimW .
Dimostrazione:
(⇐=) : dimV = dimW = n =⇒ V ∼
= Kn ∼
= W.
(=⇒) : ∃f : V −→ W isomorfismo di spazi vettoriali =⇒ Kerf = {0}, Imf = W =⇒ dimV =
dimKerf + dimImf = dimW .
Si dice che V e W appartengono alla stessa classe di equivalenza.
Classe di Equivalenza
Definizione: Sia E un insieme. Data R una relazione tra gli elementi dell’insieme, é possibile stabilire
se, presi due elementi di E, essi sono in relazione fra loro. In particolare R é una relazione di equivalenza
16
Ateneo Studenti Fisica
Rango di un’applicazione lineare
se valgono le seguenti proprietá:
• riflessiva: ∀x ∈ E xRx;
• simmatrica: ∀x, y ∈ E, xRy =⇒ yRx;
• transitiva: ∀x, y, z ∈ E, xRy e yRz =⇒ xRz.
Definizione: ∀x ∈ E, R relazione di equivalenza, si dice classe di equivalenza di x l’insieme: [x] = {y ∈
E | yRx}
Proprietá:
1.
S
[x] = E (ossia le classi di equivalenza ricoprono E);
2. [x] = [y] ⇐⇒ xRy:
Dimostrazione: (=⇒): x ∈ [x] = [y] =⇒ x ∈ [y] =⇒ xRy per definizione di classe d’equivalenza.
(⇐=): ∀z ∈ [x] zRx, poiché si ha anche che xRy =⇒ zRy (proprietá transitiva) =⇒ z ∈ [y]. Vale
il viceversa: ∀z ∈ [y] zRy, yRx (proprietá riflessiva) =⇒ zRx =⇒ z ∈ [x];
3. se [x] 6= [y] =⇒ [x] ∩ [y] = ∅.
Definizione: dato E un insieme, R una relazione d’equivalenza, si dice insieme quoziente:
E/R = {[x] | x ∈ E}
Proposizione: siano V , W e Z tre spazi vettoriali, e siano f, g due applicazioni lineari tali che:
f
g
V −→ W −→ Z:
¡
¢
1. dimIm(g ◦ f ) ≤ min dimImf, dimImg ;
2. se f é un isomorfismo =⇒ dimIm(g ◦ f ) = dimImg;
3. se g é un isomorfismo =⇒ dimIm(g ◦ f ) = dimImf .
Dimostrazione: :
1. dimIm(g ◦ f ) = dimIm(g |
) = dimImf − dimKer(g |
) ≤ dimImf .
Imf
Imf
Im(g ◦ f ) ⊆ Img =⇒ dimIm(g ◦ f ) ≤ dimImg.
¡
¢
Allora, dovendo essere minore dell’una e dell’altra: dimIm(g ◦ f ) ≤ min dimImf, dimImg ;
2. f isomorfismo =⇒ f surgettiva, quindi Imf = W . Allora:
dimIm(g ◦ f ) = dimIm(g |
) = dimIm(g | ) = dimImg;
W
Imf
3. g isomorfismo =⇒ g iniettiva, quindi Kerg = {0}. Allora:
dimIm(g ◦ f ) = dimImf − dimKer(g |
) = dimImf − dim{0} = dimImf .
Imf
Teorema: sia dimV = n e sia B = {v1 , . . . , vn } una base di V . Siano w1 , . . . , wn vettori di W . =⇒
∃!f lineare tale che f : V −→ W e f (vi ) = wi ∀i = 1, . . . , n.
Dimostrazione:
Esistenza:
∀v ∈ V, ∃a1 , . . . , an ∈ K, unici, t. c. v = a1 v1 + . . . + an vn .
Definiamo f (v) = a1 w1 + . . . + an wn . Proviamo che tale definizione verifica i vincoli, ossia che f definita
in questo modo é lineare:
• ∀v, w ∈ V, v ¡= a1 v1 + . . . + an vn , w = b1 v¢1 + . . . + bn vn .
f (v +w) = f (a1 +b1 )v1 +. . .+(an +bn )vn = (a1 +b1 )w1 +. . .+(an +bn )wn = a1 w1 + . . . + an wn +
+ b1 w1 + . . . + bn wn = f (v) + f (w);
• Lo stesso si fa per il multiplo.
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17
Rango di un’applicazione lineare
Unicitá:
∀v ∈ V, v = a1 v1 + . . . + an vn .
Se f é un’applicazione lineare tale che f (vi ) = wi ∀i = 1, . . . , n, allora:
f (v) = f (a1 v1 + . . . + an vn ) = a1 f (v1 ) + . . . + an f (vn ) = a1 w1 + . . . + an wn .
Quindi la definizione che abbiamo dato é l’unica affiché f fosse lineare.
Definizione: sia f un’applicazione lineare. Si dice rango di f (e si indica rkf ) la dimensione di Imf .
Cominciamo considerando le matrici M (p, q, K), ovvero le applicazioni lineari da Kq a Kp .
Se A ∈ M (p, q, K), data C = {e1 , . . . , eq } la base canonica di Kq , abbiamo dimostrato che Ae1 , . . . , Aeq
generano l’immagine di A.
Ma Aei = Ai , ossia l’i-esima colonna di A. Quindi: ImA = span(A1 , . . . , Aq ).
Proposizione: sia A ∈ M (p, n) e sia S una sua ridotta a scala. Allora rkA = rkS.
Dimostrazione: dalla formula delle dimensioni:
rkA = dimImA = dimKn − dimKerA = n − dimKerA;
rkS = n − dimKerS.
Ma KerA = KerS. Infatti essi sono gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi lineari omogenei associati:
AX = 0 e SX = 0. Essendo essi due sistemi equivalenti (S é ottenuto da A tramite riduzione di Gauss)
hanno le stesse soluzioni, cioé KerA = KerS =⇒ rkA = rkS.
Calcolo del rango di una matrice a scalini S e di una base di ImS
Proposizione: sia S ∈ M (p, n, K), con p1 , . . . , pr r pivots non nulli nelle colonne S j1 , . . . , S jr . Allora
esse formano una base di ImS e che, quindi, rkS = r.
Dimostrazione: S j1 , . . . , S jr sono linearmente indipendenti:
a1 S j1 +. . .+ar S jr = 0. Dalla prima somma otteniamo un vettore. Consideriamo l’ultima componente
non nulla di tale vettore (che otteniamo dalla sola colonna S jr ):

 

..
..
 .   . 
 ar pr  =  0 
0
0
Affinché sia uguale a 0, poiché pr 6= 0 per ipotesi =⇒ ar = 0. Si itera il procedimento, considerando che
ora l’ultima componente non nulla é data dalla colonna S jr−1 .
Sono generatori:
facciamo vedere che ∀i 6= j1 , . . . , jr , S i é una combinazione lineare di S j1 , . . . , S jr , ossia che
∃a1 , . . . , ar ∈ K t. c. S i = a1 S j1 + . . . + ar S jr . Cercare a1 , . . . , ar significa cercare le soluzioni del
seguente sistema lineare:

  a  

1
. 
 S j1 . . . S jr  · 
 ..  =  S i 
ar
Sappiamo che la soluzione esiste se non compare un pivot nella colonna dei termini noti. Nel nostro caso
tutte le colonne in cui compaiono pivot sono S j1 , . . . , S jr , quindi esiste la soluzione, poiché abbiamo posto
i 6= j1 , . . . , jr .
Corollario: In particolare il numero di pivots non dipende dalla riduzione a scala (abbiamo dimostrato
che il rango é invariante rispetto alla riduzione di Gauss).
Matrici Elementari e invertibili
Sia M ∈ M (m, n). Le mosse di Gauss per riga si realizzano moltiplicando M a sinistra con opportune
matrici elementari, che si ottengono apportando modifiche alla matrice identitá:
18
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Rango di un’applicazione lineare
1. scambiare due righe i, j t. c. i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ m. La relativa matrice elementare (Aij ) si ottiene
dalla matrice identitá scambiando la riga i-esima con la j-esima;
2. moltiplicare la riga i-esima per k: basta moltiplicare la i-esima riga della matrice identitá per k e
otteniamo la matrice elementare (Bik );
3. aggiungere alla i-esima riga k volte la j-esima:

I

1

Cijk = 








k
I
1
I
dove si é indicata con I un’opportuna matrice identitá (ossia una serie di 1 sulla diagonale). k
compare nel posto [C]ij .
Sappiamo che le mosse di Gauss sono invertibili, quindi devono essere indotte da matrici invertibili. Infatti:
A2ij = I (scambiando due volte le righe i, j otteniamo nuovamente la matrice di partenza);
Bi k1 · Bik = I (moltiplicando la riga i per k e k1 otteniamo la riga stessa);
Ci,j,k · Ci,j,−k = I (sommiamo e sottraiamo la stessa riga moltiplicata per k).
Osservazione: Per ottenere le mosse di Gauss sulle colonne, anziché sulle righe, basta utilizzare le stesse
matrici elementari moltiplicando a destra.
Proposizione: Sia A ∈ M (n) (A : Kn −→ Kn ). Sono fatti equivalenti:
1. A é una matrice invertibili;
2. A é un isomorfismo;
3. rkA = n.
Dimostrazione:
(1) ⇐⇒ (2): A matrice invertibile ⇐⇒ ∃B ∈ M (n) t. c. A · B = B · A = I ⇐⇒ (considerando A e B
come applicazioni lineari) B é l’inversa di A ⇐⇒ A é bigettiva ⇐⇒ A é un isomorfismo.
(2) ⇐⇒ (3): A isomorfismo ⇐⇒ n = dim(Kn ) = dim(ImA) + dim(KerA) = rkA + dim{0} = rkA.
¡
¢
Teorema: (di Rouché-Capelli
¡ ) ¢AX =¡B é ¢risolubile ⇐⇒ rkA = rk A|B .
Dimostrazione:
(sono
equivalenti ). Sappiamo che rkA = rkS,
¡
¢
¡
¢(idea)¡ A|B
¢ → S|T a scalini
¡
¢
rk A|B = rk S|T . Ma S|T é risolubile ⇐⇒ rk S|T = rkS.
Data A ∈ M (p, n) sappiamo che ImA = span(A1 , . . . , An ). Resta da determinare una base di ImA,
sapendo che dim(ImA) = rkA = rkS = r. A tal proposito consideriamo una qualunque riduzione di
Gauss che trasforma la matrice A in S (a scalini). Sappiamo che ∃E1 , . . . , Em matrici elementari tali
che:
S = Em · . . . · E1 · A
Detta M = Em · . . . · E1 , possiamo dare un’interpretazione dell’algoritmo di Gauss sotto forma di
applicazioni lineari:
A
M
Kn −→ Kp −→ Kp
Sappiamo che M é una matrice invertibile (poiché prodotto di matrici invertibili), dunque é un isomorfismo di spazi vettoriali. Ma un isomorfismo manda basi in basi, quindi M trasforma una base di ImS in
una di ImA.
Sia {S j1 , . . . , S jr } una base di ImS. Poiché M · Aj = S j :
M · Aj1 = S j1
..
.
M · Ajr = S jr
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19
Rango di un’applicazione lineare
Di conseguenza {Aj1 , . . . , Ajr } sono una base di ImA.
Conseguenza: Algoritmo di estrazione di una base per span(v1 , . . . , vm ), v1 , . . . , vm ∈ Kp . Costruiamo
la seguente matrice:


 v1
...
vm  ∈ M (p, m).
Allora span(v1 , . . . , vm ) = ImA. Per trovare la base cercata si considerano le colonne che in una ridotta
a scala contengono i pivots. Abbiamo visto che tali colonne formano una base di ImA, quindi anche di
span(v1 , . . . , vm ).
Osservazione: sia V un qualsiasi spazio vettoriale, non necessariamente Kn , e siano v1 , . . . , vm vettori
di V da cui vogliamo estrarre una base di span(v1 , . . . , vm ). Fissata B una base di V , abbiamo l’isomorfismo [ ]B : V −→ Kn . Si applica l’algoritmo di estrazione di una base a [v1 ]B , . . . , [vn ]B .
Calcolo della matrice inversa attraverso l’algoritmo di Gauss
Sia A ∈ M (n)µ t. c. rkA
¶ = n. Cerchiamo X tale che AX = I (inversa a destra).
1 2
Es. Sia A =
. Si puó calcolare il rango attraverso una riduzione di Gauss e vedere che rkA = 2.
1 3
Cerchiamo una matrice X tale che:
µ
¶ µ
¶ µ
¶
1 2
x y
1 0
·
=
1 3
z t
0 1
Ossia
AX 1 = I 1¶, AXµ2 = I 2 . Possiamo
il sistema
µ
¶ rappresentare
µ
¶ (e risolverlo): µ
1 0
3 −2
1 2 1 0
1 2
1 0
3
→
→
. Quindi X =
1 3 0 1
0 1 −1 1
0 3 −1
1
−1
cercavamo.
Ripetiamo il procedimento nel caso generico con A ∈ M (n):


1
1


 AX = I

¡
¢
¡
¢
Gauss
..
⇐⇒
A
|
I
−→
I
|
B
⇐⇒
.




AX n = I n
IX 1 = B 1
..
.
n
IX = B
−2
1
¶
é quello che
⇐⇒ X = B
n
Facciamo vedere che B é anche inversa a sinistra:
¡
¢
¡
¢ ¡
¢
∃M invertibile (prodotto di elementari) t. c. I | B = M A | I = M A | M I =⇒ B = M I = M,
I = M A = BA.
Matrice associata a un’applicazione lineare
Proposizione: Siano V e W due spazi vettoriali tali che n = dimV, p = dimW , e sia f : V −→ W
un’applicazione lineare. Siano B = {v1 , . . . , vn } e S = {w1 , . . . , wp } basi rispettivamente di V e di W .
Sia A ∈ M (p, n) tale che:


£
¤
£
¤
A =  f (v1 ) S . . . f (vn ) S 
che indichiamo come A = mB,S (f ) o A = mB
S (f ) (cioé la matrice associata nelle basi B e S ad f ).
£ ¤
£
¤
Proposizione: se A = mB
f (v) S = A · v B
S (f ) =⇒ ∀v ∈ V
¡
¢
Dimostrazione: ∀v ∈ V ∃a1 , . . . , an ∈ K, t. c. v = a1 v1 + . . . + an vn =⇒ [v]B = a1 , . . . , an .
Per linearitá di f e sostituendo i valori di f (v1 ), . . . , f (vn ) otteniamo:
f (v) = a1 f (v1 ) + . . . + an f (vn ) = a1 (a11 w1 + . . . + ap1 wp ) + . . . + an (a1n w1 + . . . + apn wp ) =
= (a11 a1 + . . . + a1n an )w1 + . . . + (ap1 a1 + . . . + apn an )wp .
20
Ateneo Studenti Fisica
Rango di un’applicazione lineare
Allora:

 
a11 a1 + . . . + a1n an
a11
£
¤



.
.
..
f (v) S = 
 =  ..
ap1 a1 + . . . + apn an
ap1
...
 
a1n
..  · 
.  
apn

a1
..  = A · £v ¤
. 
B
an
Osservazione: Da quanto sopra segue che il diagramma:
f
V −→ W
↓
↓
A
Kn −→ Kp
é commutativo.
Proposizione: Siano V , W spazi vettoriali, con n = dimV e p = dimW , f : V −→ W lineare e siano
B = {v1 , . . . , vn } e S = {w1 , . . . , wp } basi rispettivamente di V e W . Allora l’applicazione:
α
f −→ mB
S (f )
che ad ogni applicazione associa la sua matrice associata nelle basi B e S, é un isomorfismo.
Dimostrazione: α é lineare:


£
¤
£
¤
∀f, g ∈ Hom(V, W ), α(f + g) =  (f + g)(v1 ) S . . . (f + g)(vn ) S 
¡
¢
Utilizzando la definizione di somma di funzioni (f + g)(v) = f (v) + g(v) e la linearitá di [ ]S :

 

£
¤
£
¤
£
¤
£
¤
α(f + g) =  f (v1 ) S . . . f (vn ) S  +  g(v1 ) S . . . g(vn ) S  = α(f ) + α(g)
Allo stesso modo per il multiplo.
α é iniettiva (dimostriamo che Ker(f ) = {0}):
se α(f ) = 0 (matrice nulla) =⇒ f (v1 ) = . . . = f (vn ) = 0. Da teorema sappiamo che un’applicazione
lineare é ben definita da ció che fa su una base dello spazio di partenza. Poiché f manda tutti i vettori
in 0 =⇒ f = 0.
α é surgettiva (facciamo vedere che data A£ esiste¤ sempre f t. c. A = mB
S (f )):
i
Presa A = mB
(f
),
definisco
f
tale
che
f
(v
)
=
A
,
∀i
=
1,
.
.
.
,
n.
Per teorema ∃!f ∈ Hom(V, W )
i S
S
che manda una base in vettori prescritti.
¡
¢
Corollario: dim Hom(V, W ) = pn
Proposizione: siano V, W, Z spazi vettoriali, con basi rispettivamente B, S, T . Siano f, g applicazioni
f
g
B
lineari tali che VB −→ WS −→
), B = mST£ (g). ¤Allora mB
T (g
£ ZT . Siano
¤ A£= ¡mS (f¢¤
£ ◦¤ f ) = B · A.
Dimostrazione: ∀v ∈ V, (g ◦ f )(v) T = (g f (v) T = B · f (v) S = B · A · v B .
Definizione: sia f un’applicazione lineare. Definiamo rkf = dim(Imf ).
Diamo un modo¡ per calcolare rkf
¢:
Imf = span f (v1 ), . . . , f (vn ) ∼
= span(A1 , . . . , An ) =⇒ dim(Imf ) = dim(ImA) = rkA.
Matrice del cambiamento di base
Il cambiamento di base avviene tramite un’applicazione lineare che manda ciascun vettore in sé stesso.
Tale applicazione é l’identitá (da non confondere con la matrice identitá):
Id : VB −→ VS
La matrice associata all’applicazione identitá (A ∈ M (n) t. c. A = mB
S (Id)) é tale che:
∀v ∈ V [v]S = A · [v]B
Ateneo Studenti Fisica
21
Rango di un’applicazione lineare
£
¤
che segue da f (v) S = A · [v]B , con f = Id.
É chiaro che la matrice A é invertibile, essendo rkA = dim(Imf ) = dimV = n
Osservazione: B = mSB (Id) é la matrice inversa di A, poiché A · B = I, cioé applicando le due matrici
in sequenza, le coordinate di ciascun vettore rimangono immutate.
22
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SD-equivalenza
Definizione: chiameremo gruppo lineare di rango n su campo K:
GL(n, K) = {A ∈ M (n, K) | Aé invertibile}
¡
¢
Dimostriamo che GL(n, K), · , con · prodotto fra matrici, é effettivamente un gruppo (non commutativo):
?
1. · é un’operazione in GL(n, K): ∀A, B ∈ GL(n, K) =⇒ AB ∈ GL(n, K).
Sia (AB)−1 = B −1 A−1 . Verifichiamo che é una buona definizione: AB · B −1 A−1 = A · A−1 = I;
2. Esistenza dell’inverso: ∀A ∈ GL(n, K) =⇒ A−1 ∈ GL(n, K), poiché (A−1 )−1 = A;
3. esiste l’elemento neutro per il prodotto, ossia I;
4. Proprietá associativa: vale per tutte le matrici, quindi anche per quelle invertibili.
Siano V, W due spazi vettoriali, f : V −→ W un’applicazione lineare, B e B 0 due basi di V , S e S 0 due
0
B0
basi di W . Siano n = dimV, p = dimW, A = mB
S (f ), A = mS 0 (f ). Consideriamo il seguente diagramma:
A
VB −→ WS
↑N
↓M
A0
VB0 −→ WS 0
A0 = M AN dove M e N sono le matrici associate all’identitá (matrici di cambio di base).
Osservazione: M ∈ GL(p, K), N ∈ GL(n, K), poiché prodotto di matrici elementari invertibili.
Definizione: due matrici A, B ∈ M (p, n) sono dette SD-equivalenti se ∃M ∈ GL(p, K), ∃N ∈ GL(n, K) t. c.
B = M AN .
Osservazioni:
1. SD-equivalenza é una relazione di equivalenza:
• Proprietá riflessiva: A ≡ A, poiché ∃Ip ∈ GL(p), ∃In ∈ GL(n) t. c. A = Ip AIn ;
• Proprietá simmetrica: A ≡ B =⇒ B ≡ A, poiché B = M AN =⇒ A = M −1 BN −1 ;
• Proprietá transitiva: A ≡ B, B ≡ C =⇒ A ≡ C, poiché B = M AN, C = P BQ =⇒
=⇒ C = (P M )A(N Q). Infatti P, M ∈ GL(p) =⇒ P M ∈ GL(p); lo stesso per N e Q.
2. se A ≡ B =⇒ rkA = rkB:
¡
rkB = rk(M AN ); N¡ isomorfismo =⇒ rk(M AN ) = rk
¢ (M A)N ) = rk(M A), M isomorfismo =⇒
=⇒ rk(M A) = rkA poiché rk(f ◦ g) ≤ min(rkf, rkg) . Il rango é un invariante per SD-equivalenza;
3. che A e B siano SD-equivalenti vuol dire che rappresentano la stessa applicazione in basi diverse;
4. equivalentemente, per le applicazioni lineari, date f, g ∈ Hom(V, W ), dove dimV = n, dimW = p:
f ≡ g ⇐⇒ ∃ϕ ∈ GL(V ), ∃ψ ∈ GL(W ) t. c. g = ψ ◦ f ◦ ϕ;
S
B
B
B
B
f ≡ g ⇐⇒ mB
S (g) = mS (ψ) · mS (f ) · mB (ϕ) ⇐⇒ mS (g) ≡ mS (f );
In questo caso f e g sono applicazioni diverse nelle stesse basi, non la stessa applicazione vista in
basi diverse.
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23
SD-equivalenza
Proposizione: siano V, W due spazi vettoriali tali che dimV = n, dimW = p. Si f : Vµ −→ W ¶
lineare
Ir 0
B
tale che r = rkf . Allora esistono una base B di V e una base S di W tali che mS (f ) =
0 0
Dimostrazione: rkf = r =⇒ dim(Kerf ) = n − r. Sia {vr+1 , . . . , vn } una base di Kerf .
La completiamo a base B = {v1 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vn } di V .
Sappiamo che {f (v1 ), . . . , f (vr )} generano Imf , dato che f (vr+1 ) = . . . = f (vn ) = 0, sono r =⇒ sono
una base di Imf .
Li completiamo a base S = {f (v1 ), . . . , f (vr ), wr+1 , . . .µ
, wp } di W
¶.
Ir 0
B
La matrice associata ad f nelle basi B, S é: mS (f ) =
0 0
µ
¶
Ir 0
Corollario: sia A ∈ M (p, n), se rkA = r =⇒ A ≡
0 0
Basta scegliere le basi come nella dimostrazione precedente.
Teorema: A ≡ B ⇐⇒ rkA = rkB (ossia il rango é un invariante completo di SD-equivalenza).
Dimostrazione: (=⇒) giá fatto.
µ
¶
Ir 0
(⇐=) rkA = rkB = r =⇒ A ≡
≡ B =⇒ A ≡ B (transitivitá).
0 0
Corollario: ∀A ∈ M (p, n), rkA = rktA.
µ
Ir
Dimostrazione: sia r = rkA =⇒ A = M ·
0
¶
¶ µ
tµ
tµ
Ir 0
Ir 0
· tM ,
=
=⇒ tA = tN ·
0 0
0 0
t
t
t
0
0
Ir
0
¶
· N con M ∈ GL(p), N ∈ GL(n).
0
0
¶
∈ M (n, p).
t
N ∈ GL(n, K), perché I = tI = (N N −1 ) = (N −1 )tN =⇒ (N −1 ) é l’inversa di tN ; lo stesso per
t
M.
¶
µ
Ir 0
t
=⇒ rktA = r.
=⇒ A ≡
0 0
Corollario: sia R(A) = span(A1 , . . . , Ap ) lo spazio generato
dalle righe di A. Allora dimR(A)
= rkA.
¡
¢
Dimostrazione: dimR(A) = dimC(tA) = rktA = rkA dove C(tA) = span(tA1 , . . . , tAn ) .
Proposizione: se A ∈ M (p, n) e B é sottomatrice di A =⇒ rkB ≤ rkA.
Dimostrazione: B = (Ai1 , . . . , Aim | Aj1 , . . . , Ajk ). Sia C = (Ai1 , . . . , Aim | A1 , . . . , An ).
C é ottenuta da A prendendo tutte le colonne e alcune righe. Pensando al rango per riga: rkC ≤ rkA.
Allo stesso modo B é ottenuta da C prendendo tutte le righe e alcune colonne. Pensando al rango per
colonna: rkB ≤ rkC ≤ rkA.
Definizione: ogni sottomatrice quadrata é detta un minore. Si dice ordine del minore il numero delle
sue righe (e colonne).
Proposizione: sia A ∈ M (p, n), e sia B un minore di A di ordine q invertibile =⇒ le righe di A che
entrano a formare B sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione: Supponiamo che B sia formato dalle prime q righe e q colonne di A. Proviamo che
A1 , . . . , Aq sono linearmente indipendenti:
α1 A1 + . . . + αq Aq = 0 =⇒ α1 B1 + . . . + αq Bq = 0 ⇐⇒ α1 = . . . = αq = 0 (sono linearmente indipendenti).
Proposizione: il rango di una matrice A ∈ M (p, q) é il massimo degli ordini dei suoi minori invertibili.
Dimostrazione: sia rkA = r, ρ il massimo ordine dei suoi minori invertibili.
Sia B un minore di A di ordine ρ invertibile =⇒ A contiene ρ righe linearmente indipendenti =⇒
=⇒ rkA ≥ ρ, ρ ≤ r.
Ma in A esistono r righe linearmente indipendenti, che supponiamo essere A1 , . . . , Ar .
Sia C = (A1 , . . . , Ar | A1 , . . . , Aq ) =⇒ rkC = r (pensato come rango per riga). Allora C contiene r
colonne linearmente indipendenti, supponiamo C j1 , . . . , C jr .
Sia M = (A1 , . . . , Ar | Aj1 , . . . , Ajr ) ∈ M (r), minore di A di ordine r, invertibile (contiene r colonne
linearmente indipendenti) =⇒ ρ ≥ r.
Poiché valgono contemporaneamente ρ ≤ r e ρ ≥ r =⇒ ρ = r.
24
Ateneo Studenti Fisica
Determinante
Sia A ∈ M (n, K), sappiamo che rkA é il massimo numero di righe e colonne indipendenti.
Cerchiamo una funzione: det : M (n, K) −→ K tale che detA = 0 ⇐⇒ le righe di A sono linearmente
dipendenti.
Esempio:
sia n = 2 : A =
µ
a11
a21
a12
a22
¶
. Abbiamo 3 casi:
1. Se a11 e a21 sono entrambi nulli, le righe sono dipendenti.
2. Se a11 6= 0 =⇒ tramite operazioni per righe:
µ
¶
a11
a12
A→
0 a22 − a−1
11 · a21 · a12
Le righe di A sono dipendenti ⇐⇒ a22 − a−1
11 · a21 · a12 = 0 ⇐⇒ a11 · a22 − a21 · a12 = 0.
3. Se a11 = 0 ma a21 6= 0:
µ
n=2: A=
a21
0
a22
a12
¶
Le righe di A sono dipendenti ⇐⇒ a12 = 0, ossia se non é un pivot.
Ponendo, nel caso n = 2, detA = a11 · a22 − a12 · a21 =⇒ detA = 0 ⇐⇒ Le righe sono linearmente
dipendenti.
Abbiamo trovato la funzione che cercavamo nel caso n = 2. Vediamo ora alcune sue proprietá:
1. det é lineare nelle righe. Supponiamo che la prima riga di A sia combinazione lineare di altre due:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
λB + µC
−B−
−C−
∃B, C ∈ K2 t. c. A =
. Verifichiamo che det A = λ det
+µ
−A2 −
−A2 −
−A2 −
Infatti:
µ se B = (b1 b2 ), C = (c
¶ 1 c2 ), A2 = (a1 a2 ):
λb1 + µc1 λb2 + µc2
det
= a2 (λb1 + µc1 ) − a1 (λb2 + µc2 ) = λ(a2 b1 − a1 b2 ) + µ(a2 c1 − a1 c2 ) =
a1
a2
µ
¶
µ
¶
b1 b2
c1 c2
=λ
+µ
a1 a2
a1 a2
2. Se A ha due righe uguali =⇒ det A = 0;
3. det I = 1.
Passiamo ora al caso generico, e supponiamo che det A, definito prima, verifichi le 3 proprietá sopra
elencate. Abbiamo le seguenti conseguenze:
• se A ha una riga nulla =⇒ det A = 0.
Dimostrazione: se Ai = 0, ∀B ∈ Kn (riga) =⇒ Ai = 0 · B. Allora, applicando la proprietá 1:
det(A1 , . . . , 0 · B, . . . , An ) = 0 · det(A1 , . . . , B, . . . , An ) = 0;
• se A0 é ottenuta da A scambiando due righe =⇒ det A0 = − det A.
Dimostrazione:
A = (A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An )
Ateneo Studenti Fisica
25
Determinante
A0 = (A1 , . . . , Aj , . . . , Ai , . . . , An ).
Consideriamo la matrice A00 = (A1 , . . . , Ai + Aj , . . . , Ai + Aj , . . . , An ). Poiché ha due righe uguali:
det A00 = 0. Applicando le proprietá 1 e 2:
0
z
}|
{
00
0 = det A = det(A1 , . . . , Ai , . . . , Aj , . . . , An ) + det(A1 , . . . , Ai , . . . , Ai , . . . , An ) +
0
z
}|
{
+ det(A1 , . . . , Aj , . . . , Aj , . . . , An ) + det(A1 , . . . , Aj , . . . , Ai , . . . , An ) = det A + det A0
=⇒ det A0 = − det A;
• se B ∈ M (n, K) é ottenuta da A sommando ad una riga una combinazione lineare delle altre
=⇒ det B = det A.
Dimostrazione: B = (A1 + α2 A2 + . . . + αn An , A2 , . . . , An ). Applicando la proprietá 1:
det B = det A +
n
X
0
z
}|
{
αi det(Ai , A2 , . . . , An ) = det A
i=2
• se le righe di A sono linearmente dipendenti =⇒ det A = 0.
Dimostrazione: se A = (α2 A2 + . . . + αn An , A2 , . . . , An ):
det A =
n
X
0
z
}|
{
αi det(Ai , A2 , . . . , An ) = 0
i=2


• se A é diagonale A = 
a1
0
..
.


 =⇒ det A = a1 · . . . · an .
0
an
Dimostrazione: Per le proprietá 2 e 3:



a1
0
1



.
..
det 
 = a1 · . . . · an · det 
0
an
0
0
..
.


 = a1 · . . . · an
1
Teorema: (unicitá) se det verifica le proprietá 1, 2 e 3 =⇒ ∀A ∈ M (n, K), det A é univocamente
determinato.
Dimostrazione: Riduciamo A a scalini (S) con operazioni per riga di primo e terzo tipo (scambi di
righe, somma con multiplo). Dalla terza conseguenza sopra elencata, sappiamo che sommare ad una riga
il multiplo di un’altra non fa variare il determinante.
Se sono stati fatti m scambi di righe =⇒ det A = (−1)m · det S. Abbiamo 2 casi:
• rkS < n (almeno l’ultima riga é nulla) =⇒ det S = 0 =⇒ det A = 0;
• rkS = n. Finora abbiamo ridotto A in forma triangolare. Con ulteriori operazioni elementari per
riga riduciamo
S a S 0diagonale.

p1
0


.
0
..
S =
 =⇒ det S = det S 0 = p1 · . . . · pn
0
pn
=⇒ det A = (−1)m · p1 · . . . · pn
Quindi il valore della funzione é univocamente determinato.
N.B. I pivots possono essere diversi a seconda della riduzione che é stata fatta, ma il loro prodotto é
costante (a meno del segno).
Corollario: det A = 0 ⇐⇒ le righe di A sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione: (⇐=) giá fatta.
Gauss
(=⇒) Se per assurdo le righe di A fossero indipendenti =⇒ A −→ S. S ha n pivots =⇒ det A =
m
m
= (−1) · det S = (−1) · p1 · . . . · pn 6= 0. Assurdo.
26
Ateneo Studenti Fisica
Determinante
Esistenza:
def
n = 1 =⇒ det a = a;
n = 2 =⇒ det A = a11 a22 − a21 a12 ;
n =⇒ Sia A ∈ M (n), ai1 = [A]i1 , Ai1 la sottomatrice ottenua da A scartando la prima colonna e la
i-aesima riga (detta complemento algebrico). Allora si chiama sviluppo di Laplace:
det A =
n
n
X
(−1)i+1 ai1 · det Ai1
n−1
i=1
Verifichiamo per induzione su n che valgono le 3 proprietá per lo sviluppo di Laplace.
• n = 2 giá fatto.
• Passo induttivo: supponiamo che le 3 proprietá valgano per il caso detn−1 e verifichiamo che valgono
anche detn :
1. supponiamo che ∃B, C ∈ Kn t. c. Aj = λB + µC.
?
Siano A0 = (A1 , . . . , B, . . . , An ), A00 = (A1 , . . . , C, . . . , An ) =⇒ det A = λ det A0 + µ det A00 .
Consideriamo [A]i1 e Ai1 al variare di i:
se i 6= j =⇒ [A]i1 = [A0 ]i1 = [A00 ]i1 , mentre det Ai1 = λ det A0 i1 + µ det A00 i1 ;
se i = j =⇒ [A]j1 = λ[A0 ]j1 + µ[A00 ]j1 , mentre Aj1 = A0 j1 = A00 j1 .
X£
¡
¢¤
¡
¢
det A =
(−1)i+1 [A]i1 · λ det A0 i1 + µ det A00 i1 + (−1)j+1 λ[A0 ]j1 + µ[A00 ]j1 · det Aj1
i6=j
Applicando quanto sopra:
Ã n
!
Ã n
!
X
X
i+1
0
0
i+1
00
00
(−1) [A ]i1 · det A i1 +µ
(−1) [A ]i1 · det A i1 = λ det A0 +µ det A00
det A = λ
i=1
i=1
2. Sia A tale che Ai = Aj . Verifichiamo che det A = 0
A = (A1 , . . . , Ai , . . . , Ai , . . . , An )
Se k 6= i, j =⇒ det Ak1 = 0 perché contiene due righe uguali.
Se k = i =⇒ [A]k1 = [A]i1 = [A]j1 e det Ai1 = (−1)j−i−1 · det Aj1 (come se la j-esima riga
venisse spostata verso l’alto di j − i − 1 posizioni, scambiandola ogni volta con la precedente,
fino ad assumere l’i-esima posizione).
det A =
zX
0
}|
{
¡
¢
(−1)k+1 [A]k1 · det Ak1 +(−1)i+1 [A]j1 · (−1)j−i−1 ·det Aj1 +(−1)j+1 [A]j1 ·det Aj1
k6=i,j
Ma il secondo e il terzo blocco sono opposti, quindi det A = 0.
3. Verifichiamo che det In = 1.
Se i 6= 1 =⇒ [A]i1 = 0;
se i = 1 =⇒ [A]11 = 1 e det A11 = 1 (é ancora una matrice identitá di rango n − 1).
det A = (−1)2 [A]11 · det A11 +
z
n
X
0
}|
{
(−1)i+1 [A]i1 · det Ai1 = 1
i=2
Osservazione: facendo lo sviluppo di Laplace lungo qualsiasi colonna della matrice si ottiene una funzione che verifica le proprietá 1, 2 e 3. Poiché abbiamo dimostrato l’unicitá del determinante concludiamo
che tutte queste funzioni sono uguali.
Osservazione: se A ∈ M (n) =⇒ det(αA) = αn det A.
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27
Determinante
Teorema: (di Binet) siano A, B ∈ M (n, K) =⇒ det(AB) = det A · det B.
Dimostrazione: se det B = 0 =⇒ rkB < n =⇒ rk(AB) < min(rkA, rkB) < n =⇒ det(AB) = 0.
Se det B 6= 0 definiamo f (A) = det(AB)
det B . Vogliamo dimostrare che f (A) = det A; basta quindi provare
che verifica le proprietá 1, 2 e 3 e ricordarsi dell’unicitá del determinante.
1. Linearitá nelle righe: sia Ai = λP + µQ, P, Q ∈ Kn , allora:





det(AB) = det λP + µQ·
B




 = det λP B + µQB = λ det  P B +µ det  QB 
Poiché det B 6= 0 =⇒ rkB = n =⇒ P B 6= 0, QB 6= 0 =⇒ la i-esima riga della matrice AB é
combinazione lineare di altre due. Essendo det(AB) lineare nelle righe lo é anche f (A).
2. Allo stesso modo, se A ha due righe uguali, anche AB le avrá. Allora det AB = 0.
3. f (I) =
det(IB)
det B
= 1.
−1
Corollario: sia A ∈ M (n) invertibile =⇒ det A−1 = (det A) .
−1
Dimostrazione: A · A−1 = I =⇒ det(A · A−1 ) = 1 =⇒ det A · det A−1 = 1 =⇒ det A−1 = (det A)
Corollario: siano A, B ∈ M (n) invertibili =⇒ AB é invertibile.
Dimostrazione: det A 6= 0, det B 6= 0 =⇒ det(AB) = det A · det B 6= 0 =⇒ AB é invertibile.
Proposizione: ∀A ∈ M (n, K), det tA = det A.
Dimostrazione: se det A = 0 =⇒ rktA = rkA < n =⇒ det tA = 0.
Consideriamo le matrici elementari : quelle di primo e secondo tipo sono simmetriche, quindi sono uguali
alla loro trasposta (e di conseguenza vale la proposizione), mentre quelle di terzo possono essere ricondotte
tramite un’operazione elementare (che non fa variare il determinante) all’identitá, quindi a una matrice
simmetrica. La proposizione vale per tutte le matrici elementari.
Passiamo ora al caso generico con det A 6= 0. Con opportune matrici elementari:
Em · . . . · E1 · A = I =⇒ tA · tE1 · . . . · tEm = I =⇒ A = (tEm )−1 · . . . ·(tE1 )−1
−1
det tA = det(tEm
)· . . . · det(tE1−1 ) = (det tEm )−1 · . . . ·(det tE1 )−1 · (det A)−1 · det A =
£
¤−1
= (det Em )−1 · . . . ·(det E1 )−1 · (det A)−1 · det A = det(Em · . . . · E1 · A)
· det A = det A.
|
{z
}
I
Osservazione: lo sviluppo di Laplace secondo la prima riga:
f (a) =
n
X
(−1)1+i [A]1i · det A1i
i=1
é uguale a det A.
Dimostrazione:
f (a) =
n
X
det(tA)i1
z }| {
t
(−1)i+1 [tA]i1 · det (A1i ) = det tA = det A
i=1
Proposizione: (regola di Cramer ) Sia AX = B un sistema tale che A ∈ M (n, K), B ∈ Kn , e supponiamo
B(i)
det A 6= 0. Se y1 , . . . , yn é soluzione del sistema =⇒ yi = det
det A , dove
B(i) = (A1 , . . . , Ai−1 , B, 
Ai+1
, . . . , , An ).
y1
 
Dimostrazione: se Y =  ... , sappiamo che AY = B =⇒ y1 A1 + . . . +yn An = B. Allora:
yn
det B(i) = det(A1 , . . . , Ai−1 ,
n
X
i=1
yi Ai , Ai+1 , . . . , , An ) =
n
X
yi det(A1 , . . . , Ai , . . . , , An ) = yi det A
i=1
Proposizione: sia A ∈ M (n, K) inveribile. Allora la matrice B ∈ M (n, K) definita da (Aij é il
complemento algebrico):
(−1)i+j det Aij
[B]ij =
det A
28
Ateneo Studenti Fisica
Determinante
é la matrice inversa di A.
Dimostrazione: verifichiamo che AB = I:
[AB]hk =
n
X
[A]hi · [B]ik =
i=1
n
X
(−1)i+k [A]hi ·
i=1
det Aki
det A
Tale espressione assume i valori:
1 se k = h, poiché il numeratore della frazione é lo sviluppo di det A;
0 se k 6= h: possiamo costruire la matrice A0 in cui A0 k = A0 h = Ah (cioé la h-esima e la k-esima riga
di A0 sono uguali alla h-esima di A) =⇒ det A0 = 0.
Nei casi in cui k 6= h: [A]hi = [A0 ]ki e Aki = A0 ki (viene cancellata proprio la k-esima riga, l’unica
che abbiamo modificato; non ci si accorge della differenza). Dunque, in questo caso:
[AB]hk =
n
X
(−1)i+k [A0 ]ki ·
i=1
det A0 ki
det A0
=
=0
det A
det A
Criterio dei minori orlati
Definizione: sia A ∈ M (p, q) e sia B un minore di A di ordine n. C é un minore orlato di B se é
un minore di A di ordine n + 1 e B = (C1 , . . . , Cn | C 1 , . . . , C n ) (ossia scartando da C l’ultima riga e
l’ultima colonna si ottiene B).
Esempio:


µ
1 2 3 1
1


0 √9 5 1
A=
B=
0
π
2 1 0
Sono 
minori orlati diB:

1
1 2 3
C 0 =  0 √9 5  C 00 =  0
2 1
π
π
2
9
¶

2 1

√9 1
2 0
Proposizione: : sia A ∈ M (p, q), e sia B un minore di ordine n tale che:
• det B 6= 0;
• tutti i minori orlati di B hanno determinante nullo.
Allora rkA = n.
Dimostrazione: supponiamo che B = (A1 , . . . , An | A1 , . . . , An ) (cioé che sia composto dalle prime
n righe e colonne di A). Sicuramente A1 , . . . , An sono linearmente indipendenti (entrano a formare il
minore). Dimostriamo che generano tutte le altre righe.
Consideriamo quindi la sottomatrice C = (A1 , . . . , An , Ai | A1 , . . . , Aq ), i = n + 1, . . . , p (costituita
dalle righe che entrano a formare B piú una e da tutte le colonne di A).
C1 , . . . , Cn sono indipendenti, ma ∀i = n + 1, . . . , p, Ci ∈ span(C1 , . . . , Cn ), perché prendendo tutte le
righe e le prime n colonne piú una (tra le rimanenti) di C si ottiene un minore orlato di B =⇒ C ha n
colonne linearmente indipendenti =⇒ rkC = n =⇒ Ai é linearmente dipendente.
Ateneo Studenti Fisica
29
Coniugio e Similitudine
Definizione: siano f, g ∈ End(V ) = Hom(V, V ) (detto insieme degli endomorfismi di V ). f e g si
dicono coniugati (e si indica f ∼ g) ⇐⇒ ∃h ∈ GL(V ) t. c. g = h−1 ◦ f ◦ h.
Osservazione: f ∼ g =⇒ f ≡ g (ψ = ϕ−1 ) =⇒ il rango é invariante per coniugio.
Definizione: siano A, B ∈ M (n, K). A ∼ B (A e B sono simili) ⇐⇒ ∃M ∈ GL(n, K) t. c.
B = M −1 AM .
Proposizione: siano f, g ∈ End(V ), B base di V . f ∼ g ⇐⇒ mB (f ) ∼ mB (g) (utilizziamo la stessa
base sia in partenza che in arrivo).
Da quanto sopra, studiare End(V )/∼ o M (n, K)/∼ é la stessa cosa.
Osservazione: come per SD-equivalenza, possiamo vedere la similitudine fra matrici in due modi diversi: date A, B ∈ M (n), con A ∼ B, possiamo vederle come endomorfismi coniugati oppure come matrici
associate alla stessa applicazione in basi diverse. Per capire questa seconda interpretazione consideriamo
il diagramma:
B
VS −→ VS
↑M
↓ M −1
A
VB −→ VB
Sia nello spazio di partenza che in quello¡ di arrivo, per entrambe le applicazioni,
utilizziamo la stes¢
S
sa base. Le matrici di cambio di base mB
(Id),
m
(Id)
∈
GL(n,
K)
sono
una
l’inversa dell’altra.
S
B
Pertanto A e B sono matrici simili.
Lemma: ∀A ∈ M (n, K), ∀M ∈ GL(n) =⇒ det B = det A (il determinante é invariante per similitudine).
Dimostrazione: det B = det(M −1 AM ) = det M −1 · det A · det M = (det M )−1 · det M · det A = det A.
def
Definizione: sia f ∈ End(V ), B base di V , definiamo det f = det mB (f )
Osserviamo che si tratta di una buona definizione, indipendente dalla scelta¡ della base.
Infatti,
se ¢B e B 0
¢
¡
sono due basi allora, per quanto detto sopra, mB (f ) ∼ mB0 (f ), quindi det mB (f ) = det mB0 (f ) =
= det f .
Osservazione: siano f, g ∈ End(V ). f ∼ g =⇒ det f = det g.
Dimostrazione: ∀B base di V , mB (f ) ∼ mB (g) =⇒ det f = det mB (f ) = det mB (g) = det g.
Tuttavia {rk, det} non é un sistema completo di invarianti. Consideriamo infatti le matrici:
µ
¶
µ
¶
1 0
1 1
I=
, A=
0 1
0 1
A 6∼ I, benché abbiano stesso rango e determinante, infatti la classe di equivalenza di I é:
©
ª
[I] = M −1 IM | M ∈ GL(N ) = {I}
dunque é composta dalla sola matrice identitá. Cerchiamo altri invarianti.
30
Ateneo Studenti Fisica
Coniugio e Similitudine
Definizione: f ∈ End(V ), λ ∈ K si dice autovalore per f se ∃v ∈ V, v 6= 0 t. c. f (v) = λv (v si dice
autovettore per f ).
Proprietá:
¡
¢
1. f span(v) ⊆ span(v).
Se¡ λ 6= 0 vale
¢ l’uguaglianza (la retta viene mandata in sé stessa), mentre se λ = 0 :
f span(v) = {0} ⊂ span(v).
2. L’autovalore relativo ad un autovettore é univocamente determinato.
Infatti, se f (v) = λv e f (v) = µv =⇒ (λ − µ)v = 0. Ma v 6= 0 =⇒ λ − µ = 0 =⇒ λ = µ.
3. 0 é autovalore =⇒ f non é iniettiva.
Infatti ∃v ∈ V, v 6= 0 t. c. f (v) = 0 =⇒ Kerf 6= {0}.
Definizione: V (λ, f ) = {v ∈ V | f (v) = λv}.
Osservazione: V (λ, f ) = Ker(f − λId), infatti f (v) − λId(v) = 0 =⇒ V (λ, f ) é uno spazio vettoriale.
V (λ, f ) é interessante se λ é un autovalore. In tal caso dimV (λ, f ) ≥ 1 ed é detto autospazio relativo a λ.
Proposizione: f, g ∈ End(V ), f ∼ g:
1. λ autovalore per f =⇒ λ autovalore per g;
2. λ autovalore per f e g =⇒ dimV (λ, f ) = dimV (λ, g).
Dimostrazione: ∃h ∈ GL(V ) t. c. g =.
1. per
¡ ipotesi
¢ ∃v ∈ V, v 6= 0 ¡t. c. f (v)
¢ = λv.
¡
¢
g h−1 (v) = (h−1 ◦ f ◦ h) h−1 (v) = h−1 f (v) = λh−1 (v).
¡
¢
−1
2. Abbiamo visto che ¡∀v ∈ V (λ,
h−1 V (λ, f ) ⊆ V (λ, g).
¢ f ) =⇒ h (v) ∈ V (λ, g), ossia
−1
Allo
¡ stesso¢modo h V (λ, g)¡ ⊆ V (λ,¢ f ) (poiché
¡ f = h ◦¢ g ◦ h ). Allora:
h V (λ, g) ⊆ V (λ, f ) ⊆ h V (λ, g) =⇒ h V (λ, g) = V (λ, f ). Poiché h é un isomorfismo e
preserva le dimensioni: dimV (λ, f ) = dimV (λ, g).
Corollario: Autovalori e dimensione degli autospazi sono invarianti per coniugio.
Proposizione: siano f ∈ End(V ), B base di V , A = mB (f ), [ ]B : V −→ Kn (isomorfismo indotto dalla
scelta della base). Allora:
1. λ autovalore per f =⇒ λ autovalore per A;
£
¤
2. V (λ, f ) B = V (λ, A).
Dimostrazione:
£ ¤
£
¤
1. λ autovalore per f ⇐⇒ ∃v ∈ V, v 6= 0 t. c. f (v) = λv ⇐⇒ f (v) B = λv B ⇐⇒ A[v]B = λ[v]B
¡
¢
⇐⇒ ∃X ∈ Kn , X 6= 0 X = [v]B t. c. AX = λX ⇐⇒ λ autovalore per A;
£
¤
2. da quanto sopra: V (λ, f ) B = V (λ, A).
Calcolo di autovalori e autospazi per una matrice
Sia A ∈ M (n, K).
λ autovalore per A ⇐⇒ ∃X ∈ Kn , X 6= 0 t. c. AX = λX ⇐⇒ (A − λI)X = 0 ⇐⇒ det(A − λI) = 0
(Poiché tale sistema ha almeno una soluzione X ∈ Ker(A − λI) non nulla).
Definizione: sia A ∈ M (n, K). Si dice polinomio caratteristico di A: pA (t) = det(A − tI).
Osservazione: λ autovalore per A ⇐⇒ pA (λ) = 0. (λ é radice del polinomio caratteristico).
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31
Coniugio e Similitudine
Osservazione: degpA (t) = n =⇒ A ha al piú n autovalori distinti.
Richiamo: p(t) ∈ K[x], λ ∈ K t. c. p(λ) = 0 =⇒ p(t) = (t − λ)h · q(t) per il teorema del resto, con
h > 0, q(λ) 6= 0. h é detta molteplicitá algebrica di λ.
Proposizione: siano A, B ∈ M (n, K). A ∼ B =⇒ pA (t) = pB (t).
¡
¢
Dimostrazione: B = M −1 AM =⇒ pB (t) = det(B − tI) = det(M −1 AM − tI) = det M −1 (A − tI)M .
Applicando il teorema
di Binet: ¢
¡
pB (t) = det M −1 (A − tI)M = det M −1 · det M · det(A − tI) = det(A − tI) = pA (t).
def
Definizione: ∀f ∈ End(V ), sia B una base di V e A = mB (f ). Allora pf (t) = pA (t)
É una buona definizione: al cambiar della base A cambia per similitudine e il polinomio caratteristico é
invariante per similitudine.
Corollario: f ∼ g =⇒ pf (t) = pg (t) (il polinomio caratteristico é invariante per coniugio).
Finora abbiamo trovato i seguenti invarianti per similitudine:
1. rango;
2. determinante;
3. autovalori;
4. dimensione degli autospazi;
5. polinomio caratteristico.
Tale lista é ridondante, cioé alcuni di questi possono essere cancellati:
Osservazione: possiamo cancellare gli autovalori: se pA (t) = pB (t) =⇒ A e B hanno gli stessi autovalori
(gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico).
Osservazione: il determinante
non é necessario: det A = det(A − 0 · I)¢= pA (0), cioé il termine noto del
¡
polinomio caratteristico. pA (t) = (−1)n tn + (−1)n−1 trA + . . . + det A
Osservazione: cancelliamo il rango: rkA = dim(ImA) = n − dim(KerA) = n − dimV (0, A).
Mostriamo che gli invarianti trovati non sono sufficienti a descrivere completamente la relazione d’equivalenza. Prima osserviamo:
Osservazione: siano A, B ∈ M (n, K). A ∼ B =⇒ ∀p ∈ N Ap ∼ B p .
Dimostrazione: ∃Q ∈ GL(n) t. c. B = Q−1 AQ. Allora:
B p = (Q−1 AQ) · (Q−1 AQ)· . . . ·(Q−1 AQ) = Q−1 Ap Q.
Consideriamo ora le matrici:



0 1
0 1



0
0 1
B = 
A=


0 1 
0
0




0
Hanno stesso polinomio caratteristico e uguale dimensione degli autospazi ma non sono simili:
1. pA (t) = pB (t) = t4 , l’unico autovalore é 0;
2. dim V (0, A) = dim(KerA) = 4 − rkA = 2
dim V (0, B) = dim(KerB) = 4 − rkB = 2.
32
Ateneo Studenti Fisica
Coniugio e Similitudine
A2 6∼ B 2 =⇒ A 6∼ B :

A2 = 0

0 0 1

0 0
2
B =

0



0
La lista non é un sistema completo di invarianti. Per tal motivo restringiamo la classe delle matrici
considerate.
Diagonalizzabilitá
Osservazione: se λ é autovalore per f =⇒ λn é autovalore per f n .
Definizione: sia λ autovalore per A. Chiameremo:
¡
¢
• molteplicitá algebrica di λ h(λ) la sua molteplicitá come radice di pA (t);
• molteplicitá geometrica di λ: dimV (λ, A)
Proposizione: ∀λ autovalore di A: dimV (λ, A) ≤ h(λ).
Dimostrazione: sia d = dimV (λ, A), {v1 , . . . , vd } una base di V (λ, A). La completiamo a base B di
Kn . Allora:
µ
¶
λI 0
mB (A) =
0 C
pA (t) = (λ − t)d · pC (t) =⇒ h(λ) ≥ d, poiché pC (t) puó avere λ come radice.
Definizione: f ∈ End(V ) si dice diagonalizzabile se esiste B base di V tale che mB (f ) é diagonale (se
esiste una base di autovettori).
Definizione: A ∈ M (n, K) si dice diagonalizzabile se A é simile a una matrice diagonale.
Osservazione: siano f ∈ End(V ), B una base di V , A = mB (f ). f é diagonalizzabile ⇐⇒ A é diagonalizzabile.
Lemma:
sia
¡
¢ f ∈ End(V ), e siano λ1 , . . . , λk autovalori distinti e v1 , . . . , vk i relativi autovettori
vi ∈ V (λi ) =⇒ v1 , . . . , vk sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione: Per induzione su k:
k = 1: v1 6= 0 per definizione di autovettore =⇒ v1 é linearmente indipendente.
k − 1 =⇒ k:
Verifichiamo che sono linearmente indipendenti:
c1 v1 + . . . + ck vk = 0
(1)
Moltiplichiamo (1) per λk :
c1 λk v1 + . . . +ck λk vk = 0
Applichiamo f a (1):
c1 λ1 v1 + . . . +ck λk vk = 0
Sottraiamo le due equazioni:
c1 (λ1 − λk )v1 + . . . +ck−1 (λk−1 − λk )vk−1 = 0.
Poiché v1 , . . . , vk−1 sono linearmente indipendenti (per ipotesi induttiva) e λi − λk 6= 0 ∀i = 1, . . . , k − 1
(per ipotesi che siano tutti autovalori distinti):




 c1 (λ1 − λk ) = 0
 c1 = 0
..
..
=⇒
.
.




ck−1 (λk−1 − λk ) = 0
ck−1 = 0
Allora, affinché (1) sia vera, si ha anche ck = 0.
Teorema: (di diagonalizzazione)
sia f ∈ End(V ), dimV = n, λ1 , . . . , λk tutti gli autovalori di f .
½
h(λ1 )+ . . . +h(λk ) = n;
f é diagonalizzabile ⇐⇒
∀i = 1, . . . , k dimV (λi , f ) = h(λi ).
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33
Coniugio e Similitudine
Dimostrazione:
(=⇒): per ipotesi esiste una base B di autovettori tale che:
1. la matrice associata é nella forma:


mB (f ) = 
λ1 I d 1

..

 =⇒ d1 + . . . +dk = n
.
λk Idk
Il polinomio caratteristico é:
pf (t) = (λ1 − t)d1 · . . . ·(λk − t)dk =⇒ h(λi ) = di =⇒ h(λ1 )+ . . . +h(λk ) = n;
2. la base B contiene di autovettori linearmente indipendenti relativi a λi =⇒ dimV (λi , f ) ≥ di , ma
abbiamo dimostrato che: dimV (λi , f ) ≤ h(λi ) = di =⇒ dimV (λi , f ) = h(λi ).
(⇐=): poniamo mi = h(λi ) e prendiamo Bi = {vi1 , . . . , vi,mi } base di V (λi ) formata da mi vettori.
Sia B = B1 ∪ . . . ∪ Bk . La cardinalitá di B (cioé il numero di elementi che la compongono é):
#B = m1 + . . . +mk = h(λ1 )+ . . . +h(λk ) = n.
Facciamo vedere che sono tutti vettori linearmente indipendenti e avremo dimostrato che esiste una base
di V in cui la matrice é diagonale.
Sia, a questo proposito, zi = ci1 vi1 + . . . +ci,mi vi,mi una combinazione lineare dei vettori di Bi . Facciamo
vedere che z1 + . . . +zk = 0 (una combinazione lineare dei vettori di B) ⇐⇒ zi = 0 ∀i = 1, . . . , k. Ció é
evidente per il lemma precedentemente dimostrato, poiché zi é una autovettore relativo a λi e λ1 , . . . , λk
sono autovalori distinti tra loro.
Allora zi = 0 =⇒ ci1 = . . . = ci,mi = 0 =⇒ B é una base di autovettori per V .
¡
¢
Osservazione: in C é sempre vera la prima ipotesi h(λ1 )+ . . . +h(λk ) = n , poiché pf (t) puó essere
scomposto in fattori di primo grado, mentre in R no. Infatti consideriamo:
µ
¶
0 −1
A=
=⇒ pA (t) = t2 + 1
1
0
Il suo polinomio caratteristico non é scomponibile in R.
Definizione: sia V uno spazio vettoriale, V1 , . . . , Vn sottospazi vettoriali di V . Allora:
V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn ⇐⇒ ∀v ∈ V ∃ unici vi ∈ Vi , i = 1, . . . , n tali che v = v1 + . . . +vn .
Proposizione: siano Bi base di Vi , i = 1, . . . , n. V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn ⇐⇒ B = B1 ∪ . . . ∪ Bn .
Conseguenza: f é diagonalizzabile ⇐⇒ V = V (λ1 , f ) ⊕ . . . ⊕ V (λk , f ).
Osservazione: in ogni Vi l’applicazione é semplice: f |
= λi · Id.
V (λi )
Triangolabilitá
Definizione: sia V uno spazio vettoriale tale che dimV = n. Si chiama bandiera per V una lista di
sottospazi V1 , . . . , Vn di V tale che:
1. V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn ;
2. dimVi = i, ∀i = 1, . . . , n.
Osservazione: ogni base di V induce una bandiera: sia B = {v1 , . . . , vn }. Allora:
V1 = span(v1 )
V2 = span(v1 , v2 )
..
.
Vn = span(v1 , . . . , vn )
34
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Coniugio e Similitudine
Viceversa ogni bandiera é indotta da una base.
Definizione:¡ sia f ∈ End(V
). Una bandiera di V é detta una bandiera per f se ∀i = 1, . . . , n Vi é
¢
f -invariante f (Vi ) ⊆ Vi .
Definizione: B si dice base a bandiera per f se la bandiera indotta da B é una bandiera per f .
Osservazione: sia f ∈ End(V ), B una base di V . mB (f ) é triangolare ⇐⇒ B é a bandiera per f .
Definizione: una matrice quadrata é detta triangolabile se é simile a una triangolare.
Definizione: f ∈ End(V ) é detta triangolabile se esiste una base B di V tale che mB (f ) é triangolare.
Teorema: (di triangolabilitá) siano f ∈ End(V ), con n = dimV, λ1 , . . . , λm ∈ K tutti i suoi autovalori.
Allora f é triangolabile ⇐⇒ h(λ1 )+ . . . +h(λm ) = n (tutti i suoi autovalori sono nel campo).
Dimostrazione:
(=⇒): presa B base di V a bandiera per f , consideriamo mB (f ); la matrice associata é triangolare quindi
tutti gli autovalori si trovano sulla diagonale. Allora il polinomio caratteristico é scomponibile in fattori
di primo grado:
pA (t) = (λ1 − t)h(λ1 ) · . . . ·(λm − t)h(λm )
e h(λ1 )+ . . . +h(λm ) = n (cioé la taglia della matrice).
(⇐=): per induzione su n.
n = 1: tutte le matrici 1 × 1 sono triangolari.
n − 1 =⇒ n: per ipotesi ∃v1 autovettore per f (infatti esiste almeno un autovalore λ e di conseguenza
almeno un autovettore relativo ad esso).
Lo completiamo a base S = {v1 , w2 , . . . , wn } di V . Sia V1 = span(v1 ), W = span(w2 , . . . , wn ).
µ
¶
λ ?
La matrice associata é nella forma: mS (f ) =
0 C
Poiché V = V1 ⊕ W abbiamo due proiezioni:
pV1 : V −→ V1
pW : V −→ W
Sappiamo infatti che ∀v ∈ V ∃a ∈ V1 , ∃b ∈ W t. c. v = a + b = pV1 (v) + pW (v) =⇒ pV1 + pW = Id.
Consideriamo allora l’applicazione: pW ◦ f | ∈ End(W ). La sua matrice associata é:
W

m{w2 ,...,
wn } (pW
◦ f| ) = 
W

C

tale applicazione é un endomorfismo e dimW = n − 1. Inoltre sappiamo che pA (t) = (λ − t) · pC (t).
Poiché pA (t) ha tutte le radici nel campo, tale proprietá vale anche per i suoi fattori, in particolare per
pC (t).
Pertanto, poiché verifica le ipotesi del teorema (come si vede sopra), possiamo applicare l’ipotesi induttiva
a pW ◦ f | :
W
esiste quindi {z2 , . . . , zn } base di W a bandiera per pW ◦ f | . Mostriamo che {v1 , z2 , . . . , zn } é base di
W
V a bandiera per f , cioé ∀i = 2, . . . , n, f (zi ) ∈ span(z2 , . . . , zi ):
Id
}|
{ ¤
£z
¡
¢
¡
¢
f (zi ) = (pV1 + pW ) ◦f (zi ) = pV1 f (zi ) + pW f (zi )
¡
¢
¡
¢
Ma pV1 f (zi ) ∈ span(v1 ), pW f (zi ) ∈ span(z2 , . . . , zi ) (perché {z2 , . . . , zi } é a bandiera per pW ◦ f | ),
W
quindi f (zi ) ∈ span(v1 , z2 , . . . , zi ).
Osservazione: se K = C tutti gli endomorfismi sono triangolabili (ma non necessariamente diagonalizzabili).
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35
Forme bilineari
Definizione: sia V uno spazio vettoriale tale che dimV = n. φ : V × V −→ K é detta applicazione
bilineare se:
1. ∀x, y, z ∈ V φ(x + y, z) = φ(x, z) + φ(y, z), φ(x, y + z) = φ(x, y) + φ(x, z);
2. ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ K, φ(λx, y) = φ(x, λy) = λφ(x, y).
Definizione: sia V uno spazio vettoriale. Chiameremo Bil(V ) l’insieme delle applicazioni bilineari
f : V × V −→ K.
Definizione: sia V uno spazio vettoriale, φ ∈ Bil(V ), B = {v1 , . . . , vn } una base di V . La matrice
associata all’applicazione bilineare φ é nella forma:
£
¤ def
mB (φ) ij = φ(vi , vj )
t
Proposizione: se A = mB (φ) =⇒ ∀v, w ∈ V, φ(v, w) = [v]B A[w]B .
Dimostrazione:



n
n
n
n
X
X
X
X
¡
¢
φ(v, w) = φ 
a i vi ,
bj vj  =
ai
bj · φ(vi , vj ) = a1 , . . . , an 
| {z }
i=1
j=1
i=1
j=1
A



[A]ij

b1
.. 
. 
bn
Osservazione: detta B una base di V , l’applicazione:
f : Bil(V ) −→ M (n, K)
φ
7−→ mB (φ)
é un isomorfismo.
¡
¢
Corollario: dim Bil(V ) = n2 .
Definizione: φ ∈ Bil(V ) si dice simmetrica (o prodotto scalare) se φ(v, w) = φ(w, v). Si dice antisimmetrica se φ(v, w) = −φ(w, v).
Osservazione: ∀B base di V :
φ antisimmetrica ⇐⇒ mB (φ) é simmetrica.
φ é antisimmetrica ⇐⇒ mB (φ) é antisimmetrica.
m volte
z }| {
Definizione: sia K un campo, e sia m ∈ N il piú piccolo numero
naturale
¡
¢ tale che 1+ . . . +1 = m · 1 = 0
(1 ∈ K). Diremo che m é la caratteristica del campo K char(K) = m . Se ∀m ∈ N, m · 1 6= 0 =⇒
char(K) = 0.
Da ora in poi é sottinteso che char(K) 6= 2, cioé ∃2−1 ∈ K.
Osservazione: ogni forma bilineare φ é somma di una simmetrica e di una antisimmetrica.
Dimostrazione:
φ(u, v) + φ(v, u) φ(u, v) − φ(v, u)
+
φ(u, v) =
2
2
|
{z
} |
{z
}
simmetrica
antisimmetrica
cioé Bil(V ) = BilS (V ) + BilA (V ) e l’unica forma sia simmetrica che antisimmetrica é 0.
36
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Forme bilineari
Forma quadratica
Definizione: un’applicazione q : V −→ K si dice forma quadratica se ∃φ ∈ Bil(V ) t. c. ∀v ∈ V,
q(v) = φ(v, v).
Consideriamo l’applicazione:
α : Bil(V ) −→ Q(V )
φ 7−→ q(v) = φ(v, v)
α non é iniettiva, infatti se φ é antisimmetrica: ∀v ∈ V, q(v) = φ(v, v) = −φ(v, v) = −q(v) =⇒ q(v) =
0, ∀v ∈ V =⇒ q ≡ 0.
Proposizione: sia q una forma quadratica. ∃!φ ∈ Bil(V ) prodotto scalare che induce q.
Dimostrazione: q forma quadratica =⇒ ∃b ∈ Bil(V ) t. c. ∀v ∈ V, q(v) = b(v, v). ∀v, w ∈ V , sia:
φ(u, v) =
b(u, v) + b(v, u)
2
Allora φ é bilineare simmetrica, quindi é un prodotto scalare. Inoltre φ induce q, poiché ∀v ∈ V :
φ(v, v) =
b(v, v) + b(v, v)
= b(v, v) = q(v)
2
Dimostriamo ora l’unicitá di φ facendo vedere che, data q, ∀v, w ∈ V , il valore di φ(u, v) é univocamente
determinato. Se φ é un prodotto scalare che induce q:
q(u + v) − q(u) − q(v) = φ(u + v, u + v) − φ(u, u) − φ(v, v) = 2φ(u, v)
Allora data q abbiamo la seguente formula di polarizzazione:
φ(u, v) =
q(u + v) − q(u) − q(v)
2
E il valore di φ(u, v) é univocamente determinato.
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37
Congruenza, forme isometriche
t
sia φ ∈ Bil(V ), B una base di V e A = mB (φ). Sappiamo che ∀u, v ∈ V, φ(u, v) = [u]B · A · [v]B .
Sia ora S un’altra base di V e sia A0 = mS (φ). Se M é la matrice di cambio di base dalla base B alla
base S, ∀u, v ∈ V :
t
t
t
φ(u, v) = [u]S · A0 · [v]S = [u]B · tM A0 M · [v]B = [u]B · A · [v]B .
t
0
Allora A = M A M .
Definizione: due matrici A, B ∈ M (n, K) si dicono congruenti (e si indica A ≡ B) se ∃M ∈ GL(n, K)
tale che B = tM AM .
Definizione: φ, ψ ∈ Bil(V
) si dicono
forme isometriche se ∃h ∈ GL(V ) (detta isometria) tale che
¡
¢
∀v, w ∈ V, φ(v, w) = ψ h(v), h(w)
Osservazione: sia B una base di V . φ, ψ ∈ Bil(V ) sono forme isometriche ⇐⇒ mB (φ) ≡ mB (ψ).
Dimostrazione: siano A = mB (φ), B = mB (ψ), M = mB (h). Allora ∀v, w ∈ V :
¡
¢
t
t
φ(v, w) = [v]B · A · [w]B = [v]B · tM BM · [w]B = ψ h(v), h(w) =⇒ A = tM BM .
Possiamo vedere la relazione di equivalenza di congruenza (A ≡ B) in due modi diversi: o A e B sono
matrici associate alla stessa forma bilineare vista in basi diverse, o sono matrici associate nella stessa
base a forme isometriche.
Osservazione: il rango é un invariate per congruenza.
Infatti si moltiplica A con matrici invertibili per ottenere B.
¡
¢
Definizione: sia φ ∈ Bil(V ) e sia B una base di V . Definiamo rkφ = rk mB (φ) .
Osservazione: rkφ non dipende dalla scelta della base (poiché la matrice associata cambia per congruenza, di cui rango é invariante).
Osservazione: il determinante non é un invariante per congruenza.
Dimostrazione: siano A, B ∈ M (n) t. c. B = tM AM . Allora: det B = det(tM AM ) = (det M )2 · det A.
Osservazione: Il segno del determinante é invariante.
Rango di un’applicazione bilineare
Proposizione: sia V uno spazio vettoriale tale che n = dimV , e sia φ un’applicazione bilineare. Sono
fatti equivalenti:
• rkφ = n;
• φ(u, v) = 0 ∀v ∈ V =⇒ u = 0;
• φ(u, v) = 0 ∀u ∈ V =⇒ v = 0.
Dimostrazione: sia B una base di V , A = mB (φ):
• 1 =⇒ 2: Poiché rkA = rkφ = n, det A 6= 0. Allora ∀v, w ∈ V
¡
¢
X = [v]B , Y = [w]B :
φ(v, w) = tXAY = 0 ∀Y ∈ Kn =⇒ tXA = 0 =⇒ tAX = 0
Poiché det tA = det A 6= 0 la soluzione del sistema é unica, cioé X = 0;
38
Ateneo Studenti Fisica
Congruenza, forme isometriche
• 2 =⇒ 1: se per assurdo rkA < n =⇒ det A = 0 =⇒ ∃X ∈ Kn , X 6= 0 t. c. tAX = 0 = tXA.
Allora ∀Y ∈ Kn tXAY = 0. Quindi ∃v ∈ V, [v]B = X, tale che ∀w ∈ V, φ(v, w) = 0;
• le altre dimostrazioni sono identiche a quelle date.
Definizione: sia φ un’applicazione bilineare. φ si dice non degenere se vale 1, 2 o 3.
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39
Prodotti Scalari
Definizione: sia φ un prodotto scalare su V . v, w ∈ V si dicono ortogonali se φ(v, w) = 0.
Definizione: sia V uno spazio vettoriale e sia S ⊆ V un suo sottospazio. Chiameremo ortogonale di S:
S ⊥ = {v ∈ V | φ(v, x) = 0 ∀x ∈ S}
Osservazione: S ⊥ é un sottospazio vettoriale di V .
Proposizione: sia V uno spazio vettoriale e sia S ⊆ V un suo sottospazio. Allora:
1. S ⊆ T =⇒ T ⊥ ⊆ S ⊥ ;
2. S ⊥ = (spanS)⊥ ;
⊥
3. S ⊆ (S ⊥ ) .
Dimostrazione:
1. per la definizione di ortogonale: ∀v ∈ T ⊥ , ∀w ∈ T, φ(v, w) = 0. S ⊆ T
φ(v, s) = 0 =⇒ v ∈ S ⊥ , ∀v ∈ T ⊥ =⇒ T ⊥ ⊆ S ⊥ ;
=⇒
∀s ∈ S,
2. per 1: S ⊆ span(S) =⇒ (spanS)⊥ ⊆ S ⊥ . Facciamo vedere che S ⊥ ⊆ (spanS)⊥ . Sappiamo che
∀x ∈ S ⊥ , ∀s ∈ S, φ(x, s) = 0. Allora, se I é un insieme di indici finito:
Ã
!
X
X
a i si =
· φ (x, ai si ) = 0
φ x,
| {z }
i∈I
⊥
3. per la definizione di ortogonale: (S ⊥ )
⊥
∀x ∈ S ⊥ , φ(s, x) = 0 =⇒ S ⊆ (S ⊥ ) .
i∈I
0
= {v ∈ V | φ(v, x) = 0 ∀x ∈ S ⊥ }; poiché ∀s ∈ S,
Definizione: sia V uno spazio vettoriale, chiameremo radicale di V :
Rad(V ) = V ⊥ = {x ∈ V | φ(v, x) = 0 ∀v ∈ V }
Osservazione: φ non degenere =⇒ V ⊥ = {0}.
Osservazione: φ ≡ 0 =⇒ V ⊥ = V .
Proposizione: siano V uno spazio vettoriale tale che dimV = n, φ un prodotto scalare. Allora
dimV ⊥ = n − rkφ.
Dimostrazione: sia B una base di V , e sia A = mB (φ). Dalla definizione: v ∈ V ⊥ , ∀w ∈ V, φ(v, w) = 0.
Siano X = [v]B , Y = [w]B . Allora φ(v, w) = tXAY = 0, ∀Y ∈ Kn =⇒ tXA = 0 =⇒ tAX = 0 =⇒
X ∈ KerA =⇒ dimKerA = n − rkA = n − rkφ.
Proposizione: siano V uno spazio vettoriale tale che n = dimV , W ⊆ V un sottospazio vettorial di V ,
φ un prodotto scalare. Allora
1. dimW ⊥ ≥ n − dimW ;
2. φ non degenere =⇒ dimW ⊥ = n − dimW ;
3. φ| non degenere =⇒ V = W ⊕ W ⊥ .
W
40
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Prodotti Scalari
Dimostrazione: sia m = dimW :
1. sia {w1 , . . . , wm } una base di W . La completiamo a base di V : S = {w1 , . . . , wm , vm+1 , . . . , vn }.
Sia A = mS (φ).
W ⊥ = {v ∈ V | φ(v, w) = 0, ∀w ∈ W } = {v ∈ V | φ(v, wi ) = 0, ∀i = 1, . . . , m}
¡
¢
t
Poiché [wi ]S · A · [v]S = 0∀i = 1, . . . , n sia [v]S = X :

(i = 1)

 (1, 0, 0, . . . , 0)AX = 0
..
.


(0, . . . , , 1, 0, . . . , 0)AX = 0 (i = m)
In forma matriciale: (Im |0)AX = 0.
¡
¢
¡
¢
dimW ⊥ = dimKer (Im |0)A = n − rk (Im |0)A ≥ n − m;
¡
¢
¡
¢
poiché rk (Im |0)A ≤ min rk(Im |0), rkA ≤ m;
¡
¢
2. φ non degenere =⇒ A é invertibile =⇒ rk (Im |0)A = m =⇒ dim W ⊥ = n − m;
3. sia F = mS (φ| ). Allora det F 6= 0 e:
W
µ
µ
F
H
G
L
¶
¶
F G
Allora rk (Im |0)A = rk(Im |0) ·
= rk(F |G) = m =⇒ dimW ⊥ = n − m =⇒
H L
dimV = dimW + dimW ⊥ =⇒ V = W + W ⊥ .
Basta dimostrare che W ∩ W ⊥ = {0}. Ma W ∩ W ⊥ = Rad(φ| ) = {0} poiché φ| é non degenere.
¡
¢
Allora V = W ⊕ W ⊥
W
W
Definizione: sia φ ∈ Bil(V ) un prodotto scalare. v ∈ V si dice isotropo se φ(v, v) = 0 (é radice della
forma quadratica indotta da φ).
Proposizione:
1. ∀v ∈ V, φ(v, v) = 0 (ogni vettore di V é isotropo) =⇒ φ ≡ 0;
φ(v, w)
·v é ortogonale a v
φ(v, v)
¡
¢⊥
3. v é non isotropo =⇒ V = span(v) ⊕ span(v) .
2. v ∈ V non isotropo =⇒ ∀w ∈ V, w−
µ
¶
φ(v, w)
é detto coefficiente di Fourier ;
φ(v, v)
Dimostrazione:
¡
¢
1. φ(v,¡ v) = 0 ∀v ∈ V =⇒ ∀u, v ∈ V, φ(u,
v) = 12 q(u + v) − q(u) − q(v) =
¢
= 12 φ(u + v, u + v) − φ(u, u) − φ(v, v) = 0;
¶
µ
φ(v, w)
φ(v, w)
· v, v = φ(w, v) −
· φ(v, v) = 0;
2. φ w −
φ(v, v)
φ(v, v)
3. sappiamo che φ| non degenere =⇒ V = W ⊕ W ⊥ . Sia W = span(v); é non degenere, perché v
W
¡
¢⊥
non é isotropo (la matrice di φ|
é invertibile). Allora V = span(v) ⊕ span(v) .
span(v)
¡
¢
Definizione: sia V, φ uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Una base B = {v1 , . . . , vn }
di V si dice ortogonale se φ(vi , vj ) = 0 ∀i 6= j.
Osservazione:
B é una
¡
£ base
¤ ortogonale ⇐⇒
¢ mB (φ) é diagonale.
basta ricordare che mB (φ) ij = φ(vi , vj ) .
Teorema: ∀φ ∈ Bil(V ) prodotto scalare =⇒ ∃B base di V ortogonale per φ.
Dimostrazione: diamo due dimostrazioni del teorema:
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41
Prodotti Scalari
1. se ∀v ∈ V, φ(v, v) = 0 =⇒ φ ≡ 0 e ogni base é ortogonale.
Supponiamo quindi che φ sia non degenere e diamo una dimostrazione per induzione su n = dimV :
¡
¢⊥
φ 6= 0 =⇒ ∃v1 6= 0 non isotropo =⇒ V = span(v1 ) ⊕ span(v1 ) .
• n = 1: ogni matrice 1 × 1 é diagonale, {v1 } é la base cercata;
¡
¢⊥
• n − 1 =⇒ n: per ipotesi induttiva ∃ {v2 , . . . , vn } base di span(v1 ) ortogonale per φ| (é
W
uno spazio di dimensione n − 1) =⇒ {v1 , . . . , vn } é una base di V ortogonale per φ.
2. Algoritmo di Lagrange:
Sia B = {v1 , . . . , vn } una base di V , A = mB (φ). Supponiamo che φ sia non degenere (non
é restrittivo, visto che nel caso di φ ≡ 0 ogni base é ortogonale). Mostriamo 3 operazioni che
permettono di ortogonalizzare la base B:
• Trasformazione di base: se φ(v1 , v1 ) = [A]11 6= 0 (v1 non isotropo) allora definiamo:
v10 = v1
2 , v1 )
v20 = v2 − φ(v
φ(v1 , v1 ) · v1
..
.
n , v1 )
vn0 = vn − φ(v
φ(v1 , v1 ) · v1
Sono una base di V . Dimostriamolo ricordando che sono indipendenti se le loro coordinate
rispetto alla base B lo sono. Per questo scriviamo i vettori in matrice (ogni colonna sono le
coordinate del vettore rispetto alla base):


1 c1 . . . cn
 0 1
0 


 .. .. . .
.. 
 . .
. . 
0 0
0
1
dove ci =
φ(vi , v1 )
φ(v1 , v1 )
Come si vede, la matrice é triangolare superiore e invertibile, quindi i vettori v10 , . . . , vn0 sono
una base di V .
Inoltre, per il procedimento con cui sono stati ottenuti v20 , . . . , vn0 sono ortogonali a v10 .
Si itera il procedimento se v20 é non isotropo.
• Trasformazioni ausiliarie: avvengono nel caso in cui [A]11 = 0 (v1 é isotropo):
(a) se ∃i t. c. [A]ii 6= 0 (vi é non isotropo) =⇒ si permuta la base in modo che vi occupi il
primo posto;
(b) se ∀i = 1, . . . , n [A]ii = 0 =⇒ poiché A 6= 0 (dato che φ 6≡ 0) ∃i, j t. c. [A]ij 6= 0.
Mostriamo che vi + vj non é isotropo:
φ(vi + vj , vi + vj ) = φ(vi , vi ) + φ(vj , vj ) +2 · φ(vi , vj ) 6= 0
| {z } | {z }
| {z }
0
0
[A]ij
Scegliamo una base in cui vi + vj é il primo vettore e ripartiamo.
Corollario: ogni matrice simmetrica é congruente a una diagonale.
Osservazione: se {v1 , . . . , vn } é una base di V ortogonale per φ (prodotto scalare non degenere), sappiamo che:
∀v ∈ V, v = α1 v1 + . . . + αn vn
Consideriamo il prodotto scalare di v con un vettore vi della base:


n
n
X
X
φ(v, vi ) = φ 
αj vj , vi  =
αj · φ (vj , vi ) = αi φ(vi , vi )
j=1
j=1
Allora:
αi =
42
φ(v, vi )
φ(vi , vi )
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Prodotti Scalari
cioé il coefficiente di Fourier relativo al vettore vi .
Teorema: (di Sylvester complesso) sia V uno spazio vettoriale su campo C (oµsu un campo
algebrica¶
Ir 0
mente chiuso) tale che dimV = n. Allora esiste B base di V tale che: mB (φ) =
con r = rkφ.
0 0
Dimostrazione: sappiamo che ∃S = {v1 , . . . , vn } base ortogonale di V in cui la matrice associata é diagonale. A meno di riordinare la base possiamo supporre che φ(vi , vi ) 6= 0 se i = 1, . . . , r e φ(vi , vi ) = 0
se i = r + 1, . . . , n.
Sia:
vi
vi0 = p
∀i = 1, . . . , r
φ(vi , vi )
é ben definito: infatti essendo su C possiamo sempre fare la radice quadrata di un numero.
Allora B = {v10 , . . . , vr0 , vr+1 , . . . , vn } é la base cercata.
Corollario: il rango é un sistema di invarianti completo per congruenza se K = C.
Teorema: (di Sylvester reale) sia V un R-spazio vettoriale, n = dimV , rkφ = r =⇒ ∃B base di V ed
∃p ∈ N indipendente dalla scelta della base tale che:


Ip

Ir−p
mB (φ) = 
0
E si chiamano:
p = i+ : indice di positivitá di φ;
r − p = i− : indice di negativitá di φ;
n − r = i0 : indice di nullitá di φ;
Dimostrazione: sappiamo che esiste una base S = {v1 , . . . , vn } di V ortogonale per φ tale che mS (φ)
é diagonale. Costruiamo ora la base B tale che mB (φ) é del tipo voluto: ∀i = 1, . . . , r
vi
φ(vi , vi ) > 0 =⇒ vi0 = p
φ(vi , vi )
vi
φ(vi , vi ) < 0 =⇒ vi0 = p
−φ(vi , vi )
Allora la base B =
{v10 , . . . ,
vr0 ,
vr+1 , . . . , vn } é del tipo cercato.
Dimostriamo ora che p non dipende dalla scelta della base. Sia pφ la massima dimensione di un sottospazio
vettoriale W di V tale che φ| sia definito positivo. Evidentemente pφ non dipende dalla scelta della
W
base; per tale motivo proviamo che p = pφ . Presa B = {v1 , . . . , vn } una base ortogonale in cui la matrice
é nella forma cercata:
• sia W = span(v1 , . . . , vp ) =⇒ φ| é definito positivo e dimW = p =⇒ p ≤ pφ ;
W
• sia ora Z un sottospazio vettoriale di V tale che dimZ = pφ e φ| é definito positivo. Sia
Z
W = span(vp+1 , . . . , vn ). Mostriamo che W ∩ Z = {0}:
supponiamo per assurdo che ∃v ∈ W ∩ Z, v 6= 0 =⇒ v = αp+1 vp+1 + . . . +αn vn . Allora:


n
n
n
r
X
X
X
X
φ(v, v) = φ 
αi vi ,
αj vj  =
αi2 · φ(vi , vi ) =
αi2 · φ(vi , vi ) < 0
i=p+1
j=p+1
i=p+1
i=p+1
Ma sappiamo che, per la definizione di Z: φ(v, v) > 0. Assurdo, quindi W ∩ Z = {0}.
Quindi W ⊕ Z ⊆ V =⇒ dim(W ⊕ Z) = dimW + dimZ = n − p + pφ ≤ n = dimV =⇒ p ≥ pφ .
Allora p = pφ e non dipende dalla scelta della base.
Corollario: la segnatura, ovvero (i+ , i− , i0 ), é un sistema di invarianti completo per congruenza se
K = R.
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43
Prodotti Scalari
Osservazione: sia φ un prodotto scalare su V tale che rkφ = n = dimV . φ é definito positivo ⇐⇒
i+ (φ) = n (in particolare φ é non degenere: i0 = 0).
t
n
Definizione:
sia A ∈ M (n, R) simmetrica.
¡
¢ A é definita positiva ⇐⇒ ∀X ∈ R , X 6= 0, XAX > 0
t
ossia φ(X, Y ) = XAY é definito positivo .
Osservazione: A ∈ M (n, R) simmetrica é definita positiva ⇐⇒ ∃M ∈ GL(n, R) t. c. A = tM M
(infatti A, definita positiva, é congruente all’identitá).
Definizione: si chiamano minori principali di A ∈ M (n, R) le sottomatrici quadrate A1 , . . . , An di A,
dove Ai é formata dalle prime i righe e i colonne di A. Chiameremo inoltre Di = det Ai .
Proposizione: A ∈ M (n, R) simmetrica é definita positiva ⇐⇒ ∀i = 1, . . . , n Di > 0.
Dimostrazione:
(=⇒): A definita positiva ⇐⇒ A ≡ tM M, M invertibile =⇒ det A = Dn = (det M )2 > 0.
Sia ora φ un prodotto scalare e B = {v1 , . . . , vn } una base di V tale che A = mB (φ), W = span(v1 , . . . , vi )
e S = {v1 , . . . , vi }. Sappiamo che Ai = mS (φ| ).
W
Poiché φ| é ancora definito positivo, Di > 0 (come visto sopra).
W
(⇐=): lo dimostriamo come corollario al seguente:
Teorema: (di Jacobi ) sia A ∈ M (n, R) simmetrica. Supponiamo che Di 6= 0 ∀i = 1, . . . , r e che
Di = 0 ∀i = r + 1, . . . , n =⇒ ∃B base ortogonale di Rn rispetto alla quale la matrice associata al
prodotto scalare A é diagonale. Gli elementi sulla diagonale principale sono:

 D1 se i = 1
Di
se i = 2, . . . , r
[A]ii =
 Di−1
0 se i = r + 1, . . . , n
Corollario: se ∀i = 1, . . . , n Di > 0 =⇒ A é definita positiva.
Prodotti scalari definiti positivi
Definizione: sia V uno R-spazio vettoriale munito di un prodotto scalare φ; si dice che (V, φ) é uno
spazio euclideo se φ é definito positivo.
def
Osservazione: φ induce una norma: k k : V −→ R; ∀v ∈ V, kvk =
Proprietá:
p
φ(v, v).
1. ∀v ∈ V − {0}, kvk > 0;
2. ∀v ∈ V, ∀λ ∈ R, kλvk = |λ|kvk;
3. ∀v, w ∈ V, |φ(v, w)| ≤ kvk · kwk;
4. ∀v, w ∈ V, kv + wk ≤ kvk + kwk (disuguaglianza triangolare).
Osservazione: dalla proprietá 3 ricaviamo la definizione di angolo θ tra due vettori v, w ∈ V :
cos θ =
φ(v, w)
kvk · kwk
def
Osservazione: φ induce una distanza: d : V × V −→ R; ∀v, w ∈ V, d(v, w) = kv − wk.
Proprietá:
1. ∀v, w ∈ V, d(v, w) ≥ 0;
2. d(v, w) = 0 ⇐⇒ v = w;
3. ∀v, w ∈ V, d(v, w) = d(w, v);
4. ∀v, w, z ∈ V, d(v, w) ≤ d(v, z) + d(z, w).
44
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Prodotti Scalari
Proprietá degli spazi euclidei
Sia (V, φ) uno spazio euclideo tale che dimV = n. ∀W ⊆ V sottospazio vettoriale di dimW = k, φ| é
W
definito positivo =⇒ φ| é non degenere =⇒ V = W ⊕ W ⊥ (dimW ⊥ = n − k).
W
Siano {v1 , . . . , vk } e {vk+1 , . . . , vn } basi ortogonali rispettivamente di W e W ⊥ =⇒ {v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vn }
é una base ortogonale di V . Allora ∀v ∈ V :
v=
φ(v, v1 )
φ(v, vk )
φ(v, vn )
φ(v, vk+1 )
· v1 + . . . +
· vk +
· vk+1 + . . . +
· vn
φ(v1 , v1 )
φ(vk , vk )
φ(vk+1 , vk+1 )
φ(vn , vn )
|
{z
} |
{z
}
pW (v)
pW ⊥ (v)
dove pW (v) e pW ⊥ (v) sono le proiezioni (ortogonali) di V su W e W ⊥ .
Definizione: una base B = {v1 , . . . , vn } di V si dice ortonormale se é ortogonale e φ(vi , vi ) = 1
∀i = 1, . . . , n.
Osservazione: ogni spazio euclideo ha una base ortonormale.
Teorema: (di Gram-Schmidt) sia (V, φ) uno spazio euclideo tale che dimV = n. Se B = {v1 , . . . , vn }
una base qualsiasi di V =⇒ ∃B 0 = {v10 , . . . , vn0 } base ortonormale di V tale che ∀i = 1, . . . , n
span(v10 , . . . , vi0 ) = span(v1 , . . . , vi ) (conserva la bandiera indotta da B).
Dimostrazione: diamo la dimostrazione utilizzando il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt:
v10 = v1 (certamente é non isotropo);
φ(v , v 0 )
v20 = v2 − φ(v20 , v10 ) · v10
1
1
..
.
φ(v , v 0
)
φ(v , v 0 )
0
vn0 = vn − φ(vn0 , v01) · v10 − . . . − φ(v0 n , n−1
v0
) · vn−1
1
1
n−1
n−1
Si tratta in realtá di un caso particolare dell’algoritmo di Lagrange per un prodotto scalare non degenere. In questo caso, poiché non ci sono vettori isotropi, é possibile rendere un vettore ortogonale a
tutti i vettori a lui precenti (senza utilizzare trasformazioni ausiliarie), secondo la formula:
vi0 = vi −
i−1
X
φ(vi , vj0 ) 0
·v
φ(vj0 , vj0 ) j
j=1
Mostriamo ora che la base B 0 , ottenuta come sopra, preserva la bandiera indotta da B. Per la costruzione
che abbiamo fatto, ∀i = 1, . . . , n span(v10 , . . . , vi0 ) ⊆ span(v1 , . . . , vi ), infatti v10 , . . . , vi0 sono una combinazione lineare di v1 , . . . , vi (quindi appartengono allo stesso spazio); non solo, ma i due spazi hanno
la stessa dimensione. Infatti v10 , . . . , vi0 sono linearmente indipendenti (basta metterli in matrice, come
abbiamo fatto per l’algoritmo di Lagrange, per accorgersene). Quindi la bandiera indotta dalla base
ortonormale B0 é la stessa di quella indotta da B.
Definizione: A ∈ M (n, R) si dice ortogonale se tAA = I.
Osservazione: tA é anche inversa a destra di A.
Dimostrazione: tAA = I =⇒ AtAA = AI = IA =⇒ AtA = I.
Osservazioni:
• A é ortogonale =⇒ A é invertibile: (det A)2 = 1 =⇒ det A = ±1;
• A é ortogonale ⇐⇒ le righe e le colonne di A formano una base ortonormale di Rn :

 
t 1
 

A

  1
..
t

A . . . An  =  I
AA = 
·
.
t n
A
½
0 se i 6= j
Quindi φ(Ai , Aj ) = tAi · Aj =
, quindi {A1 , . . . , An } é una base ortonormale di Rn ;
1 se i = j
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45
Prodotti Scalari
¡
¢
• detto O(n) = {A ∈ M (n, R) | tAA = I}, O(n), · é un gruppo detto gruppo ortogonale (· é il
prodotto fra matrici):
t
1. O(n) é chiuso per ·: ∀A, B ∈ O(n), AB ∈ O(n); infatti (AB)AB = tB tAAB = tBB = I;
2. esistenza dell’inverso: ∀A ∈ O(n), tA = A−1 . Inoltre ∀A ∈ O(n), tA ∈ O(n): infatti AtA = I;
3. esistenza dell’elemento neutro: I ∈ O(n), infatti tI · I = tI = I. ∀A ∈ O(n), AI = IA = A;
4. proprietá associativa: vale perché vale per tutte le matrici.
• O(n) ⊂ GL(n, R).
Proposizione: sia (V, φ) uno spazio euclideo tale che dimV = n, B = {e1 , . . . , en } una base
¡ ortonormale
¢
0
di V per φ, B 0 = {v1 , . . . , vn } un’altra base di V . Detta M la matrice di cambio di base M = mB
B (Id) ,
allora: B 0 ortonormale ⇐⇒ M ∈ O(n).
£
¤
0
i
Dimostrazione: M = mB
B (Id) =⇒ M = Id(vi ) B = [vi ]B .
Il prodotto scalare di due vettori di B 0 rispetto a B é:
t
t
t
φ(vi , vj ) = [vi ]B · I · [vj ]B = [vi ]B · [vj ]B = (M i ) · M j = (tM )i · M j = [tM M ]ij
Allora:
½
0 se i 6= j
φ(vi , vj ) =
⇐⇒ tM M = I.
1 se i = j
Teorema: siano A ∈ M (n, R) avente tutti gli autovalori reali, φ il prodotto scalare ordinario di Rn
(definito positivo), C la base canonica di Rn tale che A = mC (A). Allora ∃P ∈ O(n) t. c. P −1 AP =
= tP AP é di forma triangolare.
Dimostrazione: A : Rn −→ Rn ha tutti gli autovalori reali =⇒ A é triangolabile =⇒ ∃B base di Rn
a bandiera per A.
Applicando il teorema di Gram-Schmidt: ∃S base di Rn ortonormale per φ che induce la stessa bandiera
di B =⇒ S é una base a bandiera per A, cioé mS (A) é triangolare.
Se P = mCS (Id) é la matrice di cambio di base dalla base C alla base S, allora, poiché entrambe sono
ortonormali: P −1 AP é triangolare e P ∈ O(n).
A é simile e congruente a una matrice triangolare.
Definizione: sia¡(V, φ) uno
¢ spazio euclideo. f ∈ End(V ) si dice applicazione simmetrica o autoaggiunta
se: ∀v, w ∈ V, φ f (v), w =.
Osservazione: siano (V, φ) uno spazio euclideo, B una base di V ortonormale per φ, A = mB (f ).
Allora: f é simmetrica ⇐⇒ A é simmetrica.
Dimostrazione:
¡
¢ tse f é simmetrica, ∀v, w ∈ V :
φ f (v), w = [v]B · tAI · [w]B
¡ q
¢ t
φ v, f (w) = [v]B · IA · [w]B
Allora:
t
t
f simmetrica ⇐⇒ ∀v, w ∈ V, [v]B · tA · [w]B = [v]B · A · [w]B ⇐⇒ A = tA.
46
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Teorema Spettrale e prodotti
Hermitiani
Lemma: sia A ∈ M (n, R) simmetrica. Allora tutti gli autovalori di A sono reali.
Dimostrazione: A : Rn −→ Rn . Poiché ogni vettore reale é anche complesso, pensiamo A : Cn −→ Cn .
Sia λ un autovalore di A. In generale λ ∈ C; dimostriamo che λ ∈ R. Per far questo, ricordando la
definizione di autovalore:
λ ∈ C autovalore di A ⇐⇒ ∃X ∈ Cn , X 6= 0 t. c. AX = λX.
Coniugando tutto:
AX = λX =⇒ AX = λX (poiché A é una matrice reale: A = A)
Consideriamo allora:
t
XAX = λtXX
q
t
t
t t
X AX = (AX)X = (λX)X = λtXX
Allora (λ − λ) · tXX = 0. Ma tXX 6= 0, poiché se:
X = (x1 , . . . , xn ) =⇒ tXX = x1 x1 + . . . +xn xn = |x1 |2 + . . . +|xn |2
Poiché X 6= 0 almeno una delle sue componenti é diversa da 0. Allora tXX 6= 0 e, poiché R é un campo
e non ci sono divisori di zero: λ−λ = 0 =⇒ λ = λ =⇒ λ ∈ R. Allora tutti gli autovalori di A sono reali.
Teorema spettrale: sia (V, φ) uno spazio euclideo, f ∈ End(V ) simmettrica. Allora esiste una base
ortonormale di V di autovettori per f .
Dimostrazione: diamo due diverse dimostrazioni:
1. sia S una base ortonormale di V , e sia A = mS (f ) =⇒ A é simmetrica =⇒ A ha tutti gli
autovalori reali =⇒ ∃P ∈ O(n) t. c. tP AP = P −1 AP = T triangolare.
t
A é simmetrica =⇒ T é simmetrica. Infatti tT = (tP AP ) = tP tAP = tP AP = T =⇒ T é
diagonale.
Se B é la base tale che P = mSB (Id) (la matrice associata al cambio di base fra S e B) =⇒
=⇒ P −1 AP = mB (f ) =⇒ B é una base di autovettori.
P ∈ O(n) =⇒ B é ortonormale (la matrice di cambio di base é ortogonale se le basi in partenza e
in arrivo sono ortonormali).
2. per induzione su n = dimV .
• n = 1: tutti i vettori sono autovettori, per ottenere una base ortonormale si divide il vettore
di base per la sua norma.
• n − 1 =⇒ n: sia S una base ortonormale di V , e sia A = mS (f ).
A é simmetrica =⇒ ∃λ autovalore reale di A =⇒ ∃v1 ∈ V, v1 6= 0, autovettore per f relativo
a λ (non é restrittivo supporre kv1 k = 1).
Siamo in uno spazio euclideo, non ci sono vettori isotropi (eccetto 0), φ é non degenere. Allora:
¡
¢⊥
V = span(v1 ) ⊕ span(v1 ) .
¡
¢⊥
W = span(v1 ) é un sottospazio vettoriale di V di dimensione n − 1, φ| é definito positivo
W
¡
¢⊥
=⇒ span(v1 ) con la restrizione del prodotto scalare é uno spazio euclideo.
¡¡
¢⊥ ¢ ¡
¢⊥
Proviamo che f | é un endomorfismo, cioé che f span(v1 )
⊆ span(v1 ) :
W
¡
¢⊥ ?
¡
¢⊥
∀w ∈ span(v1 )
=⇒ f (w) ∈ span(v1 ) (facciamo vedere che f (w) ⊥ v1 ):
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Teorema Spettrale e prodotti Hermitiani
¡
¢
¡
¢
¡¡
¢⊥ ¢
φ f (w), v1 = φ w, f (v1 ) = λφ(w, v1 ) = 0 =⇒ f ∈ End span(v1 )
¡
¢⊥
Poiché é verificata l’ipotesi induttiva per span(v1 ) : ∃{v2 , . . . , vn } base ortonormale di
¡
¢⊥
span(v1 ) di autovettori per f |
=⇒ B = {v1 , . . . , vn } é, per la scelta fatta, ortonormale
W
per V e di autovettori per f .
Osservazione: siano f ∈ End(V ) simmetrica, λ, µ ∈ K autovalori per f tali che λ 6= µ. Allora
∀v ∈ V (λ), ∀w ∈ V (µ), φ(v, w) = 0.
Dimostrazione:
¡
¢
¡
¢
λ·φ(v, w) = φ(λv, w) = φ f (v), w = φ v, f (w) = φ(v, µw) = µ·φ(v, w) =⇒ (λ−µ)·φ(v, w) = 0.
Poiché siamo in un campo, non ci sono divisori di zero e λ 6= µ:
φ(v, w) = 0.
Corollario: sia A ∈ M (n, R) simmetrica, ∃P ∈ O(n) t. c. tP AP = P −1 AP = D diagonale. Allora D
é la forma canonica di A rispetto alle relazioni d’equivalenza similitudine e congruenza.
Corollario: sia A ∈ M (n, R) simmetrica:
i+ (A) = numero di autovalori positivi di A;
i− (A) = numero di autovalori negativi di A;
i0 (A) = molteplicitá di 0 come autovalore di A;
Osservazione: A é definita positiva ⇐⇒ tutti gli autovalori sono positivi.
Teorema: (di ortogonalizzazione simultanea) sia (V, φ) uno spazio euclideo, sia ψ un prodotto scalare
su V . Allora esiste una base B di V ortonormale per φ e ortogonale per ψ.
Dimostrazione: siano S una base ortonormale di V per φ, A = mS (ψ) =⇒ A é simmetrica.
Sia g ∈ End(V ) tale che mS (g) = ¡A =⇒ g é simmetrica¢ =⇒ (teorema spettrale) ∃B base di V ortonormale per φ e di autovettori per g mB (g) = D diagonale
. ¢
¡
Se M é la matrice di cambio di base tra S e B M = mSB (Id) =⇒ M −1 AM = D
Ma S e B sono ortonormali =⇒ M ∈ O(n) =⇒ M −1 = tM , cioé: mB (ψ) = tM AM = D =⇒ B é
ortogonale per ψ.
¡Definizione:¢ sia (V, φ) uno spazio euclideo, f ∈ End(V ) si dice applicazione ortogonale o isometria
f ∈ O(V, φ) se:
¡
¢
∀x, y ∈ V, φ f (x), f (y) = φ(x, y)
.
Osservazione: f ∈ End(V ) é ortogonale =⇒ f é un isomorfismo.
Dimostrazione:
• f ∈ End(V ) =⇒ f é lineare;
¡
¢
• f é iniettiva: se x ∈ Kerf, x 6= 0, 0 = φ f (x), f (x) = φ(x, x) = kxk2 . Assurdo: l’unico vettore
con norma nulla é 0;
• f é surgettiva: dimV = dim(Kerf ) + dim(Imf ) = dim(Imf ), Imf ⊆ V =⇒ Imf = V .
Osservazione: sono fatti equivalenti:
1. f é ortogonale;
2. f preserva la norma;
3. se B = {v1 , . . . , vn } é una base ortonormale di V =⇒
di V .
©
ª
f (v1 ), . . . , f (vn ) é una base ortonormale
Dimostrazione:
°
°2
¡
¢
• 1 =⇒ 2: ∀v ∈ V, °f (v)° = φ f (v), f (v) = φ(v, v) = kvk2 .
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• 2 =⇒ 1: usando la formula di polarizzazione. ∀x, y ∈ V :
°
°2 °
°2 °
°2
¡
¢ °f (x + y)° − °f (x)° − °f (y)°
kx + yk2 − kxk2 − kyk2
φ f (x), f (y) =
=
= φ(x, y)
2
2
• 1 =⇒ 3:° la trasformazione
in base é ovvia, visto che f é un isomorfismo. Poiché f preserva la
°
norma: °f (vi )° = 1 ∀i = 1, . . . , n. Inoltre, poiché f preserva il prodotto scalare:
¡
¢
φ f (vi ), f (vj ) = φ(vi , vj ) = 0 =⇒ f (vi ) ⊥ f (vj ).
• 3 =⇒ 1 siano x = a1 v1 + . . . + an vn e y = b1 v1 + . . . + bn vn .
n
n
n
X
X
¡
¢ X
φ f (x), f (y) =
ai
bj · φ(vi , vj ) =
ai bi = φ(x, y)
i=1
j=1
i=1
Osservazione: siano f ∈ End(V ), B una base ortonormale
di V . f é ortogonale
⇐⇒ mB (f ) ∈ O(n).
¡
¢
Dimostrazione: Poiché B é ortonormale, ∀x, y ∈ V A = matassocbf :
¡
¢ t
φ f (x), f (y) = [x]B tAA[y]B
q
t
φ(x, y) = [x]B [y]B
¡
¢
Allora φ f (x), f (y) = φ(x, y) ⇐⇒ tAA = I (A matrice ortogonale).
¡
¢
Proposizione: O(V, φ), ◦ é un gruppo (◦ é la composizione di funzioni).
Dimostrazione:
• ∀f, g ∈ O(V, φ), g ◦ f ∈ O(V, φ): f ◦ g é lineare. Facciamo vedere che preserva il prodotto scalare:
¡ ¡
¢ ¡
¢¢
¡
¢
∀v, w ∈ V φ g f (v) , g f (w) = φ f (v), f (w) = φ(v, w);
• esiste l’elemento neutro: Id ∈ O(V, φ);
• esiste l’inverso in O(V, φ): ∀f ∈ O(V, φ) =⇒ f ∈ GL(V ) =⇒ ∃f −1 . Dimostriamo che
f −1 ∈ O(V, φ):
¡
¢
∀v, w ∈ V, ∃x, y ∈ V t. c. v = f (x), w = f (y) =⇒ φ(v, w) = φ f (x), f (y) = φ(x, y). Allora:
¡
¢
¡
¢
φ f −1 (v), f −1 (w) = φ (f −1 ◦ f )(x), f (f −1 ◦ f )(y) = φ(x, y) = φ(v, w);
• vale la proprietá associativa per tutte le funzioni, in particolare per O(V, φ).
Osservazione: sia (V, φ) uno spazio euclideo tale che n = dimV . O(n) rappresenta O(V, φ) in Rn
munito del prodotto scalare standard.
Prodotti Hermitiani
Definizione: sia V un C-spazio vettoriale, e sia h : V × V −→ C. h é un prodotto Hermitiano se:
1. ∀x, y, z ∈ V, h(x + y, z) = h(x, z) + h(y, z);
2. ∀x, y, z ∈ V, h(x, y + z) = h(x, y) + h(x, z);
3. ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ C, h(λx, y) = λ · h(x, y);
4. ∀x, y ∈ V, h(x, y) = h(y, x);
5. ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ C, h(x, λy) = λ · h(x, y);
grazie alla proprietá 4 é possibile replicare quanto fatto per i prodotti scalari. Infatti ∀v ∈ V, h(v, v) =
h(v, v) ed é quindi un numero reale.
Definizione: h é un prodotto hermitiano definito positivo se h(v, v) > 0, ∀v ∈ V, v 6= 0.
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Teorema Spettrale e prodotti Hermitiani
¡
¢
t
Osservazione: sia B una base di V , h un prodotto hermitiano e sia H = mB (h). H = H [H]ij = [H]ji
t
Osservazione: sia h un prodotto hermitiano, H = mB (h). Allora ∀v, w ∈ V, h(v, w) = [v]B · H · [w]B .
t
Definizione: U ∈ M (n, C) é detta unitaria (analogo della matrice ortogonale) se U U = I.
Chiamiamo spazi hermitiani l’analogo degli spazi euclidei. É da notare come, date le definizioni precedenti,
valgano tutti i risultati ottenuti nel caso di questi ultimi.
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