Note per le esercitazioni di Geometria 1
a.a. 2007/08
A. Lotta
Versione del 21/12/07
Metodi per il calcolo del rango di una matrice
Sia A ∈ Mm,n (K). Denotiamo con A(i) la riga i-ma di A, i ∈ {1, . . . , m}.
Ciascuna A(i) è identificabile con un vettore di Kn . In base alla definizione,
abbiamo che il rango di A coincide con la dimensione del sottospazio di Kn
generato dalle righe. In simboli:
rg(A) = dimK L(A(1) , . . . , A(m) ).
Metodo di riduzione per righe di Gauss-Jordan
Def: A si dice ridotta per righe se ogni riga non nulla A(i) contiene
un elemento aij non nullo tale che asj = 0 per ogni s > i. Un tale elemento
prende il nome di pivot di A.
Proposizione: Il rango di una matrice ridotta per righe coincide con il
numero delle sue righe non nulle.
Dimostrazione: Se A = 0 non vi sono pivots e rg(A) = 0. Supponiamo
quindi A 6= 0. È sufficiente mostrare che le righe non nulle di A sono linearmente indipendenti. Siano A(i1 ) , . . . , A(ik ) tali righe, con i1 < · · · < ik .
Siano j1 , . . . , jk le colonne cui appartengono i rispettivi pivots. Si consideri
una combinazione lineare nulla
λ1 A(i1 ) + · · · + λk A(ik ) = 0.
(1)
Il vettore a primo membro appartiene a Kn ; la componente j1 -ma è data da
λ1 aij11
1
in quanto, per definizione di pivot, asj1 = 0 per ogni s > i1 . Dunque dalla (1)
segue che λ1 aij11 = 0 e quindi λ1 = 0 perchè aij11 6= 0. Sostituendo quindi in
(1) ricaviamo
λ2 A(i2 ) + · · · + λk A(ik ) = 0.
Considerando ora la componente j2 -ma si ricava che λ2 aij22 = 0 e quindi
λ2 = 0. Procedendo in questo modo si ottiene che tutti i coefficienti λi sono
nulli.
Definiamo ora due operazioni elementari con le quali si può operare su
una matrice per modificarla, cambiandone le righe, in modo da non alterarne
il rango:
(I) Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo;
(II) Sostituzione di una riga con la somma della riga stessa con un’altra.
Osserviamo che ciascuna delle operazioni (I) e (II) non altera lo spazio
generato dalle righe, cioè se B è ottenuta da A effettuando una di tali operazioni, allora
L(B (1) , . . . , B (m) ) = L(A(1) , . . . , A(m) ).
Dunque in particolare
rg(A) = rg(B).
Teorema: Ogni matrice A si può trasformare, mediante un numero finito
di operazioni elementari, in una matrice ridotta per righe.
Dimostrazione: Il seguente algoritmo trasforma A in una matrice ridotta
per righe: detta A(i1 ) la prima riga non nulla di A (se non esiste, A = 0 e
quindi A è già ridotta), si scelga un elemento aij11 non nullo di A(i) . Operando
su ciascuna riga successiva A(s) non nulla sostituendola con
aij11 A(s) − asj1 A(i1 )
si ottiene una nuova matrice B tale che bsj1 = 0 per ogni s > i1 . Ora, se tutte
le righe di B successive alla i1 -ma sono nulle, B risulta ridotta per righe con
pivot bij11 = aij11 sulla riga i1 -ma e colonna j1 -ma. In caso contario, si opera su
B prendendo in condiderazione la prima riga non nulla di indice maggiore di
i1 , scegliendo un elemento non nullo di tale riga e ripetendo quanto fatto in
precedenza. Si procede finchè vi sono righe non nulle su cui operare. .
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Metodo degli orlati di Kronecker
Si ricordi che il rango di A coincide con il massimo degli ordini dei minori
non nulli di A. Il seguente risultato permette di ridurre il più possibile il
numero di minori da calcolare per determinare il rango.
Def: Sia M un minore di A di ordine r. Si chiama orlato di M ogni
minore di ordine r + 1 di cui M è un minore1 .
In altri termini, se M è un minore individuato da r righe ed r colonne
fissate di A, i minori orlati di M sono quelli che si ottengono fissando un’altra
riga ed un’altra colonna in aggiunta alle precedenti.
Teorema degli orlati: Sia M un minore non nullo di A di ordine r. Se
tutti gli orlati di M sono nulli, allora il rango di A è pari ad r.
Questo risultato fornisce il seguente algoritmo per calcolare il rango di
A: si individua un elemento non nullo di A e si esaminano tutti i minori
orlati di tale elemento: se sono tutti nulli il rango è 1; in caso contrario,
scelto un minore di ordine due M2 non nullo, si calcolano gli orlati di M2 .
Se questi sono tutti nulli, il rango è 2, altrimenti si procede scegliendo un
orlato non nullo M3 e si itera il procedimento calcolando gli orlati di M3 . Si
termina quando si individua un minore non nullo Mr di ordine r i cui orlati,
se esistono, sono tutti nulli, ricavando che r = rg(A).
1
Qui si abusa del linguaggio identificando un minore con la sottomatrice di A corrispondente.
3
Metodi per la risoluzione di un sistema lineare
Si consideri un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1 , . . . , xn :
Ax = b
(2)
dove A ∈ Mm,n (K) e b ∈ Km . Denotiamo con C = (A|b) la matrice completa
del sistema. Si ricordi che (2) è compatibile se e solo se rg(A) = rg(C)
(Teorema di Rouché-Capelli).
Descriviamo di seguito due metodi per discutere e risolvere un sistema.
Metododo di riduzione ad un sistema di Cramer
Utilizzando il metodo di Kronecker si calcolano il rango r di A e di C e
si stabilisce se il sistema è risolubile. Sia A0 una sottomatrice non singolare
di A di ordine r corrispondente alle righe di indici i1 < i2 · · · < ir ed alle
colonne j1 , . . . , jr .
Allora si osserva che il sistema in esame è equivalente al sistema di Cramer
A0 x 0 = b 0
(3)
di ordine r nelle incognite xj1 , . . . , xjr . Le altre incognite si considerano
come parametri liberi e confluiscono nei termini noti, ovvero, denotando con
0
j10 , . . . , jn−r
gli indici colonna diversi da j1 , . . . , jr :
0
b0s = bis − a0ji0 s xj10 − · · · − a0ji0 s xjn−r
n−r
1
s = 1, . . . , r.
Dunque per ogni valore (λ1 , . . . , λn−r ) attribuito alle incognite libere, si
ottiene una soluzione del sistema (3) e quindi di (2) che può calcolarsi con la
formula di Cramer. Diremo quindi che il sistema ammette ∞n−r soluzioni.
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Riduzione del sistema per righe
Per stabilire se il sistema (2) è risolubile, si può procedere col seguente
algoritmo: se C contiene almeno una riga del tipo (0 . . . 0 α) con α 6= 0,
allora il sistema non ha soluzioni. Altrimenti si considera la prima riga non
nulla di C e si procede alla riduzione per righe di C scegliendo ad ogni
passo un pivot non appartenente all’ultima colonna. Ogni trasformazione
effettuata trasforma il sistema (2) in uno equivalente. Se ad un certo passo
non è possibile scegliere un pivot sulle prime n − 1 colonne, il sistema non
è compatibile perchè equivalente ad un sistema contenente un’equazione del
tipo 0 = α con α 6= 0.
Terminata, se possibile, la procedura di riduzione per righe, si perviene
ad una matrice ridotta C 0 e quindi ad un sistema equivalente
A0 x = b 0
(4)
in cui sia A0 che C 0 = (A0 |b0 ) sono ridotte per righe e dello stesso rango.
Dunque questo sistema è compatibile e quindi tale è il sistema iniziale (2).
Detti j1 , . . . , jr gli indici delle colonne occupate dai pivots di C 0 , il sistema
(4) si risolve agevolmente nelle incognite xj1 , . . . , xjr cominciando dall’ultima
equazione non banale (cioè non della forma 0 = 0) ricavando l’incognita xjr
(l’unica che compare tra le xj1 , . . . , xjr ) in funzione di tutte le altre; si procede
quindi a ritroso risolvendo tutte le altre equazioni rispetto alle incognite
rimanenti. Le n − r incognite diverse da xj1 , . . . , xjr svolgono quindi il ruolo
di parametri liberi al variare dei quali si ottengono ∞n−r soluzioni.
Un’ulteriore osservazione utile sui metodi discussi sopra per calcolare il
rango di una matrice è la seguente:
Proposizione: Sia A ∈ Mm,n (K) una matrice di rango k.
1) Se M è un minore di ordine k non nullo di A corrispondente alle
colonne di A di indici j1 , . . . , jk , allora tali colonne sono linearmente indipendenti.
2) Sia C una matrice ridotta per righe ottenuta trasformando A mediante
operazioni elementari sulle righe. Se j1 , . . . , jk sono gli indici delle colonne
di C a cui appartengono i pivots, allora le corrispondenti colonne di A sono
linearmente indipendenti.
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Dimostrazione:
1) Se M = det(A0 ) con A0 sottomatrice di ordine k, allora A0 è non
singolare e quindi di rango k. In particolare le colonne di A0 sono linearmente
indipendenti. Ora, se le colonne corrispondenti di A fossero linearmente
dipendenti, tali risulterebbero le colonne di A0 , il che è una contraddizione.
2) Denotiamo con C 0 la matrice quadrata di ordine k le cui colonne sono
le colonne di C contenenti i pivots, ovvero di indici j1 , . . . , jk (si noti che per
ottenere una matrice quadrata occorre eliminare le eventuali righe nulle di
C 0 ). Allora anche C 0 è ridotta per righe con gli stessi pivots, e quindi ha
rango k, ovvero det(C 0 ) 6= 0. Denotiamo poi con A0 la matrice le cui colonne
sono le colonne di A di indici j1 , . . . , jk (A0 ha m righe e k colonne). Vogliamo
provare che le colonne A(j1 ) , . . . , A(jk ) di A sono linearmente indipendenti. La
condizione di lineare indipendenza consiste nel fatto che l’unica combinazione
lineare nulla
x1 A(j1 ) + · · · + xk A(jk ) = 0
è quella con i coefficienti tutti nulli; ciò si può esprimere equivalentemente
con l’affermazione che il sistema omogeneo
A0 x = 0
x1
x2
nelle incognite x = .. ammette solo la soluzione banale. Ora, osserviamo
.
xk
che le stesse operazioni elementari che trasformano A in C trasformano A0
in C 0 per cui il sistema in esame è equivalente al sistema
C 0x = 0
che è di Cramer e quindi ammette la sola soluzione nulla.
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