A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
Campo magnetico, forza magnetica, momenti meccanici sui circuiti piani
Esercizio 1
Un protone d’energia cinetica Ek=6MeV entra in una regione di spazio in cui esiste un
campo magnetico B=1T ortogonale al piano della traiettoria, formando con l’asse y
l’angolo θ = 30° . Calcolare a) l’angolo θ ’ della direzione di uscita con l’asse y e b) la
distanza lungo y tra il punto di uscita e il punto di ingresso.
→ Soluzione
`
B
a) L’angolo θ ’ è uguale a θ
b) Convertiamo Ek da eV a J (1eV = 1.602x10-19J):
Ek= 6MeV= 9.602 × 10 −13 J
Sul protone che entra nella zona dove c’è il campo magnetico agisce la forza di
Lorenz:
r
v2
F = qvB = m , cioè la particella segue una traiettoria circolare di raggio r.
r
Dalla conoscenza di Ek ricaviamo la quantità di moto p: p = 2m p E k .
A questo punto, è possibile ricavare il raggio di curvatura della traiettoria
circolare come:
r=
mv 2 mv
p
=
=
=
qvB qB qB
2m p E k
qB
, cioè, nel nostro caso,
1
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r=
2 × 1.67 × 10 −27 × 9.6 × 10 −13 5.66 × 10 −20
=
= 3.54 × 10 −1 = 0.354m
−19
−19
1.6 × 10
1.6 × 10
La distanza cercata vale: y = 2r sin(θ ) = 2r sin(30°) = 2r (0.5) = r = 0.354m
Esercizio 2
Un protone di energia cinetica Ek=50MeV si muove lungo l’asse x e entra in un campo
magnetico B=0.5T, ortogonale al piano xy, che si estende da x=0 a x=L=1m. Calcolare
all’uscita del magnete nel punto P: a) L’angolo che la velocità del protone forma con
l’asse x e b) la coordinata y del punto P.
→ Soluzione
a) Come nell’esercizio precedente, abbiamo il moto di una carica in una zona dove c’è
campo magnetico. Il moto entro questa zona è circolare, per cui possiamo calcolarci il
raggio di curvatura. Convertiamo l’energia in Joule e determiniamo il raggio:
Ek=50MeV=8x10-12J
Calcoliamo
r=
p
=
qB
il
2m p E k
qB
raggio
=
di
curvatura
della
traiettoria
del
protone:
2 × 1.67 × 10 − 27 × 8 × 10 −12
1.63 × 10 −19
=
= 2.04m
1.6 × 10 −19 × 0.5
1.6 × 10 −19 × 0.5
2
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A
cos (90°-α)
C
Inoltre, abbiamo che, considerando il triangolo CAP,
L = r cos(90° − α ) e quindi cos(90° − α ) =
L LqB
=
(
r
p
E’ ora possibile trovare l’angolo α di uscita dalla regione di campo magnetico come:
cos(90° − α ) = sin(α ) =
1.6 × 10 −19 × 1 × 0.5
= 0.490 → α = arcsin(0.490) = 29.4°
1.63 × 10 −19
b) La coordinata y del punto P sarà:
y = r − (r cos α ) = −r (1 − cos α ) = −0.26m
Esercizio 3
Un fascio di elettroni, dopo essere stato accelerato da una d.d.p. V=103 V, entra in una
regione in cui esiste un campo magnetico B=0.2T. La direzione degli elettroni forma un
r
angolo α = 20° con B . Calcolare a) il raggio r della circonferenza della traiettoria
elicoidale compiuta dagli elettroni. b) di quanto avanzano gli elettroni, lungo l’elica, in
ciascun giro (p, passo dell’elica).
→ Soluzione
3
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y
x
v
r
B
p
z
a) Iniziamo con il calcolare la velocità degli elettroni:
1 2
mv = eV → v =
2
2eV
=
m
2 × 1.6 × 10 −19 × 10 3
= 3.5 × 1014 = 1.87 × 10 7 m / s
9.1 × 10 −31
v⊥
Le due componenti parallela e perpendicolare a B sono v // = v cos α , v ⊥ = v sin α .
Calcoliamo ora il raggio di curvatura:
2
ev⊥ B =
r=
mv ⊥
eBr
eBr
eBr
→ v⊥ =
→ v sin α =
→v=
, e quindi:
r
m
m
m sin(α )
mv sin(α ) 9.1 × 10 −31 × 1.87 × 10 7 × sin(α )
=
= 18.2 × 10 −5 m = 0.187 mm
eB
1.6 × 10 −19 × 0.2
b) Per determinare il passo dell’elica dobbiamo trovare il periodo
T=
2π
m 2π × 9.1 × 10 −31
= 2π
=
= 178.6 × 10 −12 s = 1.78 × 10 −10 s
−19
w
eB 1.6 × 10 × 0.2
Allora:
p = v cos αT = 1.87.10 7 × cos(20°) × 1.78 × 10 −10 = 3.13 × 10 −3 m = 3.13mm
4
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Esercizio 4
Al giogo di una bilancia è sospesa una spira rigida larga b=5cm. La parte inferiore è
r
immersa in un campo magnetico uniforme B ortogonale al piano della spira. Se nella
spira circola una corrente di intensità i=1A con verso opportuno, si osserva che per
riequilibrare la bilancia occorre mettere una massa m=0.5 g sul piatto. Calcolare il
r
valore del modulo di B .
→ Soluzione
Il lato orizzontale della spira immerso nel campo magnetico risente della forza
r r
r
r
r
F = ib xB (2° legge di Laplace) che in modulo vale F = ibB sin(θ ) = ibB in quanto B e b
sono ortogonali. Negli alti tratti di spira sottoposti al campo magnetico la corrente ha
versi opposti e le forze sono uguali e contrarie; esse hanno anche la stessa retta di
r
azione per cui non producono nessun effetto. La forma F è dunque equilibrata dalla
r
forza peso mg :
mg = ibB → B =
mg
0.5 × 9.81
= 9.8 × 10 − 2 T
=
ib 1 × 5 × 10 − 2
Esercizio 5
Si consideri una spira rettangolare, di lati a e b, percorsa dalla corrente i; essa è
immersa in un campo magnetico uniforme e con esso forma un angolo θ . Determinare il
momento torcente che tende ad allevare la spira perpendicolarmente al campo
r
magnetico B .
→ Soluzione
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Q
x
S
R
r
r
Come si deduce dalla figura, le forze magnetiche F3 e F4 sui lati RS e PQ sono uguali e
contrarie e hanno la stessa azione; ciascuna di esse è la risultante di un sistema di
forze parallele applicate nel centro del lato e nel loro insieme formano una coppia di
r
r
braccio nullo e quindi di momento nullo. Le forze F1 e F2 sui lati QR e SP, ciascuna di
r
modulo F = iaB (2° legge di Laplace) in quanto i lati a sono ⊥ a B , sono anch’esse uguali
e contrarie, ma costituiscono una coppia di braccio b sin θ . Il momento della coppia
vale il modulo:
M = b sin θ F = b sin θ iaB = iΣB sin θ
v
ed è parallelo al piano della spira e orientato parallelamente al lato a. Poiché m = iΣuˆ n è
il momento magnetico della spira, il momento meccanico può essere definito anche
r r r
r
r r
come M = mxB = iΣuˆ n xB . Tale momento è nullo solo se m // B . La posizione con θ = 0 è e
di equilibrio stabile, quella con θ = π di equilibrio instabile. Per qualsiasi altro valore di
r
r
θ M tende a far ruotare la spira in modo che il momento magnetico m (che è
parallelo a û n , normale alla spira orientata rispetto alle corrente secondo la regola
r
della mano destra) diventi parallelo e concorde a B .
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