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Esercizio 1
a) La carica q2 si trova in equilibrio nel punto B (vedi figura) solo se il
campo elettrico prodotto dalle cariche q1 e q3 in B e` nullo.
d
x0
q1

A
q2
q3

B

C
x
Poiche` le cariche q1 e q3 hanno lo stesso segno la forza dovuta alle due
cariche nel punto B puo` essere nulla solo se il punto B si trova all’interno
del segmento AC.
Il sistema e` in equilibrio solo se le forze elettrostatiche sulle tre cariche
sono contemporaneamente nulle: F1=F2=F3=0. Siccome il sistema e` isolato
la somma delle forze interne deve essere nulla per cui F1+F2+F3=0, quindi se
F1=0 ed F2=0 automaticamente si ha che anche F3=0.
Per trovare la condizione di equilibrio e` quindi sufficiente imporre le
due seguenti condizioni:

q3 
q2
F1x  q1  

0
2
 40 x0 40 d 2 


 q1

q3
0
F2 x  q 2 

2
2 
4

x


4

d

x
0
0
0
0


la soluzione di queste due equazioni porta alle seguenti soluzioni (con la
condizione d>x0)
q3  q 2
d
x0 q1
q1  q 2
d2
x02

q 
1   2 

q1 

sostituendo i valori numerici dati nel problema otteniamo:
d=15 cm
q3=0.25 C
Esercizio 2
a) La seconda legge di Laplace dice che un generico elemento di filo dl
origina un contributo infinitesimo al campo magnetico dB pari a:

  0 i dl  ur
dB 
4 r 2
dove il prodotto vettoriale dl x ur e` nullo nei tratti rettilinei; mentre nei
tratti rettilinei dl x ur e` diretto lungo l’asse z.
Il modulo del campo generato in P dalle due semicirconferenze vale:
 R  i
i
B   0 2 dl  0
4R
0 4R
con R pari ad a ed 2a rispettivamente per le due semicirconferenze.
Inoltre il campo generato dalla spira di raggio a e` diretto lungo l’asse z
con verso negativo. Quindi il campo risultante vale:
   i  i 
i
B   0  0 u z   0 u z
8a
 8a 4a 
b) Quando la spira e` immersa nel campo magnetico B=B0ux calcoliamo
la forza agente sulla spira utilizziamo la legge elementare di Laplace:


F  il  B  0
dove abbiamo sfruttato il fatto che la forza risultante agente su un
conduttore piano e` data dal prodotto della corrente per il campo magnetico
per la distanza tra l’estremo iniziale e quello finale del conduttore, che
essendo la spira chiusa e` pari a zero.
c) Il momento meccanico agente sulla spira, con momento magnetico m,
immersa nel campo magnetico B e` dato da:
   3a 2 i 
3a 2 iB0 

M  m B 
u z  B0 u x 
uy
2
2
Essendo il momento magnetico della spira uguale a:


 2a   a 2  3a 2 i 
m  iu z  i
uz 
uz
2
2
2