Massimi e minimi di funzioni di due variabili
Lorenzo Brasco∗
17 Maggio 2008
Nel seguente esercizio, vediamo l’esempio1 di una funzione f di classe C 2 con le seguenti
proprietà:
(i) ∇f (0, 0) = (0, 0);
(ii) la restrizione di f ad una qualsiasi retta passante per (0, 0), ha minimo in tale punto;
(iii) il punto (0, 0) non è di minimo locale per f .
Esercizio 1 Si trovino i punti critici della seguente funzione di due variabili
f (x, y) = (y − x2 )(y − 2x2 ), (x, y) ∈ R2 ,
studiandone la natura (es. punti di minimo, punti di massimo, punti di sella).
Soluzione Osserviamo come prima cosa che la nostra funzione è sicuramente di classe C 2 (anzi,
in realtà è addirittura di classe C ∞ ), essendo semplicemente un polinomio nelle due variabili x e
y. Dobbiamo trovare i punti del piano in cui il gradiente della funzione f si annulla, ovvero dal
momento che si ha
∇f (x, y) = (8x3 − 6xy, 2y − 3x2 ),
dobbiamo trovare le soluzioni del sistema
(
8x3 − 6xy
2
2y − 3x
=
0
= 0.
Con facili calcoli, si ottiene che il precedente sistema ha come unica soluzione l’origine degli assi
(0, 0), che rappresenta quindi l’unico punto critico di f . Calcoliamo adesso la matrice hessiana di f
"
#
24x2 − 6y −6x
2
D f (x, y) =
,
−6x
2
∗ [email protected]
1 Ringrazio
il Dott. Giulio Peruginelli per avermi segnalato l’esercizio.
1
e valutiamola nel punto critico (0, 0), ovvero
"
D2 f (0, 0) =
0 0
#
0 2
,
che è una matrice simmetrica semidefinita positiva: quindi non possiamo concludere nulla di certo2
sulla natura del punto (0, 0). Si noti che la matrice è già in forma diagonale, abbiamo pertanto che
λ1 = 0, λ2 = 2,
sono i suoi autovalori, i cui autospazi corrispondenti sono dati da
V1 =< [1, 0] >, V2 =< [0, 1] >,
rispettivamente (ovvero gli autospazi sono semplicemente gli assi coordinati). Studiamo adesso le
restrizioni di f a tali autospazi V1 e V2 , si ha:
g1 (x) = f (x, 0) = 2x4 ,
per cui la restrizione di f all’autospazio relativo a λ1 ha un minimo in corrispondenza di (0, 0);
analogamente, risultando
g2 (y) = f (0, y) = y 2 ,
anche la restrizione di f all’autospazio relativo a λ2 ha un minimo in corrispondenza di (0, 0).
Possiamo quindi dire che allora in realtà
la restrizione di f ad una qualsiasi retta passante per (0, 0) ha un minimo in tale punto.3
Ciò sembra suggerire in modo naturale che il punto (0, 0) debba essere di minimo: tuttavia, un
semplice studio del segno della funzione di partenza, ci permette di concludere che
f (x, y) ≤ 0 ⇐⇒ x2 ≤ y ≤ 2x2 ,
ovvero f è negativa nella regione di piano compresa tra i grafici delle due parabole y = x2 e y = 2x2 ,
e positiva all’esterno (si veda Figura 3). Abbiamo quindi che in ogni piccolo intorno del punto (0, 0),
f è sia positiva che negativa. Dal momento che f (0, 0) = 0, il punto critico in esame non può essere
di minimo (nè di sella, chiaramente). ¦
2 Si
ricordi che il fatto che la matrice hessiana sia semidefinita positiva, è una condizione necessaria ma non
sufficiente affinchè il punto in esame sia di minimo. In parole povere, per il momento possiamo solo dire che (0, 0)
potrebbe essere di minimo.
3 Chi non fosse persuaso da questa affermazione, conseguente allo studio delle restrizioni di f ai soli autospazi,
provi semplicemente a fare il seguente esercizio: consideri la funzione di una variabile (dipendente dal parametro k)
gk (x) = f (x, kx),
che rappresenta per l’appunto la restrizione di f ad una qualsiasi retta passante dall’origine, e ne studi l’andamento
vicino al valore x = 0.
2
6
5
4
3
2
1
0
−1
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
Figura 1: Il grafico della funzione f .
2
1.5
1
0.5
0
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
y
−0.5
−1
−1
x
Figura 2: Le restrizioni di f all’autospazio V1 (colore rosso) e all’autospazio V2 (colore blu).
3
8
7
6
y
5
−
4
−
3
2
−
−
+
1
+
0
−2
−
−
+
+
−
−
+
−1.5
−1
+ +
+ +
+
+
0
0.5
−0.5
+
+
−
−
−
+
1
+
1.5
2
x
Figura 3: Regioni di positività (con il segno +) e regioni di negatività (con il segno −) di f .
4
