Esercitazione di Meccanica Razionale – 16 novembre 2016
Laurea in Ingegneria Meccanica – Latina
Quesito 1. Si studino i sistemi olonomi elencati nei quesiti seguenti seguendo lo schema qui
proposto:
– costruzione del modello cinematico, individuazione del numero di gradi di libertà e
definizione delle coordinate lagrangiane;
– espressione della velocità angolare delle componenti rigide eventualmente presenti in
termini delle coordinate lagrangiane;
– determinazione dell’energia cinetica del sistema;
– individuazione delle componenti della sollecitazione conservative in senso lagrangiano
e determinazione dell’associata energia potenziale lagrangiana;
– individuazione delle componenti della sollecitazione non conservative e calcolo delle
associate componenti lagrangiane;
– determinazione delle equazioni pure del moto;
– determinazione delle configurazioni di equilibrio e studio della stabilità;
– eventuale discussione qualitativa dei moti del sistema;
– eventuale integrazione esplicita delle equazioni pure del moto (determinazione di tutti
i moti del sistema);
– eventuale studio delle piccole oscillazioni attorno ai punti di equilibrio stabile (solo
studenti del Laboratorio di Meccanica Razionale).
Quesito 2. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante
omogenea di massa m e lunghezza ` vincolata a muoversi su un piano verticale (fisso rispetto
all’osservatore terrestre). I due estremi della sbarretta sono vincolati a muoversi rispettivamente su una retta orizzontale r e una verticale s appartenenti al piano del moto.
Sull’estremo della sbarretta vincolato a muoversi sulla retta s agisce una forza elastica di
costante k > 0 e centro posto sulla medesima retta s a distanza 2` dal punto di intersezione
delle rette r e s. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre.
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Quesito 3. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante
omogenea di massa m e lunghezza ` vincolata a muoversi su un piano verticale fisso rispetto
all’osservatore terrestre. I due estremi della sbarretta sono vincolati a muoversi rispettivamente su una retta orizzontale r e una verticale s appartenenti al piano del moto.
Sull’estremo della sbarretta vincolato a muoversi sulla retta r agisce una forza elastica di
costante k > 0 e centro posto sulla medesima retta r e a distanza 2` dal punto di intersezione
delle due rette r e s. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre.
Quesito 4. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo
di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale (fisso rispetto all’osservatore
terrestre) mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale s appartenente
al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza elastica
di costante k > 0 e centro posto sulla retta s. Si consideri il moto del sistema rispetto
all’osservatore terrestre.
Quesito 5. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo
di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale (fisso rispetto all’osservatore
terrestre) mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale s appartenente
al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza elastica
di costante k > 0 e centro posto sulla retta s e la forza costante orizzontale di intensità F
parallela alla retta s. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre.
Quesito 6. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante
omogenea di massa m e lunghezza ` vincolata a muoversi su un piano verticale. Il piano
del moto ruota con velocità angolare costante α rispetto all’osservatore terrestre attorno alla
retta verticale s fissa rispetto all’osservatore terrestre. I due estremi della sbarretta sono
vincolati a muoversi rispettivamente sulla retta s e su una retta orizzontale r appartenente
al piano del moto. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore solidale al piano
del moto.
Quesito 7. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo
di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale che ruota con velocità
angolare costante rispetto all’osservatore terrestre e attorno a un asse appartenente al piano
stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale
appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la
forza costante parallela alla retta di appoggio di intensità F . Si consideri il moto del sistema
rispetto all’osservatore solidale al piano del moto.
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Quesito 8. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo
di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale che ruota con velocità
angolare costante rispetto all’osservatore terrestre e attorno a un asse appartenente al piano
stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale
appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce
la forza elastica di costante k > 0 e di centro C(t) in moto armonico semplice sulla retta
di appoggio con elongazione A e pulsazione λ. Si consideri il moto del sistema rispetto
all’osservatore solidale al piano del moto.
Quesito 9. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo
di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale che ruota con velocità
angolare costante rispetto all’osservatore terrestre e attorno all’asse s appartenente al piano
stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemente a contatto (dall’esterno) con una
circonferenza appartenente al piano del moto, di raggio R > r e centro sulla retta s. Il moto
è di puro rotolamento. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore solidale al
piano del moto.
Quesito 10. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale che ruota con velocità
angolare costante rispetto all’osservatore terrestre e attorno all’asse s appartenente al piano
stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemente a contatto (dall’interno) con una circonferenza appartenente al piano del moto, di raggio R > r e centro sulla retta s. Il moto
è di puro rotolamento. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore solidale al
piano del moto.
Quesito 11. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da un cono circolare retto
pesante omogeneo di massa m, raggio di base r e altezza h vincolato a muoversi appoggiato
a un piano orizzontale fisso rispetto all’osservatore terrestre. Il moto è di puro rotolamento.
Sul centro della base del cono agisce la forza elastica di costante k > 0 e centro posto sul
piano di appoggio. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre.
Quesito 12. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare
pesante omogenea di raggio r e massa m con un elemento del suo bordo fisso rispetto
all’osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi verticale, ovvero durante il moto
una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene
nel piano orizzontale passante per il punto fisso. Sul punto del bordo del disco opposto a
quello fisso agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa quota del
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punto fisso e a distanza 2r da esso. Si consideri il moto della lamina rispetto all’osservatore
terrestre (gradi di libertà 2).
Quesito 13. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare
pesante omogenea di raggio r e massa m con un elemento del suo bordo fisso rispetto
all’osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi verticale, ovvero durante il moto
una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene
nel piano orizzontale passante per il punto fisso. Sul punto del bordo del disco opposto a
quello fisso agisce una forza costante orizzontale. Si consideri il moto della lamina rispetto
all’osservatore terrestre (gradi di libertà 2).
Quesito 14. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare
pesante omogenea di raggio r e massa m con un elemento del suo bordo fisso rispetto
all’osservatore terrestre. Sul punto del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza
elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa quota del punto fisso e a distanza 2r
da esso. Si consideri il moto della lamina rispetto all’osservatore terrestre (gradi di libertà
3).
Quesito 15. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante
omogenea di lunghezza ` e massa m con un suo estremo fisso rispetto all’osservatore terrestre.
Sull’estremo libero agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa
quota del punto fisso e a distanza 2` da esso. Si consideri il moto della sbarretta rispetto
all’osservatore terrestre (gradi di libertà 2).
Quesito 16. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante
omogenea di lunghezza ` e massa m con un suo estremo fisso rispetto all’osservatore terrestre.
Sull’estremo libero agisce una forza costante orizzontale. Si consideri il moto della sbarretta
rispetto all’osservatore terrestre (gradi di libertà 2).
Quesito 17. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare
pesante omogenea di raggio R e massa M con un elemento del suo bordo fisso rispetto
all’osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi in un piano verticale fisso rispetto
all’osservatore terrestre. Sulla retta del piano del moto passante per il punto fisso della lamina
è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L’elemento del bordo del disco opposto a
quello fisso si scambia con l’elemento di massa m la forza elastica di costante k > 0. Si
consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre (gradi di libertà 2).
Quesito 18. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di raggio R e massa M con un elemento del suo bordo vincolato a muoversi
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sulla retta s orizzontale fissa rispetto all’osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi nel piano verticale fisso rispetto all’osservatore terrestre e passante per s. Sulla retta
s è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L’elemento del bordo del disco opposto a
quello vincolato alla retta s scambia con l’elemento di massa m la forza elastica di costante
k > 0. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore terrestre (gradi di libertà 3).
Quesito 19. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare
pesante omogenea di raggio R e massa M vincolato a muoversi su un piano verticale in
moto rotatorio uniforme rispetto all’osservatore terrestre. Un elemento del bordo del disco
è vincolato a muoversi sulla retta s orizzontale appartenente al piano del moto. Sulla retta
s è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L’elemento del bordo del disco opposto a
quello vincolato alla retta s scambia con l’elemento di massa m la forza elastica di costante
k > 0. Si consideri il moto del sistema rispetto all’osservatore solidale al piano del moto
(gradi di libertà 3).
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