UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
CORSO DI RICERCA OPERATIVA II
docente Ing. Giuseppe Bruno
ESERCIZI
CAPITOLO 2 - TECNICHE DI PREVISIONE
Esercizio 1
In tabella sono riportati i valori delle variabili X e Y
X
Y
65
68
63
66
67
68
64
65
68
69
62
66
70
68
66
65
68
71
67
67
69
68
71
70
Si costruisca il diagramma di dispersione. Si individui, empiricamente, una retta di regressione di Y
su X e si effettuino considerazioni qualitative e/o quantitative sulla correlazione tra le due variabili.
Esercizio 2
In tabella è riportato il fatturato in miliardi di un'azienda relativo agli ultimi due anni suddiviso per trimestri. Si effettui
una previsione del fatturato per i successivi 4 trimestri. Si descriva il procedimento utilizzato.
Anno
1998
1999
Primavera
40
50
Estate
30
25
Autunno
50
75
Inverno
80
100
Esercizio 3
Si calcoli la media mobile di ordine 3 e 4 della seguente serie storica. Si illustri la formula ricorsiva
che lega la media mobile di ordine j alla media mobile di ordine j+1
1
5
2
6
3
8
4
6
5
6
6
10
7
12
8
12
9
10
10
14
11
12
12
16
9
10
12
10
12
13
11
8
10
12
7
8
Esercizio 4
Si effettui la "destagionalizzazione" della seguente serie storica
1
5
8
2
6
8
3
8
9
4
6
7
5
6
7
6
3
5
7
2
4
8
6
8
Esercizio 5
In tabella è riportato il fatturato in miliardi di un'azienda relativo agli ultimi due anni suddiviso per trimestri. Si effettui
una previsione del fatturato per i successivi 4 trimestri. Si descriva il procedimento utilizzato.
Anno
1998
1999
Primavera
40
50
Estate
30
25
Esercizio 6
Si consideri la seguente serie storica
1
Autunno
50
75
Inverno
80
100
Periodo
Yi
1
6
2
8
3
8
4
9
5
5
6
11
7
15
8
14
Si calcoli la serie delle medie mobili pesate di ordine 2 assumendo come pesi i valori 0.4 e 0.6. Si
determino quindi i valori dei parametri MAD e MSE spiegandone il significato.
Esercizio 6
Considerando i dati riportati in tabella, si determini la curva di regressione lineare che correla le due
variabili X e Y. Si indichi il coefficiente di correlazione e giustifichi il risultato.
X
Y
5
10
3
4
8
19
10
25
7
16
12
31
Esercizio 7
In tabella sono riportati i dati di vendita trimestrali di un testo universitario negli ultimi tre anni.
Trimestre
Anno 1
Anno 2
Anno 3
1
2
3
4
1690
940
2625
2500
1800
900
2900
2360
1850
1100
2930
2615
Si calcoli la media mobile di ordine 4 e se ne illustri graficamente l'andamento. Si calcolino gli
indici stagionali e si individui qualitativamente una proiezione del trend.
2
CAPITOLO 3 - TECNICHE EURISTICHE
Esercizio 3.1
Si descriva un algoritmo di Simulated annealing per la risoluzione del problema del commesso
viaggiatore. Si specifichi e si giustifichi una possibile scelta della cooling schedule nella ipotesi che
la soluzione iniziale presenti un valore della funzione obiettivo pari a 800. Si facciano delle
considerazioni sulla complessità dell'algoritmo descritto.
Esercizio 3.2
Si consideri un problema dello zaino per il quale i valori e i pesi degli oggetti sono riportati in
tabella:
oggetto
1
2
3
4
5
6
Peso
1
2
1
2
3
1
valore
10
10
5
20
15
15
Supponendo che la capacità dello zaino sia 3, si individui un possibile schema di algoritmo genetico
in grado di risolverlo descrivendo, in particolare, i possibili operatori genetici applicati al problema.
Esercizio 3.3
In tabella è riportata la matrice dei costi per la risoluzione di un problema di commesso viaggiatore. Si supponga che la
soluzione corrente sia data dalla sequenza di nodi
1
2
3
4
5
Si consideri, quindi, un algoritmo migliorativo basato su una mossa di inserzione di un nodo in una nuova posizione. Si
determini la nuova soluzione corrente individuata sulla base di questa mossa e si specifichi la complessità
computazionale di questa operazione. Ipotizzando di utilizzare un algoritmo di simulated annealing, si indichi
l'espressione della probabilità di accettare, come nuova soluzione, la successione di nodi
1
Nodi
1
2
3
4
5
3
1
6
4
5
8
2
4
2
3
6
4
9
9
8
4
7
6
Matrice dei costi
5
4
5
8
4
10
5
8
7
6
10
-
Esercizio 3.4
Si consideri il problema di ottimizzazione:
z = 4x1 - x2 + 2x3 +3x5-2x1x3-5x1x5+3x2x4-4x4x5
Max!
sottoposto a
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 3
xj=0/1
ed il seguente insieme di possibili soluzioni:
1
2
3
4
5
x1
1
0
1
0
1
x2
1
0
0
0
0
x3
0
1
1
1
0
x4
1
0
0
1
0
x5
1
1
1
1
1
Si applichi a questo insieme di soluzioni, assunto come popolazione iniziale, un passo completo di
un algoritmo genetico.
3
Esercizio 3.5
Si consideri il problema di TSP sul grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in
tabella.
A
B
C
D
E
F
A B C D E F
0 8 14 18 16 13
8 0 9 12 10 5
14 9 0 7 6 10
18 12 7 0 4 8
16 10 6 4 0 7
13 5 10 8 7 0
Si consideri come soluzione iniziale la successione di nodi A – D – F – C – E – B – A. A
partire da questa soluzione si applichi un algoritmo di Tabu Search considerando come mossa
lo scambio di posizioni tra due nodi consecutivi fino al raggiungimento di un minimo locale (si
consideri tabu l’esecuzione della sola mossa inversa). Si evidenzino in generale le differenze
esistenti tra la Tabu search e le altre tecniche migliorative (tecniche di ricerca locale, Simulated
Annealing, Algoritmi genetici).
4
CAPITOLO 4 - LOCALIZZAZIONE
Esercizio 4.1
Si risolva il problema di Simple Plant Location descritto dalle seguenti tabelle:
nodi
rj
1
4
2
8
3
2
4
8
5
6
nodi
1
2
3
4
5
1
0
9
10
4
6
2
9
0
7
12
7
3
10
7
0
10
8
4
4
12
10
0
5
5
6
7
8
5
0
Si descriva il modello matematico e si indichi il valore delle variabili decisionali per la soluzione
individuata del problema.
Esercizio 4.2
Si illustri il problema dell'albero minimo con vincoli di capacità (il nodo "0" rappresenta il nodo
centrale). Si risolva il problema con riferimento all'insieme dei nodi le cui distanze reciproche sono
riportate nella seguente tabella
Nodo
0
1
2
3
4
5
0
0
3
12
8
7
5
1
3
0
6
5
9
9
2
12
6
0
7
10
4
3
8
5
7
0
8
6
4
7
9
10
8
0
13
5
5
9
4
6
13
0
nel caso in cui la capacità massima sia pari a 5 e la domanda sia rappresentata dal seguente vettore
Nodo
di
1
2
2
1
3
3
4
2
5
3
Esercizio 4.3
Si descriva l'algoritmo di Esau-Williams per la risoluzione del problema dell'albero con vincoli di
capacità (si assuma il nodo 1 come nodo centrale di riferimento). Si applichi l'algoritmo alla rete la
cui matrice dei minimi percorsi è descritta nella tabella seguente nella ipotesi che il valore di
capacità massima è pari a 10.
Nodi j
domanda dj
Nodi
1
2
3
4
5
1
4
1
0
7
10
4
9
2
8
2
7
0
8
12
7
3
6
3
10
8
0
14
8
5
4
8
4
4
12
14
0
10
5
2
5
9
7
8
10
0
Esercizio 4.4
Si consideri la matrice dei minimi percorsi indicata in tabella e si consideri il problema di 3mediana; si ipotizzi che, per la sua risoluzione, si utilizzi un algoritmo genetico a partire dalla
popolazione di 5 elementi rappresentata in tabella.
Si applichi a questa popolazione l'operatore di riproduzione. Si illustrino gli algoritmi genetici
soffermandosi, in particolare, sull'aspetto della convergenza prematura. Si descriva il modello
matematico del problema di p-mediana evidenziando il significato delle variabili e dei vincoli.
Nodo
0
1
2
3
4
5
6
0
0
8
7
8
7
15
6
1
8
0
12
5
10
9
9
2
7
12
0
7
10
4
11
3
8
5
7
0
8
9
8
4
7
10
10
8
0
3
8
5
15
9
4
9
3
0
4
6
6
9
11
8
8
4
0
popolazione
1
2
3
4
5
1
0
0
0
1
1
2
1
1
0
1
1
3
1
1
0
0
0
4
1
1
1
0
0
5
0
0
1
1
0
6
0
0
1
0
1
Esercizio 4.5
Si illustri il problema della p-mediana e si risolva il problema per p=2 con riferimento all'insieme
dei nodi le cui distanze reciproche sono riportate nella seguente tabella
Nodo
1
2
3
4
5
1
0
6
8
4
5
2
6
0
3
5
5
3
8
3
0
7
6
4
4
5
7
0
4
5
5
5
6
4
0
Si indichi il modello matematico del problema ed il valore assunto dalle variabili decisionali
nell'esempio in questione.
Esercizio 4.6
Si effettui, attraverso una analisi grafica del problema, un passo dell'algoritmo di 3-mediana
considerando il problema sul grafo rappresentato in figura. Si supponga che le distanze tra i nodi
siano rappresentate dalle distanze euclidee e che la soluzione iniziale sia rappresentata dai nodi (1,
2, 3). Si giustifichi la risposta ottenuta.
1
4
2
5
3
6
CAPITOLO 5 - GESTIONE DELLE SCORTE
Esercizio 5.1
Si illustri la classificazione ABC e la si effettui sull'insieme dei prodotti descritto in tabella:
Numero d'ordine
1
2
3
4
5
6
7
8
Prodotto
A
B
C
D
E
F
G
H
Quantità
100
50
20
60
5
400
20
200
Valore medio
4.000
3.000
10.000
1.000
2.000
100
2.000
500
Esercizio 5.2
Un'azienda tratta un prodotto per il quale vi è una richiesta costante di 3000 unità al mese nel
periodo estivo (giugno, luglio, e agosto). L'azienda si rifornisce da un clente che, mensilmente,
fornisce 3000 unità di prodotto con tempo di consegna di 10 giorni (si supponga nulla la
disponibilità iniziale di scorta). Si indichino il valore massimo di scorta disponibile ed il valore
medio di scorta in magazzino. Si quantifichi il costo di immagazzinamento della scorta nell'ipotesi
in cui il costo di una unità del prodotto sia di Lit 2000 ed il costo di immagazzinamento per unità di
prodotto è pari al 3% all'anno. Si illustri la differenza tra politiche a punto d'ordine e politiche a
riordino periodico nella gestione delle scorte.
Esercizio 5.3
Una clinica privata utilizza 816 confezioni di un certo medicinale all’anno. Il costo di ordinazione è
pari a 12 € mentre il costo di mantenimento in magazzino è di 4 € all’anno per confezione. Se il
costo di ciascuna confezione è di 20 € si determini il costo totale minimo per l’acquisto ed il
mantenimento della scorta per un anno. Si supponga, poi, che la ditta fornitrice sia disposta a
concedere uno sconto di 4 € a confezione nel caso si effettuino ordini di almeno 100 confezioni. Si
determini, in questo caso, la politica ottimale di approvvigionamento.
Esercizio 5.4
La domanda di acquisto di un certo prodotto è di 1800 unità nel periodo del primo semestre. Si
ipotizzi un costo per unità di prodotto di Lit 1000 e un tasso di interesse pari al 5% all’anno. Si
determini la politica ottimale di approvvigionamento.
Esercizio 5.5
Una azienda vende un confezioni di matite per le quali vi è una richiesta costante di 12000
confezioni all'anno al costo di Lit 2500 a confezione. I costi di ordinazione sono pari a Lit 25000
mentre i costi di mantenimento della scorta in magazzino sono pari al 20% del costo. Considerando
un anno composto da 250 giorni lavorativi, nell'ipotesi in cui il tempo di consegna è pari a 5 giorni,
si calcoli il valore del lotto economico, il punto di riordino ed il valore dei costi per il lotto
economico considerato.
Esercizio 5.6
Si consideri un problema di gestione delle scorte caratterizzato da una domanda totale annua del
prodotto pari a 200 e per il quale il lotto economico è pari a 20. Considerando un anno composto da
250 giorni lavorativi e supponendo che il tempo medio di consegna è di 10 giorni, si determini il
punto d’ordine nel caso in cui di domanda costante durante l’anno. Si ipotizzi successivamente la
distribuzione della domanda durante il tempo di consegna sia rappresentabile da una distribuzione
7
normale con µ=12 e σ=2.5; si determini il punto di riordino nel caso si è disposti ad accettare di
andare sottoscorta non più di una volta all’anno.
Esercizio 5.7
Si consideri un problema di gestione delle scorte a domanda discreta in cui si assume che l'orizzonte
temporale di riferimento sia l'anno suddiviso in 12 periodi della durata di un mese; la distribuzione
della domanda è indicata in tabella mentre i parametri di costo sono Co=180, c%=0,16 e C=170. Si
applichi la tecnica del lotto economico e si indichino le giacenze risultanti per periodo ed il costo
complessivo di gestione della scorta.
Periodo
Domanda
1
40
2
50
3
10
4
0
5
30
6
25
7
0
8
45
9
0
10
50
11
30
12
20
Totale
300
Esercizio 5.8
Si determini la politica di gestione delle scorte per il problema a domanda discreta descritto in
tabella nel caso di applicazione di una tecnica del costo totale minimo nell’ipotesi di costo di
ordinazione pari a 100, costo unitario del prodotto pari a 50 e costo di mantenimento della scorta
pari a 18% su 12 periodi. Si confronti il risultato ottenuto in termini di costo di gestione con il caso
in cui la domanda sia supposta continua e costante giustificandone il risultato.
Periodo
Domanda
1
35
2
10
3
0
4
40
5
0
6
20
7
15
8
0
9
30
10
0
Totale
150
Esercizio 5.9
Si consideri un problema di gestione delle scorte a domanda discreta in cui si assume che l'orizzonte
temporale di riferimento sia l'anno suddiviso in 12 periodi della durata di un mese; la distribuzione
della domanda è indicata in tabella mentre i parametri di costo sono Co=180, c%=0,16 e C=170. Si
applichi la tecnica del minimo costo unitario e si indichino le giacenze risultanti per periodo ed il
costo complessivo di gestione della scorta.
Periodo
Domanda
1
40
2
50
3
10
4
0
5
30
6
25
7
0
8
45
9
0
10
50
11
30
12
20
Totale
300
Esercizio 5.10
Si determini la politica di gestione delle scorte per il problema a domanda discreta descritto in
tabella nel caso di applicazione di una tecnica del costo totale minimo nell’ipotesi di costo di
ordinazione pari a 80, costo unitario del prodotto pari a 40 e costo di mantenimento della scorta pari
a 24% su 12 periodi e si valutino i costi totali di gestione. Si confrontino i risultati ottenuti con
quelli prodotti da una tecnica lotto per lotto.
Periodo
Domanda
1
60
2
20
3
0
4
40
5
40
8
6
0
7
0
8
50
9
30
10
20
CAPITOLO 6 - SCHEDULING
Esercizio 6.1
Si utilizzi la regola di Johnson per ottenere la schedulazione ottimale delle lavorazioni i cui tempi di
processamento sono descritti nella tabella seguente:
Macchina A
Macchina B
1
5
12
2
7
5
3
10
8
4
3
7
5
4
14
Esercizio 6.2
Si utilizzi la regola di Johnson per ottenere la schedulazione ottimale del problema Flow Shop per il
quale i tempi di processamento sono rappresentati in tabella (si supponga che l'ordine della
schedulazione sia A-B)
Lavorazione Macchina A Macchina B
1
25
42
2
38
15
3
22
30
4
58
40
5
45
20
Esercizio 6.3
In un problema di schedulazione di tipo R/preemptive/Cmax con 5 operazioni e 2 macchine,
supponendo che la matrice T dei tempi di processamento ottimali sia rappresentata nella seguente
tabella
Operazione
1
2
3
4
5
Macchina 1
3
2
0
4
8
Macchina 2
0
3
3
0
9
si individui una schedulazione ammissibile e si descriva il modello matematico del problema.
Esercizio 6.4
Si consideri il seguente problema di schedulazione P||Cmax con 7 operazioni e 3 macchine.
Operazione
Tempi
1
5
2
4
3
7
4
8
5
10
6
3
7
6
e si determini una schedulazione del problema.
Esercizio 6.4
Si consideri il problema di Flow Shop descritto in tabella e si determini la schedulazione. Si illustrino i problemi di
scheduling di tipo Flow Shop e Job Shop descrivendo, per essi, le tecniche di schedulazione.
Operazione
A
B
C
D
E
F
Macchina 1
5
4
4
2
5
6
9
Macchina 2
5
3
2
7
7
10
Esercizio 6.5
Si consideri l'insieme di lavorazioni indicate in tabella e si effettui una schedulazione considerando
diverse liste di priorità. Si calcolino, quindi, per ciascuna lista di priorità, i principali parametri di
valutazione (Cmax, ΣCj, Σ(Cj-dj)) e si commentino i risultati ottenuti.
Lavorazione
A
B
C
D
E
Tempo di processamento pj
6
5
10
7
8
Scadenza dj
4
6
8
12
10
Esercizio 6.6
Si effettui una schedulazione della seguente lista di lavorazioni
job
tempo
priorità
1
3
1
2
6
3
3
4
2
4
5
1
5
2
2
6
10
1
su macchina singola utilizzando più regole di priorità
Esercizio 6.7
Si consideri un problema di P|| Cmax su 3 macchine relativo alle seguenti lavorazioni:
Lavorazione
A
B
C
D
E
F
G
Pj
8
12
10
14
10
6
8
Si determini la schedulazione secondo la regola LPT. Considerando la soluzione individuata
come soluzione corrente, si applichi una mossa di scambio tra lavorazioni assegnate alle
macchine con il maggiore ed il minore Cmax, individuando, se esistono, eventuali mosse
migliorative. Con riferimento alla mossa descritta, si determini la probabilità di transizione
dello scambio D-A in un algoritmo di Simulated Annealing.
Esercizio 6.8
Si consideri il problema di Flow Shop descritto in tabella e si determini la schedulazione. Si illustrino i problemi di
scheduling di tipo Flow Shop e Job Shop descrivendo, per essi, le tecniche di schedulazione.
Operazione
A
B
C
D
E
F
Macchina 1
5
4
4
2
5
6
Macchina 2
5
3
2
7
7
10
Esercizio 6.9
Si consideri un problema di 3F|| Cmax in cui le lavorazioni richiedono il passaggio in sequenza
presso le macchine 1, 2 e 3 e si determini una schedulazione secondo il metodo di Gupta
10
descrivendone le caratteristiche.
Lavorazione
P1
P2
P3
A
B
C
D
E
F
4
2
5
7
9
7
10
8
10
10
8
6
6
10
3
6
6
4
Operazione
pj
rj
A
B
C
D
E
F
5
5
3
4
6
6
2
7
10
4
12
9
Esercizio 6.10
Si consideri la seguente lista di operazioni
E si effettui la schedulazione su una macchina considerando, come funzione obiettivo, la
minimizzazione della somma del tempo di flusso.
Esercizio 6.11
Si descrivano in generale i problemi di tipo Job Shop e l’algoritmo utilizzabile per risolvere il
problema J2| nj≤2 | Cmax. Si consideri un problema di Job Shop (J3|nj≤3|Cmax) su 3 macchine in cui i
tempi di processamento su ciascuna macchina sono indicati in tabella insieme con la successione
delle operazioni richieste.
Lavorazione
p1
p2
p3
Successione
A
B
C
D
E
F
3
7
8
-
6
9
5
6
3
4
13
9
-
1-2
3
1-3
2-3
1-2-3
2
Si effettui la schedulazione applicando in successione un algoritmo per il problema J2| nj≤2 | Cmax
considerando le macchine 1 e 2 e un algoritmo 1| rj | Cmax per determinare la schedulazione sulla
macchina 3.
Esercizio 6.12
Si applichi la regola di Gupta per risolvere il problema 3F||Cmax considerando la seguente lista di
operazioni
Operazione
p1j
p2j
p3j
A
B
C
D
E
F
5
5
6
4
6
6
2
4
8
5
3
9
4
7
10
4
10
9
Esercizio 6.13
11
Si consideri un problema di Flow Shop su 3 macchine (i tempi di processamento sono indicati in
Tabella) in cui la successione delle macchine da visitare è data da 1-2-3. Si schedulino le
lavorazioni secondo l'ordine crescente del tempo di processamento totale su tutte le macchine. A
partire dalla soluzione così determinata si applichi una iterazione d i una procedura migliorativa che
consideri, come mossa, lo scambio tra due jobs successivi della soluzione corrente. Per ciascuna
delle soluzioni individuate, inoltre, si determini la probabilità di accettazione nel caso si applicasse
un algoritmo di Simulated Annealing (si assuma T=50).
Macchina 1 Macchina 2 Macchina 3
Job 1
Job 2
Job 3
Job 4
Job 5
4
5
8
10
9
6
2
7
6
4
12
5
7
5
7
8
CAPITOLO 7- ROUTING
Esercizio 7.1
Si descriva un algoritmo euristico per la soluzione di un problema di routing in cui si suppone che
esistano un deposito, n/2 nodi di prelievo e n/2 nodi di consegna e per il quale bisogna individuare
un circuito a costo minimo che parte ed arriva al deposito, visita nell'ordine l'insieme dei nodi
prelievo e l'insieme dei nodi consegna. Si illustri l'algoritmo attraverso un semplice esempio grafico
costruito a piacere.
Esercizio 7.2
Si risolva il problema di Vehicle routing rappresentato in figura ipotizzando una domanda unitaria e
supponendo che i veicoli abbiano una capacità pari a 5.
deposito
Esercizio 7.3
Si illustri l'algoritmo di Clarke and Wright risolvendo il problema riportato in figura considerando
la domanda in ciascun nodo unitaria, la capacità dei veicoli pari a 3 e il costo di collegamento
proporzionale alla distanza euclidea tra i nodi (in grigio è indicato il deposito).
Esercizio 7.4
Si consideri il seguente grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in tabella. Si
applichi l’algoritmo di saving a partire dal nodo A per risolvere il TSP. Considerando inoltre la
presenza di una domanda come quella indicata in tabella e supponendo i veicoli a disposizione di
capacità pari a 5, si determini la soluzione del CVRP utilizzando l’algoritmo di Clark and Wright.
Si illustrino i risultati graficamente e numericamente.
D
C
A
B
C
D
E
F
G
E
B
A
F
G
A
0
10
16
25
20
15
18
Domanda
13
B
C
F
G
0
11 0
15 9 0
12 8 6 0
7 12 11 7 0
16 24 24 18 13
0
B
1
G
3
C
2
D
D
4
E
E
2
F
2
Esercizio 7.5
Si consideri la matrice dei minimi percorsi riportata in tabella. Si applichi un algoritmo di saving
per risolvere il TSP partendo, come nodo iniziale, dal nodo A e si illustri la procedura utilizzata.
A
B
C
D
E
F
G
A
0
5
8
12
10
8
9
B
5
0
6
8
6
4
8
C D E
8 12 10
6 8 6
0 5 4
5 0 3
4 3 0
6 6 4
12 12 9
F
8
4
6
6
4
0
7
G
9
8
12
12
9
7
0
Esercizio 7.6
Si consideri il problema di TSP sul grafo descritto dalla matrice dei minimi percorsi riportata in
tabella e si risolva il problema utilizzando l'algoritmo di saving.
A
B
C
D
E
A B
0 4
4 0
6 2
9 4
12 10
C
6
2
0
2
8
14
D E
9 12
4 10
2 8
0 10
10 0
CAPITOLO 8 - Project management
Esercizio 8.1
Si consideri il seguente grafo rappresentativo di un progetto (i valori riportati indicano la durata
delle attività in settimane). Si individuino le attività critiche ed una schedulazione al più presto del
progetto riportando il corrispondente diagramma di Gantt.
4
2
4
5
6
5
9
6
1
4
6
7
2
7
3
3
Esercizio 8.2
Si consideri un progetto suddiviso nelle attività riportate in tabella.
Attività
Durata
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
4
2
10
4
1
6
2
6
2
2
Attività
precedenti
A
A
A
B
E, C
E, C
F
G, D
H, I
Risorse
impiegate
3
4
2
5
5
3
4
6
8
4
Si costruisca il diagramma PERT individuando le attività critiche. Si determini una possibile
schedulazione associando ad essa il diagramma delle risorse.
Esercizio 8.3
Si consideri il seguente grafo rappresentativo di un progetto (i valori riportati indicano nell'ordine la
durata delle attività e le risorse richieste). Si determini una schedulazione al più presto ed il
diagramma delle risorse ad essa associato.
5, 2
2
6, 1
5
1,2
5,2
5,1
1
5,2
4
6
2,1
4,2
4,2
3
15
