I teoremi di Pitagora
e di Euclide
Attività
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Il teorema di Pitagora nella storia
GEOGEBRA
Attività 4
Il nostro percorso attraverso la geometria ci ha condotti al teorema di Pitagora, sicuramente uno dei più noti e utilizzati teoremi di tutta la geometria euclidea. Nonostante la sua stessa denominazione, la storia del teorema si perde nei secoli,
quando già i babilonesi e gli egizi ne avevano empiricamente scoperto una
espressione: una delle più antiche testimonianze è rappresentata da una tavoletta
di argilla ritrovata in Mesopotamia e risalente al periodo della dinastia
Hammupffiffiffi
rabi, dove è calcolata la diagonale di un quadrato di lato 15, pari a 15 2. Sebbene la prima dimostrazione accertata del teorema sia contenuta negli Elementi di
Euclide, se ne trovano tracce in molti documenti di civiltà extraeuropee, per
esempio dell’Antica Cina o dell’India, ben prima della nascita di Pitagora. Saranno poi i pitagorici ad attribuire l’elaborazione del teorema a Pitagora, secondo
l’uso di attribuire al maestro della scuola ogni scoperta.
La dimostrazione del teorema di Pitagora
C
E
z
x
z
B
A
y
x
y
D
Per prima cosa è necessario costruire sull’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC
un triangolo rettangolo isoscele BEC. A questo punto si traccia la perpendicolare
alla retta a cui appartiene AB, passante per il punto E. Si prolunga quindi la retta
AB fino a incontrare in D la perpendicolare tracciata da E. Il triangolo ABC è congruente al triangolo DCE per la costruzione appena eseguita, infatti i triangoli sono rettangoli, le ipotenuse sono congruenti e ABC e DEB sono complementari
dello stesso angolo DBE. Da questa osservazione deriva perciò che AB ffi DE e
AC ffi BD. Sia l’altezza che la somma delle basi sono ðx þ yÞ, quindi l’area del trapezio ADEC è:
ðx þ yÞðx þ yÞ
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Petrini - Nuova Matematica a colori f 2010 De Agostini Scuola SpA - Novara
Il teorema di Pitagora ha innumerevoli dimostrazioni, alcune molto semplici e intuitive, altre più elaborate, come quella data da Euclide nei suoi Elementi. In questa scheda vorremmo proporvi quella scoperta nel 1876 da James A. Garfield, ventesimo presidente degli Stati Uniti. Garfield trovò una dimostrazione inedita del
teorema insieme ad alcuni suoi colleghi del Congresso, in un «momento di passatempo matematico». «Pensiamo che su questa dimostrazione» disse «si possano
trovare d’accordo tutti i deputati, indipendentemente dalle loro idee politiche».
La dimostrazione di Garfield, molto elegante è basata sul calcolo dell’area del trapezio, per cui non è necessario costruire alcun quadrato. Ti consiglio di seguire la
dimostrazione con l’ausilio di questa immagine:
1/2
z2
2xy
þ
2
2
z2
2xy
ðx þ yÞðx þ yÞ
¼
þ
2
2
2
z2 þ 2xy ¼ x2 þ y2 þ 2xy
Se si semplifica, si ottiene la relazione del teorema di Pitagora:
z 2 ¼ x2 þ y 2
Come hai potuto osservare l’espressione alla base del teorema di Pitagora conduce ad una relazione algebrica che non conserva memoria della costruzione utilizzata per la dimostrazione. Questa relazione suggerisce che il teorema possa essere
espresso utilizzando figure piane tra loro simili. Proviamo per esempio a moltiplicare l’equazione del teorema di Pitagora per . Otteniamo:
I teoremi di Pitagora e di Euclide
Da cui segue che:
Attività 4
Ma l’area dello stesso trapezio è anche uguale alla somma delle aree dei tre triangoli ABC, BCE e CDE:
z2 ¼ x2 þ y 2
Questa nuova relazione coinvolge le aree dei cerchi di diametri x, y e z: il teorema
di Pitagora può quindi essere espresso come «La somma delle semicirconferenze
costruite sui cateti di un triangolo rettangolo è equivalente alla semicirconferenza costruita sull’ipotenusa». Lo stesso può essere fatto con altri poligoni regolari
o anche con figure non regolari: l’unico vincolo è che le figure utilizzate siano
tra loro simili. Prova a sperimentare con GeoGebra!
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