Algebra Unità 1

Prova scritta di Algebra
I unità
17 Marzo 2008
1.
i) Si dia la definizione di Massimo Comun Divisore fra numeri interi.
ii) Siano a, b, d ∈ Z tali che d = M.C.D.(a, b) e sia d0 ∈ Z. Si provi che
d0 = M.C.D.(a, b)
⇔
d0 = ±d.
iii) Si risolva, se possibile, la seguente equazione diofantea:
3x − 19y = 5.
2. Nel gruppo simmetrico S8 , si consideri la permutazione
α = (147658)(23467)(145).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si dica se α158 = α−22 , motivando la risposta;
iii) indicato con A8 il gruppo alterno, si determini A8 ∩ S8 ;
iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente
hαi
.
hα2 i
3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
a(x) = x4 − 7
e
b(x) = x5 − 2x3 − x2 + 2.
i) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x];
ii) si determinino le radici di a(x) e b(x) e le relative molteplicità in Q, R e C;
iii) si enunci e dimostri il teorema di Ruffini.
4. Siano A e B due sottogruppi del gruppo abeliano G. Si provi che:
i) AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} è un sottogruppo di G. È normale ?
ii) l’applicazione ϕ : B → AB
B tale che ϕ(b) = Ab, per ogni b ∈ B, è un
epimorfismo di gruppi;
B
iii)) si determini Ker ϕ e si deduca che il gruppo quoziente A∩B
è isomorfo
AB
al gruppo quoziente A .
Prova scritta di Algebra
I unità
7 Aprile 2008
1.
i) Si considerino le applicazioni f : R → R tale che x 7→ x2 e g : R → R tale
che x 7→ x + 1.
Si dica se le precedenti funzioni sono iniettive, suriettive e bijettive, motivando la risposta;
ii) si stabilisca se le funzioni definite al punto i) commutano, motivando la
risposta;
iii) si dimostri che la composizione di due funzioni bijettive è una funzione
bijettiva.
2. Sia G un gruppo.
i) Si provi che l’insieme C := {c ∈ G | cg = gc, ∀g ∈ G}, chiamato Centro di
G, è un sottogruppo di G;
ii) si determini il Centro di G, nei casi G = S2 e G = S3 , gruppi simmetrici
di ordine 2 e 3 rispettivamente.
3.
i) Si consideri l’anello Z16 delle classi di resto modulo 16. Si distinguano
tra gli elementi di tale anello gli elementi unitari ed i divisori dello zero,
motivando le scelte; in particolare, si determinino gli inversi degli elementi
unitari;
ii) Z16 è un campo? Si motivi la risposta;
iii) si enuncino e si dimostrino le leggi di cancellazione in un anello.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
f (x) = x7 − 4x5 − 7x3 + 10x
e g(x) = x6 + 2x5 − 3x4 − 6x3 − 10x2 − 20x.
i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x)), e lo si scriva nella
forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x];
iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in Q, R e C.
Prova scritta di Algebra
I unità
23 Giugno 2008
1.
i) Si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari in Z:
7x ≡ −3 (mod 14)
11x ≡ −5 (mod 13) ;
e
ii) dati gli interi a e b, n = pr , con p numero primo ed r intero positivo, si
provi quanto segue:
se M.C.D.(a, p) = 1
e a ≡ b (mod n) , allora M.C.D.(b, p) = 1.
2. Nel gruppo simmetrico S8 siano
α = (14578)(236)
e
β = (245761)(4385).
i) Si determinino i periodi di α, β e αβ;
ii) si determinino gli elementi di hαβi ed i relativi periodi;
iii) si determinino gli elementi di A8 ∩ hαβi;
iv) S8 è abeliano? E hαβi? Si motivino le risposte.
3.
i) Si consideri la relazione ϕ : C → R × R tale che
a + ib 7→ (a − b; b)
per ogni a + ib ∈ C.
i) Si provi che ϕ è un omomorfismo di gruppi additivi. ϕ è un isomorfismo?
Si motivi la risposta;
ii) si dimostri che, dato un omomorfismo f : G → H di gruppi additivi, f è
un monomorfismo se e solo se Ker f = {0G }.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
f (x) = x7 + 2x5 − 13x3 + 10x
e
g(x) = x4 − x3 + 3x2 − 5x − 10.
i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], di R[x] e di C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in Q, R e C.
Prova scritta di Algebra
I unità
10 Luglio 2008
1.
i) Si risolva, se possibile, la seguente equazione diofantea in Z:
7x − 5y = −3;
ii) data la funzione f : Z × Z → Z tale che
(a, b) 7→ 7a − 5b,
per ogni (a, b) ∈ Z × Z, si dica se f è iniettiva, suriettiva, bijettiva. Si motivino le risposte.
2. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione α = (125487)(15297634).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determinino gli elementi di A9 ∩ hαi;
iii) si dica se i laterali hαi(1429) = hαi(7683), motivando la risposta;
iv) S9 è abeliano? Si motivi la risposta.
3.
i) Si dia la definizione di omomorfismo fra gruppi;
ii) indicato con C∗ il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi, si provi
che la funzione f : C∗ → C∗ tale che per ogni g ∈ C∗
f (g) = g 3
è un omomorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di f e si dica se f è
suriettiva.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
f (x) = x3 + x
e
g(x) = x3 − 2x2 + x − 2.
i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x] e di C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in C.
Prova scritta di Algebra
I unità
11 Settembre 2008
1.
i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(350, 75) e lo
si scriva nella forma 350h + 75k, dove h e k sono elementi interi;
ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:
A = {6x − 11y | x, y ∈ Z}
e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione α = (1456782)(492653).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determinino gli elementi di A9 ∩ hαi;
iii) si dica se α123 = α−54 , motivando la risposta;
hαi
iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente hα
2i .
3.
i) Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Si provi che
f (1G ) = 1H e che f (g −1 ) = f (g)−1 per ogni g ∈ G;
ii) siano (Z, +, 0) il gruppo additivo degli interi,
A = {14x − 7y | x, y ∈ Z}
B = {6x + 15y | x, y ∈ Z}
e
due sottoinsiemi di Z. Si dica se A e B sono sottogruppi di Z. In caso
affermativo si determini la loro intersezione, A ∩ B.
4. Si decompongano in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x] i polinomi:
f (x) = x4 + x2 − 6
e
g(x) = x3 − 1.
Si determinino inoltre le radici dei polinomi dati e le rispettive molteplicità
in Q, R, C.
Prova scritta di Algebra
I unità
25 Settembre 2008
1.
i) Se possibile, si risolvano in Z le equazioni diofantee :
3x − 5y = −11
12x − 36y = 15.
e
ii) Nel gruppo additivo Z ⊕ Z, si dimostri che il sottoinsieme
H := {(a, b) | 3a − 5b = 0}
è un sottogruppo. Si dica se H è ciclico motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S3 si consideri il sottogruppo
H = {id, (13)} .
i) Si elenchino i laterali destri di H in S3 , indicando gli elementi di ciascuno;
ii) si elenchino i laterali sinistri di H in S3 , indicando gli elementi di ciascuno;
iii) si dica se H è normale in S3 , motivando la risposta.
3.
i) Dopo aver dato la definizione di campo, si stabilisca quali dei seguenti
anelli risulta campo:
Z, Q, R, C, Z2 , Z4 , R[x], Mat(2, Q);
ii) si determinino gli elementi unitari e i divisori dello zero nell’anello Z12
delle classi di resto modulo 12, motivando le scelte;
iii) si provi che l’applicazione f : Z12 → Z12 tale che, per ogni [x]12 ∈ Z12 ,
[x]12 7→ [2x]12
è un omomorfismo di gruppi additivi. f è un isomorfismo? Si motivi la
risposta.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti razionali, si considerino i polinomi:
f (x) = x4 − 2x3 − x2 + 2x
e
g(x) = x3 − x2 + 3x − 3.
i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva
nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili di Q[x] e di C[x].
Prova scritta di Algebra
I unità
11 Dicembre 2008
1.
i) Si consideri la funzione f : N → N tale che n 7→ (n + 1)2 per ogni n ∈ N.
Si dica se f è iniettiva e se è suriettiva;
ii) si consideri la funzione g : Z → Z tale che z 7→ (z + 1)2 per ogni z ∈ Z.
Si dica se g è iniettiva e se è suriettiva;
iii) Si provi che la composizione di funzioni iniettive è una funzione iniettiva.
2. Nel gruppo simmetrico S7 si consideri il sottogruppo ciclico H generato dalla permutazione (1254367). Dopo aver scritto tutti gli elementi di
H, si risponda alle seguenti domande, motivando le risposte:
i) α142 = α−12 ?
ii) i laterali sinistri (125)H e (537)(462)H coincidono ?
iii) i laterali destri H(125) e H(537)(462) coincidono ?
iv) H è abeliano ?
3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
f (x) = x2 − 3x + 2
e
g(x) = x3 + x2 + x.
i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva
nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in C e le relative molteplicità.
4. Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi abeliani, in notazione
additiva. Si provi quanto segue:
i) f (0G ) = 0H ;
ii) per ogni g ∈ G, f (−g) = −f (g);
iii) Ker f = {g ∈ G | f (g) = 0H } è un sottogruppo normale di G.
Prova scritta di Algebra
I unità
8 Gennaio 2009
1.
i) Si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee in Z:
3x − 17y = 5
8x − 22y = −1;
e
ii) considerata l’applicazione f : Z × Z → Z tale che
(x, y) 7→ 3x − 17y
si dica se è iniettiva e se è suriettiva, giustificando le risposte;
iii) si dica la condizione cui deve soddisfare l’intero h perchè si abbia
Z = {5x + hy | x, y ∈ Z}
2. Nel gruppo simmetrico S7 si consideri il sottogruppo ciclico H generato
dalla permutazione α = (1435762)(253174).
i) Si scrivano gli elementi di H e se ne determinino i periodi;
ii) si dica se α112 = α−14 ;
iii) si dica se i laterali destri H(17)(24) e H(1346) coincidono;
iv) H è abeliano ?
Si motivino le risposte.
3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e
nell’indeterminata x, si considerino i polinomi
f (x) = x3 − 5x2 + 6x
e
g(x) = x3 − 3x2 + x − 3.
i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva
nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicità.
4. Siano G un gruppo, H e K due suoi sottogruppi.
i) Si provi che l’intersezione H ∩ K è un sottogruppo di G;
ii) nel caso in cui G sia un gruppo abeliano, si provi che l’applicazione
f : G → G tale che per ogni g ∈ G
g 7→ g 4
è un omomorfismo di gruppi.
Prova scritta di Algebra
I unità
19 Marzo 2009
1.
i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti congruenze:
3x ≡ 2(mod 9)
5x ≡ −3(mod 11).
e
ii) Siano a, b ∈ Z. Si dimostri che, per ogni z ∈ Z:
a ≡ b (mod n) =⇒ az ≡ bz
(mod n).
iii) Si trovino a, b, z ∈ Z tali che az ≡ bz (mod 10) ma a 6≡ b (mod 10).
2. Nel gruppo simmetrico S8 , si consideri la permutazione
α = (1235784)(532678)(137).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si dica se α117 = α−51 , motivando la risposta;
iii) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente
hαi
.
hα4 i
3. Nell’anello Z5 [x] si considerino i polinomi
f (x) = 2x4 − x2 − 1
e
g(x) = 3x3 + x2 − x − 2.
i) Si determini d(x), M.C.D. tra f (x) e g(x)), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Z5 [x].
ii) Si determinino tutti i possibili M.C.D. tra i polinomi dati.
iii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Z5 [x].
iv) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in Z5 .
v) Si dimostri che un polinomio di grado 2 a coefficienti in un campo non
può avere 3 radici distinte.
4. Siano (R, +) il gruppo additivo dei reali e G = R⊕R la somma diretta
esterna. Posto
x
x
H :=
∈ G | 3x − 5y = 0 , K :=
∈ G | 3x − 5y = 2
y
y
si dimostri che:
i) H è un sottogruppo normale di G;
ii) K è un laterale di H in G.
Prova scritta di Algebra
I unità
2 Aprile 2009
1.
i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni
diofantee:
7x − 15y = 4
e
12x − 15y = −21.
ii) Si provi che, data l’equazione diofantea (∗) ax + by = c, con a, b, c ∈ Z,
essa ammette soluzioni se e solo se M.C.D.(a, b) divide c.
iii) Si dica se l’insieme {12x − 15y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z degli
interi, motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S9 , si consideri la permutazione
α = (1352489)(257813)(1469).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determini A9 ∩ hαi, dove A9 rappresenta il gruppo alterno di grado 9;
iii) si dica se i laterali hαi(13684) e hαi(957) coincidono, motivando la
risposta;
iii) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente
hαi
.
hα3 i
3. Sia (Z, +, 0) il gruppo additivo dei numeri interi e sia hgi il sottogruppo
ciclico generato da un elemento g di un gruppo (G, ·, 1G ). Si supponga inoltre
che il periodo di g sia n > 0.
Z ∼
i) Si provi che nZ
= hgi;
ii) per ogni a, b ∈ Z, g a = g b ⇔ a ≡ b(mod n).
4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi
f (x) = x4 − 3x2 + 2
e
g(x) = x3 − x2 + 2x − 2.
i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x].
ii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x].
iii) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in Q, R
e C.
Prova scritta di Algebra
I unità
18 Giugno 2009
1.
i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni
diofantee:
8x + 15y = 3
e
2x − 14y = −25;
ii) si dica se l’insieme {2x − 14y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z degli
interi, motivando la risposta;
iii) quale condizione devono soddisfare due interi non nulli m e n affinchè
mZ + nZ = Z?
2. Nel gruppo simmetrico S9 , si consideri la permutazione
α = (142678)(23157)(39).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determini A9 ∩ hαi, dove A9 rappresenta il gruppo alterno di grado 9;
iii) si dica se i laterali hαi(3492) e hαi(158)(67) coincidono, motivando la
risposta;
hαi
iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente hα
3i .
3. Siano f : G → H un omomorfismo di gruppi.
i) Sia K un sottogruppo di G. Si dimostri che f (K) è un sottogruppo di H;
ii) si provi che se f è un epimorfismo e G è abeliano, allora anche H lo è .
4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi
f (x) = x3 − 5x2 + 6x
e
g(x) = x3 − 3x2 + x − 3.
i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x].
ii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x].
iii) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicità in Q, R
e C.
5. Dopo aver dato la definizione di radice di un polinomio, si enunci e si
dimostri il teorema di Ruffini.
Prova scritta di Algebra
I unità
9 Luglio 2009
1. Nell’anello Z dei numeri interi:
i) si determinino d = M.C.D.(245, 112) e una coppia di interi (h, k) tali che
d = 245h + 112k;
ii) dati a e b interi non nulli e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che è
anche d = M.C.D.(a, a + b).
2. Nel gruppo simmetrico S3 si consideri il sottogruppo ciclico H generato
dallo scambio (12).
i) Si elenchino i laterali destri distinti di H in S3 , indicando gli elementi di
ciascuno di essi;
ii) si elenchino i laterali sinistri distinti di H in S3 , indicando gli elementi
di ciascuno di essi;
iii) si dica se H è un sottogruppo normale di S3 , motivando la risposta;
iv) si dica se H è abeliano, motivando la risposta.
3. Dati due gruppi (A, ◦, 1A ) e (B, ∗, 1B ) si dimostri che:
i) il loro prodotto cartesiano G := A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} è un
gruppo rispetto al prodotto
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) := (a1 ◦ a2 , b1 ∗ b2 );
ii) l’applicazione ϕ : G → B tale che (a, b) 7→ b per ogni (a, b) ∈ G è un
omomorfismo di gruppi. Si determini poi il nucleo di ϕ e si dica se si tratta
di un epimorfismo.
4. Siano p un numero primo e Zp [x] l’anello dei polinomi nell’indeterminata
x a coefficienti in Zp . Si considerino i polinomi
f (x) = x5 − 10x + 12, g(x) = x2 + 2.
i) Si determinino i numeri primi p per i quali g(x) divide f (x);
ii) per i valori di p ottenuti al punto precedente, si scomponga g(x) in fattori irriducibili in Zp [x] e se ne determinino le radici in Zp , con le rispettive
molteplicità.
5. Sia K un campo e sia a(x) ∈ K[x] di grado 2 o 3. Si provi che a(x) è
riducibile in K[x] se e solo se ha almeno una radice in K.
Prova scritta di Algebra
I unità
10 Settembre 2009
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
equazioni diofantee:
12x − 6y = 11
e
4x − 19y = −3;
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che è anche
d = M.C.D.(a, a − b).
2. Nel gruppo simmetrico S5 si consideri il sottoinsieme
H := {id, (1245), (14)(25), (1542)} .
i) Si provi che H è un sottogruppo ciclico di S5 ;
ii) si dica se H è abeliano, motivando la risposta;
iv) detto α un generatore di H, si provi l’applicazione ϕ : Z → H tale che,
per ogni z ∈ Z,
z 7→ αz
è un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.
3. Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero di
un anello A. Indicando con Zn l’anello delle classi di resto modulo n:
i) si dica se Z10 è un campo e se Z17 è un campo, motivando le risposte;
ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z10 , giustificando le scelte;
iii) si determinino, se esistono, l’opposto e l’inverso delle classi [3]9 e [7]9 in
Z9 .
4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio
f (x) = x4 − 5
rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z2 [x] e Z5 [x]. Si determinino
le radici e le relative molteplicità in Q, R, C, Z2 , Z5 .
5. Siano D un dominio a ideali principali e p ∈ D un elemento non nullo
e non unitario. Si provi che p è irriducibile se e solo se è primo.
Prova scritta di Algebra
I unità
24 Settembre 2009
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
equazioni diofantee:
12x − 5y = 10
e
4x − 18y = −3;
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che è anche
d = M.C.D.(a, a + b).
2. Nel gruppo simmetrico S5 si consideri il sottoinsieme
H := {id, (1245), (14)(25), (1542)} .
i) Si provi che H è un sottogruppo ciclico di S5 ;
ii) si dica se H è abeliano, motivando la risposta;
iii) detto α un generatore di H, si provi l’applicazione ϕ : Z → H tale che,
per ogni z ∈ Z,
z 7→ αz
è un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.
3. Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero di
un anello A. Indicando con Zn l’anello delle classi di resto modulo n:
i) si dica se Z7 è un campo e se Z8 è un campo, motivando le risposte;
ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z8 , giustificando le scelte;
iii) si determinino, se esistono, l’opposto e l’inverso delle classi [3]9 e [5]9 in
Z9 .
4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio
f (x) = x4 − 7
rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z2 [x] e Z3 [x]. Si determinino
le radici e le relative molteplicità in Q, R, C, Z2 , Z3 .
Prova scritta di Algebra
I unità
17 Dicembre 2009
1.
i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
equazioni diofantee:
12x − 6y = 11
e
4x − 19y = −3;
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che è anche
d = M.C.D.(a, a − b).
2. Nel gruppo simmetrico S4 si consideri il sottogruppo cilico H generato
da (1234).
i) Siscrivano gli elementi di H;
ii) si dica se H è abeliano, motivando la risposta;
iii) si provi che l’applicazione ϕ : Z → H tale che, per ogni z ∈ Z,
z 7→ (1234)z
è un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.
3. Si diano le definizioni di dominio di integrit e di campo, corredandole
di esempi. Indicando con Zn l’anello delle classi di resto modulo n:
i) si scriva l’inverso di ogni elemento non nullo di Z11 ;
ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z9 , giustificando le scelte.
4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio
f (x) = x3 + 5
rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z3 [x] e Z5 [x]. Si determinino
le radici e le relative molteplicità in Q, R, C, Z3 , Z5 .
Prova scritta di Algebra
I unità
14 Gennaio 2010
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
congruenze lineari:
4x ≡ 2(mod 12)
7x ≡ −2(mod 15);
e
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se è anche
d = M.C.D.(a, a + 3b),
motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S6 si consideri il sottoinsieme
H := {id, (12)(3456), (35)(46), (12)(3654)} .
i) Si provi che H è un sottogruppo ciclico di S6 ;
ii) detto α un generatore di H, si dica se α58 = α−30 ;
iii) si dica se i laterali destri H(13)(245) e H(123456) coincidono;
iv) H è abeliano ?
Si motivino le risposte.
3. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo razionale, si considerino i polinomi
f (x) = x3 − 3x2 + 4x − 12
e
g(x) = x2 + x − 12.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicità.
4. In un gruppo moltiplicativo G si consideri l’applicazione f : G → G
tale che, per ogni g ∈ G:
g 7→ g 2 .
Si dimostri che f è un omomorfismo se e solo se G è abeliano.
Prova scritta di Algebra
I unità
14 Gennaio 2010
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
congruenze lineari:
4x ≡ 2(mod 12)
7x ≡ −2(mod 15);
e
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se è anche
d = M.C.D.(a, a + 3b),
motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S6 si consideri il sottoinsieme
H := {id, (12)(3456), (35)(46), (12)(3654)} .
i) Si provi che H è un sottogruppo ciclico di S6 ;
ii) detto α un generatore di H, si dica se α58 = α−30 ;
iii) si dica se i laterali destri H(13)(245) e H(123456) coincidono;
iv) H è abeliano ?
Si motivino le risposte.
3. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo razionale, si considerino i polinomi
f (x) = x3 − 3x2 + 4x − 12
e
g(x) = x2 + x − 12.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicità.
4. In un gruppo moltiplicativo G si consideri l’applicazione f : G → G
tale che, per ogni g ∈ G:
g 7→ g 2 .
Si dimostri che f è un omomorfismo se e solo se G è abeliano.
Prova scritta di Algebra
I unità
25 Marzo 2010
1. Per ogni n ≥ 2, sia (Zn , +, [0]n ) il gruppo additivo delle classi di resti
modulo n.
i) Per n = 8, si consideri la funzione f : Z8 → Z8 tale che [a]8 7→ [5a]8 .
Si stabilisca se f è un omomorfismo, se è iniettiva e se è suriettiva.
ii) Si definisca una funzione g : Z6 → Z4 .
2. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione
α = (12479)(25678)(1347).
i) Si scrivano gli elementi di hαi, precisando il periodo di ciascuno di essi;
ii) si definisca un omomorfismo di gruppi
f : (Z, +, 0) → (hαi, ·, id)
e si calcolino Ker f e Im f .
3.
i) Si dimostrino le leggi di cancellazioni in un dominio di integrità .
ii) Un elemento unitario di un anello può essere divisore dello zero ?
1 1
è un divisore dello zero in Mat2 (Q).
iii) Si verifichi che la matrice
1 1
iv) nell’anello Z si espanda (a + b)5 .
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo razionale, si considerino i polinomi
f (x) = x3 − 4x2 + 4x
e g(x) = x3 − 8.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicità.
Prova scritta di Algebra
I unità
8 Aprile 2010
1. i) In Z si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:
10x + 4y = 15
e
9x − 11y = −4.
ii) Data l’applicazione f : Z × Z → Z tale che
(a, b) 7→ 10a + 4b
si dica se è suriettiva e se è iniettiva.
2. Nel gruppo simmetrico S4 si consideri il sottoinsieme
H = {id, (1234), (13)(24), (1432)} .
i) Si dimostri che H è un sottogruppo di S4 . È ciclico ?
ii) Si elenchino i laterali destri di H in S4 , indicando gli elementi di ciascuno;
iii) si dica se H è normale in S4 , motivando la risposta.
3.
i) Sia A un anello commutativo. Quale condizione deve soddisfare per essere
un campo ? Si dia un esempio di campo.
ii) Si provi che un campo non ha divisori dello zero.
iii) Nell’anello Mat2 (Q) si calcoli l’inversa, quando esiste, delle seguenti
matrici:
1
2
0 1
1 3
.
,
,
−2 −4
0 1
1 0
4. Nell’anello R[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo reale, si considerino i polinomi f (x) = x4 − 1 e g(x) = x3 − 27.
i) Si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in R[x] e in C[x].
ii) Siano K un campo e f (x) ∈ K[x] un polinomio di grado 3 che non ha
radici in K. Si dimostri che f (x) è irriducibile in K[x].
Prova scritta di Algebra
I unità
24 Giugno 2010
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
equazioni diofantee:
13x − 5y = −7
e
7x − 21y = 25;
ii) dati a e b interi non nulli, si provi che se d è un M.C.D.(a, b), allora
l’unico altro M.C.D.(a, b) è −d.
2. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione
α = (1546738)(256914).
i) Si determinino gli elementi del sottogruppo hαi ed i relativi periodi;
ii) si dica se α−42 = α98 , motivando la risposta;
hαi
iii) si scrivano gli elementi del gruppo quoziente hα
2 i e la tavola del prodotto.
3. In ciascuno degli anelli Q[x], R[x], C[x], Z2 [x], Z3 [x], Z5 [x] si fattorizzi,
se possibile, il polinomio
f (x) = x3 − 7.
Si determinino poi le radici di f (x) e le relative molteplicità in Q, R, C, Z2 , Z3 , Z5 .
4. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.
i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I2 ) tale che
1 0
,
a 7→
a 1
è un monomorfismo di gruppi;
ii) l’insieme
(
A :=
1 0
a 1
)


a ∈ R
è un sottogruppo di G? A è normale in G?
Prova scritta di Algebra
I unità
8 Luglio 2010
1.
i) Si determinino le soluzioni intere delle congruenze:
9x ≡ −2 (mod 13);
6x ≡ −3 (mod 12).
ii) Si provi che, per ogni x ∈ Z, si ha x2 ≡ x (mod 2);
iii) si provi che, per ogni n ≥ 0, si ha: 5 · 3n ≡ 1 (mod 2).
2. Siano (Z, +, 0) il gruppo additivo degli interi e (G, ·, 1G ) un gruppo
moltiplicativo. Fissato g ∈ G, si consideri l’applicazione f : Z → G tale che
f (z) = g z per ogni z ∈ Z.
i) si dimostri che f è un omomorfismo;
ii) posto G = Symm(4), g = (1234) si calcolino Im f e Ker f ;
iii) posto G = Q \ {0}), g = 3 si calcolino Im f e Ker f .
3.
i) Si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z18 ;
ii) si dimostri che un campo K non ha divisori dello zero;
iii) esiste qualche anello privo di divisori dello zero, che non è campo?
4. Sia K un campo.
i) Dati a(x), b(x) ∈ K[x], si dimostri che un elemento α ∈ K è radice
comune di a(x) e di b(x) se e solo se α è radice di d(x) := M.C.D.(a(x), b(x));
ii) si fattorizzi in irriducibili di K[x] il polinomio f (x) = x4 − 3 nei casi
K = Q, K = R, K = C, K = Z2 .
Prova scritta di Algebra
I unità
9 Settembre 2010
1.
i) Quando esistono, si determinino le soluzioni intere delle congruenze:
13x ≡ −3 (mod 15);
7x ≡ −5 (mod 14).
ii) Siano a ∈ Z e d = M.C.D.(a − 1, a + 1). Si mostri che d ∈ {±1, ±2}.
iii) In Z si calcoli lo sviluppo di (a + b)6 .
2. Siano (A, +, 0A ) un gruppo additivo, (G, ·, 1G ) un gruppo moltiplicativo e f : A → G un omomorfismo di gruppi. Fissato a ∈ A:
i) si provi che f (na) = (f (a))n per ogni intero n ≥ 0;
ii) si dica se f (−2a) = (f (a))−2 , motivando la risposta.
Si dia un esempio di epimorfismo f : A → G, dove A è un gruppo additivo
e G è un gruppo moltiplicativo non banale (ossia G 6= {1G }).
3. Sia A un anello.
i) Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero in A;
ii) si provi che se A è privo di divisori dello zero, per ogni a, x, y ∈ A si ha
(a 6= 0A e ax = ay) ⇒ x = y.
iii) Ogni anello commutativo, privo di divisori dello zero, è campo?
4. Nell’anello R[x] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x,
si considerino i polinomi a(x) = x3 − 3x2 + x − 3 e b(x) = x4 − 1.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)a(x) + k(x)b(x),
h(x), k(x) ∈ R[x];
ii) si fattorizzino a(x) e b(x) in irriducibili rispettivamente in R[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di a(x) e di b(x) in R e in C e le relative
molteplicità.
Prova scritta di Algebra
I unità
16 Dicembre 2010
1. Sia Z l’insieme degli interi.
i) Considerata l’ applicazione f : Z × Z → Z tale che f ((a, b)) = a2 − b2
si dica se è iniettiva. Si dimostri inoltre che 2 6∈ Im f .
ii) Considerata l’ applicazione g : Z×Z → Z tale che g ((a, b)) = 10a+6b
si dica se è iniettiva e se è suriettiva.
2. Nel gruppo simmetrico S5 si consideri il sottogruppo ciclico H generato
dalla permutazione α = (14)(253).
i) si determinino gli elementi di H ed il relativo periodo;
ii) si dica se H è contenuto nel gruppo alterno A5 ;
iii) si dica se H è normale in S5 .
Si motivino le risposte.
3. Si consideri l’anello Z9 delle classi di resto modulo 9.
i) Si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z9 ;
ii) Z9 è un campo ?
iii) In Z9 valgono le leggi di cancellazione del prodotto ?
Si motivino le risposte.
4. In K[x] si fattorizzi in irriducibili il polinomio f (x) = x4 − 9 nei casi
K = Q,
K = R,
K = C,
K = Z2 ,
K = Z3 ,
K = Z5 .
In ciascuno di questi casi, si determinino anche le radici di f (x) e le relative
molteplicità .
Prova scritta di Algebra
I unità
13 Gennaio 2011
1.
i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(360, 75) e lo
si scriva nella forma 360h + 75k, dove h e k sono numeri interi;
ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:
A := {18x − 20y | x, y ∈ Z}
e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S8 , si consideri la permutazione α = (125763)(2658)(1345).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si distinguano le permutazioni di hαi in permutazioni pari e dispari;
iii) si dica se i laterali hαi(124) e hαi(345) coincidono, motivando la risposta;
hαi
iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente hα
4i .
3. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.
i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I2 ) tale che
1 a
,
a 7→
0 1
è un monomorfismo di gruppi;
ii) l’insieme
(
A :=
1 a
0 1
)


a ∈ R
è un sottogruppo di G? A è normale in G?
4. Si considerino i seguenti polinomi:
f (x) = x3 − x2 + 4x − 4
e
g(x) = x6 − 1.
i) Si decompongano f (x) e g(x) nel prodotto di polinomi irriducibili di K[x]
nei casi
K = Q, K = R, K = C, K = Z2 , K = Z5 ;
ii) si determinino radici e molteplicità dei polinomi dati negli anelli indicati
al punto precedente.
Prova scritta di Algebra
I unità
13 Gennaio 2011
1.
i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(360, 75) e lo
si scriva nella forma 360h + 75k, dove h e k sono numeri interi;
ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:
A := {18x − 20y | x, y ∈ Z}
e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S8 , si consideri la permutazione α = (125763)(2658)(1345).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si distinguano le permutazioni di hαi in permutazioni pari e dispari;
iii) si dica se i laterali hαi(124) e hαi(345) coincidono, motivando la risposta;
hαi
iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente hα
4i .
3. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.
i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I2 ) tale che
1 a
,
a 7→
0 1
è un monomorfismo di gruppi;
ii) l’insieme
(
A :=
1 a
0 1
)


a ∈ R
è un sottogruppo di G? A è normale in G?
4. Si considerino i seguenti polinomi:
f (x) = x3 − x2 + 4x − 4
e
g(x) = x6 − 1.
i) Si decompongano f (x) e g(x) nel prodotto di polinomi irriducibili di K[x]
nei casi
K = Q, K = R, K = C, K = Z2 , K = Z5 ;
ii) si determinino radici e molteplicità dei polinomi dati negli anelli indicati
al punto precedente.
Prova scritta di Algebra
I unità
24 Marzo 2011
1.
i) Si risolvano, qualora possibile, le seguenti equazioni diofantee:
14x − 28y = −13
e
15x − 7y = 11.
ii) Considerati i gruppi additivi Z e Z ⊕ Z, si dica se l’applicazione
f :Z⊕Z→Z
tale che (a, b) 7→ 15a − 7b è un omomorfismo e se è suriettiva.
2. Sia G un gruppo moltiplicativo e sia g ∈ G fissato.
i) Si provi che hgi è il minimo sottogruppo di G che contiene g.
ii) Posto G = S9 , g = (146357)(286479), si determini il periodo di g e si
Z
dimostri che 6Z
è isomorfo a hgi. Si dica se g 35 = g −1 .
3.
i) Si dica se Z è un campo e se Q è un campo.
ii) Si dica se esistono e, in caso affermativo si determinino, gli inversi moltiplicativi dei seguenti elementi nei corrispondenti anelli:
−2 ∈ Z, −2 ∈ Q, [2]8 ∈ Z8 , [4]9 ∈ Z9
1 −3
4 −2
∈ Mat2 (Q).
∈ Mat2 (Z),
3 1
−2 5
4. Si considerino i polinomi
f (x) = x4 − 2x3 + 4x − 8
e
g(x) = x3 − 2x2 + x − 2.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x) in Q[x], e lo si scriva nella
forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in polinomi irriducibili rispettivamente in C[x],
in R[x] e in Z2 [x];
iii) si determinino le radici di f (x) e di g(x) in C, in R e in Z2 , con le relative
molteplicità.
Prova scritta di Algebra
I unità
7 Aprile 2011
1.
i) Si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:
8x ≡ −5(mod 15)
e
15x ≡ −7(mod 20);
ii) siano a, b, c, d, n ∈ Z tali che ab + cd = n. Si provi che
M.C.D.(a, c) = n
=⇒
M.C.D.(b, d) = 1.
2. Siano (Z, +) il gruppo additivo dei numeri interi e G := Z ⊕ Z il
gruppo i cui elementi sono le coppie ordinate di interi, rispetto alla somma
componente per componente, ossia:
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 ).
Posto K := {(a, b) ∈ G | 2a − 7b = 0} ,
i) si dimostri che K è sottogruppo normale di G;
ii) si definisca un epimorfismo f : G → Z, avente nucleo K;
G
iii) si dimostri che il gruppo quoziente K
è isomorfo a (Z, +).
3. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione
α = (493156)(124)(35896).
i) Si determinino gli elementi di hαi, ed i relativi periodi;
hαi
ii) si determinino gli elementi del gruppo quoziente hα
4 i e si costruisca la
relativa tavola del prodotto.
4. Nell’anello K[x], dei polinomi a coefficienti nel campo K, si consideri
f (x) = x6 − 1.
i) Si decomponga f (x) in fattori irriducibili di K[x] nei casi K = Z2 e K = Z7 ,
determinando in ciascun caso le radici e le relative molteplicità ;
ii) posto K = Zp , con p primo, si determinino i valori di p per cui f (x) è
divisibile per x2 − 5;
iii) posto K = C, si fattorizzi il polinomio f (x) in fattori irriducibili di C[x].
Prova scritta di Algebra
I unità
23 Giugno 2011
1.
i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni
diofantee:
12x − 7y = −6
e
5x − 20y = −24;
ii) si provi che M.C.D.(a, b) = M.C.D.(2a − b, a), essendo a e b due interi
fissati.
2. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione
α = (12435789)(158746)(259471).
i) Si determinino gli elementi del sottogruppo hαi ed i relativi periodi;
ii) si dica se α−42 = α90 , motivando la risposta;
hαi
iii) si scrivano gli elementi del gruppo quoziente hα
4 i e la tavola del prodotto.
3. In ciascuno degli anelli R[x], C[x], Z2 [x], Z3 [x], Z5 [x] si decomponga in
fattori irriducibili il polinomio
f (x) = x6 − 64.
Si indichino poi le radici di f (x) e le relative molteplicità in R, C, Z2 , Z3 , Z5 .
4.
i) Nell’anello Z16 delle classi di resto modulo 16, si determinino gli elementi
unitari ed i divisori dello zero, motivando le scelte;
ii) si deduca dal punto precedente se Z16 è un campo oppure no, motivando
la risposta;
iii) si provi che l’applicazione f : Z16 → Z16 tale che, per ogni [x]16 ∈ Z16 ,
[x]16 7→ [5x]16
è un omomorfismo di gruppi additivi. Si trovi n ∈ N tale che l’applicazione
[x]16 7→ [nx]16
è inversa di f . L’omomorfismo f è un isomorfismo ?
Prova scritta di Algebra
I unità
11 Luglio 2011
1.
i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari:
12x ≡ −7(mod 6)
13x ≡ −6(mod 9);
e
ii) Data l’applicazione f : Z × Z → Z tale che
(x, y) 7→ 3x − 16y,
si dica se è iniettiva e se è suriettiva, motivando le risposte.
2. Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi.
i) Si dimostri che il nucleo di f è un sottogruppo normale di G.
ii) Si dimostri che se f è un epimorfismo e G è abeliano, anche H è abeliano.
3. Si considerino il gruppo simmetrico S3 delle permutazioni su tre elementi ed il gruppo ciclico H := h(123)i.
i) Si scrivano gli elementi di ogni laterale destro e di ogni laterale sinistro
di H in S3 .
ii) Si dica se H è sottogruppo normale di S3 .
iii) Si dica se H è abeliano, giustificando la risposta.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali e nell’indeterminata
x, si considerino i polinomi
a(x) = x3 − x2 + 5x − 5
e
b(x) = x4 + x2 − 2.
i) Si determini il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), e lo si esprima nella
forma
d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x),
con f (x), g(x) ∈ Q[x].
ii) Si fattorizzino i polinomi dati negli anelli Q[x], C[x], Z2 [x] e Z3 [x]; si
determinino le radici e le rispettive molteplicità nei corrispondenti anelli Q,
C, Z2 e Z3 .
Prova scritta di Algebra
I unità
8 Settembre 2011
1.
i) In Z si risolvano, qualora possibile, le seguenti equazioni diofantee:
7x − 8y = −4
e
5x − 10y = −13.
ii) Si considerino i sottoinsiemi A, B, C di Z, cos definiti:
A := {3x+9y | x, y ∈ Z},
B := {5x−10y | x, y ∈ Z},
C := {7x−8y | x, y ∈ Z}.
Per ciascuno di essi si dica se coincide con Z, motivando la risposta.
Si determinino inoltre gli elementi di A ∩ B.
2. Si consideri l’applicazione ϕ : R2 → R2 tale che,
a
a
a
2
.
7→
∈R :
∀
a−b
b
b
Si provi che ϕ è un omomorfismo di gruppi additivi. Se ne determini il
nucleo. Infine si dica anche se ϕ è un isomorfismo.
3. Sia g ∈ G. Si definisca quando g ha periodo 0 rispettivamente:
• nel caso in cui (G, ·, 1G ) è un gruppo moltiplicativo;
• nel caso in cui (G, +, 0G ) è un gruppo additivo.
i) Posto G = S9 , il gruppo simmetrico su 9 elementi, si trovi il periodo
di g = (134789)(25674)(15823) e si calcoli g 100 .
ii) Posto G = Z9 , il gruppo additivo delle classi di resti modulo 9, si
trovi il periodo di [2]9 e si calcoli −15[2]9 .
iii) Posto G = Z, il gruppo additivo degli interi, si trovi il periodo di 1.
4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi:
a(x) = x3 − 2x2 + 4x − 8,
b(x) = x4 + 5x3 + 10x2 + 20x + 24.
i) Dopo aver determinato il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), si trovino
due polinomi f (x), g(x) ∈ Q[x] tali che:
d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x).
ii) Si fattorizzino a(x) e b(x) in polinomi irriducibili rispettivamente
negli anelli Q[x], C[x], Z2 [x] e Z3 [x], indicando in ciascun caso le loro radici
nei corrispondenti campi Q, C, Z2 e Z3 con le relative molteplicità .
Prova scritta di Algebra
I unità
22 Settembre 2011
1.
i) In Z si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:
12x ≡ −4(mod 17)
e
18x ≡ −4(mod 27).
ii) Data la funzione f : Z8 → Z8 tale che [a]8 7→ [5a]8 , se ne determini
l’inversa, se esiste. Si dica quindi se f è bijettiva, motivando la risposta.
2. Si consideri il gruppo additivo Z ⊕ Z, i cui elementi sono le coppie
ordinate di numeri interi, rispetto alla somma componente per componente.
i) Si dimostri che A è un sottogruppo di Z ⊕ Z, dove
A := {(x, y) ∈ Z ⊕ Z | 3x − 4y = 0} .
ii) Si determini un eventuale generatore del gruppo A. Esso è ciclico ?
iii) Si provi che
Z⊕Z
A
∼
= Z.
3.
i) In S8 , gruppo simmetrico di grado 8, si scrivano gli elementi e i relativi
periodi del sottogruppo ciclico generato da α = (246135)(347168)(5412);
ii) si calcolino α−26 e α215 ;
iii) si dica se hαi ammette sottogruppi di ordine 6, motivando la risposta.
4. Nell’anello K[x] dei polinomi a coefficienti nel campo K, si considerino
a(x) = 2x3 − 5x2 + 6x − 15,
b(x) = x4 + x2 − 12.
i) Si fattorizzino a(x) e b(x) in polinomi irriducibili rispettivamente in
R[x], C[x], Z2 [x], Z3 [x].
Se ne indichino, in ciascun caso, le radici e le relative molteplicità nei corrispondenti campi R, C, Z2 , Z3 .
ii) In R[x] si dia la fattorizzazione di x4 + 1 in polinomi monici irriducibili.
Prova scritta di Algebra
I unità
15 Dicembre 2011
1.
i) Per ciascuna delle seguenti equazioni diofantee, si determinino le eventuali
soluzioni intere:
8x − 12y = 4,
24x − 15y = −22;
ii) detto Z l’insieme degli interi, si dica se {14x − 21y | x, y ∈ Z} = Z;
iii) quale condizione devono soddisfare due interi a e b affinchè l’insieme
{ax + by | x, y ∈ Z} coincida con Z? Si motivi la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S9 , si consideri la permutazione
α = (1253)(245619)(2789).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determini A9 ∩ hαi, dove A9 rappresenta il gruppo alterno di grado 9;
iii) si stabilisca se i laterali hαi(27856) e hαi(1349) coincidono;
iv) si dica se S9 è abeliano, motivando la risposta.
3. Siano G un gruppo abeliano, A e B due suoi sottogruppi.
Si provi che:
i) l’insieme AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} è un sottogruppo di G;
ii) l’applicazione f : A × B → AB definita ponendo (a, b) 7→ ab, per ogni
(a, b) ∈ A × B, è iniettiva se e solo se A ∩ B = {1G }. È suriettiva ?
4. In ciascuno degli anelli R[x], C[x], Z2 [x], Z3 [x], Z5 [x] si decomponga in
fattori irriducibili il polinomio
f (x) = x4 − 81.
Si indichino poi le radici di f (x) e le relative molteplicità in R, C, Z2 , Z3 , Z5 .
5. Si dia la definizione di campo e si faccia qualche esempio.
Si determinino gli elementi unitari dell’anello Q[x] e si dica se è campo.
Prova scritta di Algebra
I unità
22 Marzo 2012
1. Nell’insieme delle frazioni F := ab | a, b ∈ Z, b 6= 0 si consideri la
relazione ∼ definita ponendo:
a
a
⇔ ab = ba.
∼
b
b
i) Si dimostri che ∼ è una relazione di equivalenza in F ;
ii) si provi che in Q (quoziente di F rispetto a ∼) è ben definito il seguente
prodotto :
a c
ac
a c
· := ,
∀ , ∈ F.
b d
bd
b d
2. Siano (Z, +) il gruppo additivo dei numeri interi e G := Z ⊕ Z il
gruppo i cui elementi sono le coppie ordinate di interi, rispetto alla somma:
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 ).
i) Si dimostri che l’applicazione f : Z ⊕ Z → Z definita ponendo
f ((a, b)) := 4a − 11b,
∀ (a, b) ∈ Z ⊕ Z
è un epimorfismo di gruppi additivi;
G
ii) si deduca che il gruppo quoziente Ker
f è isomorfo a Z;
iii) si indichino gli elementi di Kerf e si mostri che è un gruppo ciclico,
determinandone un generatore.
3. Nel gruppo simmetrico S9 si consideri la permutazione α = (12536789)(2547)(3496).
i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;
ii) si determini A9 ∩ hαi, dove A9 rappresenta il gruppo alterno di grado 9;
iii) si dica se i laterali hαi(15679) = hαi(245)(139), motivando la risposta;
iv) si definisca un epimorfismo f : (Z, +, 0) → hαi e si determini Ker f .
4. Nell’anello Z5 [x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo Z5 , si considerino i polinomi
a(x) = x4 + 3x2 + 1
e
b(x) = x3 − x2 − 3x − 2.
i) si calcoli il massimo comun divisore monico d(x) fra a(x) e b(x) e lo si
esprima nella forma d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x), con f (x), g(x) ∈ Z5 [x];
ii) quali sono gli altri massimi comun divisori fra a(x) e b(x)?
iii) si decompongano a(x) e b(x) in fattori irriducibili in Z5 [x] e si determinino, per ciascuno di essi, le radici e le relative molteplicità .
Prova scritta di Algebra
I unità
10 Aprile 2012
1. Nell’anello Z dei numeri interi:
i) si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:
10x ≡ −7
(mod 13)
e
14x ≡ −1
(mod 7);
ii) si dimostri che per ogni a, b, c ∈ Z e per ogni n ∈ N si ha che:
a ≡ b (mod n) ⇒ ac ≡ bc (mod n);
iii) esistono a, b, c ∈ Z tali che ac ≡ bc (mod 3) ma a 6≡ b (mod 3)?
2. Nel gruppo simmetrico S3 di grado 3, si consideri il sottogruppo
S2 = h(12)i, generato dalla permutazione (12):
i) si determinino i laterali destri di S2 in S3 ;
ii) si dica se S2 è normale in S3 , motivando la risposta.
3. Dati A e B, sottogruppi di un gruppo abeliano additivo G, poniamo:
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Si provi quanto segue:
i) A+B è il minimo sottogruppo di G contenente A∪B (unione insiemistica);
ii) posto G = Z, A = 24Z e B = 16Z, si dica se A ∪ B è sottogruppo di Z;
iii) posto G = Z, A = 6Z e B = 30Z, si dica se A ∪ B è sottogruppo di Z.
4. K[x] indichi l’anello dei polinomi a coefficienti in un campo K.
i) Si fattorizzi in irriducibili in K[x] il polinomio f (x) = x4 − 3 rispettivamente nei casi K = Q, R, C, Z2 , Z3 determinandone, in ciascun caso, le
radici e le relative molteplicità ;
ii) si provi che un elemento α ∈ K è radice comune di due polinomi a(x), b(x)
di K[x] se e solo se α è radice del loro massimo comun divisore d(x);
iii) se α è radice di a(x) di molteplicità 3, quale è la molteplicità di α come
radice di a(x)2 ? Si giustifichi la risposta.
Prova scritta di Algebra
I unità
21 Giugno 2012
1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti
congruenze lineari:
6x ≡ −3(mod 12)
e
9x ≡ −6(mod 15);
ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se è anche
d = M.C.D.(a, a − 2b),
motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S8 si consideri la permutazione
α = (15436)(15278)(347).
i) Si scrivano gli elementi di hαi, precisando il periodo di ciascuno di essi;
ii) si definisca un epimorfismo di gruppi
f : (Z, +, 0) → (hαi, ·, id)
e si calcoli Ker f .
3.
i) Si determinino gli elementi unitari dell’anello Z10 , indicando per ciascuno
il suo inverso;
ii) Z10 possiede divisori dello zero? In caso affermativo si determinino,
motivando le scelte;
iii) di ciascuno degli anelli Z10 e Z11 si dica se sono campi. Si motivi.
4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel
campo razionale, si considerino i polinomi
f (x) = x3 + x2 + 5x + 5
e
g(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − 15x + 10.
i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma
d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x),
h(x), k(x) ∈ Q[x];
ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];
iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicità.
Prova scritta di Algebra
I unità
12 Luglio 2012
1.
i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni
diofantee:
8x − 19y = −3
e
15x − 25y = −2;
ii) si dica se l’insieme A := {8x − 19y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z
degli interi, motivando la risposta.
2. Nel gruppo simmetrico S3 si consideri il sottogruppo ciclico H generato
dallo scambio (23).
i) Si elenchino i laterali sinistri distinti di H in S3 , indicando gli elementi di
ciascuno di essi;
ii) si elenchino i laterali destri distinti di H in S3 , indicando gli elementi di
ciascuno di essi;
iii) si dica se H è un sottogruppo normale di S3 , motivando la risposta;
iv) si dica se H è abeliano, motivando la risposta.
3. Sia (Z9 , +, [0]n ) il gruppo additivo delle classi di resti modulo 9.
i) Si consideri la funzione f : Z9 → Z9 tale che [a]9 7→ [4]9 [a]9 .
Si stabilisca se f è un omomorfismo, se è iniettiva e se è suriettiva;
ii) si trovi, se esiste, la funzione inversa di f .
4. Siano p un numero primo e Zp [x] l’anello dei polinomi nell’indeterminata
x a coefficienti in Zp . Si considerino i polinomi
f (x) = x4 − 3x2 + 12, g(x) = x2 + 3.
i) Si determinino i numeri primi p per i quali g(x) divide f (x);
ii) per i valori di p ottenuti al punto precedente, si scomponga f (x) in fattori irriducibili in Zp [x] e se ne determinino le radici in Zp , con le rispettive
molteplicità.