Il potenziale elettrico

Il potenziale elettrico
Ingegneria Energetica
Docente: Angelo Carbone
Argomenti
• Energia del potenziale elettrico e differenza di potenziale
• Relazione tra il potenziale elettrico e il campo elettrico
• Il potenziale elettrico dovuto a cariche puntiformi
• Il potenziale elettrico dovuto a una generica distribuzione di
carica
• Superfici equipotenziali
• Il potenziale di un dipolo elettrico
• Campo elettrico determinato dal potenziale
• Energia del potenziale elettrostatico
• L’elettronvolt
Lavoro compiuto da una forza costante
Il lavoro svolto da una forza costante è definito come
la distanza percorsa per la componente della forza
nella direzione dello spostamento
Forza conservativa e non conservativa
Una forza è conservativa se:
il lavoro compiuto dalla forza su un oggetto in movimento
da un punto all'altro dipende solo dalla posizione iniziale
e finale ed è indipendente dal percorso.
Forza conservativa e non conservativa
Un’altra definizione di forza conservativa:
una forza è conservativa se il lavoro netto fatto dalla forza
su un oggetto in movimento intorno a qualsiasi percorso
chiuso è zero.
Esempio: gravità e forza elettrica.
Energia cinetica
Se scriviamo l'accelerazione (a=F/m) in termini di
velocità e la distanza, troviamo che il lavoro fatto è
Energia cinetica
Quindi il lavoro svolto è uguale alla variazione di
energia cinetica:
Definiamo l’energia cinetica come:
• se il lavoro netto è positvo, l’energia cinetica
aumenta.
• se il lavoro netto è negativo, l’energia cinetica
diminuisce
Energia potenziale (elettrica)
L’energia potenziale elettrica (ma anche di
qualunque forza conservativa) tra due punti a e b
è uguale a meno il lavoro compiuto dalla forza
conservativa per spostare la carica da a a b
Conservazione dell’energia
In caso di forza conservativa, la somma delle variazioni
di energia cinetica e di energia potenziale è zero
variazioni di energia cinetica e potenziale sono uguali
ma di segno opposto.
Questo permette di definire l’energia totale
e la sua conservazione:
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
La forza elettrostatica è
conservativa – possiamo definire
quindi l’energia potenziale
Alta
energia
potenziale
Bassa
energia
potenziale
Alto
potenziale
Basso
potenziale
La differenza di energia potenziale
tra due punti a e b è uguale a meno
il lavoro compiuto dalla forza
conservativa per spostare l’oggetto
da a a b.
Il potenziale elettrico in un punto a è
definito come l’energia potenziale per
unità di carica
Unità di misura del potenziale elettrico:
volt (V): 1 V = 1 J/C.
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Il valore del potenziale Va nel punto a,
dipende dalla scelta dello zero.
Possiamo misurare solo variazioni di potenziale.
Solo la differenza di energia potenziale ha significato fisico
(come nel caso di forza gravitazionale)
Quando la forza compie lavoro positivo su una carica,
l’energia cinetica cresce e l’energia potenziale diminuisce
Il potenziale elettrico non dipende dalla carica di prova
Il valore del potenziale nel punto a, dipende dalla scelta dello
zero
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Supponiamo che una carica negativa, come ad esempio un
elettrone, è collocato vicino alla piastra negativa al punto b,
come mostrato qui. Se l'elettrone è libero di muoversi, aumenta
la sua energia potenziale elettrica o la diminuisce? Come
cambierà il potenziale elettrico?
Alto
potenziale
Basso
potenziale
Alta energia
potenziale per la
carica in questo
punto
Alta
energia
potenziale
Bassa
energia
potenziale
Alto
potenziale
Basso
potenziale
La scelta dello zero è del tutto
arbitraria poiché solo la differenza di
potenziale ha significato fisico
La terra, o un conduttore direttamente
connesso alla terra, possono essere
scelti come zero
Tutti gli altri valori di potenziale
vengono riferiti al suolo
In alcuni casi è conveniente scegliere
come V=0 un punto all’∞
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Analogia tra energia potenziale gravitazionale ed
elettrica:
Le due rocce sono alla
stessa altezza
Le due rocce sono nello
stesso punto di
potenziale
Le due cariche sono
entrambe posizionate
sulla stessa piastra
Le due cariche sono
nello stesso punto di
potenziale elettrico
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Analogia tra energia potenziale gravitazionale ed
elettrica:
Le due rocce sono alla
stessa altezza
La roccia più grande ha
più energia potenziale
Le due cariche sono
entrambe posizionate
sulla stessa piastra
La carica più grande ha
più energia potenziale
Esercizio 1
Fonti elettriche come
batterie e generatori
forniscono una differenza
di potenziale costante.
Qui ci sono alcune tipiche
differenze di potenziali,
sia naturali che no
Esercizio 1: soluzione
L’elettrone accelerato verso la piastra positiva, diminuirà
l’energia potenziale di una quantità
La perdita in energia potenziale ne risulta un guadagno in
energia cinetica (conservazione di energia)
Supponiamo che un elettrone in un
tubo a raggi catodici è accelerato
da fermo attraverso una differenza
di potenziale
Vb – Va = Vba = +5000 V.
il segno meno indica che l’energia potenziale è diminuita
Vba ha un segno positivo poiché il potenziale Vb è maggiore del
potenziale Va
a)Qual è la variazione di energia
potenziale elettrica dell'elettrone
b)Qual è la velocità dell'elettrone
(m = 9.1 10-31 kg) come risultato
di questa accelerazione?
Energia potenziale elettrica e differenza
di potenziale
Alta
tensione
Relazione tra potenziale elettrica e
campo elettrico
La relazione generale tra una
forza conservativa e l’energia
potenziale è data da:
Dividendo per una carica di q, possiamo definire la relazione
tra la differenza di potenziale e il campo elettrico:
Relazione tra potenziale elettrica e
campo elettrico
Il caso più semplice di campo uniforme
Il campo elettrico si può quindi
misurare anche in V/m
Relazione tra potenziale elettrica e campo
elettrico: sfera conduttrice carica
Potenziale lastre parallele
Due piastre parallele sono caricate
in modo che tra di esse ci sia una
differenza di potenziale di 50 V. Se
la separazione tra le piastre è 0.050
m, calcolare l’intensità del campo
elettrico nello spazio tra le piastre
Determinare il potenziale ad una
distanza r dal centro di una sfera
di raggio r0 per
a) r > r0
b) r = r0
c) r < r0. La carica totale sulla
sfera è Q.
Soluzione
Soluzione
La carica è distribuita sulla superficie esterna della sfera
essendo un conduttore. Il campo elettrico vale
b) per r=r0 sulla superficie del conduttore
ed è radiale. Usiamo la definizione di potenziale tra i punti rb e
ra. Poniamo d = dr
c) nei punti interni al conduttore E=0. Quindi
l’integrale tra r=r0 e un qualsiasi punto all’interno
della sfera, fornisce un valore nullo di differenza
di potenziale, quindi V è constante all’interno
della sfera
se poniamo V=0 per rb=∞, allora in ogni punto a distanza r
vale
Relazione tra potenziale elettrica e
campo elettrico
Con l’esempio precedente
abbiamo ricavato il
potenziale elettrico in
funzione della distanza
dalla superficie di una sfera
conduttrice carica. Qui
vediamo confrontato con il
campo elettrico
<
Relazione tra potenziale elettrica e
campo elettrico
Con l’esempio precedente
abbiamo ricavato il
potenziale elettrico in
funzione della distanza
dalla superficie di una sfera
conduttrice carica. Qui
vediamo confrontato con il
campo elettrico
Relazione tra potenziale elettrica e
campo elettrico
Scarica elettrica
In molti tipi di apparecchiature, sono usati tensioni
molto alte.
Con l’esempio precedente
abbiamo ricavato il
potenziale elettrico in
funzione della distanza
dalla superficie di una sfera
conduttrice carica. Qui
vediamo confrontato con il
campo elettrico
Un problema con l'alta tensione è che l'aria può
diventare ionizzata a causa degli elevati campi
elettrici
elettroni liberi in aria (prodotta da raggi cosmici, per
esempio) possono essere accelerati da tali campi a
velocità sufficiente per ionizzare le molecole di O2 ed
N2 per collisione, strappando via uno o più dei loro
elettroni.
Scarica elettrica
L'aria diventa poi un conduttore e l'alta tensione non può
essere mantenuta quando la carica così prodotta comincia a
fluire.
La rottura dell'aria avviene per campi elettrici di circa
3.0
106 V / m.
La terra è un ottimo
conduttore
Scarica elettrica
La rottura dell’aria si verifica per campi elettrici
dell’ordine di 3.0
106 V / m. (a) Mostrare che la
tensione di rottura per una sfera conduttrice in aria è
proporzionale al raggio della sfera e (b) calcolare la
tensione di rottura per una sfera con diametro 1.0 cm
(b)
Raggio di una sfera e densita’ di carica
Potenziale elettrico di una carica
puntiforme
Per trovare il potenziale elettrico dovuto ad una carica
puntiforme, integriamo il campo lungo una linea di
campo:
Scarica elettrica
Potenziale elettrico di una carica
puntiforme
Mettendo il potenziale a zero per r = ∞ si ottiene la
forma generale del potenziale dovuto ad una
carica puntiforme
Lavoro svolto da una forza esterna
Se spostiamo tramite una forza esterna una
carica q in un campo elettrico E, da un punto b ad
un punto a, anche il campo compie lavoro e si
avrà
se si parte con la carica ferma dal punto b e si
arriva nel punto a con carica ferma à allora
la variazione di energia cinetica è 0
Esercizio 1
Quale lavoro minimo deve essere fatto da una
forza esterna per portare una carica q = 3.00 μC
da una grande a distanza (si prenda r = ∞) al
punto 0.50 m da una carica Q = 20.0 µC?
Lavoro svolto da una forza esterna
Ma il campo elettrico e conservativo per cui vale
Pertanto qualunque sia il tipo di forza esterna possiamo
sempre dire che il lavoro necessario a spostare una carica
ferma da una posizione all'altra è
Esercizio 2: soluzione
Il lavoro richiesto è uguale alla variazione di
potenziale
dove rb = 0.5 m e ra = ∞. Quindi il lavoro totale è
Esercizio 3
Calcolate il potenziale elettrico (a) nel punto A
dovuto alla due cariche mostrate, e (b) nel punto B
Esercizio 3: soluzione
Il potenziale complessivo nel punto A è la somma dei
potenziali generati da Q1 e Q2 presi singolarmente
non ci dobbiamo preoccupare di direzione e verso
perché il potenziale è una grandezza scalare.
attenzione però ai segni delle cariche
Esercisio 3: soluzione
Potenziale elettrico generato da una
distribuzione qualsiasi di carica
Il potenziale elettrico dovuto da una distribuzione di
carica arbitraria può essere espresso come somma o
integrale (se la distribuzione è continua). Se abbiamo n
cariche puntiformi, il potenziale in un punto a (rispetto a
V=0 in r=∞) è
nel punto B:
se la distribuzione di carica può essere
considerata continua si ha
dove r è la distanza del punto in cui
viene calcolato V dell’elemento dq di
carica
Esercizio 4
Esercizio 4: soluzione
ogni punto dell’anello è equidistante da P e dista
Un sottile anello circolare di
raggio R ha una carica
uniformemente distribuita Q.
Determinare il potenziale
elettrico in un punto P
sull'asse dell'anello distanza
x dal suo centro.
per punti molto lontani x>>R
che è il potenziale di una carica
puntiforme
Esercizio 5
Un sottile disco piatto, di
raggio R0, ha una carica
uniformemente distribuita Q.
Determinare il potenziale in
un punto P sull'asse del
disco, una distanza x dal
suo centro.
Esercizio 5: soluzione
Dividiamo il disco in tanti anelli sottili e calcoliamo il
contributo di ogni singolo anello. Poi sommiamo su
tutto il disco
La carica Q è distribuita in maniera uniforme, la
carica sull’anello sarà una frazione della carica del
disco
quindi
Esercizio 5 : soluzione
Usando l’equazione ottenuta per il potenziale di un
anello
Superficie equipotenziali
Si definisce linee equipotenziali o
superfici equipotenziali i punti
definiti
Linee del campo elettrico sono
perpendicolari alle equipotenziali.
per x>>R0
Superfici equipotenziali
Per una carica puntiforme
singola con Q = 4.0
10-9
C, delineare le superfici
equipotenziali (o linee in un
piano contenente la carica)
corrispondenti a V1 = 10 V,
V2 = 20 V, e V3 = 30 V.
La superficie di un conduttore è
equipotenziale.
Superfici equipotenziali
Per una carica puntiforme
singola con Q = 4.0
10-9
C, delineare le superfici
equipotenziali (o linee in un
piano contenente la carica)
corrispondenti a V1 = 10 V,
V2 = 20 V, e V3 = 30 V.
Superfici equipotenziali
Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle
linee di campo: sono sempre superfici chiuse (a differenza di
linee di campo, che iniziano e finiscono sulla carica).
Superfici equipotenziali
Una analogia gravitazionale alle superfici equipotenziali è la
carta topografica - le linee collegano punti di uguale potenziale
gravitazionale (altitudine).
Determinare il campo elettrico dal
potenziale
Determinare il campo elettrico dal
potenziale
Se conosciamo il campo, siamo in grado di
determinare il potenziale per integrazione. Invertendo
questo processo, se conosciamo il potenziale, siamo in
grado di trovare il campo, differenziando:
Usare il potenziale elettrico per determinare il
campo elettrico in un punto P sull’asse dell’anello e
del disco
Questa è una equazione differenziale
vettoriale, qui è in forma di componente:
Energia potenziale di un sistema di
cariche
L’elettronvolt
L'energia potenziale di una carica in un potenziale
elettrico è U = qV.
Un elettronvolt (eV) è l'energia acquisita da un
elettrone che si muove attraverso una differenza
di potenziale di un volt:
Per trovare l'energia potenziale elettrica di due cariche,
immaginiamo di portare ciascuna carica in un punto dello
spazio da una distanza infinita. Quando si sposta la
prima carica, non si compie lavoro, non essendoci
campo elettrico. Per portare nella seconda, dobbiamo
fare lavorare a causa del campo generato dalla prima
carica, pertanto l'energia potenziale della coppia è:
1 eV = 1.6
10-19 J.
L'elettronvolt è spesso una unità molto più
conveniente rispetto al joule per misurare
l'energia delle particelle individuali.
Angelo Carbone
Dip. di Fisica e Astronomia
tel. 051 2091071
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/angelo.carbone
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