Problemi in fisica matematica
Pierre Martinetti
Università di Genova
19 maggio 2016
I
Claudio Bartocci: modelli integrabili, solitoni, teoria di gauge,
struttura bi-Hamiltoniana e quiver. Filosofia e storia della
matematica.
I
Nicola Pinamonti: teoria quantistica dei campi in spazio curvo e
rinormalizazione, applicazioni alla cosmologia e alla fisica dei bucchi
neri, descrizione quantistica dello spazio e del tempo·
I
Pierre Martinetti: geometria non-commutativa, applicazione al
modello standard delle interazioni fondamentali, aspetto metrico.
I
Studenti: Federico Faldino, Nicolo Drago
Fisica delle interazioni fundamentali in a nutshell
Relatività speziale (alta velocità) + Fisica quantistica (piccole scale) =
teoria quantistica dei campi.
I
Grande successo sperimentale (cf boson di Higgs), ma teoria definita
solo pertubativamente (sviluppo in diagrammi di Feynman).
I
visione parziale della realtà: Modello Standard delle interazioni
fondamentali (eletromagnetismo, interazione debole, interazione
forte) ma manca la gravitazione.
I
La gravitazione non può essere trattata
perturbativamente:non-rinormalizabile.
Non è un problema “nella vita quotidiana” (gravitazione trascurabile
davanti alle altre interazioni, o vice-versa), ma lo è nelle situazioni
estreme (bucchi-neri, Big-Bang).
La storia ci insegna che si fa progressi cercando l’unità (cf
elettromagnetismo).
Problemi per la fisica matematica
gravitazione =⇒ relatività generale =⇒ spazio-tempo curvo :
geometria pseudo-Riemanianna.
modello standard =⇒ teoria quantistica dei campi :
algebra di operatori (su spazi di Hilbert).
I
teoria dei campi su spazi curvi. Utile l’approccio non perturbativo:
teoria algebrica dei campi (applicazioni e.g. in cosmologia).
I
trovare l’oggetto geometrico appropriato per descrivere lo
spazio-tempo a piccole scale: geometria noncommutativa.
Geometria noncommutativa
Localizzare un oggetto con una precisione λ = illuminare l’oggetto con
una luce di lunghezza d’onda ∼ λ = concentrare energia ∼ λ1 = curvare
lo spazio-tempo = possibile buco nero.
q
G~
I Lo spazio tempo sotto la lunghezza di Planck λP =
c 3 non ha
più senso effettivo.
Soluzione possibile: imporre un incertezza minimale non-nulla sulla
misura simultanea delle coordinate:
∆x 0 (∆x 1 + ∆x 2 + ∆x 3 ) ≥ λ2P ,
∆x 1 ∆x 2 + ∆x 2 ∆x 3 + ∆x 3 ∆x 1 ≥ λ2P .
Si può fare trasformando le coordinate x µ in operatori noncommutativi,
x µ =⇒ q µ with [q µ , q ν ] = Q µν
I
Doplicher, Fredenhagen, Roberts 1995
Tanti modelli, secondo la scelta dei Q µν .
Geometria noncommutativa a la Connes
C ∗ − algebra commutativa
Tripletto spettrale (A, H, D)
con A commutativa
Tripletto spettrale (A, H, D)
I
I
Gelfand
⇐⇒
Connes
spazio localmente compatto
⇐⇒
varietà riemanniana (spin)
⇐⇒
geometria noncommutativa
Per la matematica: studio dello spazio delle foglie in certe fogliazioni,
teoria del indice, teoria dei numeri etc (cf Connes-Marcolli
“Noncommutative geometry, quantum fields and motives”).
Per la fisica: descrizione delle modello standard delle interazioni
fondamentali, insieme alla gravità, come un modello di pure gravità,
ma su un spazio “quasi-commutativo”
C ∞ (M) ⊗ (C ⊕ H ⊕ M3 (C)).
Il campo di Higgs diventa una 1-forma di connection (come gli altri
bosoni), ma nella parte non-commutativa della geometria.
Apre una porta per modelli oltre il modello standard.
Aspetto metrico della geometria non-commutativa
Tripletto spettrale (A, H, D).
ϕ uno stato di A (ϕ : A → C, ϕ(a∗ a) ∈ R+ , ϕ(I) = 1).
Distanza di Connes:
d(ϕ, ϕ0 ) :=
sup |ϕ(a) − ϕ0 (a)|
a∈LD (A)
dove
LD (A) := {a ∈ A, ||[D, a]|| ≤ 1} .
I
Per A = C ∞ (M) che agisce su Ω2 (M) con D = d + d † , la
distanza di Connes è la distanza di Wasserstein nella teoria del
trasporto ottimale.
I
In particolare, tra stati puri δx (f ) := f (x), coincida con la distanza
geodetica di M.
Vari problemi, ispirati della fisica ma trattati col rigore matematico !
Communità abbastanza grande in Italia (Roma, Trieste, Trento, Pavia,
Napoli, Germania, Francia, Olanda, Inghilterra) con frequenti incontri,
workshop...
Dottorandi benvenuti :-)
