d - UniBG

Lezione XIV
Programma lezione XIV
• Le approssimazioni dell’ottica geometrica elementare
• Gli specchi
• Regole dei segni
• Il diottro sferico
• Le lenti sottili
• Sistemi di più lenti: il microscopio
• Il limite di diffrazione
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Lezione XIV
Ottica geometrica
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= studio della propagazione di raggi luminosi che seguono le leggi di
riflessione e rifrazione.
Ipotesi dell’ottica geometrica elementare:
1. le superfici riflettenti o di separazione tra i mezzi (omogenei) sono
calotte sferiche (r)
2. i raggi luminosi paralleli all’asse della calotta (asse ottico) hanno da
questo una distanza d<<r
3. i raggi luminosi formano con l’asse della calotta un angolo molto
minore di 1 radiante
Lezione XIV
Ottica geometrica
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Da qui discende:
 i raggi paralleli o i loro prolungamenti si incontrano
tutti in un punto detto fuoco
 i raggi che da un punto O (oggetto) raggiungono la
calotta dopo riflessione/rifrazione passano tutti per un
punto I, detto immagine di O
Lezione XIV
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Specchi
Raggi paralleli all’asse ottico:
passano per il fuoco F
Q'
Raggio di
curvatura
dello
specchio

r
ho
2

C

F
Q
ho
2ho
  sin   , 2  sin 2 
r
r
r
r
| CF |   | QF |  f 
2
2
Lezione XIV
Specchi
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Raggi da O sull’asse ottico: individuano il
punto immagine I coniugato di O
d o  d i (  2 )

d o  d i 1  2 /  
| OC |

do  r


| CQ' |

do  r 
 


r




do  di 1  2  
d o di


 do  di 


r/2
 do  r  

r

r
1 1 1 2
  
d o di f R
Lezione XIV
Specchi
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Equazione fondamentale:
1 1 1 2
  
d o di f R
Regola per costruire l’immagine I di un punto O(do,ho) fuori asse
Individuare il fuoco F
Tracciare il raggio parallelo e il suo riflesso per F
Tracciare il raggio per F e il suo riflesso parallelo
I è l’intersezione dei due riflessi o del loro prolungamento
Lezione XIV
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Specchi
Costruzione immagine e ingrandimento
O(do,ho)
Q'
hohi
F
Q
hi
O'
Q"
I(di,hi) F'
f
ho  hi | OO'|
| FF'|  hi
h h



 i  i 
do
| O' Q"| | F' Q"|
f
d o di
hi
di

Ingrandimento =
ho
do
Lezione XIV
Specchi - regole dei segni
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 la distanza do dell’oggetto da Q è positiva quando l’oggetto è a sinistra
dello specchio (dove solitamente lo poniamo), altrimenti è negativa.
 la distanza di dell’immagine è positiva se è a sinistra di Q, ossia nello
stesso semipiano di O e all’incrocio dei raggi riflessi; si parla in tal caso
di immagine reale; la distanza di è negativa se è nel semipiano destro; se
I è sul prolungamento dei raggi riflessi si ha una immagine virtuale
 le altezze di oggetto e immagine vengono lette a partire dall’asse
ottico lungo un asse orientato verso la parte superiore del foglio;
l’oggetto ha solitamente ho > 0 ed è mostrato con una freccia verso l’alto;
l’altezza hi dell’immagine sarà negativa se I si trova nel semipiano
inferiore;
 l’ingrandimento è negativo quando l’immagine è capovolta
 la distanza del fuoco f è positiva se F si trova nello stesso semipiano di
O (specchio concavo) e negativa per lo specchio convesso
Lezione XIV
Specchi
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I
O
F
Q
Per do< f, l’immagine è virtuale (di < 0), diritta e ingrandita
(specchio da barba/trucco, specchietto dentista).
Nel limite f (specchio piano, a curvatura infinita) si ha
1 1
  0  d o  d i  immagine virtuale
do di
do
h
 o
di
hi
 ho  hi
 immagine diritta
Lezione XIV
Specchio convesso
O
I
Q
F
L’immagine è sempre
• virtuale (f < 0  di < 0)
• diritta
• rimpicciolita
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Lezione XIV
Diottro sferico
n1
do
1
Q
Dai triangoli che hanno in
comune QQ’
2
2


O
n2
Q

C
r
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di
do
d o  r    
r
I
r
do
r  d i      
di
di



Dalle legge di 
n


n

1 1
2 2


Snell e dalle
        1  d o  

 
relazioni tra
 1
r  

angoli interni e 
 do do  

supplementari 2         
 r d 

i 


n1 n2 n2  n1
 
do di
r
Lezione XIV
Diottro sferico: fuochi
n1
n2
do    di  f 2 
r
n2  n1
n1
d i    d o  f1 
r
n2  n1
n2
Q
F1
f1
F2
f2
n1 n2 n2  n1
nr 1
nr 1
 
 1
 2
1 
do di
r
n2  n1 d o n2  n1 di
f1 f 2
 1
do di
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Lezione XIV
Diottro sferico: immagine
n1 n 2
Q'
O
ho
F1
F2
Q
hi
Q"
 hi : ho  hi   f1 : d o
ho : ho  hi   f 2 : d i
I

hi
f1 d i

ho
f 2 do
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Lezione XIV
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Lente sottile
F2
F1
Q
immagine
reale
Lente sottile di materiale rifrangente
n in aria con due raggi di curvatura
immagine
virtuale
F2
F1
Q
Equazione dei fabbricanti di lenti
1 1 1
1
1
  (n  1)   
do di
 r1 r2  f
Lezione XIV
Sistema di lenti sottili
1
1 1
 
f
f1 f 2
1
diottrie 
f [metri]
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Lezione XIV
Microscopio
obiettivo
oculare
osservatore
O

F1
I 2 I1
F2
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Lezione XIV
Il limite di diffrazione
y
d

0
qualitativamente
d sin min
    2
2
sin  min 

d
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Lezione XIV
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Diffrazione da fessura d
1
d = 0.5
d = 10
.5
 ( y) 
2 y sin 

 ay
0
45°
0
Atot  
d
0
45°

1 ad
sin ad
cos ( y) dy   cos xdx 
a 0
a
2 sin 

 sin ad 
2
I ( )  Atot  
 sin null 
 con a 

d
 a 
2
Lezione XIV
Risoluzione microscopio
Schiera di bande scure larghe d/2 a distanza d
tra loro
d

visibili se l’obiettivo cattura la prima banda
luminosa laterale; per questo l’angolo di
semiapertura  sotto il quale da una fenditura
si vede l’apertura dell’obbiettivo deve essere
circa uguale o superiore all’angolo formato
dalle direzioni di due massimi consecutivi
sin  

2 2 sin 
risoluzione spaziale  
d


1
2

d
Risoluzione angolare  di obbiettivo circolare di diametro D
sin   1.22

D
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Lezione XIV
Aumentare la risoluzione
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 Diminuire  usando luce violetta e interponendo un mezzo
più rifrangente tra obiettivo e oggetto (olio trasparente e
denso)
 Aumentare l’apertura (ma sin  1)
 Usare elettroni anziché luce (microscopio elettronico)
(ma occorre in genere alto vuoto, ricopertura conducente,
sistema costoso)
Lezione XIV
Risoluzione dell’occhio
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d  5 mm
  500 nm
 = 1.22 /d
L   2.4 m
104
rad
pupilla
retina
L = 2.4 cm
d
fovea
centrale
Nel caso dell’occhio, la risoluzione angolare è limitata dalla diffrazione
dovuta all’apertura della pupilla. L’incertezza dell’angolo di
propagazione si traduce in una distanza sulla retina di 2.4 m,
praticamente uguale alla distanza tra coni nella fovea
(160 000 coni/mm2) !!!