Corso di laurea in Economia Aziendale
Università di Bologna
II parziale di Statistica - 3 Aprile 2017
PROVA A
Riportare sul foglio:
NOME, COGNOME, NUMERO di MATRICOLA, TIPO di PROVA
Esercizio 1
Si consideri un test con domande a risposta multipla. Per ogni domanda ci sono 5 possibili
risposte di cui una sola è corretta.
1a) Considerando un test con 10 domande e, supponendo di rispondere a caso ad ogni domanda, calcolare la probabilità di rispondere correttamente alla metà delle domande.
1b) Considerando un test con 10 domande e, supponendo sia 0.4 la probabilità di rispondere correttamente ad ogni domanda, calcolare la probabilità di superare il test. Il test è
superato se si risponde correttamente almeno al 90% delle domande.
1c) Considerando un test con 100 domande e, supponendo sia 0.4 la probabilità di rispondere
correttamente ad ogni domanda, calcolare la probabilità di superare il test (si consiglia di
utilizzare l’approssimazione basata sul teorema del limite centrale). Il test è superato se
si risponde correttamente almeno al 90% delle domande.
Soluzione 1
1a) X ∼ Bin(10, 0.2), P (X = 5) =
10
5
0.25 ∗ 0.85 = 0.02642412;
1b) X ∼ Bin(10, 0.4), P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10) =
0.001572864 + 0.0001048576 = 0.001677722;
1c) X ∼ N (40, 24), P (X ≥ 90) = P (Z ≥
90−40
√
)
24
10
9
0.49 ∗ 0.61 +
10
10
0.410 =
= P (Z ≥ 10.21) = 0.
Esercizio 2
Un’azienda farmaceutica ha testato un farmaco per il mal di testa basato su un nuovo principio
attivo. Si è testato che il tempo medio di efficacia del farmaco, in condizioni di regolarità, è
12 minuti, con deviazione standard 4.25 minuti e che si distribuisce con funzione di densità di
probabilità normale.
2a) Calcolare la probabilità che, in un paziente in condizioni di regolarità, il farmaco faccia
effetto fra i 10 e i 15 minuti.
2b) Supponiamo che il farmaco venga somministrato a 5 pazienti in condizioni di regolarità.
Si calcoli la probabilità che al massimo su un paziente il farmaco faccia effetto dopo 16
minuti.
2c) Quando il farmaco viene somministrato a pazienti con età inferiore a 30 anni, si è testato
che il tempo di efficacia del farmaco è due terzi del tempo di efficacia in condizioni di
regolarità. Calcolare i parametri media e varianza della distribuzione normale relativa al
tempo di efficacia in pazienti al di sotto dei 30 anni (Y = 23 X, dove X è l’efficacia del
farmaco in condizioni regolari)
1
2d) Calcolare la probabilità che in pazienti di età inferiore a 30 anni, il farmaco faccia effetto
entro 5 minuti.
2e) Calcolare la probabilità che in pazienti di età inferiore a 30 anni, il farmaco faccia effetto
dopo 10 minuti.
Soluzione 2
2a) X ∼ N (12, 4.252 ), P (10 ≤ X ≤ 15) = P ( 10−12
4.25 ≤ Z ≤
−0.47) = 0.7611479 − 0.3191775 = 0.4419704
15−12
4.25 )
2b) P (X ≥ 16) = P (Z ≥ 16−12
4.25 ) = 1 − P (Z ≤ 0.94) = 0.17;
poi si considera Y ∼ Bin(5, 0.17), da cui P (Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P (Y = 1) = 50 0.170 ∗ 0.835 +
0.4033957 = 0.7972998;
2c) W = 23 X, W ∼ N (8, 8.03), P (W ≤ 5) = P (Z ≤
2e) P (W ≤ 5) = P (Z ≥
5−8
2.83 )
2e) P (W ≥ 10) = P (Z ≥
5−8
2.83 )
5
1
= P (Z ≤ 0.71) − P (Z ≤
0.171 ∗ 0.834 = 0.3939041 +
= P (Z ≤ −1.06) = 0.1445723.
= P (Z ≤ −1.06) = 0.1445562.
10−8
2.83 )
= P (Z ≥ 0.71) = 0.2388521.
Esercizio 3
Un’azienda farmaceutica, per testare un farmaco contro il mal di testa basato su un nuovo principio attivo, lo somministra ad un campione di 10 pazienti per verificarne il tempo di efficacia
che si assume abbia distribuzione normale con parametri µ e σ 2 . Si osservano i seguenti dati in
minuti:
8, 13, 15, 5, 7, 10, 18, 20, 14, 19.
3a) si verifichi l’ipotesi H0 : µ = 12 contro l’ipotesi H1 : µ > 12, con α = 5%;
3b) si costruisca l’intervallo di confidenza per la media µ al livello 1 − α = 0.95;
3c) nota la varianza σ 2 = 25, si verifichi l’ipotesi H0 : µ = 12 contro l’ipotesi H1 : µ = 16, con
α = 5%;
3d) si calcoli la probabilità dell’errore di secondo tipo del test al punto c);
3e) avendo osservato che in un campione di 150 pazienti si sono verificati effetti collaterali in
30 pazienti, costruire l’intervallo di confidenza per la proporzione di pazienti soggetti ad
effetti collaterali, al livello di confidenza 90%.
Soluzione 3
x̄ = 12.9, s = 5.26
3a) Dato il sistema di ipotesi
H0 : µ = 12,
H1 : µ12
la zona di rifiuto del test è R = {t : t > 1.833}. Il valore osservato è t =
0.5410741, per cui si accetta H0 ;
q
q
2
5.262
3b) (12.9 + 2.262 5.26
;
12.9
−
2.262
10
10 ) = (9.137484; 16.66252);
2
12.9−12
q
5.262
10
=
3c) Dato il sistema di ipotesi
H0 : µ = 12,
H1 : µ = 16
la zona di rifiuto del test è R = {z : z > 1.64}. Il valore osservato è z =
12.9−12
q
25
10
= 0.56921,
per cui si accetta H0 ;
q
14.59−16
√
3d) x̄α = 12 + 1.64 ∗ 25
) = P (Z ≤
10 = 14.59, β = P (X ≤ 14.59|H1 ) = P (Z ≤
25/10
−0.89) = 0.1867329;
3e) p̂ =
30
150
= 0.2, da cui (0.2 − 1.64 ∗
q
0.8∗0.2
150 ; 0.2 − 1.64 ∗
q
0.8∗0.2
150 )
= (0.1464378; 0.2535622).
Esercizio 4
Un veggente sostiene di avere capacità paranormali e di essere in grado di leggere nel pensiero.
Per metterlo alla prova, si effettua quindi il seguente esperimento: una persona estrae una carta
a caso da un mazzo di 52 carte (di cui 26 nere e 26 rosse) e ne pensa il colore. Il veggente dichiara
qual è il colore della carta estratta. Si effettuano 200 prove ed il veggente indovina 90 volte.
4a) Verificare l’ipotesi che il veggente indovini il colore della carta carta due volte su quattro
contro l’alternativa che indovini due volte su cinque, con un livello di significatività del
5%.
4b) Si calcoli l’intervallo di confidenza per la proporzione di volte che indovina ad un livello
di confidenza del 95%.
Soluzione 4
90
p̂ = 200
= 0.45
4a) H0 : p = 0.50, H1 : p = 0.4.
La zona di rifiuto è (z < −1.64). La statistica z sotto H0 è
0.45 − 0.5
z=q
= −1.414214
(0.50∗0.50)
200
quindi si accetta H0 .
q
q
0.45∗0.55
;
0.45
+
1.96
∗
) = (0.3810509; 0.5189491).
4b) (0.45 − 1.96 ∗ 0.45∗0.55
200
200
3
