Esercitazione 2 - Scienza delle Finanze
Giuseppe Piroli
Esercizio 1 - Beni privati e beni pubblici
Esercizio 2 - Funzioni di benessere sociale (tratto da Brosio 1996)
1 Beni privati e beni pubblici
Si considerino due consumatori, denominati A e B, descritti dalle seguenti funzioni di utilità: Ua D xa4 ya
e Ub D xb3 yb2 . Siano Ra D 30 e Rb D 20 i rispettivi redditi ed entrambi i beni siano venduti in un mercato
concorrenziale con le seguenti funzioni di offerta: PX D 2X e PY D 4Y .
1)Si determinino prezzi e quantità di equilibrio per i due beni privati X e Y .
2)Lo Stato decide di rendere pubblico il bene X , se ne determini la quantità ef ciente e la disponibilità a pagare dei due individui per tale quantità.
Soluzione
1) Per trovare l'equilibrio del mercato per i due privati si devono prima sommare le domande individuali.
Si ricordi che la curva di offerta è il tratto crescente della curva dei costi marginali. Quindi, poichè il
prezzo del mercato concorrenziale è il costo marginale, le funzioni di domanda per il bene X dei due
individui sono1 :
xa D
4
4C1
30
24
D
PX
PX
xb D
3
3C2
20
12
D
PX
PX
Nel caso di beni privati, la curva di domanda di mercato è data dalla somma orizzontale delle due
24 12
36
curve individuali: xa C xb X D
C
D
. Sostituendo per PX D 2X nella funzione di domanda
PX PX
PX
r
36
36
aggregata si ha X D
!XD 2
D 4.24. Sostituendo, poi, la quantità di equilibrio X D 4, 24 nella
2X
2
funzione di offerta o in quella della domanda di mercato si ottiene il prezzo di equilibrio: PX D 2X D
1 Per il modo in cui sono ricavate le funzioni di domanda individuale si rimanda al primo esercizio dell'Esercitazione 1.
1
2 4.24 D 8.48. Dalle funzioni di domanda individuale si ricava che il consumatore A acquista 2.83
unità del bene X e il consumatore B ne acquista 1.41.
Per il mercato del bene Y si procede allo stesso modo e, dopo gli opportuni calcoli, si ottengono i
seguenti valori di equilibrio: Y D 1.87, PY D 7.48, ya D 0.8, yb D 1.06.
Nell'equilibrio di mercato di un bene privato il prezzo è lo stesso per tutti i consumatori, mentre
variano le quantità consumate da ciascuno di essi.
2) Il bene X viene reso pubblico. Le domande individuali devono essere sommate verticalmente per
ottenere la funzione di domanda sociale. A questo scopo si sommano le funzioni inverse di domanda
individuale:
xa D
xb D
24
24
! Pa D
PX
X
12
12
! Pb D
PX
X
! Pa C Pb D
24 12 36
C
D
X
X
X
Si noti che, già nelle funzioni inverse di domanda dei singoli consumatori, si evidenziano un prezzo
individuale per ciascuno di loro (Pa e Pb ) e una quantità comune del bene X .
Per produrre la quantità ef ciente di bene pubblico X , la somma dei prezzi che i consumatori sono
disposti a pagare deve essere uguale al costo marginale di produzione (Pa C Pb D C Mx /:
36
D 2X ! X D
X
r
2
36
D 4.24
2
Sostituendo X D 4.24 nelle funzioni di domanda inversa individuali si ottengono le disponibilità a
pagare dei due consumatori per tale quantità di bene pubblico:
Pa D
24
D 5.66
4.24
Pb D
12
D 2.83
4.24
Difatti, il costo marginale di X D 4.24 è uguale alla somma di Pa C Pb : 2 4.24 D 5.66C2.83 D 8.49
Per riassumere, si ricordi che, nell caso di beni privati, la domanda aggregata di mercato si ottiene
sommando orizzontalmente le domande individuali. Difatti, si sommano le quantità domandate da ciascun individuo per ogni livello di prezzo. Nel caso di bene pubblico, invece, le domande sono sommate
2
orizzontalemente, poichè devono essere sommati i prezzi che ciascun consumatore è disposto a pagare
per ogni quantità fornita di bene pubblico.
BENE
SOMMA
FUNZIONI di DOMANDA
VARIABILI SOMMATE
Privato
orizzontale
dirette
quantità
Pubblico
verticale
inverse
prezzi (disponibilità a pagare)
2 Funzioni di benessere sociale
L'utilità totale che procura a Paola e a Sergio il consumo di mele è descritto nella tabella che segue:
Mele
Paola
Sergio
1
6
5
2
14
13
3
22
20
4
27
26
5
30
31
Supponiamo che si debbano distribuire 5 mele fra i due. Qual è la distribuzione preferita da un
utilitarista e quale quella preferita da un rawlsiano?
Soluzione
Un utilitarista darà 3 mele a Paola e 2 a Sergio ottenendo un'utilità complessiva di 35, che è la massima
possibile. Un rawlsiano darà 3 mele a Sergio e 2 a Paola, che porta a una combinazione di utilità che ha
il valore minimo più alto possibile (14).
3
