MoY con accelerazione costante

Mo# con accelerazione costante Mo# bidimensionali •  Se l’accelerazione è costante vuol dire che la velocità varia in modo lineare nel tempo, cioè per intervalli di tempo uguali si hanno incremen# di velocità eguali. •  In un piano v-­‐t questa equazione rappresenta una re?a con coefficiente angolare a
•  la velocità media è per definizione : à
velocità
Mo# con accelerazione costante o
a=
v
a
v0
v − v0
t −0
t
quindi v = v0 + at
1
(v0 + v ) = 1 (v0 + v0 + at )
2
2
x − x0
1
v = v0 + at e sapendo che v =
2
t
v=
1 2
x = x0 + v0 t + at
2
Posizione di un punto
che si muove con
accelerazione costante
L’equazioni del moto con a = cost •  Il moto con a = cost è descri?o da cinque grandezze x, v, t, a, v0, Tali grandezze si o?engono dalle due equazioni della precedente diaposi#va. §  Il moto con accelerazione costante più comune è il moto di un grave in caduta libera §  al livello del mare l’accelerazione di gravità è: g = 9,806 + 0,017 m/s2 v = v0 + at
x
1 2
x = x0 + v0 t + at
2
v 2 = v02 + 2a (x − x0 )
v
1
x = x0 + (v0 + v )t
2
1 2
x = x0 + vt − at
2
t
a
v0
Caduta di un grave •  In prossimità della superficie terrestre ogni
corpo è soggetto ad una accelerazione costante
pari a 9,81 m/s2.
Quindi l’equazione oraria y = f(t) di un oggetto
lasciato libero di muoversi è:
y = -1/2 gt2
•  Il segno meno deriva dall’orientazione del
sistema di riferimento che è definita positiva
uscendo dalla superficie della Terra.
•  Se l’oggetto parte da una posizione y0 e se ha
una sua velocità iniziale v0 allora l’equazione
oraria si completa nel seguente modo
y = y0 + v0t -1/2 gt2
Moto in più dimensioni I moti in più dimensioni
si ottengono sommando
vettorialmente i moti
lungo ciascun asse 〈v 〉 =
r = xi + yj + zk ⇒ Δr = r2 − r1
Δr = ( x2i + y2 j + z 2 k ) − ( x1i + y1 j + z1k )
Δr = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + (z 2 − z1 )k
Δr = Δxi + Δyj + Δzk
Δr
dr
⇒v=
Δt
dt
d
dx
dy
dz
v = (xi + yj + zk ) =
i+
j+ k
dt
dt
dt
dt
v = vxi + v y j + vz k
Δv
dv
⇒a =
Δt
dt
dv y
dv x
dv z
a=
i+
j+
k
dt
dt
dt
a = axi + a y j + az k
〈a 〉 =
Moto di un proieQle La vy varia passando da positiva,
a nulla, a negativa, mentre la vx
è sempre costante
§  Un corpo viene lanciato in prossimità
della superficie terrestre con una
velocità iniziale V0, le cui componenti
sono V0x eV0y.
§  Nel suo progredire il proiettile risentirà,
solo, della forza di gravità che gli imprime
una accelerazione pari a: g = - 9.81 m/s2
Traie?oria di un proieQle §  Il moto orizzontale e quello ver#cale sono due mo# indipenden# e possono essere tra?a# ciascuno per conto proprio §  Lungo l’asse x il moto è un moto reQlineo uniforme, mentre lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato. x − x0 = v0 x t
⇒
1
y − y0 = v0 y t − gt 2 ⇒
2
x = x0 + v0 (cos θ0 )t
1
y − y0 = v0 senθ0t − gt 2
2
v y = v0 sin θ0 − gt
2
2
v 2y = (v0 sin θ0 ) + g 2t 2 − 2v0 sin θ0 gt = (v0 sin θ0 ) − 2 g ( y − y0 )
Segue moto di un proieQle x
t=
v0 cos θ 0
g
y = tgθ 0 ⋅ x −
x2
2(v0 cos θ 0 )
g
chiamando
= a e tgθ 0 = b
2(v0 cos θ 0 )
parabola
400
Y (metri)
§  Ricavando t dalla equazione del moto re7lineo uniforme, supponendo x0 = y0 = 0, e sos;tuendo nell’equazione nel moto uniformemente accelerato si o7ene: 300
200
100
0
0
10
20
30
X (metri)
Si riconosce l’equazione di una parabola nel piano x,y con la concavità rivolta verso il basso y = -­‐ ax2 + bx 40
GiData •  E’ la distanza orizzontale coperta da un proieQle. •  L’equazione della traie?oria si ricava dalle: x − x0 = v0 (cos θ 0 )t
y − y0 = v0 senθ 0 t −
1 2
gt
2
•  chiamiamo x-­‐x0 = R e poniamo y-­‐y0 = 0 R = v0 (cos θ 0 )t
1
0 = v0 senθ 0 t − gt 2
2
le cui soluzioni sono
v02
v02
R = 2 sin θ 0 cos θ 0 ⇒ R = sin(2θ 0 )
g
g
t=0
〈 t = 2v0 sin θ 0
g
R è massima a
θ0 = 45°
Moto circolare uniforme ü  Il moto è circolare perché la sua
traiettoria è una circonferenza, ed è
uniforme perché il modulo della sua
velocità è costante.
ü  E’ costante solo il modulo; non il vettore
velocità.
ü Istante per istante cambia direzione,
quindi la velocità varia nel tempo e per
questo il moto è soggetto ad una
accelerazione.
ü  Il modulo di questa accelerazione sarà
pari a:
a = v2/r ü  la direzione, istante per istante, perpendicolare al ve?ore velocità ü  verso dire?o al centro della traie?oria Δv
v2
v2
v1
r2
r1
Δs
Ricordando un teorema dei
triangoli simili
! !
! !
Δv : v1 = Δs : r1
dividendo per Δt
!
!
Δv ! Δs !
:v1 =
:r1
Δt
Δt
e per Δt → 0
a:v =v:r
v2
a =
r
v1